HÀM-SỐ-LIÊN-TỤC

0 - Hàm số f liên tục trên khoảng K nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.. Các định lý - Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục t

CHỦ ĐỀ 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC Dạng toán 1 CHỨNG MINH LIÊN TỤC Các định nghĩa

- Hàm số f xác định trên khoảng  a;b và x 0 a;b Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x nếu: 0

x lim f x x f x

- Hàm số không liên tục tại điểm x được gọi là gián đoạn tại điểm 0 x 0

- Hàm số f liên tục trên khoảng K nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.

- Hàm số f xác định trên đoạn  a;b được gọi là liên tục trên đoạn  a;b nếu nó liên tục trên khoảng  a;b

x a lim f x f a lim f x ; x b f b

Các định lý

- Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0)

- Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng

- Các hàm số lượng giác y sinx, y cosx, y tanx, y cotx    liên tục trên tập xác định của chúng.

Chú ý:

1) Ý nghĩa hình học, nếu hàm số f liên tục trên một miền D thì có đồ thị là một đường liền nét.

2) Chứng minh liên tục bằng cách vận dụng định nghĩa:

- Để kiểm chứng hàm y f x 

liên tục tại x 0 thì x 0D

,  

0

x lim f x x

 tồn tại hữu hạn và    

x x

- Nếu x 0 không thuộc D hoặc  

0

x lim f x x

 không tồn tại hoặc không hữu hạn hoặc tồn tại nhưng

x lim f x x f x

thì hàm số không liên tục, tức là gián đoạn tại x 0

- Hàm sốy f x  liên tục trên khoảng K khi nó liên tục tại mọi x 0 K

- Hàm số y f x liên tục trên đoạn  a;b khi nó liên tục trên khoảng  a;b và có thêm

x a lim f x f a lim f x ; x b f b

3) Chứng minh liên tục bằng cách vận dụng định lý:

- Hàm đa thức, hàm phân thức, các hàm lượng giác liên tục trên tập xác định. 

- Tầng, hiệu, tích thương các hàm số liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó (giá trị mẫu tại đó khác 0 của thương)

Bài toán 1 Chứng minh hàm số liên tục tại x 0  1

a/

     



2

2

khi x 1

2 khi x 1

b/

 

  



 

 



x 3 2

khi x 1

x 1

g x

1 khi x 1 4

Giải

a/ Ta có: f x 0  f 1   2

Với mọi x ≠ 1 ta có: f x  x 2 2 6 x 5  x 1 x 5    x 5

Do đó lim f x x 1   lim x 1 x 5 2 f 1 

x 1





  Vậy hàm số f liên tục tại điểm

0

x 1

b/ Ta có:  0  

1

4

Với mọi x > 1, ta có:

 

g x

Do đó    

3 2

x

   

1 Nªn lim x lim x (1)

4

Vậy hàm số g liên tục tại điểm x 0 1

Bài toán 2 Chứng minh hàm số sau gián đoạn

a/

      



x 7 3

khi x 2

5x 4 khi x 2 tại

0

x 2

b/

    



3

khi x 1

2 khi x 1 tại

0

x 1

Giải

a/ Ta có f x 0  f 2 5.2 4 14 

Với

thì f x  x 7 3 x 7 9 x 2 2 x 2 2

x 2 4

 

x 7 3

 

  Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm x 0 2

b/ Ta có: g x 0 g 1 2

Với mọi x ≠ 1, ta có:   3    2 

2



Vậy hàm số g gián đoạn tại điểm x 0 1

Bài toán 3 Chứng minh các hàm số sau liên tục trên ℝ

a/

  3

f x x 2x 3

b/ g x  x 3 2 3







Giải

a/ Hàm số f x x 32x 3 xác định trên ℝ

Với mọi x 0ℝ , ta có:

Vậy f liên tục tại điểm x0 nên hàm số f liên tục trên ℝ

b/ Hàm số f x  x 3 2 3





 xác định trên

ℝ

Với mọi x 0ℝ , ta có

3 3

0

0

0





Vậy f liên tục tại điểm x0 Do đó hàm số f liên tục trên ℝ

Bài toán 4 Chứng minh các hàm số sau liên tục trên ℝ

a/

 



 

 



3 4x 2

khi x 2

x 2

f x

1

khi x 2

     



3

khi x 1

7 x 3 khi x 1

a/ Hàm số f xác định trên ℝ

Với

thì f x  3 4x 2

x 2





 liên tục Với x = 2 thì f 2  và6

 

3

nên f liên tục Vậy hàm số liên tục trên ℝ

b/ Hàm số xác định trên ℝ

Với x > 1 thì g x  x 3 x 2

x 1

 



 liên tục Với x < 1 thì g x 7 x 3 liên tục

Với x = 1 thì g 1  và4

2

 

x 1

: liên tục Vậy hàm số g liên tục trên ℝ

Bài toán 5 Chứng minh các hàm số sau liên tục trên tập xác định

a/

 

b/ g x  2x 1 s inx cos x 3

x sin x



Giải

a/ Hàm số f xác định khi x 8 0    x 8 D   8; 

Với mọi x 0   8; 

Do đó f liên tục trên khoảng   8; 

Vậy f liên tục trên D   8; 

b/ Hàm số g xác định khi sinx 0  x 0 và x k 

x k ,k

  ℤ Vậy Dℝ\ k / k  ℤ 

Với mọi x 0 k ta có:

0

nên g liên tục trên D

Bài toán 6 Chứng minh các hàm số sau liên tục trên tập xác định

a/ f x  1 2

9 x



Giải

a/ Hàm số f xác định khi và chỉ khi 9 x 2      Vậy 0 3 x 3 D  3;3

Với mọi

0

x  3;3

ta có

0

Vậy hàm số liên tục tại điểm x0 Do đó f liên tục trên D  3;3

b/ Hàm số g x  8 2x 2 xác định trên D  2;2

Với mọi x 0  2;2

ta có       

0

2

Do đó hàm số g liên tục trên khoảng2;2

Vậy hàm số g liên tục trên D  2;2

Bài toán 7 Tìm các khoảng, nửa khoảng mà hàm số liên tục

a/ f x  x 2 3x 4

2x 1



 

g x  x 1 2 x 3  

Giải

a/ Điều kiện

1

2

    

nên

      

Vì f là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên tập xác định

      

b/ Điều kiện x 1 0  và x 3  x 3 nên D3; 

Vậy g liên tục trên D3;

Bài toán 8 Tìm các điểm gián đoạn của hàm số

a/

  2 3x 1

f x





b/

 

 







3 2

khi x 0,1

8 khi x 1

Giải

a/ Hàm phân thức hữu tỉ gián đoạn tại các điểm không thuộc tập xác định

2

x 4x 3 0     hoặc x 1 x 3

b/ Tập xác định D ℝ

Với

x 0, x 1 

thì g x  x 3 2 x





 liên tục

Với x = 0: g 0  1

Do đó g liên tục tại x = 0

Do đó g không có giới hạn tại x = 1

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1

Bài toán 9 Tìm các điểm gián đoạn của hàm số

a/

 

f x tanx 2 cotx

b/ g x  2 sinx

sinx 3 cos x





Giải

a/ Hàm số

liên tục tại x 2 k ,k

Do đó hàm số f x tanx 2 cotx gián đoạn tại các điểm

x k ,x k x k ,k

b/ Hàm số g(x) gián đoạn tại các điểm x:

Dạng toán 2 XÉT SỰ LIÊN TỤC

- Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x 0 nếu:    

x lim f x x f x

- Hàm số không liên tục được gọi là gián đoạn tại điểm x 0

- Hàm số f liên tục trên khoảng K nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.

- Hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] nếu f liên tục trên khoảng (a; b) và        

x a lim f x f a lim f x ; x b f b

- Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0)

- Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng

- Các hàm số lượng giác y sinx, y cosx, y tanx, y cotx    liên tục trên tập xác định của chúng.

Chú ý:

1) Vận dụng các định nghĩa và định lý về hàm liên tục

x lim f x x x l m f i x x L

thì  

0

x m x L

3) Phối hợp các phương pháp để tính giới hạn và khử dạng các vô định cơ bản

Bài toán 1 Xét sự liên tục của hàm số

a/

     



2

khi x 2

1 khi x 2 tại

0

x 2

b/

     



2

x 1

khi x 1

2 khi x 1 tại

0

x 1

Giải

a/ Ta có f x 0  f 2  1

Với mọi x ≠ 2 ta có:          

Vậy hàm số f liên tục tại điểm x 0 2

b/ Ta có g x 0 g 1  2

Với mọi x ≠ 1, ta có:    

g x



2

x 1

Vậy hàm số g gián đoạn tại điểm x 0 1

Bài toán 2 Xét sự liên tục của hàm số

a/       



2 2

x 1 khi x 0

f x

x 2 khi x 0 tại x = 0

b/

 

 

 



1

khi x 1

x 2

g x

1

khi x 1

a/ Ta có: x 0 lim f ( x ) lim( x 1) x 0 2 1

2

x 0 lim f ( x ) lim( x x 0 1) 2 x 0 lim f ( x )

Do đó không tồn tại lim f ( x ) x 0

 nên hàm số gián đoạn tại x = 0

1

x

Do đó lim g( x ) x 1 1 g( 1)

nên hàm số g liên tục tại x = 1

Bài toán 3 Xét sự liên tục của hàm số

a/ f ( x ) tại x = 0x

b/

2

g( x )

x 5





 tại x = 5

Giải

a/ Ta có f ( 0 ) 0 và

lim f ( x ) lim x 0 f ( 0 )

Vậy f liên tục tại x = 0

b/ Ta có x = 5 không thuộc tập xác định nên hàm số f gián đoạn

tại x = 5

Bài toán 4 Xét sự liên tục của hàm số

a/

f ( x ) x x 3

x 2



b/

3



 



Giải

a/ Điều kiện x 2 nên D ( ;2 ) ( 2;  )

Với mọi

0

0

Vậy f liên tục trên D

b/ Tập xác định D = R.

Với

thì

3

g( x )

4x 8





 là hàm phân thức nên liên tục

Với

thì

g( 2 ) 3 

và

2

x 2

4



: liên tục Vậy g liên tục trên R.

Bài toán 5 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại x = 2.

a/

2

2

khi x 2

mx m 1 khi x 2







x 2 2

khi x 2





   



a/ Ta có f(2) = 2m + m + 1 = 3m + 1

x 2 lim f ( x ) 2m m 1 3m 1 f ( 2 )

và

2 2

Hàm số f liên tục tại điểm x = 2 khi và chỉ khi

x 2 x 2

b/ Ta có g(2) = 4 – 6m



 

 

x 2

lim

Hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi:

x 2

Bài toán 6 Tìm các giá trị tham số a để hàm số liên tục trên R.

a/

2

a cos x 5 khi x 0



 



b/

2



 



Giải

a/ Với x > 0 thì

2

f ( x ) x sin

x



liên tục

Với x < 0 thì f ( x ) a cos x 5  liên tục

Với x = 0 thì f ( 0 ) a.cos 0 5 a 5    

x 0 lim f ( x ) lim( a cos x 5 ) a 5 x 0 f ( 0 )

x 0 x 0

2 lim f ( x ) lim x sin 0

x

(vì

2

)

Vậy hàm số liên tục trên R    a 5 0 a 5

b/Với

thì

2

f ( x ) 6ax

x

liên tục Với x = 0 thì f(0) = 1

x

x

x

x

Vì f gián đoạn tại x = 0 với mọi a nên không tồn tại a để hàm số liên tục trên R.

Bài toán 7 Tìm các giá trị của tham số a và b để hàm số liên tục tại x = 1.

2

khi x 1





Giải

Ta có f(1) = 12 – b và

2

lim f ( x ) lim

x 1





Vì mẫu thức  0 và tử thức  -3 + a

Giả sử a 3 thì giới hạn là  hay  không liên tục: loại

Do đó a = 3, khi đó

2

Hàm số f liên tục tại điểm x = 1 khi và chỉ khi a = 3 và

x 1

Vậy điều kiện cần tìm là a = 3 và b = 14

Dạng toán 3 NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH Định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục:

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] Nếu f ( a ) f ( b ) thì với mỗi số thực M nằm giữa f ( a ) và f ( b ) ,

tồn tại ít nhất một điểm c  (a;b) sao cho f ( c ) = M.

- Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f ( a ) f ( b ) 0 tồn tại ít nhất một điểm c  (a;b) sao cho

f ( c ) 0  , tức là phương trình f ( x ) 0 có ít nhất một nghiệm x = c thuộc khoảng (a;b)

Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f ( a ) f ( b ) 0  thì đồ thị của hàm số y f ( x ) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c(a;b)

Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm

Ta có thể xét hàm số y f ( x ), kiểm tra tính chất liên tục.

Trên miền liên tục đó, tìm chọn 2 giá trị a, b phân biệt mà f ( a ) f ( b ) 0

- Nếu f ( x ) liên tục trên đoạn [a,b] và f ( a ) f ( b ) 0  thì tồn tại c thuộc khoảng (a;b) để f ( c ) 0 tức là

phương trình f ( x ) 0 có nghiệm x = c thuộc khoảng (a;b)

- Nếu f ( x ) liên tục trên đoạn [a;b] và f ( a ) f ( b ) 0  thì tồn tại c thuộc đoạn [a;b] để f ( c ) 0 tức là

phương trình f ( x ) 0 có nghiệm x = c thuộc đoạn [a;b]

Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm

Ta có thể xét hàm số y f ( x ), kiểm tra tính chất liên tục.

Trên miền liên tục đó, tìm chọn k + 1 giá trị 12   k 1 mà k + 1 giá trị hàm số tương ứng

f ( ); f( ); ; f (  ) đổi dấu liên tiếp.

Từ đó suy ra phương trình f ( x ) 0 có ít nhất k nghiệm thuộc k khoảng rời nhau

( ; ),( ; ), ,( ;  ).

Chú ý:

1/ Nếu có x lim f ( x )

  

thì tồn tại a < 0, a khá lớn để f ( a ) 0. Nếu có x lim f ( x )

  

thì tồn tại b > 0, b khá lớn để f (b) 0.

2/ Bài toán chứng minh phương trình f ( x ) g( x ) có nghiệm

Đặt hàm số h( x ) f ( x ) g( x ) , từ đó đưa về bài toán chứng minh h( x ) 0 có nghiệm

3/ Bài toán chứng minh phương trình f ( x ) 0 có nghiệm thuộc khoảng (a;b)

- Nếu f ( x ) liên tục trên đoạn [a;b] và f ( a ) f ( b ) 0  thì tồn tại c thuộc khoảng (a;b) để f ( c ) 0 tức là

phương trình f ( x ) 0 có nghiệm x = c thuộc khoảng (a;b)

- Nếu f ( x ) liên tục trên đoạn [a;b] và f ( a ) f ( b ) 0 thì ta phải chọn đoạn [c;d] mà [c;d] [a;b] và

f (c) f (d) 0 để đưa về trường hợp trên

4/ Các định nghĩa và định lý về hàm liên tục Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng,…

Bài toán 1 Chứng minh phương trình 3x 312x 1 0  có ít nhất một nghiệm

Giải

Đặt f ( x ) 3x 312x 1 thì f liên tục trên R

Ta có f ( 0 ) 1, f ( 1) 14 do đó f ( 0 ) f ( 1) 0 nên  x 0 ( 0;1) để f ( x ) 0 0 

Vậy phương trình 3x 312x 1 0  có ít nhất một nghiệm

Bài toán 2 Chứng minh rằng phương trình x cosx x sin x 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 2   

 )

Giải

f ( x ) x cosx x sin x 1 liên tục trên đoạn [ 0; ], f ( 0 ) 1 0, f ( ) 1     2  0.

Vì f(0) và f(1) trái dấu nên, theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực c  (0; ) sao cho ( ) 0f c  tức là phương trình đã cho có nghiệm x(0; ).

Bài toán 3 Chứng minh rằng phương trình x 3   có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1.x 1 0

Giải

Hàm số f x x 3  liên tục trên đoạn [-1;0].x 1

Ta có f   1 1 và f  0 1 Vì f   1 f 0 0 nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của

hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một điểm c  1;0 sao cho  f c  0 vì c  1 nên đó là nghiệm âm lớn hơn -1 của phương trình đã cho

Bài toán 4 Chứng minh phương trình 3x 4 4x 36 x 212x 20 0  có ít nhất 2 nghiệm

Giải

Đặt f ( x ) 3x 44x 36 x 212x 20 thì f liên tục trên R

Ta có f ( 0 )  20

Mặt khác: x lim f ( x )

  

nên tồn tại x 10

để f ( x ) 0 1 

vàx lim f ( x )

  

nên tồn tại x 2 0

để f ( x ) 0 2 

do đó f ( 0 ) f (x ) 0 1  và f ( 0 ) f (x ) 0 2 

nên  x0



(x1;0) và x , 0( 0; x ) 2 để f ( x ) 0 0  và ,

0

f ( x ) 0 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

Bài toán 5 Chứng minh phương trình 2x 36 x 1 0  có 3 nghiệm phân biệt

Giải

Đặt f ( x ) 2x 36 x 1 thì f liên tục trên R

f ( 0 ) 1, f ( 1)  3, f ( 2 ) 5, f ( 2 )    3 f ( 2 ) f ( 0 ) 0; f ( 0 ) f( 1) 0; f( 1) f( 2 ) 0.   

Vậy phương trình có 3 nghiệm trên các khoảng (-2;0); (0;1) và (1;2)

Bài toán 6 Chứng minh phương trình x 55x 34x 1 0  có 5 nghiệm phân biệt

Giải

Xét hàm số f ( x ) x 55x 34x 1 , khi đó f(x) liên tục trên R

Ta có f ( 2 )  1, f(3 )73 , f ( 0 ) 1, f ( ) 1 13 , f ( 1) 1, f ( 3 ) 119

do đó

f ( 2 ) f( ) 0; f( ) f ( 0 ) 0; f( 0 ) f( ) 0; f ( ) f ( 1) 0; f ( 1) f ( 3 ) 119 0

Nên phương trình có 5 nghiệm thuộc 5 khoảng rời nhau:

( 2, ), ( ,0 ), ( 0, ), ( ,1)

( 1,3 ).

Vậy phương trình có 5 nghiệm phân biệt

Bài toán 7 Chứng minh phương trình m( x 3 )( x 5 ) x   2 15 0 luôn luôn có nghiệm với mọi m

Giải

Xét f ( x ) m( x 3 )( x 5 ) x    215, khi đó f liên tục trên R

Ta có: f ( 3 )   và f ( 5 ) 10 6 

Do đó f ( 3 ) f ( 5 ) 0, m. 

Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m

Bài toán 8 Chứng minh phương trình ab( x a )( x b ) bc( x b )(x c) ca( x c )( x a ) 0 luôn có          nghiệm với mọi a,b,c

Giải

Đặt f ( x ) ab( x a )( x b ) bc( x b )(x c) ca( x c )( x a ) thì f liên tục trên D = R.        

Ta có:

f ( a ) bc( a b )( a c ), f(b) ac(b a )(b c), f(c) ab(c a)(c b)        

nên f ( a ) f(b) f(c) a b c ( a b ) ( b c ) ( c a ) 2 2 2  2  2  2  0

Do đó trong 3 giá trị f ( a ), f ( b ), f ( c ) có một giá trị không dương, giả sử là f (a)

Mà f ( 0 ) a b 2 2b c 2 2a c 2 2  nên f ( a ).f (0 ) 0 0  và f liên tục trên R

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi a,b,c

Bài toán 9 Chứng minh mọi phương trình bậc 3 đều có ít nhất một nghiệm

Giải

Xét phương trình bậc 3: ax3 + bx2 + cx + d = 0, a  0

Chia 2 vế cho a thì có phương trình: x3 + Bx2 + Cx + D = 0

Đặt f ( x ) x 3Bx 2 Cx D thì f liên tục trên R

Ta có x lim f ( x )

  

nên tồn tại p < 0 để f (p) 0

và x lim f ( x )

  

nên tồn tại q > 0 để f ( q ) 0

Do đó f ( p ) f ( q ) 0 Suy ra đpcm

Tổng quát mọi phương trình bậc lẻ đều có ít nhất 1 nghiệm

Bài toán 10 Chứng minh phương trình sau luôn luôn có nghiệm với mọi tham số:

Giải

Xét hàm số f ( x ) a.sin3x b.cos 2x c.cos x s inx , khi đó f(x) liên tục trên R   

Ta có f ( 0 ) b c, f ( 2 ) a b 1



3

2



nên

3

với mọi a,b,c

do đó tồn tại 2 giá trị

3

  

  thỏa mãn

f ( p ) f ( q ) 0

nên phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi tham số a,b,c

Bài toán 11 Chứng minh phương trình ax 2bx c 0  luôn luôn có nghiệm với mọi tham số:

0, m 0.

Giải

Xét f ( x ) ax 2bx c , khi đó f(x) liên tục trên R Ta có f(0) = c

Và

0

nên

f

2

Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi tham số a,b,c,m

Bài toán 12 Chứng minh phương trình ax 2bx c 0  luôn luôn có nghiệm với mọi tham số trong trường hợp: 5a + 4b +6c = 0

Giải

Xét f(x)=ax 2bx c , khi đó f(x) liên tục trên R

Ta có