Hàm số liên tục

số hàm củathị đồ phác Vẽ... số hàm củathị đồ phác Vẽ... số hàm củathị đồ phác Vẽ... số hàm củathị đồ phác Vẽ... Các hàm số có tính chất giới hạn và giá trị của hàm số tại một điểm mà nó

)(x x

nếu

1 x

nếu

3

2 )

nếu

1 x

nếu 2

)

(x x

f

Đối với các hàm số trên các em hãy

)

(x

f

1 x

limvà

f(1)

Tính

→

có)nếu

limvà

f(1)

đườngmột

là có

nàythị

Đồ

số hàm

củathị

đồ phác

Vẽ

)(x x

limvà

f(1)

Tính

→

có)nếu

limvà

f(1)

đườngmột

là có

nàythị

Đồ

số hàm

củathị

đồ phác

Vẽ

) (

) 1 ( )

nếu

1 x

nếu

3

2 )

limvà

f(1)

Tính

→

có)nếu

limvà

f(1)

đườngmột

là có

nàythị

Đồ

số hàm

củathị

đồ phác

Vẽ

neáu

3

1 x

neáu

2 )

f

3 )

1

f

2 )

2 ( lim )

) 1 ( )

nếu

1 x

nếu 2

)

(x x f

)

(x

f

1 x

limvà

f(1)

Tính

→

có)nếu

limvà

f(1)

đườngmột

là có

nàythị

Đồ

số hàm

củathị

đồ phác

Vẽ

nếu

2

1 x

nếu

)

( x x

f

1 )

1

f

1 lim

) (

lim

2 2

lim )

( lim

1 1

f

x f

x x

x x

) (

lim

1 f x

x→

tại tồn

2

y=x

y=2

y

x

o 1 1

Đồ thị không là một đường liền nét

Đồ thị là một đường liền nét

) 1 ( )

) 1 (

f

=

Hàm số phải thỏa điều kiện

) (

lim

x →

Các hàm số có tính chất giới hạn và

giá trị của hàm số tại một điểm mà nó xác định là bằng nhau đóng một vai trò rất quan trọng trong giải tích và trong các nghành toán học khác Người ta

gọi đó là các hàm số liên tục

HÀM SỐ LIÊN TỤC

Dựa vào ví dụ vừa nêu các em hãy thử

nêu định nghĩa khái niệm

Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) và

x0∈ (a;b)

1.Hàm số liên tục tại một điểm:

và x0∈ (a;b)

) (

) (

0

x f

Nếu tại điểm x0 hàm số f(x)

được gọi là điểm gián đoạn của hàm số.

Dựa vào định lý về sự tồn tại giới hạn của

hàm số tại một điểm ta có định lý sau:

Hàm số f liên tục tại điểm x 0 khi và chỉ khi

) (

) (

lim )

(

0 0

x f

x f

x

f

x x

), (

lim

0 0

x f x

f

x x x

x→ − → +

đều tồn tại và bằng L

Hoạt động cá nhân

x neáu

2

1 x

neáu

1

1 )

(

2

x

x x

f

Xét tính liên tục của hàm số đã cho tại điểm x0=1

neáu

2

1 x

neáu

1

1 )

(

2

x

x x

f

Ta có:

2 )

1

f

2 )

1 (

lim

1

) 1 )(

1

( lim 1

1 lim

) ( lim

1 1

2 1

1

= +

x x

f

x

x x

( lim

) 2 ( )

neáu

2

1 x

neáu

1

1 )

(

2

x

x x

f

y

x o

1

Minh họa

Hoạt động cá nhân

neáu

x

0 x

neáu

1

x )

(

2

x f

tại điểm x0=0

neáu

x

0 x

neáu

1

x )

(

2

x f

(2)

1 )

1 (

lim )

neáu

x

0 x

neáu

1

x )

(

2

x f

y

x o

1

y=x

y=x 2 +1

Dựa vào các ví dụ vừa thực hiện các em hãy nêu quy trình xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

thành từng bước

Phương pháp xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại một điểm x 0

Giới hạn không tồn tại f không liên tục tại x 0

Giới hạn tồn tại tiếp tục bước 3 Bước 3: So sánh

Bằng nhau f liên tục tại x 0 Không bằng nhau f không liên tục tại x 0

2 Hàm số liên tục trên một khoảng , trên một đọan:

Định nghĩa 1:

Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi

là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy.

Định nghĩa 2:

Hàm số f(x) xác định trên đọan [a;b] được gọi

là liên tục trên đọan đó, nếu nó liên tục trên

khoảng (a;b) và

) (

) (

lim

) (

) (

Ví dụ:

f(x) = x2 trên (-2;2)

Xét tính liên tục của hàm số f(x) = x2 trên (-2;2)

) 2

; 2

lim )

(

x x x

Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó

2 -2

4

x y

0

Các em hãy cùng

nhóm của mình thực hiện bài toán sau

neáu

2 x

neáu

2

7 5

2 )

(

a x

x

x x

f

Tìm a để hàm số f liên tục tại x0=2

neáu

2 x

neáu

2

7 5

2 )

(

a x

x

x x

f

Ta có: f(2)=a (1) và:

6

1 7

5 2

1 lim

) 7 5

2 )(

2 (

2 lim

) 7 5

2 )(

2 (

) 7 (

) 5 2

( lim

) 7 5

2 )(

2 (

) 7 5

2 )(

7 5

2

( lim 2

7 5

2 lim )

(

lim

2

2 2

2 2

2

= + +

+

= +

+ +

−

−

= +

+ +

+

−

+ +

+ +

x x

x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

f

x

x x

x x

x

(2)

Từ (1) và (2) theo định nghĩa ta suy ra:

Một số nhà toán học

Bolzano 1781-1848

1789-1857

1815-1897