hinh giai tich oxyz trong cac de thi

Viết phương trình mặt phẳng P qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM... Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt mặt phẳng P

trung điểm của đoạn MN

Bài giải:

Ta có:

1 2:

Đề 04: B- 2012 (2) Cho A(0;0;3 , ) M(1;2;0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các

trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM

Bài giải:

Do B Ox C Oy∈ , ∈ nên tọa độ B, C có dạng B b( ;0;0 ,) C(0; ;0c )

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra ; ;1

Đề 05: D- 2012 (1) Cho mặt phẳng (P): 2x y+ −2z+10 0= và điểm I(2;1;3) Viết phương trình

mặt cầu tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4

Bài giải:

Gọi H là hình chiếu của I trên (P), suy ra H là tâm đường tròn giao tuyến của mặt phẳng

(P) và mặt cầu (S) cần viết phương trình

Do đó có 2 điểm M thỏa yêu cầu bài toán là (1; 1;0 ,) 7; 5 2;

3 3 3

Đề 07: A- 2011 (1) Cho hai điểm A(2;0;1 , ) (B 0; 2;3− ) và mặt phẳng ( )P : 2x− − + =y z 4 0

Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA= MB=3

Đề 08: A- 2011 (2) Cho mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−4x−4y−4z=0 và điểm A(4;4;0) Viết

phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều

(P) đi qua O có phương trình dạng: ax+by+cz=0 (a2+b2+c2 >0 (*))

(P) đi qua A, suy ra: 4a+4b= ⇒ = −0 b a

B Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho ∆ MAB có diện tích bằng 3 5

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Bài giải:

Gọi M∈ ∆, suy ra tọa độ M có dạng M(− +2 t;1 3 ; 5 2 + t − − t)

Bài giải:

Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với d, có phương trình: 2x+ −y 2z+ =2 0

Gọi B là giao điểm của trục Ox với (P), suy ra ∆ là đường thẳng đi qua các điểm A, B

Gọi I là tâm của mặt cầu Do I∈ ∆ ⇒ I(1 2 ;3 4 ;+ t + t t)

Mặt cầu tiếp xúc với (P) d ,( ( ) ) 1 2 1 2( ) (3 4 ) 2 1 2

P

Gọi (S) là mặt cầu tõm A, cắt ∆ tại B và C sao cho BC=8 Suy ra bỏn kớnh của (S) là:R=5

Đề 15: B- 2010 (1) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm (1;0;0), (0; ;0), (0;0; ), A B b C c

trong đó , 0 và mặt phẳng ( ) : 1 0 Xác định và , biết mặt phẳng (ABC) vuông

1góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng

Bài giải:

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0;1;0) và cú vectơ chỉ phương v =(2;1;2)

Do M thuộc trục hoành, nờn M cú tọa độ (t;0;0), suy ra: AM =(t; 1;0− )

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014

3Cho ®−êng th¼ng :

Đề 21: B-2009 (1) Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1 ,) B(−2;1;3 , ) (C 2; 1;1− ) và D(0;3;1)

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách

từ D đến (P)

Bài giải:

Mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: (P) đi qua A, B và song song với CD

Vec tơ pháp tuyến của (P): n= AB CD, 

( 3; 1;2 , ) ( 8; 4; 14) ( 8; 4; 14)

Phương trình (P): 4x+2y+7z−15 0=

Trường hợp 2: (P) qua A, B và cắt CD Suy ra (P) cắt CD tại trung điểm I của CD

Ta có: I(1;1;1)⇒ AI =(0; 1;0− ); vectơ pháp tuyến của (P): = , =(2;0;3)

n AB AI

Phương trình (P): 2x+3z− =5 0

Vậy (P): 4x+2y+7z−15 0= hoặc (P): 2x+3z− =5 0

Đề 22: B-2009 (2) Cho mặt phẳng ( )P : x−2y+2z− = và hai điểm 5 0 A(−3;0;1 , 1; 1;3) (B − )

Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà

khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất

Bài giải:

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm; ∆ nằm trong mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P)

Phương trình (Q): x−2y+2z+ =1 0

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014

K, H là hình chiếu của B lên ∆ , (Q) Ta có BK ≥ BH

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): n=(1;2; 3− ), vectơ chỉ phương của ∆:u =(1;1; 1− )

Đường thẳng d cần tìm qua I và có vectơ chỉ phương v =[ ]n u, =(1; 2; 1− − )

a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d

b) Viết phương trình mp(α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất

Bài giải:

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u =(2;1;2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d, suy ra H(1 2 ; ;2 2 ; + t t + t) AH=(2t−1;t−5;2t−1 )

B

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C

b) Tìm toạ độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y + − = sao cho MA MB MC z 3 0 = =

Đề 27: D-2008 Cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3)

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là: mx+ny+pz+ =q 0 (m2+n2+ p2 >0)

Thay tọa độ các điểm A, B, C vào phương trình ta được:

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014

b) Gọi I là giao điểm của d1 và d2 Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt thuộc d1, d2sao cho

tam giác IAB cân tại I và có diện tích bằng 41

Vậy d1 cắt d2tại giao điểm I(1;1;2)

b) d1 đi qua điểm M1(3;3;3) có vectơ chỉ phương u1 =(2;2;1);

2

d là giao tuyến hai mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến lần lượt là n1=(5; 6; 6)− − ; n2 =(1; 6;6)− nên

có vectơ chỉ phương là [n n1; 2]= −( 72; 36; 24− − ) Chọn vectơ chỉ phương là u2 =(6;3;2)

Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2

Ta có A=d1∩( )S nên tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình

3 2

3 23( 1) ( 1) ( 2) 1

a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P)

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một

Phương trình mặt cầu: ( ) :S x2+y2+z2−2x−4y−6z+ =1 0 có tâm I(1;2;3)

b) Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính lớn nhất là mặt phẳng đi qua tâm I của

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n=(35; 9;11− ) nên có phương trình

thẳng d1 và d2 chéo nhau

b) Tìm điểm C thuộc d1 sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất

đó

Bài giải:

a) Đường thẳng d1 qua điểm M(3;0;5) và nhận u1=(2;9;1) làm vectơ chỉ phương

Đường thẳng d2 đi qua điểm A(5;4;3) và nhận u2 =AB =(1;3; 1)− làm vectơ chỉ phương nên có

Vậy hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau

b) Ta có: C thuộc đường thẳng d1 nên tọa độ (3 2 ;9 ; 5C + t t − +t) và AC=(2t−2;9t−4;t−8)



x y

x y z

a) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho thể tích của tứ diện ABCD bằng 1

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác ABC và

vuông góc với mặt phẳng (ABC)

a) Tìm tọa độ giao điểm của d với (α) Tính sin của góc giữa d và (α)

b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) và (Oxy)

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014

Đề 33: A-2007 Cho hai đường thẳng 1: 1 2

a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau

b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x+ −y 4z= và cắt 0

hai đường thẳng d1 và d2

Bài giải:

a) + d1 đi qua M(0;1; 2− ), có vectơ chỉ phương u1 =(2; 1;1 ,− )

+ d2 đi qua N(−1;1;3), có vectơ chỉ phương u2 =(2;1;0 )

Vậy khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất khi M(− − −1; 1; 3)

Đề 35: D- 2007 Cho hai điểm A(1;4;2 ,) (B −1;2;4) và đường thẳng : 1 2

Đề 36: Dự bị 1-A-2007 Cho 2 điểm A(−1;3; 2 ,− ) (B −3;7; 18− ) và mp( )P : 2x− + + =y z 1 0

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P)

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MA MB+ nhỏ nhất

Bài giải:

a) Ta có AB= −( 2;4; 16)− cùng phương với a= −( 1;2; 8− )

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n=(2; 1;1− ) Ta có [ ]n a, =(6;15;3) cùng phương với (2;5;1)

Phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (P) là:

2 x+ +1 5 y−3 +1 z+2 = ⇔0 2x+5y+ −z 11 0=

b) Vì khoảng cách đại số của A và B cùng dấu nên A, B ở cùng phía với mặt phẳng (P) Gọi A' là

điểm đối xứng với A qua (P) Phương trình AA' : 1 3 2

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014

Phương trình đường thẳng A'B : 3 1

a) Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau

b) Viết phương trình đường thẳng //∆ d và cắt các đường thẳng AB, OC

Bài giải:

a) Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là ( 2;4;0)− hay a= −( 1;2;0), vectơ chỉ phương

của đường thẳng OC là (2;4;6) hay b =(1;2;3)

Phương trình mặt phẳng (β) qua O có vectơ pháp tuyến là n=(3; 3;1− ): ( )β : 3x−3y+ = z 0

Vậy phương trình đường thẳng ∆ song song với d cắt AB, BC là: 6 3 2 12 0

a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P)

b) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho 2 2

Vậy đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại I(−1;3; 2− )

b) Gọi H là trung điểm của đoạn AB

Tam giác MAB có trung tuyến MH nên:

a) Chứng minh rằng mặt phẳng ( )P : x+2y− =9 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính

MO Tìm toạ độ tiếp điểm

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương ứng B, C sao cho V OABC =3 (đ.v.t.t )

Vậy (P) tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO

Phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) là:

Vậy tọa độ tiếp điểm I của mặt cầu với mặt phẳng (P) là t(3;3;6)

b) Gọi b là tung độ của B, c là cao độ của điểm C

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014

b) Viết phương trình ∆ ⊂ P sao cho ∆ ⊥ d và ( ) d(M,∆ =) 42

Bài giải:

a) Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

Phương trình số của d:

3 221

d

d'

a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 và (Q) vuông góc với (P)

b) Tìm các điểm M∈d1 , N d∈ 2 sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2

Bài giải:

a) d1 đi qua A(1;3;0)và có vectơ chỉ phương a=(2; 3;2− ) Mặt phẳng (P) có PVT n P =(1; 2;2− )

Mặt phẳng (Q) chứa d1 và ⊥ (P) nên (Q) có vectơ pháp tuyến n Q =a n, P = − − −( 2; 2; 1)

A Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN

b) Viết phương trình mp chứa A'C và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc α biết cos 1

⇒A C MN =

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A' 0;0;1( ), có vec tơ pháp tuyến là n=(1;0;1), có phương trình là:

Mặt phẳng (Q) có vec tơ pháp tuyến n=(a b a; ; +b), mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến k =(0;0;1)

Vì góc giữa (Q) và (Oxy) là α mà cos 1

26

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A ,đồng thời song song với d1 và d2

b) Tìm toạ độ điểm N thuộc d1 và điểm M thuộc d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng

Bài giải:

a) Vectơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là: u1=(2;1; 1− ) và u2 =(1; 2;1− )

⇒ Vectơ pháp tuyến của (P) là: Vectơ n=[u u1, 2]= − − −( 1; 3; 5 )

a) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1

b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2

Vì A’ đối xứng với A qua d1 nên H là trung điểm của AA’⇒ A' 1; 4;1 (− − )

b) Vì ∆ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2, nên ∆ đi qua giao điểm B của d2 và ( )α

Tọa độ giao điểm B của d2 và ( )α là nghiệm của hệ:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có A(0;0;0 , ) (B 2;0;0 , ) (C 0;2;0 , ' 0;0;2 ) A ( )

a) Chứng minh A'C vuông góc với BC' Viết phương trình mặt phẳng (ABC')

b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B'C' trên mặt phẳng (ABC')

Đề 46: Dự bị 2- A- 2006

Cho mặt phẳng ( )α : 3 2x + y− + = và hai điểm z 4 0 A(4;0;0 , ) (B 0;4;0).Gọi I là trung điểm

của đoạn thẳng AB

a) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng ( )α

b) Xác định toạ độ K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng ( )α , đồng thời K cách đều gốc

b) Xác định điểm A trên d1và điểm B trên d2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất

Đề 48: Dự bị 2 - B- 2006 Cho mp( )P : 2x− +y 2z+ = và các điểm5 0 A(0;0;4 , ) (B 2;0;0 )

a) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P)

b) Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P)

Đề 49: Dự bị 1- D-2006

Đề 50:

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014

a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau

b) Viết phương trình đường thẳng ∆ ⊂ P , đồng thời cắt cả ( ) d1 và d2

Đề 51: A-2005 Cho đường thẳng : 1 3 3

b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình tham

số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông góc với d

Bài giải:

a) Phương trình tham số của d:

1

3 23

b) Vì A d∈ ⇒ A(1− − +t; 3 2 ;3t + t)

Ta có A∈( )P ⇔ 2 1( − + − +t) ( 3 2t) (−2 3+ + = ⇔ = t) 9 0 t 1

Vậy A(0; 1;4− )

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n=(2;1; 2 − )

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u= −( 1;2;1 )

Vì ∆ ⊂( )P và ∆ ⊥ nên ∆ có vectơ chỉ phương d u∆ =[ ]n u, =(5;0;5)

Phương trình tham số của : 1

4

x t y

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; 3;0 , − ) (B 4;0;0 , ) (C 0;3;0 , ) B1(4;0;4 )

a) Tìm toạ độ các đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt

phẳng (BCC1B1)

b) Gọi M là trung điểm của A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, M và

song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N Tính độ dài MN

Bài giải:

a) A1(0; 3;4 ,− ) C1(0;3;4)⇒BC = −( 4;3;0 ,) BB1 =(0;0;4)

Vec tơ pháp tuyến của (BCC B là 1 1) n=BC BB, 1 =(12;16;0)

Phương trình mặt phẳng (BCC B : 1 1) 12(x−4)+16y= ⇔0 3x+4y−12 0=

Bán kính mặt cầu: ( ( 1 1) ) 2 2

12 12 24,

5

3 4d

Ta thấy B(4;0;0) ( )∉ P Do đó (P) đi qua A, M và song song với BC 1

Ta có: A C1 1=(0;6;0) Phương trình tham số của đường thẳng A C là: 1 1

034

a) Chứng minh rằng d1 và d2 song song với nhau Viết phương trình mặt phẳng (P)

chứa cả hai đường thẳng d1 và d2

b) Mặt phẳng toạ dộ Oxy cắt hai đường thẳng d1 và d2lần lượt tại các điểm A, B

Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ)

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O và vuông góc với BC Tìm tọa độ giao

điểm của AC với mặt phẳng (P)

b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ

⇒ AB AC = − = ⇔1 1 0 AB⊥ AC ⇒ ∆ABC vuông tại A

Ta dễ thấy ∆BOC cũng vuông tại O Do đó A, O nhìn đoạn BC dưới 1 góc vuông Do đó A, O

nằm trên mặt cầu đường kính BC, có tâm I là trung điểm của BC Ta dễ dàng tìm được I(0;1;1)

a) Tìm tọa độ điểm B thuộc mp(Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật Viết

phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, B, C, S

b) Tìm tọa độ điểmA1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC

Bài giải:

a) Tứ giác OABC là hình chữ nhật ⇒ OC= AB ⇒ B(2;4;0)

* Đoạn OB có trung điểm là H(1;2;0) Điểm H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

vuông OBC Vì A, O, C cùng nhìn SB dưới một góc vuông nên trung điểm I(1;2;2) là tâm mặt

cầu và bán kính R = 1 1 4 16 16 3

2SB= 2 + + = , Vậy phương trình mặt cầu là ( ) (2 )2 2

Pt tham số đường thẳng SC:

04

Mp(P) qua A(2;0;0) và vuông góc với SC có phương trình là: 0(x−2)+ − = ⇔ − =y z 0 y z 0

Thế phương trình tham số của SC và phương trình (P)⇒ = và suy ra t 2 M(0;2;2)

Gọi A x y z1( ; ; ) là điểm đối xứng với A qua SC

Có M là trung điểm của AA1 nên

a) Xét vị trí tương đối của d1 và d2

b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Bài giải:

a) Tìm M1 là h/c của M lên mp (P) Mp (P) có vectơ pháp tuyến n=(2;2; 1− )

Phương trình tham số MM1 qua M và ⊥ P là ( )

5 2

2 23

Đề 58: Dự bị D-1 2005 Cho lăng trụ đứng OAB.O A B với 1 1 1 A(2;0;0 , ) (B 0;4;0 , ) O1(0;0;4)

a) Tìm tọa độ các điểm A B1, 1 Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, O 1

b) Gọi M là trung điểm của AB Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O A và cắt 1

OA, OA lần lượt tại N, K Tính độ dài đoạn KN 1

Viết phương trình mặt cầu (S) qua O, A, B, O1

Gọi phương trình mặt cầu (S):