Ứng dụng phương pháp xác định góc để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THỪA THIấN HUẾtrườngưtrungưhọcưphổưthôngưvinhưxuân      — — –      sángưkiếnưkinhưnghiệm Bộ mụn: Toỏn học đềưtài: ứng dụng của ph ơng pháp xác định góc

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THỪA THIấN HUẾ

trườngưtrungưhọcưphổưthôngưvinhưxuân

     — — –     

sángưkiếnưkinhưnghiệm

Bộ mụn: Toỏn học

đềưtài:

ứng dụng của ph ơng pháp xác định góc

để giảI các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học

Họ và tờn: lê-viết-hòa Tổ: Toỏn

Đơn vị: Trường THPT Vinh Xuõn

Vinh Xuõn, thỏng 03 năm 2014

MỤC LỤC Trang

Phần 1 - MỞ ĐẦU……… …… …… ……2

1.1 - Lý do chọn đề tài 1.2 - Mục đích nghiên cứu đề tài 1.3 - Phạm vi nghiên cứu đề tài 1.4 - Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 1.5 - Phương pháp nghiên cứu đề tài Phần 2 - NỘI DUNG ……… … … 3

2.1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT……… ……3

2.2 - CÁC BƯỚC CƠ BẢN ĐỂ XÁC ĐỊNH GÓC ……… 4

2.3 - CÁC VÍ DỤ MINH HỌA……… …….6

2.4 - BÀI TẬP……… ……14

Phần 3 - KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ ……… …… …15

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 16

     — — –     

Phần 1 - MỞ ĐẦU 1.1 - Lý do chọn đề tài

Tiếp theo đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định hình chiếu một

điểm lên mặt phẳng để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học” mà tôi đã có dịp trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm năm học

2012-2013 thì trong lần này tôi có dịp trình bày đề tài “Ứng dụng của phương

pháp xác định góc để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học” nhằm hoàn thiện hơn về mặt phương pháp giải quyết bài toán “Tính thể tích của khối đa diện, khoảng cách và góc” trong chương trình môn Toán

ở trường Trung học phổ thông (THPT) Đây là vấn đề mấu chốt để giải nhiều bài toán tính thể tích của khối đa diện, tính khoảng cách và góc mà đòi hỏi người học phải nắm vững cách xác định góc để tính khoảng cách, từ đó mới tính được thể tích của khối đa diện

Mặt khác, các dạng toán về tính thể tích của khối đa diện, tính khoảng cách và góc lại đa dạng, phong phú mà trong thời lượng có hạn ở lớp thì giáo viên cũng khó truyền đạt hết được Hơn nữa kỹ năng xác định góc đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kỹ năng cơ bản về quan hệ vuông góc, quan hệ song song ở chương trình môn toán lớp 11 mà đa số học sinh không theo kịp

1.2 - Mục đích nghiên cứu đề tài

Đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định góc để giải các bài toán

hình học không gian trong các đề thi đại học” này sẽ giúp học sinh hệ thống

được cách xác định góc; rèn luyện cho học sinh hệ thống kỹ năng giải quyết các bài toán tính thể tích của khối đa diện, tính khoảng cách và góc thường gặp trong chương trình Toán THPT thông qua việc xác định góc

1.3 - Phạm vi nghiên cứu đề tài

1.3.1 Khách thể: Chương trình môn Toán THPT.

1.3.2 Đối tượng: Các bài toán về “Hình học không gian trong các đề thi đại

học-cao đẳng”

1.4 - Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định góc để giải các bài toán

hình học không gian trong các đề thi đại học” cung cấp cho học sinh về

phương pháp, kỹ năng và hệ thống bài tập về “Tính thể tích của khối đa diện,

khoảng cách và góc” từ các bài toán đã được ra trong các đề thi Đại học-Cao

đẳng thông qua việc xác định góc

1.5 - Phương pháp nghiên cứu đề tài

Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp phân tích và tổng hợp lý

thuyết

Phần 2 - NỘI DUNG

2.1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2 1.1 Khái niệm góc giữa hai đường thẳng

a Khái niệm

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không

gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng

đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b

(H.1).

(Hình học 11, trang 95, nxb GD 2007)

b Chú ý: 00  a b—, 900

2 1.2.Khái niệm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

a Khái niệm

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α).).

+ Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt

phẳng (α).) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và

mặt phẳng (α).) bằng 90 0

+ Trường hợp đường thẳng d không vuông góc

với mặt phẳng (α).) thì góc giữa d và hình chiếu d’

của nó trên (α).) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).).

(Hình học 11, trang 103, nxb GD 2007)

b Chú ý: 00 a—,  900

2 1.3.Khái niệm góc giữa hai mặt phẳng

a Khái niệm

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai

đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt

phẳng đó (H.3).

(Hình học 11, trang 106, nxb GD 2007)

b Chú ý: 00      — ,  900

aa

a’ b’ b

O H.1

d

A

d' H O H.2

φ (

α)

β) α

m

n

H.3

2.2 - CÁC BƯỚC CƠ BẢN ĐỂ XÁC ĐỊNH GÓC

Sẽ có nhiều cách khác nhau trong việc xác định các loại góc: góc giữa hai đường thẳng; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng Sau đây, chỉ xin trình bày một số cách thường dùng để xác định các loại góc ở trên mà học sinh có thể dễ áp dụng trong thực hành giải toán

2 2.1.Xác định góc giữa hai đường thẳng a và b

+ Nếu hai đường thẳng a và b vuông góc thì — a b , 900

+ Nếu hai đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì — a b , 00

+ Nếu hai đường thẳng a và b không song song, không trùng nhau và

cũng không vuông góc nhau, khi đó ta xác định góc của chúng theo các bước sau:

Bước 1 Chọn điểm O trong không gian sao cho từ O có thể xác định

được các đường thẳng a’ và b’ lần lượt song song

với a và b (H.4);

Bước 2 Trên đường thẳng a’ ta chọn điểm

M (khác O); trên đường thẳng b’ ta chọn điểm N

(khác O), sao cho ta có thể tính được cos MON— 

dựa vào định lí cô-sin trong tam giác OMN.

Bước 3 Kết luận góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc —MON

nếu cosMON  hoặc —  0 1800  MON—  nếu cos—MON   0

Chú ý:

+ Ta có thể chọn điểm O thuộc đường thẳng a hoặc thuộc đường thẳng

b.

+ Trên đường thẳng a’ nếu ta chọn điểm M (khác O) sao cho ta có thể xác định được hình chiếu H của M trên đường thẳng b’ thì góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc —MOH Khi đó, ta có thể sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính côsin của góc —MOH

2 2.2.Xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α)α))

aa a’

b’ b

O H.4 M N

+ Nếu đường thẳng d và mp(α).) vuông góc thì a  —,   900

+ Nếu đường thẳng d và mp(α).) song song hoặc d (α).) thì a  —,   00

+ Nếu đường thẳng d và mp(α).) không song song, d (α).), d và mp(α).)

cũng không vuông góc nhau, khi đó ta xác định góc của chúng theo các bước sau:

Bước 1 Xác định điểm O=d(α).) (H.5));

Bước 2 Trên đường thẳng d ta chọn điểm A

(khác O) sao cho ta có thể xác định được hình chiếu H

của A trên (α).);

Bước 3 Kết luận góc giữa đường thẳng d và (α).)

chính là góc  —AOH

2 2.3 Xác định góc giữa hai mặt phẳng (α)α)) và (α)β))

+ Nếu hai mp(α).) và mp(β) vuông góc thì     — ,   900

+ Nếu hai mp(α).) và mp(β) song song hoặc trùng nhau thì

   —

  ,   00

+ Nếu hai mp(α).) và mp(β) không song song, không trùng và cũng

không vuông góc nhau, khi đó ta xác định góc của chúng theo các bước sau:

Bước 1 Xác định giao tuyến

d=(α).)(β) (H.6));

Bước 2 Trên mặt phẳng (α).) ta chọn

điểm A (Ad) sao cho ta có thể xác định

được đồng thời hình chiếu H của A trên (β);

và có thể xác định được hình chiếu O của A lên giao tuyến d;

Bước 3 Kết luận góc giữa hai mặt phẳng (α).) và (β) chính là góc

—AOH

 

2.3 - CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Trong các đợt kiểm tra định kỳ, kiểm tra học kỳ, thi tốt nghiệp THPT,

d H.6

(

)

A

d

A

H O H.5

φ (

α)

thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng các bài toán hình học không gian thường được khai thác nhiều là hình (khối) chóp và hình (khối) lăng trụ Do đó các ví

dụ sau đây chủ yếu sẽ xoay quanh hai loại hình (khối) chóp và hình (khối) lăng trụ

2 3.1.Hình (α)khối) chóp, lăng trụ có liên quan đến việc xác định góc giữa

hai đường thẳng

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,

đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.

[Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2008-Khối B]

Giải:

+ Do ABCD là hình vuông nên

BDACBDMN

Gọi H là hình chiếu của S trên AB, khi đó

SH(ABCD).

Xét tam giác SAB có AB2 SA2 SB2tam

giác SAB vuông tại S; có SH là đường cao của

tam giác SAB nên 12 12 12

3 2

a

3

2.2 2

+ Trong mặt phẳng (ABCD), ta kẻ đường thẳng qua M song song với DN cắt

AD tại E, khi đó SAAE và

2

a

AE  Gọi  là góc giữa hai đường thẳng SM

và DN Khi đó  SM DN— ,  SM ME— , 

Xét tam giác SAE vuông tại A, nên 2 2 5

2

a

SE  SA AE  (1)

E H N

M

C

S

B

D A

Xét tam giác MAE vuông tại A, nên 2 2 5

2

a

Từ (1) và (2), suy ra tam giác SME cân tại E nên  —SMEcos 2

5 2

a

a

 

Vậy cos 5

5

  

Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là

tam giác vuông tại A, AB=a, AC=a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính côsin góc giữa hai đường thẳng AA’

và B’C’.

[Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2008-Khối A]

Giải:

+ Gọi H là trung điểm của BC Khi đó A’H(ABC).

Theo giả thiết, ta có tam giác ABC vuông tại A

nên BC=2a và 1

2

Xét tam giác AHA’ vuông tại H nên ' A H a 3

3 '.

1

'

a

V  S A H  ®vtt

+ Gọi  là góc giữa hai đường thẳng A’A và B’C’

Xét tam giác A’B’H vuông tại A’ nên B’H=2a, do đó tam giác BB’H cân tại

B’.

Từ đó, ta có  — 'B BH (vì A’A//BB’ và B’C’//BC) Suy ra cos 1

4

  

2 3.2.Hình (α)khối) chóp, lăng trụ có liên quan đến việc xác định góc giữa

đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB

a

2a

a 3

H

C' A'

B

C A B'

sao cho HA=2HB Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC)

bằng 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

[Đề thi Đại học năm 2012-Khối A]

Giải:

+ Ta có:

 

 









 



SC ABC— ,   —SCH 600

Xét BHC, ta có: CH2 BH2 BC2  2.BH BC .cos600  7

3

a

CH 

Xét SHC vuông tại H, ta có:

0

tan 60 SH

CH

3

a

SH 

Ta có ABC đều cạnh a, nên: 2 3

4

ABC

a

Do đó, ta có: . 1

3

V  S SH nên

3

.

7 12

S ABC

a

+ Qua A ta kẻ At//BC Khi đó, gọi N và M lần lượt là hình chiếu của H trên At

và AN.

Từ đó, ta có: BC//(SAN) nên d BC SA ,  d BC SAN ,  

 ,   ,  

Mặt khác, ta có

 

3 2











  ,   3  ,  

2

  ,  3  ,  

2

l

60 0 (

A

C

B

S

H N

M

Do

 

 

 













SAN  SHN

HM SAN (vì SAN  SHN SN và HM SN)

Suy ra d H SAN ,   HM

Xét AHN vuông tại N có — NAD ABC— 600(góc so le trong) nên ta có:

0

sin 60 HN

AH

3

a

NH 

Xét SHN vuông tại H, có HM là đường cao, nên: 1 2 12 1 2

42

12

a

Vậy  ,  42

8

a

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có, BB’=a góc giữa đường

thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600 tam giác ABC vuông tại C

và —BAC 600 Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng

(ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.

[Đề thi Đại học năm 2009-Khối B]

Giải:

+ Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, nên B’G(ABC), do đó

 

—

BB ABC',  B BG— ' 600

+ Xét B’BG vuông tại G, ta có:

Trang 9

a

A

A'

C' B'

0

cos60

' ' sin 60

'

BG

BB

B G

BB











3 '

2

a BG

a

B G











+ Xét ABC vuông tại C, có BH là trung tuyến, nên 3

4

a

Ngoài ra, ta có trong tam giác ABC vuông tại C, có góc Â=600 nên

2

3 2

AB

AC

AC

BC











+ Xét HBC vuông tại C, ta có BH2 CH2 BC2



2

13

a

AB 

Nên diện tích của ABC là

8

ABC

AB

2

104

ABC

a

3 '.

9

vtt đ 208

A ABC

a

2 3.3.Hình (α)khối) chóp, lăng trụ có liên quan đến việc xác định góc giữa

hai mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,

AB=a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng

(SBC) và (ABC) bằng 30o Gọi M là trung điểm của cạnh SC Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a

[Đề thi Cao đẳng năm 2011-Khối A]

Giải:

+ Ta có:

   

 











—SBC , ABC SBA— 300

Xét SAB vuông tại A và có — SBA 300 nên:

0

tan 30 SA

AB

3

Ta có

2

2

ABC

a

3

V  S SA hay

3

.

3 6

S ABC

a

Xét tứ diện SABC, có M là trung điểm của SC

nên ta có: .

.

S ABM

S ABC

.

1 2

S ABM

S ABC

V

+ Vậy . 3 3

12

S ABM

a

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC đỉnh S, đáy là tam giác cân với

AB=AC=3a,BC=2a Biết rằng các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA)

hợp với mặt đáy (ABC) một góc 600 Kẻ đường cao SH của hình

chóp

a) Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và

SABC.

b) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

[Đề thi Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2001]

Giải:

a) + Gọi H là hình chiếu của điểm S trên

mp(ABC)

Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu của S trên

các cạnh AB, BC, CA Từ đó, suy ra: HIAB,

HJBC, HKCA; góc của các mặt bên (SAB),

(SBC), (SCA) với mặt đáy (ABC) lần lượt là

— , — , —

Xét tam giác SHI vuông tại H, ta có: HI SHcot 600 (1);

))

J

B

S

H I

K

30 0 (

M S

C

Xét tam giác SHJ vuông tại H, ta có: HJ SHcot 600 (2);

Xét tam giác SHK vuông tại H, ta có: HK SH cot 600 (3);

Từ (1), (2) và (3), ta có: HI=HJ=HK hay H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC (đpcm)

Do tam giác ABC cân tại A nên ba điểm A, H, J thẳng hàng, suy ra: AHBC

Từ đó, ta có AH BC









b) Ta có ABC là tam giác cân tại A nên AJ vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác ABC, do đó JA AB2 BJ2 2a 2

Từ đó 1 2 2 2

2

ABC

Chu vi của tam giác ABC là 2p=AB+BC+CA=8ap=4a.

Ta có SABC p HJ  2

2

ABC

HJ

p



Xét tam giác SHJ vuông tại H, ta có HS JH tan 600 6

2

a

Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là  

3

a

Ví dụ 3: Cho lăng trụ ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật,

phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD 1 A 1 ) và (ABCD) bằng 600 Tính thể tích khối lăng

trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B 1 đến mặt phẳng (A 1 BD) theo a.

[Đề thi Đại học năm 2011-Khối B]

Giải:

+ Gọi O=ACBD, khi đó A 1 O(ABCD)

Gọi E là hình chiếu của O trên AD Khi đó:

—   

Xét tam giác ABD có OE là đường trung bình

B

D

A

H

nên

Xét tam giác A 1 OE vuông tại O nên —  1

1

tan A EO AO

EO

1

3 tan 60

2

a

3

3

2 ®vtt

ABCD A B C D ABCD

a

+ Ta có B C A D1 // 1  A BD1  nên d B A BD 1, 1   d C A BD , 1  (1)

Do A 1 O(ABCD) nên (A 1 BD)(ABCD).

Gọi H là hình chiếu của C trên BD khi đó, ta có: CH(A1BD) (2)

Từ (1) và (2), ta có: d B A BD 1, 1   CH

Xét tam giác BCD vuông tại C có CH là đường cao nên 1 2 12 12

2

a

CH 

Vậy  1  1  

3 ,

2

a

2.4 - BÀI TẬP

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA=a,

3

SB a và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.

[Đề thi Đại học năm 2008- khối B]

2. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính côsin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'.

[Đề thi Đại học năm 2008-khối A]

3. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB a 2,

Tính thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S.ABC theo a

[Đề thi Cao đẳng năm 2012- khối B]

4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;

Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

[Đề thi Đại học năm 2009- khối A]

5. Cho lăng trụ ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a,

3

AD a Hình chiếu vuông góc của điểm A 1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD 1 A 1) và

(ABCD) bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ

điểm B 1 đến mặt phẳng (A 1 BD) theo a

[Đề thi Đại học năm 2011- khối B]

6. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C' có AB=a, góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 600 Gọi G là trọng tâm tam giác A'BC Tính

thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

GABC theo a

[Đề thi Đại học năm 2010- khối B]