Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông.. SA = a và vuông góc với mặt phẳng ABC.. M, N lần lượt là trung điểm AD, DC.. Góc giữa mặt phẳng SBM và mặt phẳng ABC bằng 450.. Tính thể
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 78
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số: 2 (1)
1
x y x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b) Chứng minh rằng đường thẳng y = - x + 2 là một trục đối xứng của đồ thị hàm số (1)
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình sin4 cos4 1
x
Câu 3 (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
4 3
x x m x x x x m
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân 6
0
3
4 os2x
x
c
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA = a và vuông góc với mặt
phẳng (ABC) M, N lần lượt là trung điểm AD, DC Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABC) bằng 450 Tính thể tích hình chóp S.ABNM và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM)
Câu 6 (1,0 điểm) Cho số thực a Chứng minh rằng:
2a 2a 1 2a ( 3 1) a 1 2a ( 3 1) a 1 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm M(0; 2), N(5; - 3), P(- 2; - 2),
Q(2; - 4) lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD Tính diện tích hình vuông đó
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 0), B(1; 1; 3), C(2; -1; 3),
D(1; -1; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với AB và CD sao cho khoảng cách từ đường thẳng AB và khoảng cách từ đường thẳng CD đến mặt phẳng (P) bằng nhau
Câu 9.a (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi cặp số nguyên k, n (0 k n 2013)ta có:
C20130 C n k C20131 C n k1C20132 C n k2 C20132013C n k2013C n k20132013
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình
và đường thẳng (d) có phương trình x - y + 7 = 0 Tìm trên (d) điểm M sao cho
(x1) (y2) 4
từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến của (C) là MA, MB(A, B là hai tiếp điểm) sao cho độ dài AB nhỏ nhất
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho điểm A(3; - 2; - 2) và mặt phẳng (P) có phương trình
x - y - z + 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với (P) và cắt Oy, Oz lần lượt tại M, N sao cho OM = ON 0.
Câu 9.b (1,0 điểm)
Chứng minh rằng, với mọi cặp số nguyên k, n (1 k n) ta có 1
1
n n
kC nC
2C n 5C n 8C n (3n2)C n n 1600
- HẾT
-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 78 Câu 1; 1, ( 1.0đ ) TXĐ: DR\ 1
2
3
x
Giới hạn:
Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng khi x1 , x1
Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang khi x
Bảng biên thiên:
t - 1
+
y - +
y'
1 +
- 1
Đồ thị:
Câu 1; 2, ( 1.0đ )
Gọi I(1; 1), đồ thị hàm số đã cho là (C) Phép tịnh tiến hệ trục Oxy IXY theo OI = (1; 1):
1
1
1
X
1+Y = - (1 + X) + 2
X
Mặt khác M(X; Y) và M'(- Y; - X) đối xứng với nhau qua đường thẳng Y = - X Suy ra đpcm
Câu 2; ( 1.0đ ) ĐK: s in2x0
x
x
x
y
f x ( ) = x+2 x-1
1 4
-2
5/2
Trang 31
x
2
thỏa điều kiện KL: Nghiệm của phương trình đã cho là ,
x k k
x k k
Z
Câu 3; ( 1.0đ )
Nếu x 0;1 thỏa mãn (1) thì 1 – x cũng thỏa mãn (1) nên để (1) có nghiệm duy nhất thì điều kiện
2
2
1
m
m
2
2
x
* Với m = - 1, (1) trở thành: x 1 x 2 x1x24 x1x 1
4 4 4
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất
4 4
2
x
1 2
x
* Với m = 1 thì (1) trở thành:
4 4 4
Ta thấy 0, 1 thỏa phương trình Phương trình (1) có hơn một nghiệm KL: m = 0, m = - 1
2
x x
3
1 tan x cos 2x
1 tan x
Đặt
2
2
4
x
x
c
2
1
cos
x
1
1
1 3
3 2
0 0
dt I
Câu 5; 1, ( 1.0đ )
Gọi H là giao điểm của BM và AN
Do M, N là các trung điểm nên BM AN
SA AHSHA
Suy ra SHA là góc giữa hai mặt phẳng:
45
SHA AH ASa
AB AM AH
dt(ABNM) = dt(ABCD) - dt(BCN) - dt(MND)
= 5
2 5 5 25
Trang 4Gọi F là trung điểm BC Ta có DF//BM nên DF //mp(SBM).
Gọi E là giao điểm của DF và AN Suy ra d(D, mp(SBM)) = d(E, mp(SBM))
Gọi K là hình chiếu của E trên đường thẳng SH thì EK mp SBM( )
HA = a
45
KHE
2
a EK
2
a
d D mp SBM
Ghi Chú: d(D, mp(SBM)) = d(A, mp(SBM)) Có thể giải bằng PP tọa độ
2a 2a 1 2a ( 3 1) a 1 2a ( 3 1) a 1 3
(1)
;
Khi đó, (1) MA + MB + MC 3 (2)
Suy ra (2) tương đương MA + MB + MC OA + OB + OC (3) Ta chứng minh (3). Thực hiệm phép quay tâm A góc 600 CC M', M' Suy ra MA = MM', MC = M'C'
Dấu đẳng thức xảy ra khi chỉ khi M O a = 0
Ghi chú: Có thể giải bằng PP véc tơ
Không dùng các bất đẳng thức không có trong SGK để chứng minh.
Câu 7a; ( 1.0đ ) Đường thẳng chứa cạnh AB: ax + b(y - 2) = 0
Đường thẳng chứa cạnh BC: b(x - 5) - a(y + 3) = 0
d(P; (AB)) = d(Q; (BC))
i) a = 7, b = - 1: d(P; (AB)) = d(Q; (BC)) = 2 dt(ABCD) = 2
ii) a = 1, b = - 3: d(P; (AB)) = d(Q; (BC)) = 10 dt(ABCD) = 10
Câu 8a; ( 1.0đ ) Mặt phẳng (P) song song với AB và CD có một cặp véc tơ chỉ phương:
( 1; 0; 3), ( 1; 0; 3)
nên có một véc tơ pháp tuyến là AB CD, (0; 6; 0) Suy ra phương trình mp(P): y + D = 0
AB và CD song song (P) nên d(AB,(P)) = d(A,(P)) và d(CD,(P)) = d(C,(P))
D
Suy ra phương trình (P): y = 0
VP(*) là hệ số của k 2013 trong khai triển
M
C B
C'
Trang 5VT(*) là hệ số của k 2013 trong khai triển
(1 )n
x
(1 )n
x
Suy ra đpcm
Câu 7b; ( 1.0đ ) Đường tròn (C) có tâm I(1; 2), bán kính R = 2 Gọi H là giao điểm của IM và AB thì IM AB và HA = HB
d(I, d) = 3 2 > R Suy ra qua mọi M thuộc (d) đều kẻ được tiếp tuyến của (C)
Từ đó suy ra, AB nhỏ nhất khi chỉ khi IM nhỏ nhất , khi chỉ khi M là hình chiếu của I trên (d)
,
M d M x x MI x x
d có véc tơ chỉ phương a (1; 1) MI ( )d MI a 0 1 x 5 x 0 x 2 M( 2;5)
Câu 8b; ( 1.0đ ) Gọi M(0; a; 0), N(0; 0; b), trong đó ab0
Ta có AM ( 3; 2a; 2),AN ( 3; 2;b2) Khi đó, một véc tơ pháp tuyến của (Q):
Véc tơ pháp tuyến của (P):
Q
n AM AN a b ab b a
(1; 1; 1)
P
(1) OM = ON ( )P ( )Q nP nQ n n P Q 0 ab a b 0 a b a b
i) a = b : (1) a 0 (loại) hoặc a = 2
a = 2 thì b = 2, ta có nQ (12; 6; 6)Phương trình (Q): 2x + y - 2 + z = 0 2x + y + z - 2 = 0 ii) a = - b: (1) a 0 (loại) Vậy, phương trình (Q): 2x + y + z - 2 = 0
2C n 5C n8C n (3n2)C n n 16003C n6C n 3nC n n2(C n C n C n n) 1600
3 (n C n C n C n n) 2(C n C n C n n) 1600
7
n
