Chuyên đề Ôn thi Toán vào 1044557

Mục tiêu: - Học sinh nắm được tam giác đồng dạng, tìm và chứng minh các hệ thức liên hệ giữa các yếu tố về độ dài các đoạn thẳng, độ lớn của các góc trong tam giác.. Các bài tập chứng mi

chuyên đề1

Tam giác tứ giác

Thời lượng… tiết ( …buổi)

Từ ngày:……… đến ngày:………

A Mục tiêu:

- Học sinh nắm được tam giác đồng dạng, tìm và chứng minh các hệ thức liên

hệ giữa các yếu tố về độ dài các đoạn thẳng, độ lớn của các góc trong tam giác Các bài tập chứng minh: hai cạnh bằng nhau trong tam giác, hai góc bằng nhau, ba đường thẳng đồng quy Các trường hợp của tam giác đồng dạng Các kiến thức về cạnh và đường cao, tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, hệ rhức giữa cạnh và góc trong tan giác vuông

- Rèn tư duy của HS biết cách vẽ hình chứng minh, tính toán độ dài, góc của một tạm giác…

- Giáo dục ý thức tự giác học tập của sinh

B Chuẩn bị tài liệu:

- Tài liệu của Thầy: SGK,SBT STK toán 8, sách bồi dưỡng ôn thi vào lớp 10

- Tài liệu của trò: SGK,STK,toán 8, sách ôn thi vào lớp 10

C Nội dung chuyên đề:

Ngày dạy:………

Tiết: ……….( Buổi )

Tứ Giác TAM GIáC Đồng dạng

I Tổ chức:

9A1: 9A2:

II Kiểm tra:

- Nêu các loại tứ giác đẫ được học Để chứng minh tứ giác là hình bình hành

ta có mấy cách? Là những cách nào?

III Nội dung bài mới:

1.Kiến thức cơ bản:

a) Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600

b) Hình thang: là tứ giác có hai cạnh đối song song

- Hai góc kề một cạnh bên của một hình thang bù nhau

- Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông

- Hình thang cân là hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau

* Để c/m một hình thang là hình thang cân ta cần chứng minh:

+ Dùng định nghĩa

+ Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

* Đường TB của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm hai cạnh bên của hình thang

- MN là đường trung bình của hình thang ABCD (AB//CD) thì:

2

AB CD

- Diện tích của hình thang ABCD (AB//CD) : . ( h là đường cao)

2

AB CD



c) Hình bình hành: Là tứ giác có các cạnh đối ssong song

- Để c/m 1 tứ giác là HBH ta cần c/m:

+ C/m theo đ/n

+ C/m tứ giác đó có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau

+ C/m tứ giác đó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

+ C/m tứ giác đó có các cặp góc đối bằng nhau hoặc các góc kề bù nhau

- Diện tích hình bình hành bằng đáy nhân với chiều cao

d) Hình chữ nhật: là tứ giác có 4 góc vuông

- Để c/m 1 tứ giác là HCN ta cần c/m:

+ Tứ giác có ba góc vuông

+ HBH có 1 góc vuông

+ HBH có hai đường chéo bằng nhau

+ Hình thang cân có một góc vuông

* Diện tích HCN có hai cạnh a và b S = a.b

đ) Hình thoi: Là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau

-Để c/m 1 tứ giác là hình thoi ta cần c/m:

+ HBH có hai cạnh kề bằng nhau

+ HBH có hai đường chéo vuông góc

* Diện tích của hình thoi bằng

+ Nửa tích hai đường chéo

+ Đáy nhân với chiều cao

e) Hình vuông: Là HCN có tất cả các cạnh bằng nhau

+ HCN có hai đường chéo vuông góc

+ Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau

* Diện tích của hình vuông cạnh a là S = a2

f) Các trường hợp đồng dạng của tam giác:

* TH đồng dạng (c-c-c): cho ABC & A'B'C'  

GT A B' ' A C' ' B C' '(1)

AB  AC  BC

KL A'B'C'  ∽ ABC

* TH đồng dạng (c-g-c): cho ABC & A'B'C'  

GT ABC & A'B'C'

' '

A B

AB

' '

A C AC

Â=Â'

KL A'B'C'  ∽ ABC

* TH đồng dạng (g-g): cho ABC & A'B'C'  

ABC & A'B'C 

GT A=A' , B = B   ’

KL ABC ∽ A'B'C 

* Lưu ý:

* Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với

cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông

đồng dạng

* Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số diện tích bằng tỉ số bình phương đồng

dạng

2 Bài tập vận dụng:

a Dạng1: Các bài toán chứng minh tứ giác

* Phương pháp: Sử dụng các dấu hiệuvề tứ giác đã học để chứng minh ,

nhận dạng từ giác

Ví dụ1:

Cho ABC cân tại A; D AD 

E AE sao cho AD = AE; A=50  0 CMR:

a) BDEC là hình thang cân

b) Tính các góc của hình thang

Giải:

a) ABC cân tại A (gt) B = C (1)   

AD = AE (gt) ADE cân tại A 

D  1 = E 1 ABC cân & ADE cân 

D1 = ; B= D1 = B (vị trí đồng vị)

 

2

1800  A



2

1800  A

DE // BC Hay BDEC là hình thang (2) Từ (1) & (2) BDEC là hình thang cân

b) A= 50 0 (gt); D = C =   1800 500 = 650

2



D2 = E2 = 1800 - 650 = 1150

Ví dụ 2:

Cho tứ giác ABCD; E, F, G, H là trung điểm của

AB, BC, CD, DA (hình vẽ)

Tìm đk của AC & BD để EFGH là:

a) HCN

b) Hình thoi

c) Hình vuông

Giải:

Ta có: E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD & DA ( gt) nên:

EF // AC & EF = 1 EF // GH

GH // AC & GH = 1 EF = GH Vậy EFGH là HBH

a) HCN: EFGH là HCN khi có 1 góc vuông hay EF EH

Vậy khi AC BD thì EFGH là HCN

b) EFGH là hình thoi khi EF = EH mà ta biết EF 1 ; EH = do đó khi

2AC

1

2BD

AC = BD thì EF = EH

Vậy khi AC = BD thì EFGH là hình thoi

c) EFGH là hình vuông khi EF EH & EF = EH theo a & b ta có AC BD  

thì EF EH mà AC = BD thì EF = EH

Vậy khi AC BD & AC = BD thì EFGH là hình vuông

b Dạng 2: Chứng minh hai tam giác đồng dạng

* Phương pháp giải: Sử dụng các trường hợp của tam giác đồng dạng để

chứng minh tam giác đồng dạng

A

C B

2

E

G

D H

A

* ví dụ3: Cho hình vẽ chứng minh tam giác ABC  ∽ EDC

Giải:

Theo hình vẽ ta có: AB // DE

ABD= EDB (SLT)

C1= C  2 (đ2)

ABC đồng dạng với EDC (g -g)

* Ví dụ4: Trên một cạnh của góc xoy ( góc xoy 

1800), đặt các đoạn thẳng OA= 5cm, OB = 16 cm

Trên cạnh thứ hai của góc đó, đặt các đoạn thẳng

OC = 8 cm, OD = 10 cm

Chứng minh hai tam giác OCB và OAD đồng dạng

Chứng minh

Xét OCB và ODA có: 

(1)

5

8



OA

OC

(2) Từ (1) và (2) OBC ∽ ODA

5

16



OD

OB

OD

OB OA

OC

Góc O chung

3 Luyện tập:

Bài 1: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau Gọi E,F,G,H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA Tứ giác EFGH là hình gì? vì sao?

Giải:

Gọi O là giao của 2 đường chéo AC BD (gt)

Từ (gt) có EF//AC & EF = 1

2AC

GH//AC & GH = 1

2AC

GH//AC & GH = EF = 1 EFGH là HBH

AC BD (gt) EF//AC BD EF  

EH//BD mà EF BD EF HE   

HBH có 1 góc vuông là HCN

Bài 2:

Cho ABC có A = 90  0, D là trung điểm AB, M

là trung điểm BC, E đx M qua D C/m

a) E đx M qua AB

b) AEMC, AEMB là hình gì? Vì sao?

c) Tính chu vi AEBM khi BC = 4cm

d) ĐK ABC để AEBM là hình vuông

Giải:

a) D, M thứ tự là trung điểm của AB, AC nên ta có : DM // AC

AC AB ( gt) mà DM // AC suy ra DM AB (1) 

E đx với M qua D do đó ED = DM (2)

Vậy từ (1) & (2) AB là trung điểm của đoạn thẳng EM hay E đx qua AB.

A

C M

B

E

A

H

D G

C F

B

A

10 8

16

5

D I

C O

B

A

c

b a

b) AB & EM vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường nên AEBM là hình thoi

AE //BM hay AE //MC ta lại có EM // AC ( cmt)



Vậy AEMC là HBH

c) AM = AE = EB = BM = = 2 cm

2

BC

Chu vi EBMA = 4.2 = 8 cm



d) EBMA là hình vuông khi AB = EM mà EM = AC vậy AEBM là hình

vuông khi AB = AC hay ABC là vuông cân 

*Bài3: Cho hình thang vuông ABC ( A, D= 90  0); E là trung điểm của

AD và BEC = 90 0 Cho biết AD = 2a CMR:

a) AB.CD = a2

b) Tam giác EAB và tam giác CBE đồng dạng

c) BE là tia phân giác của góc ABC

Giải:

a) Xét EAB và CDE, ta có: A= D=90    0; AEB= 

ECD Do đó EAB  ∽ CDE(g-g), suy ra 

2

.

Ab CD a

b) Xét EAB và CEB, ta có A= CEB = 90    0 Theo câu

a) ta có ED AB AB, suy ra Vậy EAB ∽ CEB

c) từ câu b) suy ra ABE= EBC, hay BE là tia phân giác của góc ABC  

Bài 4: Hãy chứng minh: ABC AED

Giải:

ABC và AED có góc A chung và

AB

AC

AD







 



VậyABC ∽ AED (c.g.c)

Bài5:

Cho tam giác ABC vuông tại A Hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác sao cho E AB, F AC, H và G BC  

Tính diện tích hình vuông EFGH biết BH = 2cm; GC = 8cm

HD:

ΔEBH ∽ ΔCGF (g.g)

EH GF HB CG

Mà EH = GF

2

EFGH

e

b a

A

A

6

8 E 20 15

D

B C

Bài 6:

Cho hình thang cân ABCD : AB // DC và AB < DC, đường chéo BD vuông

góc với cạnh bên BC Vẽ đường cao BH

a) Chứng minh : ΔBDC ∽ ΔHBC

b) Cho BC = 15 cm ; DC = 25 cm Tính HC, HD

c) Tính diện tích hình thang ABCD

Bài giải:

A B

15cm

D K H C

a) Tam giác vg BDC và tam giác vg HBC có :

góc C chung => 2 tam giác đồng dạng

b) Tam giác BDC đồng dạng tam giác HBC

=> => HC = HD = DC – HC = 25 – 9 = 16 (cm)

BC

DC

DC

BC

9

2



c) Xét tam giác vuông BHC có :

BH2 = BC2 - HC2 (Pitago)

BH2 = 152 - 92 = 144 => 12 (cm) Hạ AK DC =>  vgADK  vgBCH

=> DK = CH = 9 (cm)

=> KH = 16 - 9 = 7 (cm)

=> AB = KH = 7 (cm)

S ABCD =     192 2

2

25 25 7

BH DC AB









4 Bài tập mở rộng, nâng cao:

Bài tập: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có A= 60 0 gọi E,F lần lượt là trung

điểm của các cạnh AD và CD

a) Tính diện tích tam giác BEF

b) Tính đội dài đoạn thẳng CE và cos của góc ACE

Giải:

a) Do A= 60 0, nên tam giác ABD là tam giác đều Vì E

là trung điểm của AD nên BE là đường cao và BE = 3

2

a

Do đó diện tích của tam giác là:

2

b) Ta có MC=3 3 , EM = Từ đó ta có EC =

4

a

4

2

a

Vậy cos ECM =

3 3

3 3 4

2

a

D

C

F E

B

A

a 3

a 4

a 3 2

N

F E

A

IV Củng cố:

- Học sinh cần nắm chắc nội dung các kiến thức cơ bản, các dạng bài tập đã chữa

- HS học thuộc các dấu hiệu nhận dạng tứ giác tai lớp, tam giác đồng dạng

- Cần lưu ý dạng bài tập chứng minh 3 đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng

V Hướng dẫn học sinh học tập ở nhà:

- HS về nhà làm các bài tập sau:

Bài1: Cho tam giác ABC Gọi I là giao điểm của các tia phân giác trong của góc B và C Từ I hạ IM vuông góc AB, IN vuông góc BC Từ A kẻ đường thẳng song song với MN, cắt BC tại p, c/m:

a) ABC INB b) MNPA là hình thang cân

Bài2: Cho HCN ABCD, tâm O Lấy điểm P tuỳ ý trên đoạn thẳng OB Gọi M

là điểm đối xứng của C qua p

a.C/m AM//BD b) Gọi E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB,DA chứng minh EF//AC

c.Chứng minh ba điểm F,E,P thẳng hàng

Bài 3 Cho tam giác ABC ,I nằm giữa B và C

Qua I vẽ đường thẳng // AB cắt AC ở H ,đường thẳng // AC cắt AB ở K

Tứ giác AHIK là hình gì ? I ở đâu thuộc BC thì AHIK là hình thoi ?

Tam giác ABC có điều kiện gì thì AHIK là hình chữ nhật ?

Bài 3 Cho hình bình hành ABCD có AB = 2 AD E, F thứ tự là trung điểm

AB , CD

a)Các tứ giác AEFD , AECF là hình gì? tại sao?

b) M là giao điểm của AF và DE , Giao điểm của BF ,CE là N C/m EMFN là hình chữ nhật

c)ABCD có thêm d/k gì thì EMFN là hình vuông?

Bài 4 Tam giác ABC có góc a = 900, AM trung tuyến D là trung điểm AB ,E

đối xứng M qua D

a.C/m E đối xứng M qua AB b,AEMC , AEBM là hình gì?vì sao? c.Cho BC = 4 cm tính chu vi tư giác AEBM

d.Tam giác ABC có đ/k gì thì AEBM là hình vuông?

e.AB =3cm AC =4cm Tính diện tích tư giác AEBM và độ dài đoạn thẳng AM

Bài5: Cho hai tam giác đề ABC và DEF mà A nằm trên cạnh DF; E nằm trên cạnh BC Gọi I là giao điểm của AC và EF, K là giao điểm của AB và DE a) Chứng minh : ΔIFC ∽ ΔAIE; ΔKDB ∽ ΔKAC

b) Chứng minh BD// CF

Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC=6cm Vẽ đường cao AH của tam giác ADB

a.Chứng minh AHBđồng dạng với BCD b.Chứng minh AD2 DH.DB

c.Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH

Bài 7: Cho ABC vuông tại A có đường cao AH Cho biết AB = 15cm, AH= 12cm

a) Chứng minh AHBđồng dạng CHA

b) Tính độ dài đoạn thẳng HB, HC, AC

c) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE=5cm, trên cạnh BC lấy điểm F sao cho CF= 4cm Chứng minh CEFvuông

d) Chứng minh CE.CA=CF.CH

Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=8cm, BC=6cm AH là đường cao của tam giác ADB

a.Chứng minh AHBđồng dạng BCD b.Chứng minh AD2 DH.DB

c.Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH

Bài 9: Tam giác ABC cân taih A có AC = 2a, M là trung điểm BC Lấy D

thuộc AB, E thuộc Ac sao cho DME = B. 

a) Chứng minh rằng BD.CE không đổi

b) CMR: DM là tia phân giác của góc BDE

HD:

a)Ta có DMC = B + BDM, mà DME = B,    

do dó BDM = EMC Từ đó ta có DBM    ∽ MCE 

2

BD CE BM MC a

b) Vì DBM  ∽ MCE  DM BD , hay Do

ME  BM

đó DME  ∽ DBM 

Từ đó suy ra MDE = BDM, hay DM là tai phân giác của góc BDE  

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 4,5cm , AC = 6cm Trên cạnh

BC lấy điểm D sao cho CD = 2cm Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

a/ Tính độ dài Ec, EA b/ Tính SEDC = ?

HD:

a/ AB2 + AC2 = BC2

Hay 4,52 + 62 =56,25 suy ra BC = 7,5cm

ΔCAB ∽ ΔCDE (g.g)

6

BC DC

AC

b/ k =2 1

( )

CDE CAB

S S

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A Có

AB = 24cm; AC = 18cm Đường trung trực của BC

cắt BC , BA, CA lần lượt ở M, E, D

Tính độ dài các đoạn thẳngBC,BE,CD

HD:

BC = 30cm( tính theo định lý Pitago)

Tính BE: ΔBME ∽ ΔBAC ( chung B)

(cm)

18, 75 24

BE

Tính CD: ΔBAC ∽ ΔDMC ( chung C )

(cm)

25 18

CD

e d

a

2

4,5

6

D

A

E

D

E

M

B

Ngày dạy:………

Tiết: ………… ( Buổi )

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

I Tổ chức: 9A1: 9A2:

II Kiểm tra:

- Nêu các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, hệ thức giữa

cạnh và góc trong tam giác vuông

III Nội dung bài mới:

1.Kiến thức cơ bản:

a) Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

1 a2= b2+c2 2.b2=a.b' ; c2=a.c'

3 h2= b'.c'

4 b.c=a.h 5 12 12 12

c b

b)Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

*) Định nghĩa:

sin = ; cos = ; tg = ; costg =

a

b

*) với góc nhọn và góc là hai góc phụ nhau 

sin = cos ; Sin = cos ; tg = cotg tg = cotg        

*) Cho < 90 o, ta có:

0 < sin < 1 ; 0 < cos < 1 

sin2 + cos 2 = 1; tg cotg = 1  

sin  cos 

tg = ; cotg =  

cos  sin 

1 1

sin2 = ; cos 2 = 

1 + cotg2 1 + tg2 

c)Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

b = a sin = a cos ; c = a sin = a cos    

b = c tg = c cotg ; c = b tg = b cotg    

Suy ra: a = b/ sin = b/ cos 

2 Bài tập vận dụng:

a Dạng1: Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

* Phương pháp giải: Sử dụng các hệ thức sau để làm bài tập tính độ dài các

cạnh của tam giác

1 a2= b2+c2 2.b2=a.b' ; c2=a.c' 3 h2= b'.c' 4 b.c=a.h 5 12 12 12

c b

* Ví dụ1: Cho tam giác ABC vuông tại A (hình vẽ)

Có AC = 20, BC = 25

Tính AH = ?

a

b '

c '

c h

b

C B

A



 c

C

b a

a

b '

c '

c h b

C B

A



 c

C

b a

Bài làm

áp dụng định lý pytago ta có AB = 2 2

25  20  625 400   15

Mặt khác AC.AB = BC.AH suy ra AH= 12

Ví dụ2: Cho tam giác ABC vuông ở A ;đường cao AH

a) Cho AH=15 cm; BH= 25 cm Tính AB ; AC ; BC ;CH

b) Cho AB =12m ; BH = 6m Tính AH ; AC ; BC ; CH ?

Giải Sử dụng hình trên

a; áp dụng định lí Py- Ta- Go trong tam giác vuông AHB ta có:

AB2= AH2 + BH2 = 152 +252 = 850  AB  850  29 , 15

Trong tam giác vuông ABC Ta có :

AH2 = BH CH CH =  =

BH

AH2

9 25

152



Vậy BC= BH + CH = 25 + 9 = 34

AC2= BC CH = 34 9 Nên AC = 17,5 (cm)

b; Xét tam giác vuông AHB ta có :

AB2 = AH2 + HB2  AH  AB2 HB2  122 62  10 , 39 (m)

Xét tam giác vuông ABC có :

6

39 ,

2









BH

AH HC

BC= BH +CH = 6 +17,99 =23,99 (m)

12

39

; 10 99 , 23









AB

AH BC AC

b Dạng 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn.

* Phương pháp giải: Sử dụng các hệ thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn để

giải các bài tập có liên quan

* Ví dụ 3: Cho cos = 0,8 Hãy tính :  sin ;  tg ; cotg  ?

Ta có : Sin2 + Cos2  = 1

Mà cos  = 0,8 Nên Sin  = 1  0 , 82  0 , 6

Lại có : Tg  = =





Cos

Sin

75 , 0 8 , 0

6 , 0



Cotg  = =





Sin

Cos



Tg

1

333 , 1 6 , 0

8 , 0



* Ví dụ 4: Hãy tìm Sin  ; Co s  Biết tg  =

3 1

tg  = nên = Suy ra Sin  = Cos 

3

1





Cos

Sin

3

1

3 1

Mặt khác : : Sin2 + Cos2  = 1

B C

H

20

25