Toán học Bài 1: Phương pháp qui nạp42732

CHƯƠNG III : DÃY SỐ

§1.PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP

Để cm mệnh đề T(n) (1) phụ thuộc nN*, ta làm

như sau: (ví dụ: 1+2+3+…+n=n(n+1)/2

Bước 1: Kiểm tra T(1) đúng khi thay n = 1

Bước 2: giả sử mệnh đề đúng với n=k, ta cm MĐ Đúng với n = k+1

Bước 3: KL mệnh đề đúng với nN*

1 2 3 4 k k+1 n n+1

Bài 1: cm,nN* , ta có:

+)n=1=>VT=1

VP=1 =>VT=VP=>(1) đúng

Giả sử (1) đúng với n=kN*,tức là:

Cộng k+1 vào 2 vế:

(1) Đúng với n=k+1=>(1) đúng với mọi n

Bài 1: cm,nN* , ta có:

VP=1.(3+1)/2=2

Giả sử (1) đúng với n = k;tức là:

Cộng 2 vế với 3(k+1)-1=3k+2 ta có:

=>(1) đúng với n=k+1 Vậy,(1) đúng với mọi n

Với n = 1 =>VT=VP=>(1) đúng

Giả sử (1) đúng với n = k;tức là:

Cộng 2 vế với 1/2 k+1 ; ta có:

=>(1) đúng với n=k+1 Vậy,(1) đúng với nN*

VT=1/2 VP=1/2

Với n = 1

=>VT=VP=>(1) đúng

VT=1 VP=1

Giả sử (1) đúng với n = k;tức là:

Cộng 2 vế với (k+1) 2 ,ta có:

=>(1) đúng khi n = k+1 Vậy: (1) đúng với nN*

Với n = 1=>1 3 +3.1+5=9 chia hết cho 3=>đúng

2)cm: a)n 3 +3n 2 +5n chia hết cho 3(1)

Giả sử (1) đúng với n=kN*;tức là:

k 3 +3k 2 +5k chia hết cho 3(1)

Với n=k+1 ta có: A=(k+1) 3 +3(k+1) 2 +5(k+1)

=(k 3 +3k 2 +5k)+3k 2 +9k+9=(k 3 +3k 2 +5k)+3(k 2 +3k+3)

=>A chia hết cho 3=>(1) đúng với n =k+1

Vậy: (1) đúng với nN*

C2:n 3 +3n 2 +5n=(n 3 +3n 2 +2n)+3n=n(n+1)(n+2)+3n

Do n(n+1)(n+2)chia hết cho 3=>…

b)4 n +15n-1 chia hết cho 9

Với n = 1=>4 1 +15-1=18 chia hết cho 9=>đúng

Giả sử (1) đúng với n=kN*;tức là:

4 k +15k-1 chia hết cho 9(2)

Với n=k+1 ta có: A=4 k+1 +15(k+1)-1=4.4 k +15k+15-1

=4(4 k +15k-1)-45k+18= 4(4 k +15k-1) -9(5k-2)

=>A chia hết cho 9=>(1) đúng với n =k+1

Vậy: (1) đúng với nN*

b)4 n +15n-1 chia hết cho 9(1)

c)n 3 +11n chia hết cho 6

C2:n 3 +11n=(n 3 +3n 2 +2n)-3n 2 +9n=n(n+1)(n+2)-3n(n-3)

Do n(n+1)(n+2)chia hết cho 6;và n(n-3) chia hết cho 2

(Vì n lẻ=>n-3 chẳn;n chẵn=>n-3 lẻ); vậy, n 3 +11n chia hết cho 6

Với n = 1=>1+11=12 chia hết cho 6=>(1) đúng

Giả sử (1) đúng với n=kN*;tức là:

k 3 +11k chia hết cho 6(2)

Với n=k+1 ta có: A=(k+1) 3 +11(k+1)

=k 3 +3k 2 +3k+1+11k+11=(k 3 +11k)+3k 2 +3k+12

=>(1) đúng với n =k+1

Vậy, (1) đúng với mọi n

c)n 3 +11n chia hết cho 6(1)

=(k 3 +11k)+3k(k+1)+12

Do k(k+1) chia hết cho 2=>A chia hết cho 6

d)3 n >3n+1(3);n 2

Với n = 2=>VT=9;VP=7=>VT>VP(đúng)

Giả sử (1) đúng với n=kN*;k>1;tức là:

3 k >3k+1

Nhân 2 vế với 3 ta có:

3.3 k >3(3k+1)=>3 k+1 >9k+3

=>(1) đúng với n =k+1 Vậy, (1) đúng với mọi n

d)3 n >3n+1(1);n2

Mà 9k+3=(3k+4)+6k-1>3k+4=3(k+1)+1

=>3 k+1 >3(k+1)+1

e)2 n+1 >2n+3 (1); n2

Với n = 2=>VT=8;VP=7=>VT>VP(đúng)

Giả sử (1) đúng với n=kN*;k>1;tức là:

2 k+1 >2k+3(2)

Nhân 2 vế với 2 ta có:

2.2 k+1 >2(2k+3)=>2 k+2 >4k+6= 2(k+1)+3 +(2k+1)

=>(1) đúng với n =k+1 Vậy, (1) đúng với mọi n

e)2 n+1 >2n+3 (1); n2

Mà 2(k+1)+3+(2k+1)>2(k+1)+3

=>2 k+1 >2(k+1)+3

a)tính S1;S2;S3

a)tính S1;S2;S3

b)Dự đoán S n và cm qnap

Dự đoán S n =n/(n+1) (1); (1) đúng với n=1 Giả sử (1) đúng với n=k;tức là:

=>(1)đúng với n=k+1=>(1) đúng với mọi n

Với n = 1 =>VT=VP=1=>(1) đúng

Giả sử (1) đúng với n = k;tức là:

Cộng 2 vế với (k+1) 3 ,ta có:

(1)=>MĐ đúng khi n = k+1 Vậy: (1) đúng với nN*

b)1.4+2.7+…+n(3n+1)=n(n+1) 2 (1)

Với n = 1=>VT=VP=4=>(1) đúng

Giả sử (1) đúng với n = k;tức là:

1.4+2.7+…+k(3k+1)=k(k+1) 2 (2)

(1)=>MĐ đúng khi n = k+1 Vậy: (1) đúng với nN*

b)1.4+2.7+…+n(3n+1)=n(n+1) 2 (1)

Cộng 2 vế với (k+1)(3k+4) ta có:

1.4+2.7+…+k(3k+1) +(k+1)(3k+4) =k(k+1) 2 +(k+1)(3k+4)

=>1.4+2.7+…+k(3k+1) +(k+1)(3k+4) =(k+1) (k+2) 2

Với n = 1 =>VT=VP=3/4=>(1) đúng

Giả sử (1) đúng với n = k;tức là:

Cộng 2 vế với (k+3)/(k+1)(k+2)2 k+1 ,ta có:

(1)=>MĐ đúng khi n = k+1 Vậy: (1) đúng với nN*

d)n 3 +2n chia hết cho 3

Với n = 1=>1++2=3 chia hết cho 3=>(1) đúng

Giả sử (1) đúng với n=kN*;tức là:

k 3 +2k chia hết cho 3(2)

Với n=k+1 ta có: A=(k+1) 3 +2(k+1)

=k 3 +3k 2 +3k+1+2k+2=(k 3 +2k)+3(k 2 +k+1)

d)n 3 +2n chia hết cho 3(1)

=>A chia hết cho 3

Vậy, (1) đúng với mọi n

=>(1) đúng với n =k+1

Với n = 1 VT=1 =>VT<VP=>(1) đúng

VP=2

Giả sử (1) đúng với n = k;tức là:

=>(1) đúng khi n = k+1 Vậy: (1) đúng với nN*

Cộng 2 vế với ,ta có: :

Ta cm:

Theo bdt cosi:

(đúng)

Với n = 2 VT=1/(2+1)+1/4=7/12>VP =>(1) đúng Giả sử (1) đúng với n = k;tức là:

=>MĐ đúng khi n = k+1 Vậy: (1) đúng với nN* Với n=k+1,ta có:

Vì 1/(2k+1)+1/2(k+1)>1/2(k+1)+1/2(k+1)=1/(k+1)

Với n = 2 VT=1/(1-14)=3/4=VP =>(1) đúng

Giả sử (1) đúng với n = k>1;tức là:

=>(1) đúng khi n = k+1 Vậy: (1) đúng với nN* Nhân 2 vế với [1 -1/(k+1) 2 ], ta được:

VP=

+)n=1=>U 1 =7.2 0 +3 1 =10 chia hết cho 5 =>(1) đúng

Giả sử (1) đúng với n = k;tức là:

=>(1) đúng khi n = k+1 Vậy: (1) đúng với nN*

Chia hết cho 5

Khi đó với n=k+1, ta có:

Chia hết cho 5

chia hết cho 5

=>U n+1 chia hết cho 5