a.Chứng minh rằng đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng AB'D' b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A' C và mặt phẳng AB'D' là trọng tâm của tam giác AB ' D'... Chứng minh hai đườ
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'
Với hình lập phương
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
(0; 0; 0) ; ( ; 0; 0) ; ( ; ; 0) ; D(0; ;0)
'(0; 0; ) ; '( ; 0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )
Với hình hộp chữ nhật
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
(0; 0; 0) ; ( ; 0; 0) ; ( ; ; 0) ; D(0; ;0)
'(0; 0; ) ; '( ; 0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)
Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD.A'B'C'D' Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của
hai đường chéo của hình thoi ABCD
D
D’
C
A’
B’
O O’
x
y
Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và
đường cao SOh
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
2
2
; 0
; 0
; 2
C
a A
0; ; 0 ; 0; ; 0 ; (0; 0; )
Với hình chóp tam giác đều S.ABC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và
đường cao bằng Gọi I là trung điểm h
của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho I(0;0;0)
Khi đó : ; 0; 0 ; ; 0; 0
B’
C B
D’
A’
C’
y z
x
z
B
D
C
A
O S
x
y z
H
C A
I
S
y z
Trang 20; 3; 0 ; S 0; 3;
Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD)
ABCD là hình chữ nhật ABa AD; b
chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó : B a ; 0; 0 ; C a b; ; 0
D0; ; 0 ; (0; 0; )b S h
Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA (ABCD)
ABCD là hình thoi cạnh a
chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho O(0;0;0)
Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại A
Tam giác ABC vuông tại A có
đường cao bằng
;
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó : B a ; 0; 0 ; C 0; ; 0 b
S 0; 0; h
Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại B
Tam giác ABC vuông tại B có
đường cao bằng
;
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
B
D
C
A
O S
x
y z
B
D
C
A
O S
x
y z
B
C A
S
x y z
z
S
ThuVienDeThi.com
Trang 3cho B(0;0;0)
Khi đó : A a ; 0; 0 ; C 0; ; 0 b
Sa; 0;h
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông tại C
ABC vuông tại C
chiều cao bằng h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho C(0;0;0)
Khi đó : A a ; 0; 0 ; B 0; ; 0 b
( ; ; )
2 2
a b
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông tại A
ABC vuông tại A
chiều cao bằng h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó : B a ; 0; 0 ; C 0; ; 0 b
(0; ; )
2
a
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông cân tại C
Tam giác ABC vuông cân tại C có
đường cao bằng
H là trung điểm của AB
B
C
S
z
B
H
C A
H S
x y z
B A
S
y
z
ThuVienDeThi.com
Trang 4Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho H(0;0;0)
Khi đó : ; 0; 0 ; A 0; ; 0
B 0; ; 0 ; S 0; 0;
2
a
h
II Bài tập áp dụng
Bài toán 1 Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB,OBC,OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O Gọi
lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh
, ,
rằng : cos2cos2cos2 1
( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
;
)
0
;
;
0
( b
B C(0;0;c)
) 0
;
;
( a b
)
; 0
;
Tìm vectơ pháp tuyến của :
Mặt phẳng (ABC)
Mặt phẳng (OBC)
Mặt phẳng (OCA)
Mặt phẳng (OAB)
n AB,AC (bc;ac;ab)
vì :
) 0 , 0 , 1 (
vì :
) 0 , 1 , 0 (
vì :
) 1 , 0 , 0 (
Sử dụng công thức tính góc giữa hai
mặt phẳng:
( ),( )
cos
( ),( )
cos
( ),( )
cos
cos
b a a c c b
c b
2 2 2 2 2 2
cos
b a a c c b
a c
2 2 2 2 2 2
cos
b a a c c b
b a
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
b a a c c b
b a a c c b
x
y
z
A
B C
C’
O
Trang 5Bài toán 2 Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau :
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a
a.Chứng minh rằng đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng (AB'D')
b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A' C và mặt phẳng (AB'D') là trọng tâm của tam giác AB ' D'
c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB'D') và (C'BD)
d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (DA'C) và (ABB'A')
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyznhư sau : O A(0;0;0) ;
)
;
0
;
0
(
A
;
)
0
;
0
;
(a
;
)
0
;
;
( a a
;
)
0
;
;
0
( a
a Chứng minh : A'C (AB'D')
' '
' '
D AB C
A AD C
A
AB C
A
Ta có :
)
;
; 0 ( '
)
; 0
; ( '
)
;
; ( '
a a AD
a a AB
a a a C A
Vì
' '
' '
0 0
' '
0 0
' '
2 2
2 2
AD C A
AB C A a
a AD
C A
a a
AB C A
Nên A'C mp(AB'D')
b Chứng minh : G là trọng tâm của
tam giác AB ' D' Phương trình
tham số của đường thẳng A' C
) ( :
t a
z
t
y
t
x
C
Phương trình tổng quát của mặt
phẳng (AB'D')
0 :
)
'
'
(AB D x yz
Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng (AB'D')
Gọi G A'C(AB'D') Toạ độ giao điểm G của đường thẳng A' C và mặt phẳng (AB'D')
3 2 3 3
a y
a x
z y x
t a z
t y
t x
(1)
3
2
; 3
; 3
a a a G
B’
A
B
C D
D’
A’
C’
G
x
y z
Trang 6 ,' ' ( 2; 2; 2)
3
2 3
3 3
3 3
' '
' '
' '
a z
z z z
a y y y y
a x x x x
D B A G
D B A G
D B A G
So sánh (1) và (2), kết luận
Vậy giao điểm G của đường chéo A' C và mặt phẳng (AB'D') là trọng tâm của tam giác AB ' D'
c Tính d(AB'D'),(C'BD)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
)
'
(C BD (C'BD):x yza0
đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
)
'
(C BD n2 C'B,C'D(a2;a2;a2)
Ta có : (AB'D'):x yz 0 (C'BD):xyza0
//
(AB'D') (C'BD)
3 ) ' ' ( , )
' ( ), ' '
d Tính cos(DA'C),(ABB'A')
Vec tơ pháp tuyến của
(ABB'A')
Oy
)
'
'
(ABB A j (0;1;0)
Vectơ pháp tuyến của (DA'C):
,' (0; 2; 2) 2(0;1; 1)
n
Vec tơ pháp tuyến của(ABB'A')là j (0;1;0)
Vectơ pháp tuyến của (DA'C): n3 (0;1;1)
2
1 ) ' ' ( ), ' ( cos DA C ABB A
A ABB C
Bài toán 3 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a
Chứng minh hai đường chéo B ' D'và A' Bcủa hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B ' D'và A' B
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc Oxyznhư sau :
) 0
;
0
;
0
(
A
;
)
0
;
;
0
( a
;
)
0
;
;
( a a
;
)
0
;
0
;
(a
Chứng minh B ' D'và A' B chéo
nhau, ta chứng minh ba vectơ
không đồng
' ,
'
;'
'D A B BB
B
phẳng
Ta có : B'D'(a;a;0)
A'B(0;a;a); BB'(0;0;a)
B'D,'A'B(a2;a2;a2)
A B
C D
D’
A’
B’
C’
x
y z
Trang 7Cần chứng minh
tích hỗn hợp của ba vectơ
khác 0
' ,
'
;'
'D A B BB
B
B'D,'A'B.BB' a3 0
ba vectơ không đồng phẳng
B'D;'A'B,BB'
hay B ' D'và A' B chéo nhau
Tính dB'D',A'B
] ' ,' ' [
' ] ' ,' ' [ '
,
'
'
B A D B
BB B A D B B
A
D
B
3
3 3
' , ' '
2 3 4
4 4
a
a a
a a
a B
A D B
Bài toán 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyzcho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi
AC cắt BD tại gốc toạ độ O Biết A(2;0;0); B(0;1;0); S(0;0;2 2) Gọi M là trung điểm của SC
1 Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM
2 Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N
Tính thể tích khối chóp S.ABMN
( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 )
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyznhư sau : O(0;0;0);
)
0
;
0
;
2
(
A B(0;1;0) S(0;0;2 2)
Ta có :
)
0
;
0
;
2
(
C D(0;1;0) M(1;0; 2)
;
2;0;2 2
A
C D
S
N
M
O
1a.Tính góc giữa SA và BM
Gọi là góc giữa SA và BM Sử dụng
công thức tính góc giữa hai đường thẳng
Ta có :
2 3
,
cos
BM SA
BM SA BM
SA
o
30
1b Tính khoảng cách giữa SA và BM
Chứng minh SA và BM chéo nhau Sử
dụng công thức tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau
;
) 2
; 0
; 2 2 ( ] , [SA BM AB(2;1;0)
0 2 4 ]
, [SA BM AB
3
6 2 4 8
2 4 ]
, [
]
, [ ) ,
AB SA
AB BM SA BM
SA d
2 Tính thể tích khối chóp S.ABMN MN//AB//CDN là trung điểm của SD
B
x
y z
Trang 8Dễ dàng nhận thấy :
) ( )
AMN S ABM S ABMN
Trong đó :
SB SM SA
6
1
SN SM SA
6
1
Toạ độ trung điểm N
; 2 2
1
; 0
;
) 2 2
; 0
; 2
;
) 2 2
; 1
; 0
) 0
; 2 4
; 0 ( ] ,
SA SM
3
2 2 6
2 4 ]
, [ 6
1
V S ABM
3
2 6
2 2 ]
, [ 6
1
V S AMN
.
.ABMN S ABM S AMN
V
Bài toán 5 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyzcho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;3;0);
)
0
;
0
;
4
(
B C(0;3;0) B1(4;0;4)
Tìm toạ độ các đỉnh ; Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng A1 C1
Gọi M là trung điểm của Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và
)
song song với BC1 ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2005 )
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Với :
)
0
;
3
;
0
(
A B(4;0;0) C(0;3;0) B1(4;0;4)
) 4
; 3
;
0
(
) 4
; 3
;
0
(
1
1
C
A
Toạ độ trung điểm M của A1B1
)4;
2
3
;
2
M
A
C 1
O
B 1 M
Toạ độ hai đỉnh ; A1 C1 Ta có : A1(0;3;4)mp(Oyz)
C1(0;3;4)mp(Oyz)
Phương trình mặt cầu có tâm là A
và tiếp xúc với mặt phẳng
)
(BCC1B1
Viết phương trình mp (BCC1B1)
Tìm bán kính của mặt cầu (S)
A,(BCC1B1)
d
Vectơ pháp tuyến của mp (BCC1B1)
) 0
; 16
; 12 ( ] ,
BC BB n
Phương trình tổng quát của mp (BCC1B1): (BCC1B1):3x y4 120
Bán kính của mặt cầu (S) :
5
24
R
576 )
3 ( :x2 y 2z2
Phương trình mặt phẳng (P) : Vectơ pháp tuyến của (P) :
A 1
z
x
y
Trang 9Tìm vectơ pháp tuyến của (P)
] , [ )
(
//
)
(
1 1
BC AM n
P
BC
P
AM
;
2
3
;
2
) 12
; 24
; 6 ( ] ,
AM BC
n P
Phương trình mặt phẳng (P) :
0 12 2 4 : ) (P x y z
Bài toán 6 Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); AC AD 4cm ;
; Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) ( trích đề thi tuyển sinh cm
AB 3 BC 5cm
ĐH&CĐ khối D năm 2002 )
Dựng hình :
ABC
AB2AC2 BC2 25
vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ
Đêcac vuông góc Oxyz như sau
)
0
;
0
;
0
(
A
O B(3;0;0) C(0;4;0)
;
)
4
;
0
;
0
(
D
Tính : AH dA , BCD( )
Viết phương trình tổng quát của
mặt phẳng (BCD)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD)
0 12 3 3 4 1 4 4 3 : ) (BCD x y z x y z
Sử dụng công thức tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt
phẳng
17
34 6 34
12 9 9 16
12 )
(
BCD A d
Bài toán 7 Cho hai nửa đường thẳng Axvà Byvuông góc với nhau và nhận ABa (a 0)là đoạn vuông góc chung Lấy điểm M trên Axvà điểm N trên sao cho By AM BN 2a Xác định tâm I và tính theo bán kính R a của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI
Dựng hình :
Dựng Ay'//By Ax Ay'
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc Axy' znhư sau :
)
0
;
0
;
0
(
A B(0;0;a) M ( a2 ;0;0)
)
;
2
;
0
( a a
N
A B
C
D
H I
x
y z
y
B
N
A
z
Trang 10Toạ độ trung điểm I của MN
2
;
;a a a I
1a Xác định tâm I của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABMN
Chú ý :
'
Ay Ax
By Ax
Hai tam giác AMN và BMN là hai tam giác vuông nhận MN là cạnh huyền nên trung điểm của MN là tâm
2
;
;a a a I
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN
1b.Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABMN
Ta có : MN a(2;2;1)
Bán kính mặt cầu :
2
3 2
a MN
2 Tính d(AM,BI)
Chứng minh AM và BI chéo
nhau
Sử dụng công thức tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau
Ta có : AM ( a2 ;0;0) ;
;
2
;
;a a a
) 2
;
; 0 ( ] , [AM BI a2 a2
5
5 2 ] , [
]
, [ ) ,
BI AM
AB BI AM BI
AM
Bài toán 8 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh Gọi E là điểm đối a
xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh
MN vuông góc với BD và tính (theo ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC ( trích đề thi a
tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )
Dựng hình :
Gọi O là tâm của hình vuông
ABCD SO( ABCD)
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyznhư sau :
; S ;
)
0
;
0
;
0
(
2
a
2
; 0; 0 2
a
; B
0
;
2
2
;
2
2
;
0 a
Toạ độ trung điểm P của SA P
; 0; ; (0; 2; 0)
Vì : MN.BD 0MN BD
S
C B
A
D P
N
M
E
O
x
y z
x
'
y
Trang 11; E
2
; 0 ;
h
Tính (theoa) khoảng cách giữa hai
đường thẳng MN và AC
Chứng minh MN và AC chéo nhau
Sử dụng công thức tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau
2
ah
2
Vì :
2
4
a h
MN AC AM
MN và AC chéo nhau
4 2
2
4 ]
, [
]
, [ ,
2 2
2
a h a
h a AC
MN
AM AC MN AC
MN
Bài toán 9 Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A; ADa AC, b AB, c
a Tính diện tích S của tam giác BCD theo a b c, ,
b Chứng minh rằng : 2S abc a b c
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó : B c ; 0; 0 ; C 0; ; 0 b
D 0; 0; a
Ta có : BC c b; ; 0
BD c; 0;a
Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
2
2
2
a Tính diện tích S của tam giác BCD
b
,
S BC BD a b a c b c
Chứng minh : 2S abc a b c
Ta có :
B
C A
D
x y z
Trang 122 2 2 2 2 2
2 BCD
Bài toán 10 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S độ dài các cạnh đáy bằng Gọi M, N lần a
lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC Tính theo diện tích tam giác AMN Biết rằng mặt phẳng a
(AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho I(0;0;0)
Khi đó : 0; 3; 0 ; ; 0; 0
; 0; 0 ; S 0; ; ; 0; ; 0
2 1
3
3
AMN SBCn1n2 n n 1 2 0
2
0
+ Pháp vectơ của mp (SBC) :
2 2
3
6
a
Diện tích tam giác AMN :
2
,
AMN
S AM AN
đvdt
4
90
a
Bài toán 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ; 2a SAa; SBa 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,
C
H
A B
I S
x
y
z
M
N
Trang 13BC Tính theo athể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN (
trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 )
Dựng hình :
Gọi H là hình chiếu vuông góc
của S trên AB SH (ABCD)
Ta có : SA2SB2 a23a2 AB2
vuông tại S
2
a SH
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyznhư sau :H(0; 0; 0); S
3
0; 0;
2
a
a
3
; 0; 0
2
a
a a
; N
; 0; 0
2
a
3
; ; 0 2
a a
3
; 0;
; ;
; 0;
3
; 2 ;
2 ; ; 0
+ Thể tích khối chóp S.BMDN
.
;
3 3 ,
2
a
SM SN SB
,
2
a
SM SN SD
3
,
SMNB
a
V SM SN SB
3
,
SMND
a
V SM SN SD
.
+ Công thức tính góc giữa SM, DN
SM DN
SM DN
+ Tính cosin của góc giữa SM, DN
1
5 3
4
a
SM DN
Bài toán 12 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, ABBCa, cạnh bên
Gọi M là trung điểm của BC Tính theo thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 )
Dựng hình :
S
A
B
C
D
N
M
x
y z
A’
C’
z
B’
y
ThuVienDeThi.com
