Toán học lớp 12 Phương pháp tọa độ trong không gian27258

Dạng 3: Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểm và cĩ tâm thuộc mặt phẳng tọa độ.. Dạng 4: Lập phương trình mặt cầu đi qua hai điểm và có tâm thuộc trục tọa độ.. Viết phương trình mặt cầ

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A Hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian.

Hệ trục tọa độ Oxyz là hệ trục gồm có ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một

Tức là:

Oy z

x Oy O Ox









- Hệ trục tọa độ Oxyz gồm có các thành phần sau:

o Góc tọa độ O: O(0;0;0)

o Trục tọa độ:

 Trục Ox: Gọi là trục hoành Trục Oy: Gọi là trục tung Trục Oz: Gọi là trục cao

o Các vectơ đơn vị và vecto chỉ phương của các trục tọa độ:

 Trục Ox: Có vecto đơn vị và Ox có vecto chỉ phương là ri1; 0; 0

 Trục Oy: Có vecto đơn vị rj0;1; 0 và Oy có vecto chỉ phương rj0;1; 0

 Trục Oz: Có vecto đơn vị kr 0; 0;1 và Oz có vecto chỉ phương kr 0; 0;1

o Các mặt phẳng tọa độ:

 Có ba mặt phẳng tọa độ là: Mp(Oxy), mp(Oyz), mp(Ozx)

 Ba mặt phẳng tọa độ vuông góc với nhau từng đôi một, tức là:

Oy

O x Oxy













 Mp(Oxy) có vecto pháp tuyến là: nr    kr r ri j, 

 Mp(Oyz) có vecto pháp tuyến là: nr   ri r rj k, 

 Mp(Ozx) có vecto pháp tuyến là: nr   rj k ir r, 

B Tọa độ của điểm:

Tọa độ của OM chính là tọa độ của điểm M, tức là:

uuuur

OMuuuurx iry jrz kr M x y z

o Đặc biệt: Gốc tọa độ O(0;0;0).

o Điểm M(a;b;c) thuộc trục tọa độ:

 M Ox M(a;0;0) NX: Điểm nằm trên trục Ox luôn có tung độ và cao độ =0.

 M Oy M(0;b;0) NX: Điểm nằm trên trục Oy luôn có hoành độ và cao độ =0.

 M Oz M(0;0;c) NX: Điểm nằm trên trục Oz luôn có hoành độ và tung độ =0.

o Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng tọa độ:

 M (Oxy) M(a;b;0) NX: Điểm nằm trên mp Oxy luôn có cao độ =0

 M (Oyz) M(0;b;c) NX: Điểm nằm trên mp Oyz luôn có hoành độ =0.

 M (Ozx) M(a;0;c) NX: Điểm nằm trên mp Ozx luôn có tung độ =0.

z

r

k

x

r

i

r

O

C Tọa độ của vectơ : ar a i1.ra j2.ra k3.r  ar ( ;a a a1 2; 3) Đặc biệt: 0r(0; 0; 0)

D Các tính chất của vectơ.

Cho ar a a a1; 2; 3,br b b b1; 2; 3 và số k tuỳ ý, ta có:

1 Tổng và hiệu của hai vectơ Là một vecto a br r a1b a1; 2b a2; 3b3

2 Tích của vectơ

 Tích của vecto với một số Là một vecto k a.r k a k a k a ; 1 2; 3.

 Tích vô hướng của hai vecto: Là một số

o a br r a b1 1 a b2 2a b3.3 Đặc biệt: a br r   0 ar br

 Tích có hướng của hai vecto: Là một vecto

2 3 3 1 1 2

a a a

b b b

a b

r r

a b

   

 

r r r r

b

r

3 Độ dài vectơ Là một số không âm.

1 2 3

4 Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau.

1 1

2 2

3 3

a b

a b







  

 



r r

ar kbr ar b

r

5 Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài.

o   Cần nhớ: Góc giữa hai vectơ là góc tùy ý

os a,

a b

a b



r r

r r

r r

o Đặc biệt: cos a, r rb  0   0

a,b 90 

r r

ab

r r

E Tính chất của vecto đối với tọa độ của điểm

Cho hai điểm A x A;y A;z A, Bx B;y B;z B Khi đó:

uuur

 B A; B A; B A

AB x x y y z z

uuur

2 Độ dài AB: Độ dài đoạn thẳng AB bằng độ dài

uuur

AB

uuur

.

AB uuuABr  x x  y y  z z

Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B

3. Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: ; ;

x x y y z z

4 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: ; ;

x x x y y y z z z

F Vecto vuông góc, vecto cùng phương

 Hai vecto vuông góc với nhau: Hai vecto vuông góc thì có tích vô hướng bằng 0

o ar  br a br r 0

o ar  br  a,r rb 900cos a, r rb 0

 Hai vecto cùng phương

o Hai vectơ , cùng phương a

r

b

r

a b

 

r rr

o Hai vectơ , cùng phương a hoặc

r

b

r

a kb

 r r brk ar

o Hai vectơ , cùng phương a hoặc với mẫu số 0

r

b

r

3

1 2

1 2 3

a

a a

1 2 3

b

b b

G Vecto đồng phẳng, vecto không đồng phẳng

 Ba vectơ a b, , c đồng phẳng

r r r

, c 0

a b

 

r rr

 Ba vectơ a b, , c không đồng phẳng

r r r

, c 0

a b

 

r rr

H Các tính chất về điểm thường áp dụng.

 Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi 2 vecto AB AC, cùng phương

uuur uuur

AB AC

uuur uuurr

 Ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi 2 vecto AB AC, không cùng phương

uuur uuur

AB AC

uuur uuurr

 Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi 3 vecto AB AC, , AD đồng phẳng

uuur uuur uuur

AB AC

uuur uuurA uuur

 A, B, C, D không đồng phẳng khi 3 vt AB AC, , AD không đồng phẳng

uuur uuur uuur

AB AC

uuur uuurA uuur

I Diện tích tam giác ABC: 1 ,

2

ABC

S  AB AC

uuur uuur

J Diện tích HBH ABCD: S ABCD  AB AC, 

uuur uuur

K Thể tích tứ diện ABCD: 1 , D hoặc

6

ABCD

V  uuuAB ACr uuurAuuur 1 .

3

ABCD

V  B h

Các dạng toán thường gặp.

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm tọa điểm, tọa độ vectơ, vectơ bằng nhau:

Bài 1: Tìm tọa độ điểm M biết:

OM i j k

OM j k

OM i j

  

uuuur r r r

uuuur r r

uuuur r r

4 1; 2;3 , A(1;-1;2)

5 2 , A(-1;-1;3)

6 3 2 , A(0;-1;-2)

AM

AM i k

AM i j k



 

   

uuuur uuuur r r uuuur r r r

Bài 2: Cho năm điểm A(1;2;2), B(2;-2;0), C(0;-2;-1), D(-2;0;-1)

1. Tính tọa độ trung điểm các đoạn thẳng: AB, AC, AD

2. Tính tọa độ trọng tâm các tam giác sau: ABC, ABD

Bài 3:

1 Cho hai điểm A(1;2;3), B(4;5;6) Tìm điểm C sao cho A là trung điểm BC

2 Cho hai điểm M(-1;0;3), N(0;2;-3) Tìm điểm E sao cho N là trung điểm ME

Bài 4: Cho ba điểm A(1;2;2), B(2;-2;0), C(0;-2;-1)

1 Tìm điểm M sao cho A là trọng tâm tam giác BCM

2 Tìm điểm N sao cho B là trọng tâm tam giác ANC

Bài 5: Tìm tọa độ điểm M biết: Vận dụng hai vecto bằng nhau

với A(2;1;0), B(-2;0;1)

1 MAuuur2uuuAB OAruuur

với A(2;1;4), B(-2;3;1)

2 3MAuuur2MBuuur 0r

với A(2;1;0), B(-2;0;1)

2

3MAuuur  MBuuur

Bài 6:

1 Cho ba điểm A(1;6;3), B(1;2;-3), C(0;2;-4) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

2 Cho hai điểm A(1;-7;3), B(1;2;-9) Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành

3 Cho hai điểm M(1;-1;3), N(1;0;-4) Tìm tọa độ điểm P để tứ giác OMNP hình bình hành.

Dạng 2: Vectơ cùng phương với nhau: cùng phương a

r

b

r

a b

 

r rr

Bài 1: Xét sự cùng phương của các vectơ sau

1 1;1;1 , b 2; 2; 2 , 2; 2;1 , b 2; 2; 1

2 2;1; 2 , b 2; 1; 0 1;3; 0 , b 2; 1; 0

Bài 2: Cho ba điểm A(1;2;3), B(1;2;-3), C(0;2;-4) Chứng minh rằng A, B, C không thẳng thàng

Bài 3: Cho hai điểm A(1;2;-3), B(9;-8;1), C(-1;1;2) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng

Dạng 3: Vectơ vuông góc với nhau ar  br a br r 0

Bài 1: Cho ar m; 6; 5 , b  r m; m; 1 Tìm m để ar br

Bài 2: Cho ar m;3; 2 , b  rm; m; 1 Tìm m để ar br

Bài 3: Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0) Chứng minh tam giác ABC vuông

Bài 4:

1 Cho ba điểm A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4) Chứng minh tam giác ABC vuông Tính diện tích tam giác

2 Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0) Chứng minh tam giác ABC vuông

3 Cho ba điểm, M(0;1;1), N(1;0;4) P(-1;1;2) Chứng minh tam giác vuông

4 Cho ba điểm A(1;0;3), B(2;2;4), C(0;3;-2) Chứng minh tam giác ABC vuông

5 Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A

Dạng 4: Độ dài vectơ, chu vi và diện tích tam giác.

Bài 1: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều Tính diện tích tam giác

Bài 2: Cho ba điểm A(2;2;0), B(2;0;2), C(0;2;2) Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều Tính diện tích tam giác

Dạng 5: Chứng minh A, B, C, D đồng phẳng và không đồng phẳng, tính thể tích tứ diện ABCD

Bài 1: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1)

1 Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD

Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5) CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện Tính thể tích

tứ diện ABCD

Bài 3: Cho ba điểm A(1;-4;1), B(2;1;2), C(1;-1;1) Chứng minh O, A, B ,C không đồng phẳng

Bài 4: Cho bốn điểm A, B, C, D thỏa mãn OAuuur   ri rj 2kr, OBuuur ri 3rj2kr , OCuuur  4ri 3rj2kr , ODuuur  4ri rj 2kr

1 Xác định tọa độ các điểm A, B, C, D Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng

- Phương trình mặt cầu

- Phương trình mặt phẳng

- Phương trình đường thẳng.

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1 Phương trình mặt cầu: Có hai dạng phương trình mặt cầu.

Dạng 1: Phương trình chính tắc của mặt cầu

Mặt cầu cầu (S) có tâm I(a;b;c) có bán kính R

Phương trình mặt cầu có dạng:   2  2 2 2

xa  y b  z c R

Dạng 2: Phương trình mặt cầu ở dạng khai triển

Từ pt   2  2 2 2

xa  y b  z c R

Ta khai triển hằng đẳng thức, ta được: 2 2 2 2 2 2 2

2ax-2by-2cz+a +b +c -R =0

x y z 

Ta đặt d=a +b +c -R2 2 2 2, ta được phương trình: x2y2z22ax-2by-2cz+d=0

Như vậy ta có hai dạng phương trình mặt cầu:

o Mc (S):   2  2 2 2 có tâm I(a;b;c) và bán kính R

xa  y b  z c R

o Mc (S): x2y2z22ax-2by-2cz+d=0 có I(a;b;c) và bán kính 2 2 2

R a b c d

2 Các dạng toán về phương trình mặt cầu: Có hai dạng toán về phương trình mặt cầu

- Dạng 1: Cho phương trình mặt cầu xác định tâm và bán kính mặt cầu hoặc cho các yếu tố liên quan đến mặt cầu

xác định tâm và bán kính mặt cầu

- Dạng 2: Cho các yếu tố liên quan đến mặt cầu viết phương trình mặt cầu

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu.

Mc (S):   2  2 2 2

xa  y b  z c R

Có tâm I(a;b;c) và bán kính R

Mặt cầu (S): 2 2 2

2ax-2by-2cz+d=0

x y z 

 Có tâm I(a;b;c) với



a =he ä soá x b =he ä soá y c =he ä soá z

 Bán kính: R a2b2c2d

Bài tập về xác định tâm và bán kính mặt cầu.

Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S)

1 x-1 2 3 4 2 x+1 2 3 9

3 x-2 1 2 4 x 3 3 36

Bài 2: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S)

1 x y z 2x4y6z 2 0 2 x y z 2x4y6z 1 0

Bài 3: 1 Xác định tâm và bán kính mặt cầu cĩ tâm A(1;2;3) và đi qua điểm B(;3;4;2)

2 Xác định tâm và bán kính mặt cầu cĩ đường kính AB với A(1;2;3) và B(-1;0;4)

Bài 4: Xác định bán kính mặt cầu cĩ tâm I(5;-6;-4) và Tiếp xúc với trục Ox Tiếp xúc với trục Oy Tiếp xúc với trục Oz

Bài 5: Xác định bán kính mặt cầu cĩ tâm I(3;-4;-5) và Tiếp xúc với mp(Oxy) Tiếp xúc với mp(Oyz)

Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu.

A Lập phương trình mặt cầu dạng   2  2 2 2

xa  y b  z c R

 Cách giải: Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu

Các dạng phương trình mặt cầu thường gặp.

 Dạng 1:

 Mặt cầu cĩ tâm I và bán kính R

 Mặt cầu cĩ tâm I và đường kính d

 Cĩ bán kính là:

2

d

R

 Dạng 2: Mặt cầu cĩ tâm A và đi qua điểm B

 Cĩ bán kính là: R=AB

 Dạng3: Mặt cầu cĩ đường kính AB

 Cĩ tâm là trung điểm I của đoạn thẳng AB

 Cĩ bán kính là R=

2

AB

 Hoặc cĩ bán kính R=IAIB

 Dạng 4: Mặt cầu cĩ tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)

2 2 2

Ax , ( ) By Cz D

R d I P

A B C

  

 

 Hoặc cĩ bán kính R=IH với H là hình chiếu vuơng gĩc của I lên (P)

 Dạng 5: Mặt cầu cĩ tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d

 Cĩ bán kính là Rd I d ,

 Hoặc cĩ bán kính R=IH với H là hình chiếu vuơng gĩc của I lên d

B Lập phương trình mặt cầu dạng: x2y2z22ax-2by-2cz+d=0

 Cách giải: Lập hệ phương trình với bốn phương trình và bốn ẩn a, b, c, d

1 Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D

Phướng pháp

 Pt mặt cầu (S) cĩ dạng: x2y2z22ax-2by-2cz+d=0(*)

 Vì A, B, C, D thuộc (S):







 





thế tọa đo äđiểm A vào pt (*)

thế tọa đo äđiểm B vào pt (*)

thế tọa đo äđiểm C vào pt (*)

thế tọa đo äđiểm D vào pt (*)

- Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta tìm được a, b, c, d

- Sau đĩ thế a, b, c, d vào pt (*)

Chú ý: Đề bài cĩ thể hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chĩp

2 Dạng 2: Lập Pt mc qua ba điểm A, B, C và cĩ tâm thuộc mp (P): Ax+By+Cz+D=0.

Phướng pháp

o Pt mặt cầu (S) cĩ dạng: x2y2z22ax-2by-2cz+d=0(*)

o Vì tâm I(a;b;c) thuộc (P), nên: A.a+B.b+C.c+D=0

o Vì A, B, C thuộc (S) nên suy ra hệ 3 phương trình:

o Nên ta cĩ hệ bốn pt là:

A aB b C c  D













thế tọa đo äđiểm A vào pt (*)

thế tọa đo äđiểm B vào pt (*)

thế tọa đo äđiểm C vào pt (*)

3 Dạng 3: Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểm và cĩ tâm thuộc mặt phẳng tọa độ

Phương pháp: Vận dụng điểm thuộc mặt phẳng tọa độ

4 Dạng 4: Lập phương trình mặt cầu đi qua hai điểm và có tâm thuộc trục tọa độ

Phương pháp: Vận dụng điểm thuộc trục tọa độ

3 Vị trị trí tương đối của mặt cầu.

a Vị trí tương đối của điểm A với mặt cầu: Có 3 vị trí tương đối.

- Điểm A nằm trong mặt cầu IA<R

- Điểm A nằm trên mặt cầu IA=R

- Điểm A nằm ngoài mặt cầuIA>R

b Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

- Mặt phẳng và mặt cầu có ba vị trí tương đối:

+ Mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung

+ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm

+ Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn Cho mặt phẳng (P) có phương trình: Ax+By+Cz+D=0

Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R

Tính khoảng cách hd I P , ( ), sau đó so sánh h với R

1 Nếu h>R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung

2 Nếu h=R thì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại một điểm H Khi đó:

a Mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu

b Điểm H gọi là tiếp điểm

c IH vuông góc với mặt phẳng (P), H chính là hình chiếu vuông góc của tâm I lên mp(P)

3 Nếu h<R thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C)

a Các bước xác định tâm H và bán kính r của đường tròn (C)

i Bước 1: Tính bán kính r R2h2 với hd I P , ( )

ii Bước 2: Xác định tâm H Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I lên mặt phẳng (P), khi

đó H chính là tâm đường tròn (C)

c Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

- Đường thẳng và mặt cầu có ba vị trí tương đối

+ Đường thẳng và mặt cầu không có điểm chung

+ Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm

+ Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt

Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R

Cho đường thẳng d có pt tham số hoặc chính tắc

Tính khoảng cách hd I d , , sau đó so sánh h với R

1 Nếu h>R thì đường thẳng d và mặt cầu (S) không có điểm chung

2 Nếu h=R thì đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại một điểm H Khi đó:

a Đường thẳng d gọi là tiếp tuyến của mặt cầu

b Điểm H gọi là tiếp điểm

c IH vuông góc với d H chính là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng d

3 Nếu h<R thì đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B Để xác định A, B ta đi giải hệ phương trình

Bài tập về lập phương trình mặt cầu

Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng:   2  2 2 2.

xa  y b  z c R

Loại 1: Mặt cầu có tâm I và bán kính R

Cách giải: Xác đinh tâm I và bán kính R.

Bài 1: Cho ba điểm A(1;2;1), B(2;0;1), C(0;2;2)

1 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và bán kính bằng 3

2 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và bán kính bằng BC

3 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ và có tâm là B

4 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và đi qua C

Bài 2: Cho ba điểm A(-1;2;1), B(1;0;2), C(-1;4;-2)

1 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và đường kính bằng 10

2 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm C và bán kính bằng đoạn thẳng AB

3 Viết phương trình mặt cầu có đường kính BC

4 Viết phương trình mặt cầu có đường kính OC

Loại 2: Mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng

Cách giải: Bán kính R bằng khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng.

Bài 1:

1. Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mặt phẳng (P): 2x-2y-z-1=0

2 Viết pt mc (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc mp (P): 16x-15y-12z-75=0

Bài 2:

1 Cho hai điểm phân biệt K(1;2;-2), H(-3;-8;2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là trung điểm đoạn thẳng

KH và tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình 2x-2y-z-27=0

2 Cho ba điểm M(1;2;-2), N(3;2;2), P(2;2;-27) Viết pt mặt cầu (S) có tâm là trọng tâm tam giác MNP và tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình 2x-y-2z-27=0

3 Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;0;0), C(0;-2;0), D(0;0;-2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)

Bài 3:

1 Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;-1;3) và tiếp xúc với mp(Oxy)

2 Viết phương trình mặt cầu có tâm I(0;-1;2) và tiếp xúc với mp(Oyz)

Loại 3: Mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng

Cách giải: Bán kính R bằng khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng.

Bài 1:

1. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;1) và tiếp xúc với đt d:

1 1 1

2 2

y t

 



  



  



2. Viết phương trình mặt cầu có tâm B(2;-1;0) và tiếp xúc với đt d: 2

x  y z



Bài 2:

1 Cho A(1;1;0), B(1;0;1), C(0;1;1) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với cạnh BC

2 Cho ba điểm A(2;1;0), B(1;0;2), C(0;2;1) Viết phương trình mặt cầu có tâm là một đỉnh của tam giác ABC và tiếp xúc với cạnh đối diện

Bài 3:

1 Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;-1;3) và tiếp xúc với trục Ox

2 Viết phương trình mặt cầu có tâm I(-1;-1;2) và tiếp xúc với trục Oy

Dạng 2: Mặt cầu qua bốn điểmADCT x2y2z22ax2by2cz d 0.

Cách giải: Lập hệ phương trình tìm a, b, c, d.

Bài 1: Cho ba điểm M(-5;-4;-3) Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục tọa độ

1 Viết phương trình mặt cầu (S) qua 4 điểm O, A, B, C

2 Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó Tính thể tích khối cầu ngoài tiếp tứ diện

Bài 2:

1 Cho ba điểm A(1;2;0), B(0;-1;-2), C(-2;0;-1) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

2 Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1)

3 Cho bốn điểm M(1;0;1), N(2;1;2), P(1;-1;1), Q(4;5;-5) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn đỉnh tứ diện MNPQ

Dạng 3: Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng và thuộc mặt phẳng.

Bài 3:

1 Viết pt mặt cầu (S) qua ba điểm A(0;1;0), B(1;0;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x+y+z-3=0

2 Viết pt mặt cầu (S) qua ba điểm A(7;1;0), B(-3;-1;0), C(3;5;0) và có tâm thuộc mặt phẳng (P):18x-35y-17z-2=0

3 Viết pt mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): 2x+2y+2z-6=0

Bài 4:

1 Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm thuộc mặt phẳng (Oxy)

2 Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;-5;-4), B(1;-3;1), C(-2;2;-3) và có tâm thuộc mặt phẳng (Oxz)

Bài 5:

1 Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;1;0), B(5;5;0) và có tâm thuộc trục Ox

2 Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz

Dạng 4: Vị trí tương đối của mặt phẳng – đường thẳng và mặt cầu

Bài 1: Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S)

1 (P): 2x+2y+z+2=0 và (S):   2  2 2

x-1  y2  z 3 9

2 (P): x-2y-2z-3=0 và (S): x2y2z22x4y6z 2 0

Bài 2: Cho mặt cầu (S): 2 2 2 và mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0

x y z  x y z 

1 Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C)

2 Xác định tâm và tính bán kính đường tròn (C)

Bài 3: Cho mặt cầu (S):   2  2 2 và mặt phẳng (P): 2x-2y-z+9=0

x  y  z 

1 Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C)

2 Xác định tâm và tính bán kính đường tròn (C)

Bài 4: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt cầu (S)

1 d: và (S):

1 1 1

2 2

y t

 



  



  



2

x  y3  z 3 36

x y z

 

 2x22y22z24x6y8z100

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1 Vecto pháp tuyến của mặt phẳng Là vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng

Nhận xét:

- Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến và các vectơ pháp tuyến này cùng phương với nhau

- Nếu mp(P) có vectơ pháp tuyến là thì n cũng là vectơ pháp tuyến của mp(P)

r

k n

r

2 Các cách xác định vecto pháp tuyến của một mặt phẳng

 Cách 1: Tìm một vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng

 Cách 2: Tìm hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng rồi lấy tích có hướng.

3 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

 Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với A2B2C2 0

 Nếu mp(P) có phương trình tổng quát là Ax+By+Cz+D=0 thì mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là

 ; ; 

n A B C

r

4 Các cách viết phương trình mặt phẳng

 Cách 1: Áp dụng công thức Ax+By+Cz+D=0 rối đi tìm A, B, C, D

 Cách 2: Phương trình mặt đi qua điểm M x y z 0; 0; 0 và có vectơ pháp tuyến nr A B C; ;  phương trình tổng quát có dạng: A x x0 B yy0 C zz00

Như vậy: Để viết phương trình mặt phẳng ta cần:

 Tìm một điểm nằm trên mặt phẳng

 Tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng

 Sau đó áp dụng công thức: A x x0 B yy0 C zz00

5 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

Mặt phẳng đi qua ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) phương trình có dạng: x y z 1 với a, b, c, khác

a  b c

không

6 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian

- Hai mặt phẳng có ba vị trị trí tương đối

o Hai mặt phẳng cắt nhau

o Hai mặt phẳng song song

o Hai mặt phẳng trùng nhau

 Mp(P) đi qua điểm A và có vecto pháp tuyến n P

uur

 Mp(Q) đi qua điểm B và có vecto pháp tuyến n Q

uur

1 Mp(P) song song mp(Q):

a Hai mặt phẳng song song không có điểm chung

b Hai vecto pháp tuyến cùng phương với nhau, tức là: nuur uurP,n Q  0r

c Điểm A thuộc (P) nhưng không thuộc (Q)

d Điểm B thuộc (Q) nhưng không thuộc (P)

e Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh:

i Hai vecto pháp tuyến cùng phương với nhau, tức là: nuur uurP,n Q  0r

ii Điểm A thuộc (P) nhưng không thuộc (Q)

2 Mp(P) trùng với mp(Q):

a Hai mặt phẳng trùng nhau có vô số điểm chung, nghĩa là mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia và ngược lại

b Hai vecto pháp tuyến cùng phương với nhau, tức là: nuur uurP,n Q  0r

c Điểm A thuộc (P) và cũng thuộc (Q)

d Điểm B thuộc (Q) và cũng thuộc (P)

3 Mp(P) vuông góc với mp(Q):

a Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì hai vecto pháp tuyến vuông góc với nhau, tức là:

P Q

n n uur uuur

b Để chứng minh mp(P) vuông góc với mp(Q) ta chứng minh hai vecto pháp tuyến vuông góc với nhau, thứ là: n nuur uuuP Qr 

6 Các dạng phương trình mặt phẳng

 Dạng 1: Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng

o Mặt vuông góc với đường thẳng nhận vecto chỉ phương của đường làm vecto pháp tuyến

o Lưu ý: Đường thẳng có thể cho ở các dạng: Pt tham số, pt chính tắc hoặc pt đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt, hoặc đường là các trục tọa độ

 Dạng 2: Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước

o Hai mặt phẳng song song cung vecto pháp tuyến

 Dạng 3: Mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt A, B, C

o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n AB AC, 

r uuur uuur

 Dạng 4: Mặt phẳng đi qua hai điểm và A, B và vuông góc mp(P)

o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n AB n, P

r uuur uur

o Giả thiết đi qua hai điểm có thể thay bằng chứa một đường thẳng có pt tham số hoặc chính tắc.

 Dạng 5: Mặt phẳng đi qua điểm A và chứa đường thẳng d

o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n AB a, d với điểm B nằm trên d

r uuur uur

 Dạng 6: Mặt phẳng chứa đường thẳng d và song song đường thẳng d’, với d và d’ chéo nhau.

o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n a d,a d'

r uur uuur

 Dạng 7: Mặt phẳng chứa hai đường thẳng d và d’ cắt nhau.

o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n a d,a d'

r uur uuur

 Dạng 8: Mặt phẳng chứa hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.

o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n AB a, d hoặc

r uuur uur

' , d

n AB a 

r uuur uuur

o Với điểm A thuộc d và điểm B thuộc d’

 Dạng 9: Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q)

o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n n P,n Q

r uur uur

 Dạng 10: Mặt phẳng có vecto pháp tuyến và cách điểm M một khoảng bằng d

o Viết phương trình mặt phẳng ở dạng Ax+By+Cz+D=0 Áp dụng công thức tính khoảng cách để tìm

D

o Các trường hợp thường gặp:

 Đề cho vecto pháp tuyến

 Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng

 Mặt phẳng song song với mặt phẳng

 Dạng 11: Măt phẳng có vecto pháp tuyến và tiếp xúc với một mặt cầu:

o Viết phương trình mặt phẳng ở dạng Ax+By+Cz+D=0 Áp dụng công thức tính khoảng cách để tìm

D

o Các trường hợp thường gặp:

 Đề cho vecto pháp tuyến

 Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng

 Mặt phẳng song song với mặt phẳng

7 Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là: 0 0 0

2 2 2

A ( , ( )) x By Cz D

d M P

A B C

  



 

8 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song với nhau bằng khoảng cách

từ một điểm bất kì nằm trên mặt phẳng nay đến mặt phẳng kia hoặc ngược lại

Để tính khoảng cách giữa hai mp song song (P) và (Q) ta làm như sau:

 Chọn một điểm M thuộc (Q) Sau đó tính khoảng cách từ M đến (P)

          0 0 0

2 2 2

A , , x By Cz D

d P Q d M P

A B C

  

 

Chú ý: Khoảng cách là một số không âm

Các dạng bài tập về phương trình mặt phẳng

1 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;-3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

1 2x-2y-z-10=0 2 3x-4y+10=0 3 x-2y-2z=0

Bài 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

1 (P): 2x+y+z-2=0 và (Q): 2x+y+z+3=0 2 (P): x-y+2z-4=0 và (Q): -x+y-2z+1=0

Bài 3:

1 Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): -x+2y-2z-33=0

2 Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn AB đến mp(P): x-y-z-1=0 , với A(1;0;2),B(-1;2;4)

3 Cho A(1;2;3), B(-1;-2;-3), C(3,-9,27) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z=0.Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (P)

Bài 4: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15) và mp(P): 2x-2y-z=0

1 Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (P)

2 Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng AB đến mp(P)

3 Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng BC đến mp(P)

Bài 5: Tính khoảng cách từ điểm M(-2;1;3) đến các mặt phẳng tọa độ

2 Viết phương trình mặt phẳng

Dạng 1: Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng d co trước

Nhận xét:

- Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng sẽ vuông góc với giá của đường thẳng d

- Do đó mặt phẳng sẽ nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm vecto pháp tuyến.

Bài 1: Cho ba điểm I(1;2;0), J(0;-1;-2), K(-2;0;-1).

1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua I và vuông góc với JK

2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với IJ

3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua I và vuông góc với trục Ox

4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua K và vuông góc trục Oz

Bài 2: Cho điểm E(1;-2;-3) và hai đường thẳng d: , d’:

2

1 2

1 2

 



  



  



x y z

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua E và vuông góc với đường thẳng d

2. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua E và vuông góc với đường thẳng d’

3. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và vuông góc với đường thẳng d

4. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và vuông góc với đường thẳng d’

Bài 3:

1 Cho hai đường thẳng d: , d': Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng

1 2 2

1 3

 



  



   



x  y  z

d’ và vuông góc với đường thẳng d

2 Cho đường thẳng d: Viết pt mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với trục Ox

1 2 2

1 3

 



  



   



Trường hợp Đặc biệt: Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng.

- Mặt phẳng trung trực đi qua trung điểm AB

- M ặt phẳng trung trực nhận AB làm vecto pháp tuyến

uuur

Bài 1:

1 Cho hai điểm A(2;1;0), B(-2;-3;4) Viết pt mp trung trực của đoạn thẳng AB