GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAYBài 1.. Tính các tích phân sau :... Tính các tích phân sau :... Tính các tích phân sau :... Tính các tích phân sau :... Tính các tích phân sau :.. Tính c
Trang 1GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY
Bài 1 Tính các tích phân sau :
.
1 5
2 2
1
1
1
x
x x
1 2
2 2 1
1
e p
x
x
0
1
1
x
GIẢI
.(ĐHTM-2001)
1 5
2
2
1
1
1
x
x x
- Chia tử và mẫu cho 2 Ta được :
0
x
Đặt
2
2
2
1 1
( )
1
1
x
f x
x
x
2
1
( ) ( )
1
1 5
2
2
;1 1 tan os
4
os 1 tan
0
4
du
du
c u
( ĐHTNguyên-98)
1
2
2
2
1
1
e
p
x
x
2 2 2 2
( )
1
p
p
x dx
f x dx
x
2 1
1
p
e
p
t
2
1
2
os tan
4
4
du dt
du
c u
4
u e u u I
.
1
4
0
1
1
x
( )
Trang 2 Tính J : Phân tích : 2 2
4 2 2
1 1 1
( )
1 1
g x
x x x
2
3
2
dt
Vậy : 1 ln 2 3 / 2 1 ln 2 1
1
t J
t
Tính K Phân tích :
4 2 2
1 1 1
( )
1 1
x x
h x
x x x
5 / 2
2 2
1
*
2 5
2
dt
Thay hai kết quả của J và K vào ta tìm ra I
Bài 2 Tính các tích phân sau :
6
0
1
1
1
x
dx
x
0
1
1 n
x
dx n x
1
0
1 3
1 m m1 m
GIẢI
6
0
1
1
1
x
dx
x
( )
f x
3
2
d x
1
0
1
1 n
x
dx n x
1
Trang 3 Vậy : 2 1 2
2
1
n
I n
1
0
1
3
1x m m1x m
1 1
1
m
m
t dt
m
Vậy :
1
1 2
1 1 1
( )
1 1
m m m
m
m
dt
f x dx
t
t t
t t
t
Đặt :
1
1
1
2
m
m
m
m
m
du mt dt dt
t
0
1/ 2
m
u du u
Bài 3. Tính các tích phân sau :
1002
2
0
1
x
dx DHQG A x
Chứng minh rằng : ( ĐH-Thái Nguyên KG-2001 )
0
sin s inx+n dx 0
GIẢI
1002
2
0
1
1
x
dx x
2000 2
2
1
2 1
2
x xdx
dt xdx x t x t
1000 2
1
t dt
1
2
1
2 Chứng minh : 2
0
sin s inx+n dx 0
- Đặt : t2 x x 2 t; x 0,t2 x2 ; t0 Khi đó :
Trang 4- f(x)dx= sinsin t n 2t dt sin sin t nt n2 sin s inx+nx I
- Vậy : 2I=0 hay I=0 ( đpcm)
Bài 4 Tính các tích phân sau :
( ĐHLâm Nghiệp - 2000)
2
0
1
1
x
x
x
Tính ( ĐHSPI-98)
: ( ) ( ) 2 2 cos 2
b Cho f x f x x
3
3
( )
I f x dx
GIẢI
.
2
0
1
1
x
x
x
Đặt :
2
(*)
t
- Tính H : 1 2
1
t
H e e
2 1
(1)
t
- Vậy : I= 2 2
2
e
e
0
0
I f x dx f x dx f x dx
- Tính :
0
3
( )
f x dx
- Đặt :
; ( ) ( )
dx dt f x f t
Thay vào (1) ta được :
2
Trang 5Vậy : 2 sin 2 sin 3 / 2 6
Bài 5 Tính các tích phân sau :
(ĐHYHN-2001)
1 osx
2
0
1 s inx
ln
1 osx
c
c
1 2
0
1 ln
1
x
x
2
c x dx
GIẢI
; f(x)=
1 osx
2
0
1 s inx
ln
1 osx
c
c
ln 1 s inx1 osx 1 osx ln 1 s inx ln 1 osx
1 osx
c
c
f x( )ln 1 s inx ln 1 s inx d 1 s inx ln 1 cosx
ln 1 s inx ln 1 osx 1 s inx ln 1 s inx 2 s inx 2 2 ln 2 1
x
ln 1 s inx 2 ln 2 2 ln os
2 4
từng phần :
x
ln 1 osx ln 2 cos ln 2 2 ln cos
x
1
2
0
1
ln
1
x
x
2
1
0
1
0
x
x
3
2
2
c x dx
* Nhắc nhở học sinh không được áp dụng cách đặt : 1 ,vì hàm số cosx không xác
ost
x c
định với mọi x thuộc 2;3 1;1 Mà phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Trang 62 3 1
2 2
ln 2 1 ln 2
I
Bài 6. Tính các tích phân sau :
Áp dụng tính :
2 2
0
1
m
m
x
x
5 2
0 1
x dx x
Áp dụng : tính :
0
a
a x
a x
1
1 1
x dx x
GIẢI
2 2
0
1
m
m
x
x
1 ( )
x xdx x d x
f x
x t dt xdx x t
2 1
1
m
Vậy :
2 0
1 2 1
m
x
dx a b
m x
2 0
1 1
4 2 1
x
x
0
a
a x
a x
Đặt :
ost
a x a
x a c
x a t x t t
2
t
2 .sin 2 2 sin os
t
t
t
2 t
2
a
1
1
x
x
Trang 7Bài 7. Tính các tích phân sau :
Với : Áp dụng tính :
0
n
x
a x
6
x dx x
Áp dụng tính :
2
2 2
0
a x
2 1
2 2 0
1 1
x dx x
GIẢI
0
n
x
a x
1 ( )
n n
n
n
- Đặt :
osudu; a osu
1
6
dt a c t a c
n
- Vậy : 6
0
1
6 6 0
I du u
12
n a
2
2 2
0
a x
Đặt :
2
2
a t dt adt
b
a
os sin os2tdt= sin 2 sin 2
0
c
Áp dụng : a=1,b=1 suy ra : c= Ta có :
4
2 1
2 2 0
2 1
x dx x
Bài 8 Tính các tích phân sau
2
2 0
1
x
x e dx a
x
1
dx
b
x x
GIẢI
2
2 0
1
x
x e dx
a
x
Trang 8 Đặt : 2 2 2
t
t
t e tdt
x t xdx tdt
t
1
2
1 1
I t e dte J e e
J t e dt t e te dt e e te e dt e e te e
Do đó : 2 Thay vào (1) :
2
I e
2
1
b
x x
Ta có :
1
( )
1
A D x B E x A C x Bx C
A B C Dx E
f x
x x x x
Đồng nhất hệ số hai tử số :
1 1
1
x
x x x
2
2
1
x
Chú ý : Ta có thể sử dụng kỹ thuật " Nhẩy tầng lầu " phân tích :
f(x)=
2
1
Bài 9. Tính các tích phân sau
0
4
x dx a
x
0
os sin
os sin
c x x
GIẢI
0
4
x dx
a
x
Đặt : 2
3
( )
3
3
0, 4; 4, 2
u u du u u du
t u dt u du
u
3
3 4
2
u
Trang 9
4
2
0
os sin
os sin
c x x
Đặt :
dx dt
4
sin cos ( )
( )
os sin
t t dt
f x dx
c t t
Do đó : 0 43 3 2 43 3 Cộng (1) và (2) vế với vế :
0 2
sin cos ( ) sin cos
2
t t dt x xdx I
s inxcosx sin os
x c x
os2x 2
0
Bài 10 Tính các tích phân sau
2
2 2
0
1
os s inx
c
0
s inxln 1+sinx
GIẢI
Áp dụng công thức :
2
2 2
0
1
os s inx
c
Ta có :
2
2
1
os
c x
1
2
0
Ta có :
4 cos 2 s inx 1
cot s inx 1 tan s inx cot s inx 1
Tương tự : 2 2 2
4 cos 2 osx 1
tan osx 1
c c
Trang 10Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ,ta có :
2
0
s inxln 1+sinx
s inxln 1+sinx osx.ln(1+sinx) 2+ osx 0
1+sinx 1 s inx 0
x
0
2 0
Bài 11. Tính các tích phân sau :
2 0
x x x dx
0
cos 2
1 sin 2
x x
dx x
c Chứng minh : 2 6 2 5 Từ đó tính : J=
cos os6x c xdx cos xsin sin 6x xdx
0
os os7xdx
c x c
Giải
2
ln 3 ;
J J
x x
x
6
tan , ;
b
2
2
x-4
0
x
c
cos os6x c xdx cos xsin sin 6x xdx
2
0
os 6 cos s inxdx
1
os sin 6 2 os s inx.sin6xdx 1
6 dv=cos6x v= sin 6
0 6
x
Trang 11
os os x+6x os os6x.cosx-sinx.sin6x os os6xdx- os sin sin 6 0