Toán học Hàm phần nguyên và ứng dụng39856

T R NG I H C KHOA H C

Chuyên ng ành: Ph ng pháp Toán s c p

Mã s : 60.46.40

LU N V N TH C S TOÁN H C

Ng i h ng d n khoa h c: PGS TS T Duy Ph ng

THÁI NGUYÊN - 2010

Các kí hi u 2

L i nói đ u 3-4 Ch ng 1 Các ki n th c c b n v hàm ph n nguyên 5

§1 Khái ni m v ph n nguyên 5

§2 Các tính ch t c b n c a ph n nguyên 6

§3 Hàm ph n nguyên và đ th c a hàm ph n nguyên 11

Ch ng 2 Ph n nguyên trong toán s h c và đ i s .16

§1 Ph n nguyên trong các bài toán s h c 16

§2 Tính giá tr c a m t s ho c m t bi u th c ch a ph n nguyên 27

§3 Ch ng minh các h th c ch a ph n nguyên 31

§4 Ph ng trình và h ph ng trình ch a ph n nguyên 32

Ch ng 3 Ph n nguyên trong toán gi i tích 49

§1 M t s tính ch t gi i tích c a dãy ch a ph n nguyên 49

§2 Tính t ng h u h n c a dãy ch a ph n nguyên 53

§3 Tính gi i h n c a dãy ch a ph n d .…… 56

§4 Hàm s ch a ph n nguyên …… … 62

§5 Chu i s ch a ph n nguyên … … 67

K t lu n 77

Tài li u tham kh o 78

CÁC KÝ HI U

Trong cu n lu n v n này ta s d ng các ký hi u sau:

T p các s th c đ c ký hi u là 

T p các s th c không âm đ c ký hi u là 



T p các s h u t đ c ký hi u là 

T p các s nguyên đ c ký hi u là { , -2, -1, 0, 1, 2, }

T p các s t nhiên đ c ký hi u là {1, 2, 3, }

T p các s nguyên d ng đ c ký hi u là 

 ho c 

L I NÓI U

Do tính đ c đáo c a hàm ph n nguyên, thí d , hàm ph n nguyên v a

đ n gi n (là hàm h ng t ng khúc) l i v a ph c t p (gián đo n t i các đi m

nguyên nên khó áp d ng các công c c a gi i tích), nhi u bài toán hay v

ph n nguyên đã đ c s d ng làm đ thi h c sinh gi i các c p, trong đó có r t

nhi u các đ thi h c sinh gi i qu c gia và Olympic qu c t M t khác, hàm

ph n nguyên có nh ng ng d ng quan tr ng không ch trong toán h c ph

thông, mà còn trong nhi u v n đ c a toán ng d ng và công ngh thông tin

(làm tròn s , tính g n đúng, ) Ph n nguyên c ng th hi n s k t n i gi a

tính liên t c và tính r i r c, gi a toán gi i tích và toán r i r c nên khá thú v

Lí thuy t và bài t p v ph n nguyên r i rác đã có trong các sách và các

t p chí, th m chí đã là nh ng chuyên đ trong m t s sách v s h c (xem [3],

[5], [8]) Tuy nhiên, hình nh ch a có m t cu n sách nào vi t đ phong phú

và t ng h p v ph n nguyên ó chính là lí do đ tác gi ch n đ tài này làm

lu n v n cao h c

Lu n v n Hàm ph n nguyên và ng d ng có m c đích trình bày các

ki n th c c b n c a hàm ph n nguyên và ng d ng c a nó trong gi i toán s

c p, c th là trong s h c, đ i s và gi i tích (toán chia h t, gi i ph ng

trình, tính ch t c a dãy, tính gi i h n, tính t ng c a dãy, chu i, ch a ph n

nguyên) ng th i lu n v n c ng trình bày m i quan h m t thi t c a ph n

nguyên v i các d ng toán khác (dãy truy h i, nh th c Newton, h đ m, )

c bi t lu n v n t p h p m t kh i l ng l n các bài toán thi vô đ ch qu c

gia và qu c t minh h a cho lí thuy t v ph n nguyên

Lu n v n g m ba ch ng

Ch ng 1 trình bày các đ nh ngh a và tính ch t c b n c a hàm ph n nguyên và đ th c a hàm ph n nguyên

Ch ng 2 trình bày m t s d ng toán ch a ph n nguyên trong s h c

và đ i s (toán chia h t; tính toán và ch ng minh các h th c ch a ph n

nguyên; gi i ph ng trình và h ph ng trình ch a ph n nguyên; )

Ch ng 3 trình bày m t s d ng toán ch a ph n nguyên trong gi i tích

(các tính ch t nh tính b ch n, tính tu n hoàn c a dãy s ; tìm s h ng và tính

gi i h n c a dãy s , tính t ng h u h n c a dãy s , tính t ng c a chu i ch a

ph n nguyên, )

Nhi u ví d và bài toán t p h p trong lu n v n đã đ c đ a vào b n th o

cu n sách c a tác gi lu n v n vi t chung v i Th y h ng d n và Th c s

Nguy n Th Bình Minh Vì h n ch s trang lu n v n, trong m i ch ng,

chúng tôi c g ng trình bày các v n đ lí thuy t làm c s đ phân lo i và

t ng k t các ph ng pháp gi i t ng d ng toán ch a ph n nguyên Các ví d

minh h a ph ng pháp đ c l a ch n mang tính ch t đi n hình, s l ng l n

bài t p th hi n s phong phú muôn hình v c a ng d ng hàm ph n nguyên

trong gi i toán và đã đ c gi i chi ti t trong [2] nên không trình bày l i trong

lu n v n này

Lu n v n đ c hoàn thành d i s h ng d n khoa h c c a PGS TS T Duy Ph ng Xin đ c t lòng c m n chân thành nh t t i Th y

Tác gi xin chân cám n Tr ng i h c Khoa h c Thái Nguyên, n i tác

gi đã hoàn thành ch ng trình cao h c ngành toán

Và cu i cùng, xin cám n gia đình, b n bè và đ ng nghi p đã c m thông,

ng h và giúp đ trong su t th i gian tác gi h c cao h c và vi t lu n v n

Hà N i, ngày 15 tháng 9 n m 2010

Tác gi

Nguy n Th H ng H nh

Ch ng 1

§1 KHÁI NI M V PH N NGUYÊN

nh ngh a 1.1 Cho m t s th c x S nguyên l n nh t không v t quá

x đ c g i là ph n nguyên (integer part, integral part) hay sàn (floor) c a x

Ta th ng kí hi u ph n nguyên c a x là  x Nhi u tài li u g i ph n nguyên

c a x là sàn và kí hi u ph n nguyên c a x là x   , vì sàn có liên quan m t

thi t v i khái ni m tr n x   c a x Hai khái ni m tr n và sàn th ng đ c

s d ng trong tin h c Trong lu n v n này ta s dùng c hai kí hi u ph n

nguyên (sàn) là  x và x  

nh ngh a 1.2 Cho m t s th c x S nguyên bé nh t không nh h n x

đ c g i là tr n c a x và kí hi u là x  

nh ngh a 1.1 và nh ngh a 1.2 t ng đ ng v i:

 x z 1;

z x z z

  



  

x z z

  



  

và

x z

z x z z

  



  

z x z

  



  

H n n a, x       n u x và  x    x  x 1 v i m i x

nh ngh a 1.3 Ph n d (ph n th p phân, ph n l , giá tr phân - fractional

part, fractional value) c a m t s th c x , kí hi u là  x đ c đ nh ngh a b i

công th c  x  x  x

T nh ngh a 1.3 ta suy ra ngay, 0 x  v i m i x và 1  z 0 khi và

ch khi z là s nguyên

Ta bi t r ng, v i m i x thì t n t i s nguyên z  sao cho z   x z 1

nh ngh a 1.4 Giá tr nh nh t gi a hai s x z và z   đ c g i là 1 x kho ng cách t x đ n s nguyên g n nó nh t và đ c kí hi u là  x

Ta có  x   x z 0,5 v i m i x

nh ngh a 1.5 S nguyên g n m t s th c x nh t đ c kí hi u là  x và

 x đ c g i là s làm tròn c a x

Khái ni m làm tròn s đ c s d ng r ng rãi trong máy tính

xác đ nh, n u có hai s nguyên cùng g n x nh t (ngh a là khi

 

x z  z  thì z và z  cùng có kho ng cách t i x b ng 0,5 1 (x    z z 1 x 0,5) thì ta qui c ch n s l n, t c là n u z  x z 0,5, thì  x  , còn n u z z0,5   thì x z 1  x   z 1

§2 CÁC TÍNH CH T C B N C A PH N NGUYÊN

T các nh ngh a 1.1 - nh ngh a 1.5 ta đi đ n các tính ch t tuy đ n gi n

nh ng r t c b n và hay s d ng sau đây c a ph n nguyên Các tính ch t này

đã đ c ch ng minh chi ti t trong [2], vì v y d i đây chúng tôi ch li t kê

mà không ch ng minh

Tính ch t 2.1 V i m i x ta có

a)  x  x  x  hay 1 x 1  x  ; x

b)   x   1 x    hay x x x  x 1

D u b ng x y ra khi và ch khi x là s nguyên

Tính ch t 2.2 x x  x ; 0 x  ; 1 x x    0 x 1

H qu 2.1 x   thì z  và z z 0 x 1

Tính ch t 2.3 x z  x  ; z xz   x v i m i z 

o l i,    x  y thì y   v i z  nào đó x z

Tính ch t 2.4 N u x thì  x x và  x  0

Ng c l i n u  x  ho c x  x  thì 0 x

N u x là s h u t nh ng không ph i là s nguyên thì  x c ng là m t s

h u t thu c kho ng  0;1

N u x là s vô t thì  x c ng là m t s vô t thu c kho ng  0;1

Tính ch t 2.5 Ph n d , sàn và tr n có tính ch t lu đ ng (idempotent), t c là

khi hai l n áp d ng phép toán thì k t qu không đ i:

 

 x  x ;       x x và   x     x v i m i x

H n n a,    x  x   x 0 v i m i x

Nh ng  x 0 và      x  x   x v i m i x;

 x 1

 

  ,       x x   x   1   x   1 v i m i x

Tính ch t 2.6 Các qui t c đ i ch (hoán v ), k t h p c a phép toán c ng và

phép toán nhân; qui t c k t h p gi a phép toán nhân và phép toán c ng v n đúng cho ph n nguyên và ph n d

Tính ch t 2.7 Phép làm tròn s  x thông th ng nh đã nêu trong nh

ngha 1.5 chính là phép l y ph n nguyên c a x0,5, t c là  x x0,5

Tính ch t 2.8 N u    x  y thì x  hay 1y 1     x y 1

Tính ch t 2.9 N u x y thì    x  y o l i, n u    x  y thì x y

Tính ch t 2.10

a) C hai s x và y là hai s nguyên khi và ch khi    x  y  0

b) Trong hai s x và y có m t s nguyên và m t s không ph i là s nguyên

thì 0   x  y  1

c) Hai s x và y không nguyên có t ng x y là m t s nguyên khi và ch

khi    x  y  1

Tính ch t 2.11a V i m i ,x y ta có

x y      x  y  x y ; 1     x  y  x y     x  y  1

Nh n xét 2.1 Tính ch t 2.11a có th đ c phát bi u d i d ng sau

Tính ch t 2.11b              

   

x y



  



Tính ch t này c ng đ c vi t d i d ng sau đây

Tính ch t 2.11c         khi 0         1;

x y



  



H qu 2.2    2x 2 x v i m i x

H qu 2.3      x x và     x x  n u x; 0

   x    x 1và    x 1  x n u x

H qu 2.4  x    x v i m i x

Tính ch t 2.12a V i m i x và y là các s th c ta có

        2x  2y  x  y  x y2    x  y 

và 2 x    2 y       x  y 

Nh n xét 2.2 Tính ch t 2.12a có th đ c vi t d i d ng sau

Tính ch t 2.12b a) N u       1

2

x y  thì

       

2 x  2 y  0 x  y

và         2x  2y  x  y  x y    2 x 2 y

b) N u       1          

2

x y   x y  x  y  thì

       

2 x  2 y  1 x  y 1

và         2x  2y  x  y  x y 1 2   x 2 y  1 c) N u       1          

2

       

2 x  2 y  1 x  y

và         2x  2y  x  y  x y    2 x 2 y  1

d) N u 1      

2 x y thì 2 x    2 y  2    x  y 1

và         2x  2y  x  y  x y 1 2   x 2 y  2

Tính ch t 2.13 V i m i x ta luôn có

  1  

2 2

    

  và 1    

2 2

   

H qu 2.5 V i m i s nguyên d ng ta luôn có 1

n



   

   

   

Tính ch t 2.14a V i m i ,x y ta luôn có

   x  y 0

  và     x  y   x y

Nh n xét 2.5 Tính ch t 2.14a có th phát bi u d i d ng sau đây

Tính ch t 2.14b           khi        ;

x y



  



Tính ch t 2.14c          

x y



  



Tính ch t 2.15 V i m i s t nhiên n và v i m i s th c x ta có

      1

n x  nx n x   n

Tính ch t 2.16 V i m i s th c x không ph i là s nguyên và v i m i s

nguyên n ta luôn có   x     n x n 1

Tính ch t 2.17 V i m i s nguyên d ng n và v i m i s th c x ta luôn có:



     

Tính ch t 2.18 V i m i x và n là s t nhiên ta luôn có x  x

 

    

 

   

Tính ch t 2.19 V i m i s t nhiên k 3 và m i s t nhiên n ta có



      

     

Tính ch t 2.20 Cho k k1, 2, ,k là b n n s nguyên d ng Khi y

1 2

1 2

n

n

Tính ch t 2.21 V i m i s nguyên k ta luôn có

k k

k

    

   

Tính ch t 2.22 Cho  , là nh ng s vô t d ng sao cho 1 1 1

   T p

 a n n1        , 2 , 3 ,  và  b n n1        , 2 , 3 ,  t o thành m t phân

ho ch c a t p s nguyên d ng, t c là  a n n1 và  b n n1 là các t p không giao

nhau và h p c a chúng b ng chính t p t t c các s nguyên d ng

Tính ch t d i đây đ c s d ng nhi u trong tin h c

Tính ch t 2.23 Cho a và b là các s t nhiên b t kì Khi y 2 logb a 1 chính là s các ch s c a m t s a vi t trong h đ m c s b

§3 HÀM PH N NGUYÊN VÀ TH HÀM PH N NGUYÊN

T các đ nh ngh a ph n nguyên (sàn), tr n, ph n d , s làm tròn trong §1, ta

có th đ a ra các đ nh ngh a sau đây

Hàm sàn Hàm f :, f x( ) : x cho t ng ng m i s x v i ph n

nguyên  x  c a nó đ c g i là hàm ph n nguyên

Trong m t s tài li u, hàm ph n nguyên còn đ c g i là hàm sàn (floor

function) và ngoài kí hi u f x( ) : x còn đ c kí hi u là ( ) :f x     x

th c a hàm ph n nguyên

Hàm ph n nguyên là hàm h ng s t ng khúc (nh n giá tr không đ i trên t ng

n a kho ng z z;  v i z  ); gián đo n lo i m t t i các đi m z  v i 1

đ l ch không đ i b ng 1 ( lim ( ) lim ( ) 1

x z x z

f x f x

    , t c là hi u gi a gi i h n

c a hàm s khi đ i s x ti n t i n t bên ph i và t bên trái b ng 1)

Nh v y, hàm ph n nguyên không liên t c (gián đo n lo i 1), nh ng là n a

liên t c trên Do nó là hàm h ng t ng khúc nên đ o hàm c a nó t n t i và

b ng 0 t i m i đi m không nguyên và đ o hàm không t n t i (th m chí hàm

s không liên t c) t i các đi m nguyên

Hàm tr n Hàm :f , ( ) :f x     cho t ng ng m i s x  v i tr n x

x 

 

   c a nó đ c g i là hàm tr n

th c a hàm tr n

Hình 2

Hàm tr n là hàm h ng s t ng khúc (nh n giá tr không đ i trên t ng n a

kho ng ( ;z z v1] i z  ); gián đo n lo i m t t i các đi m x z  , z  v i

đ l ch không đ i b ng 1 ( lim ( ) lim ( ) 1

f x f x

V y, hàm tr n không liên t c, nh ng là n a liên t c d i Do nó là hàm h ng

t ng khúc nên đ o hàm c a nó t n t i và b ng 0 t i m i đi m không nguyên

và đ o hàm không t n t i t i các đi m nguyên

M t khác, đ th c a hàm tr n có th nh n đ c b ng cách t nh ti n đ th

hàm f x( ) : x lên trên (theo tr c tung) 1 đ n v trên các kho ng z z;  , 1

z Tuy nhiên, t i các đi m nguyên thì chúng nh n các giá tr khác

Hàm ph n d Hàm f :0;1 t t p s th c  vào t p con 0;1 c a t p

s th c  , f x( ) : x v i m i x cho t ng ng m i s th c x v i ph n

d  x c a nó đ c g i là hàm ph n d (hay hàm ph n phân, hàm ph n l )

th c a hàm ph n d f x( ) x  x  x

Hình 3

Hàm ph n d ch nh n giá tr trong n a kho ng 0;1 ,  t ng t ng khúc (t ng

trên t ng n a kho ng z z;  v i z  ) và gián đo n lo i m t t i các đi m 1

x  , z  v i lim ( ) lim ( ) 1 z

x z x z

f x f x

    c bi t, hàm ph n d là hàm tu n hoàn v i chu k 1, ngh a là x 1  x v i m i x

Hàm kho ng cách Hàm f :0;0,5 cho t ng ng m i s th c x v i

kho ng cách t i s nguyên g n nó nh t đ c g i là hàm kho ng cách t x t i

s nguyên g n nó nh t và kí hi u là f x( ) : x

Hàm kho ng cách ch nh n giá tr trong đo n 0;0,5 ,  t ng t ng khúc trên

t ng đo n z z; 0,5 và gi m t ng khúc trên z0,5;z  v i z  Hàm 1

kho ng cách là hàm liên t c và tuy n tính t ng khúc c bi t, hàm kho ng

cách là hàm tu n hoàn v i chu k 1, ngh a là x 1  x v i m i x

Hàm làm tròn Hàm f : t t p s th c  vào t p s nguyên  c a

t p s th c  , cho t ng ng m i s th c x v i s nguyên g n nó nh t đ c

g i là hàm làm tròn và kí hi u là f x( ) : x

Nh n xét 3.1 Ta luôn có  x x0,5 v i m i x (xem Tính ch t 2.7 §2)

th c a hàm làm tròn f x( )( )x  x 0,5

th c a hàm f x( ) x chính là đ th c a hàm f x  x t nh ti n sang

bên trái 0,5 đ n v (có th th y rõ đi u này qua so sánh hai đ th )