Luận án Tiến sỹ Toán học: Hàm phân hình giá trị Fréchet với lý thuyết thế vị phức và các bất biến tôpô tuyến tính

Luận án trình bày về các nội dung: Sự thác triển hàm phân hình giá trị Fréchet từ các tập đặc biệt trong Cn; chứng minh các định lý về sự thác triển giải tích của các hàm giải tích thực có thác triển yếu từ, các tập mở của không gian Fréchet; tính chất (Ω) của đối ngẫu của không gian các mầm hàm chỉnh hình. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.

BỘ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN VĂN ĐÔNG

HÀM PHÂN HÌNH GIÁ TRỊ FRÉCHET VỚI

LÝ THUYẾT THẾ VỊ PHỨC VÀ CÁC BẤT BIẾN TÔPÔ TUYẾN TÍNH

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

BỘ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN VĂN ĐÔNG

HÀM PHÂN HÌNH GIÁ TRỊ FRÉCHET VỚI

LÝ THUYẾT THẾ VỊ PHỨC VÀ CÁC BẤT BIẾN TÔPÔ TUYẾN TÍNH

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chƣa từngđƣợc ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

NGUYỄN VĂN ĐÔNG

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 6 THÁC TRIỂN HÀM PHÂN HÌNH GIÁ TRỊ FRESCHET TỪ CÁC TẬP ĐẶC BIỆT

§2.1 Mở đầu. 44

§ 2.2 Sự thác triển hàm giải tích thực có thác triển yếu với giá trị trong không gian Fréchet có (DN)-chuẩn. 45

§ 2.3 Sự thác triển hàm giải tích thực có thác triển yếu với giá trị trong không gian Fréchet có ( -chuẩn 49

§2.4 Về các không gian Fréchet có (DN), ( (LB)-chuẩn. 57 CHƯƠNG 3 60 TÍNH CHẤT (), ( CỦA ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN CÁC MẦM HÀM CHỈNH HÌNH 60

§ 3.1 Mở đầu. 60

§ 3.2 Cấu trúc (Ω) của không gian các mầm hàm chỉnh hình. 62

§ 3.3 Các ánh xạ riêng, toàn ánh chỉnh hình và các tính chất ( , ( của

không gian các mầm hàm chỉnh hình. 71

KẾT LUẬN 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO 82

PHẦN MỞ ĐẦU

Bài toán thác triển hàm chỉnh hình và phân hình là một trong các bài toán quan trọng của giải tích phức Đặc biệt, mối liên hệ giữa sự thác triển và thác triển yếu của các hàm chỉnh hình, phân hình giá trị vectơ trên các tập mở và compact đã đƣợc nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học

Siciak (1974) [42] từ một số kết quả của lý thuyết thế vị phức đã chứng minh rằng một hàm xác định trên một tập X compact chính qui, lồi đa thức trong Cn, có giá trị trong không gian Banach F nếu có thác triển chỉnh hình yếu thì có thác triển chỉnh hình lên một lân cận của tập X

Khác căn bản với các tác giả trên chỉ giới hạn xét trường hợp miền giá trị là không gian Banach hoặc tổng quát hơn có đối ngẫu là không gian Baire, trong luận án này khi xét không gian giá trị F của các hàm chỉnh hình, phân hình với F’ không nhất thiết là không gian Baire, đặc biệt khi F là không gian Fréchet, chúng tôi đã thấy rằng

sự tương đương giữa tính thác triển và thác triển yếu liên hệ mật thiết với cấu trúc hệ nửa chuẩn xác định tôpô của không gian giá trị

Đặc biệt, khi xét các không gian Fréchet có tính chất (DN), (LB) (các tính chất này được giới thiệu và nghiên cứu bởi Vogt vào những năm 80) là không gian giá trị của các hàm phân hình xác định trên các tập compact X của n

, chúng tôi chứng minh được rằng sự thác triển phân hình yếu sẽ dẫn đến sự thác triển phân hình nếu tập hợp X

là các tập hợp đặc biệt trong lý thuyết thế vị phức như tập ̃-chính qui, tập không đa cực Trường hợp F là không gian Fréchet có chuẩn liên tục, chúng tôi chỉ ra rằng kết quả trên đúng với mọi tập mở trong n

Lưu ý rằng sự thỏa mãn các điều kiện (DN) và

(LB ) là cần thiết để có thể nhận được thác triển chỉnh hình hay phân hình từ thác

triển yếu

Luận á n gồm ba chương trong đó sự thác triển hàm phân hình giá trị Fréchet từ các tập đặc biệt trong n

, được trình bày trong chương 1

Chương 2 của luận á n được dành để phát biểu và chứng minh các định lý về sự thác triển giải tích của các hàm giải tích thực có thác triển yếu từ

các tập mở của không gian Fréchet với giá trị thuộc các không gian Fréchet thỏa tính chất (DN),

Không như trường hợp chỉnh hình vốn được nghiên cứu khá đầy đủ và sâu sắc bởi Bagdanovics [3], [4], [5], [6], Nachbin [36], [37], Nguyễn Thanh Vân [ 45 ], trường hợp giải tích thực phức tạp hơn

Năm 1972, Ligocka-Siciak [31] chứng minh được rằng nếu một hàm giải tích thực mà có thác triển giải tích yếu từ một tập mở của không gian Fréchet E với giá trị thuộc không gian lồi địa phương đủ dãy F với F’ Baire thì hàm này có thác triển giải tích

Trong chương 2 kết quả này được chúng tôi xét cho trường hợp E là không gian hữu hạn chiều còn F có tính chất (DN) hoặc E vô hạn chiều và F là không gian Fréchet

có tính chất ̅̅̅̅̅̅̅

Việc nghiên cứu các tập compact L-chính qui, ̃-chính qui, tập không đa cực… của lý thuyết thế vị phức liên quan mật thiết với cấu trúc của không gian các mầm hàm chỉnh hình trên các tập compact đó

Với X là tập compact trong n, Zaharjuta [51] chứng minh được rằng X là chính qui khi và chỉ khi [ có tính chất (̅ Tính chất () của với X là tập compact trong không gian Fréchet hạch (tương ứng không gian Fréchet Schwartz) được nghiên cứu bởi Meise và Vogt [34] (tương ứng bởi Nguyễn Văn Khuê và Phan Thiện Danh [7]) và đã đóng vai

L-trò quan trọng khi nghiên cứu sự thác triển chỉnh hình từ một tập compact trong E có

tính chất () với giá trị trong không gian loại

Mở rộng kết quả trên cho trường hợp X là tập compact trong không gian phức

trong phần đầu chương 3 chúng tôi trình bày các định lý liên quan đến tính chất ()

của và / A(X)]’

Bằng cách đặc trưng các tính chất ( ̅ ), (̃ qua các hàm đa điều hòa dưới cực

trị trên các không gian Stein, trong phần cuối chương 3 chúng tôi chứng minh rằng các

tính chất ( ̅ ), (̃ của không gian là bất biến qua các ánh xạ riêng toàn ánh

chỉnh hình giữa các không gian Stein Cũng như tính chất (DN), (LB), ở đây tính chất ( ̅̅̅̅ , (),( ̅ ), (̃ … được giới thiệu và nghiên cứu bởi Vogt

Các kết quả chúng tôi trình bày trong luận án này được báo cáo chi tiết trong

hội thảo "Giải tích và ứng dụng" của Trung tâm giải tích phức và giải tích hàm Đại học

sư phạm Hà Nội ngày 20, 21 tháng 09 năm 1996 và trong "Hội thảo Pháp - Việt về

Toán học" được tổ chức tại thành phố Hồ Chí Minh từ 03 đến 08 tháng 03 năm 1997

Các kết quả trên được công bố trong các công trình [10], [ 1 1 ] , [13], [14], [15],

[16] và được nhận công bố trong công trình [9]

Luận á n được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TS Nguyễn Văn Khuê và

PTS Lê Hoàn Hóa Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thầy của

mình

Tác giả xin chân thành cảm ơn GS.TS Hà Huy Khoái, PGS.TS Lê Mậu Hải đã đọc kỹ bản luận á n và giúp tác giả nhiều ý kiến quý báu

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm và các đồng nghiệp ở Khoa Toán, Phòng quản lý nghiên cứu khoa học trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, Thư viện khoa học tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh, PGS PTS Nguyễn Trọng Khâm đã động viên giúp đỡ tạo mọi thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài

CHƯƠNG 1 THÁC TRIỂN HÀM PHÂN HÌNH GIÁ TRỊ FRESCHET TỪ CÁC

U của X và một hàm phân hình ̂ trên U sao cho X\P( ̂ ) là trù mật trong X và

với , ở đây ký hiệu tập cực của Trong trường hợp điều này đúng đối với với mọi , đối ngẫu của F, chúng ta nói f là hàm phân hình yếu trên X

Giả sử (X,F) và w (X,F) lần lượt là các không gian vectơ các hàm phân hình và phân hình yếu trên X với giá trị trong F

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu điều kiện cần và đủ để đẳng thức sau đây đúng

(*) (X,F) = w (X,F)

Trường hợp F là không gian Banach và X là tập mở hoặc compact đẳng

thức này được chứng minh đúng bởi L.M.Hải, N.V.Khuê, N.T.Nga trong [22]

Tổng quát hóa khi F’là không gian Baire đẳng thức vẫn đúng

Bây giờ, ta xét miền giá trị của các hàm phân hình, phân hình yếu là không gian

F với F' không Baire, đặc biệt với F là không gian Fréchet và tìm điều kiện cần và đủ để đẳng thức (*) đúng

Khi F là lớp không gian Fréchet có chuẩn liên tục, trong [20] L.M Hải đã chứng minh kết quả “Đẳng thức (*) đúng với mọi tập mở X trong nếu và chỉ nếu F là không gian Fréchet có chuẩn liên tục" Trong mục 1.2 chúng tôi mở rộng kết quả này trong trường hợp X là tập mở trong n

Khi xét X là tập con compact trong n và F là không gian Fréchet có (DN)-chuẩn, (LB) -chuẩn, chúng tôi nhận thấy điều kiện đẳng thức (*) đúng lại liên quan đến các tập đặc biệt trong lý thuyết thế vị phức

Kết quả chính được trình bày trong mục 1.3 là định lý “Đẳng thức (*) đúng với mọi tập X compact ̃- chính qui nếu và chỉ nếu F là không gian Fréchet có (DN)-chuẩn" Khái niệm về tập ̃- chính qui cùng một số ví dụ về nó cũng được trình bày trong mục này

Bằng cách thay giả thiết của tập X compact ̃ -chính qui bởi giả thiết yếu hơn đồng thời thu hẹp lớp không gian giá trị các hàm phân hình này chúng tôi chứng minh đẳng thức (*) vẫn đúng Cụ thể, trong mục 1.4 kết quả sau được chứng minh "Đẳng thứ (X,[F’bor]’) = w (X,[F’bor]’) đúng với mọi tập compact kiểu duy nhất X trong

Mục 1.5 đƣợc dành để trình bày chứng minh của các kết quả "X là tập compact không đa cực nếu và chỉ nếu X là tập compact kiểu duy nhất thỏa đẳng thức (*) với mọi không gian Fréchet F có (DN)-chuẩn" Chúng ta nhận xét rằng mọi tập compact ̃-chính qui đều là tập compact không đa cực nhƣng điều ngƣợc lại nói chung không đúng

§1.2 Hàm phân hình xác định trên tập mở với giá trị trong không

gian Fréchet có chuẩn liên tục

Nội dung chính của mục này là chứng minh định lý sau

Định lý 1 Cho F là không gian Fréchet Khi đó (X,F) = w (X,F) đúng với mọi tập con mở X của n nếu và chỉ nếu F có chuẩn liên tục

Chứng minh Giả sử F có chuẩn liên tục Chọn một hệ cơ bản tăng các nửa

chuẩn liên tục trên F, Không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử rằng ||

||1 là một chuẩn Với mỗi k ≥ 1, chúng ta ký hiệu không gian Banach chuẩn tắc ứng với

bởi vì với k ≥ 1 là hiển nhiên

Việc còn lại là kiểm tra tính phân hình của f tại mỗi z0 P(f1) Một lần nữa xét khai triển Laurent của f tại z0,

với mọi và với mọi k , suy ra trù mật và mở trong P(fj) với kj ≥ 1

Do định lý Baire điều này dẫn đến

trù mật trong P(fj) với j ≥ 1 , ở đây

Vì

chúng ta có

Việc còn lại là chứng minh tính phân hình của f tại mỗi z0 ϵ P(f1)

Trước tiên ta xét trường hợp z0 RP(f1) tập các điểm chính qui của P(f1) Chúng ta có thể giả sử rằng z0 = 0 Chọn một lân cận U của z0 có dạng U = n

Vì

cho nên

Do tính đơn ánh của 1 chúng ta có

aj (z’) = 0 với Jj < n1Điều này có nghĩa là f phân hình tại z0 Vì codimS(P(f)) ≥ 2 và theo định lý Remmert-Stein [32] f có thể được thác triển phân hình đến X, ở đây S(P(f)) là tập các điểm kỳ dị của f

Ngược lại giả sử rằng (X, F) = w(X, F) với mọi tập mở X trong n

Nếu F không có một chuẩn liên tục, theo [2] F chứa một không gian con đẳng cấu với , không gian tất cả các dãy số phức Xét hàm số f: {0} →  cho bởi:

f(z) = (1/z, 1/z2,… 1/zn,…)với z  \ {0}

Hiển nhiên, f  w(, ) w(, F) Tuy nhiên f w(, F)

Định lý được chứng minh

Lưu ý Trường hợp n = 1 định lý đã được chứng minh mới đây bởi L.M.Hải

[20]

§ 1.3 Hàm phân hình xác định trên tập compact ̃-chính qui với giá

trị không gian Fréchet có (DN)-chuẩn

1.3.1 Để trình bày các đặc trƣng của các không gian Fréchet có tính chất (DN), (̃), chúng ta nhắc lại những điều sau.{|| ||}k

Cho  là hệ cơ bản các nửa chuẩn liên tục của không gian Fréchet E

Với mỗi tập con B của E xét nửa chuẩn suy rộng

Khi đó || ||p là một chuẩn và chúng ta gọi nó là (DN)-chuẩn

Chúng ta nói rằng E có tính chất (̃) nếu và chỉ nếu

Hơn nữa, trong [51] Zaharjuta chứng minh rằng tính chất (DN) tương đương với điều sau

với x  E

Cho V là tập con mở của n

Đặt (V) = {f  (V) : || f ||v = sup {|f(x)| : x V} < }

ở đây (V) là không gian các hàm chỉnh hình trên V

Khi đó (V) là không gian Banach với chuẩn || ||v

Cho X là một tập compact của n

Trên ( (V) ta xác định quan hệ

tương đương ~ như sau

f ~ g nếu và chỉ nếu tồn tại lân cận w của X mà trên đó f |w = g|W

Chúng ta ký hiệu (X) là không gian vectơ các lớp tương đương và các phần

tử của (X) được gọi là các mầm các hàm chỉnh hình trên X (X) được trang bị tôpô giới hạn qui nạp



Bây giờ chúng ta nói rằng một tập compact X trong n là ̃- chính qui nếu [ (X)]’  (̃)

Trong các phần tiếp theo, chúng ta sẽ ghi Z(h) và Z (g) lần lượt là h-1(0) và g-1 (0) -1

(0)

Kết quả chính của mục này là

Định lý 2 Cho F là một không gian Fréchet Khi đó đẳng thức (X,F) =

W(X,F) đúng với mọi tập X compact ̃- chính qui của n

nếu và chỉ nếu F 

(DN)

Để chứng minh Định lý 2 trước hết ta cần chứng minh một số kết quả sau

1.3.2 Một số bổ đề

Bổ đề 1.1 Cho X là miền giả lồi trong n và f là một hàm phân hình trên

X với giá trị trong không gian lồi địa phương đủ dãy F Khi đó với mọi miền compact tương đối Y trong X tồn tại các hàm chỉnh hình h : X→ F và σ: X→

sao cho

f = h /  và codimy Z (h,) 2 với y  Y

Chứng minh Từ các giả thiết và từ [27] ta có thể viết f = h1 / 1, ở đây h1: X

→ F, 1:X →  là các hàm chỉnh hình với σ1≠0 Do tính compact của ̅ tồn tại một

lân cận W của ̅ trong X sao cho

với

với I = 1,…, p và j = 1, …, q, ở đây

lần lượt là các phân tích bất khả qui của Z(h1) và Z(σ1)

Bằng cách sử dụng định lý Cartan A chúng ta có thể phân tích h1 và 1

một cách địa phương qua các nhân tử chung, để đến cuối cùng, ta có thể tìm được các hàm chỉnh hình h: X →F và : X →  sao cho f = h/ và Z (h, ) không chứa nhánh bất khả qui A đối chiều 1 trong W Điều này dẫn đến codimy

Z(h, ) 2 với y  Y

Bổ đề 1.2 Cho F là một không gian lồi địa phương và , : X →, g: X → F

là các hàm chỉnh hình trên một tập con mở X của n Giả sử rằng  là hàm chỉnh hình trên X và codim Z(h, ) 2 Khi đó  là hàm chỉnh hình trên X

Chứng minh Cho z0 X Vì vành địa phương Ozo các mầm hàm chỉnh hình tại z0 là vành nhân tử hóa [23], ta có thể viết

trong một lân cận U của z0 sao cho 1zo,…, pzo là bất khả qui

Theo các giả thiết và theo đẳng thức

suy ra là hàm chỉnh hình tại z0 Mặt khác, do giả thiết codim Z(h, )

Do vậy, vì tính bất khả qui của tzo ta suy ra rằng Z(1)zo Z()zo Điều này một lần nữa dẫn đến  = 11 tại z0 Do đó  là hàm chỉnh hình tại

z0 Tiếp tục quá trình này ta suy ra rằng  là hàm chỉnh hình tại z0

Bổ đề 1.3 Cho X là một tập compact ̃- chính qui trong n

Khi đó X là tập kiểu duy nhất, nghĩa là nếu f = (X), f/X = 0 thì f = 0 trên một lân cận nào đó của X

Chứng minh Cho (Vp) là một cơ sở lân cận giảm của X trong n Theo giả thiết chúng ta có

f  

(Vp)

Sử dụng bất đẳng thức trên với fn, f  (Vp), ta có

Cho E là một không gian Fréchet với đối ngẫu mạnh E’ Không gian đối ngẫu tôpô của E được trang bị tôpô lồi địa phương mạnh nhất có cùng tập bị chặn với E’được gọi là không gian Mackey tương ứng với E’ và được ký hiệu

là E’bor Chúng ta có bổ đề sau

Bổ đề 1.4 Cho F là không gian Fréchet với F  (DN) Khi đó [F’bor]’  (DN)

Chứng minh Ta biết rằng F  (DN) nếu và chỉ nếu

hoặc, như trong [46] điều kiện này tương đương với

ở đây polar của Uq

Do vậy

với mọi r > 0 và u  [F’bor]’

Điều này có nghĩa là [F’bor]’  (DN)

Chúng ta mở rộng kết quả của Meise và Vogt [33] trong bổ đề sau

Bổ đề 1.5 Cho E và F là các không gian Fréchet, F  (DN) và E  (̃) Khi đó mọi ánh xạ tuyến tính liên tục từ F’bor vào E' đều có thể đƣợc phân tích qua một không gian Banach

Chứng minh Cho f : F’bor → E’ là một ánh xạ tuyến tính liên tục Vì mọi ánh

xạ tuyến tính liên tục mà bị chặn trên một lân cận nào đó của điểm gốc đều có thể phân tích qua một không gian Banach nên ta chỉ cần tìm một lân cận V của 0 E sao cho

với k ≥ l , (1)

ở đây {Uk} là một cơ sở lân cận của 0 F

Theo Vogt [49], F đẳng cấu với một không gian con của không gian B ̂ s với

B là một không gian Banach nào đó và s là không gian các dãy giảm nhanh

Vì ánh xạ hạn chế R từ [B ̂ s ]’ B ̂ s lên F’bor là ánh xạ mở, việc còn lại

ta chỉ phải chứng minh (1) đúng với g = foR

Xét ánh xạ hạn chế tuyến tính liên tục ̃ : s’ → L (B’, E’), cảm sinh bởi

g, ở đây L (B’, E’) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ B’vào E’ đƣợc trang bị tôpô mạnh

Cho là hệ cơ bản các nửa chuẩn của E

Vì E  (̃ ta có

với mọi  L (B’, E’), (2)

ở đây

Bây giờ với mỗi , đặt

Vì s là không gian Mackey ta có

và tôpô của s đƣợc xác định bởi các nửa chuẩn

Mặt khác vì s  (DN) ta có

ở đây { }là cơ sở chính tắc của s’

Với mỗi k ≥ 1, chọn

sao cho

Với p trong (3) đặt  = (p) và lấy , d> 0 sao cho (2) thỏa mãn

Sử dụng d trong (2) cho (3) ta kiểm tra rằng M (q, ) < với q ≥ p Thật vậy, cho q ≥ p Chọn k ≥ q và C2(q,d) > 0 sao cho (3) thỏa mãn Với k chọn  = (k) sao cho

M (k, (k)) < 

Khi đó với mọi ta có

Bất đẳng thức này suy ra rằng ̃ và do đó g có thể phân tích qua một không gian Banach

1.3.3 Chứng minh Định lý 2

Cho F  (DN) và f  W (X, F), ở đây X là tập compact ̃- chính qui trong n Theo [22] với mỗi p  1 tồn tại một lân cận Stein Upcủa X trong n và một hàm phân hình fp: Up → Fp sao cho fp/x = pf Chúng ta có thể xem rằng U1 U2… Up… Theo

Bổ đề 1.1 chúng ta có thể viết fp = hp / p, ở đây hp: Up → Up; 1 →  là các hàm chỉnh hình và p 0 sao cho

Hiển nhiên ̃ là liên tục Do [F’bor]’  (DN) (Bổ đề 1.4) và [ (X)]’  ̃ ) 

theo Bổ đề 1.5, chúng ta có thể tìm một lân cận W của 0  F’bor sao cho ̃(W) bị chặn trong (X) Do vậy có một p sao cho ̃(W) đƣợc chứa và bị chặn trong 

(Up) không gian Banach các hàm chỉnh hình bị chặn trên Up

Do vậy dạng

xác định một hàm chỉnh hình ̂ : Up → F Vì F = limproj Fp và fp/X = pf p 1 dẫn đến  ̂ | X = f Do đó f  (X,F)

Ngƣợc lại, theo Vogt [48] ta cần chỉ ra rằng mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T từ () vào F bị chặn trên lân cận 0 của () Xét T* : F’ → [ ()] ( ̅) Vì T*(x*)  ( ̅) với mọi x*  F’ và do đó chúng ta có thể định nghĩa ánh xạ f : ( ̅) → F” cho bởi

f (x) (x*) = z (T*x*)

với z  ( ̅) và x*  F’, và z là phiếm hàm tuyến tính Dirac xác định bởi z,

z () = (z) với  ( ̅)

Dễ dàng thấy rằng f(z)  F do tính  (F’, F) liên tục của f(z) Hơn nữa f  ( ̅ ) Theo giả thiết chúng ta có thể tìm đƣợc một lân cận U của ̅ trong và một hàm phân hình F - giá trị trên U sao cho

g| ̅ = f

Vì f liên tục trên ̅, không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử rằng g là chỉnh hình trên U và B = g(U) bị chặn trên F Điều này dẫn đến T* bị chặn trên B° Đặt T* (Bo) = C [ ()] Do vậy V = C° là một lân cận của 0 [ ()] và T(V) B bị chặn trong F

§1.4 Hàm phân hình xác định trên tập compact kiểu duy nhất với giá trị trong không gian Fréchet có (LB) -chuẩn

1.4.1 Với những ký hiệu như trong 1.3.1 chúng ta nói rằng E có tính chất

(LB) nếu và chỉ nếu

Khi đó || ||p là một chuẩn và chúng ta gọi nó là (LB)- chuẩn

Trong [48] Vogt chứng minh rằng một không gian E có tính chất (LB) nếu và chỉ nếu mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T:  ()→ E đều bị chặn trên một lân cận 0 

 () với mọi dãy mũ  = (n), ở đây

Nói một cách khác, với các không gian lồi địa phương E và F khi chúng ta ký hiệu (E,F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục, còn (E, F) ký hiệu tập hợp các ánh xạ A  (E,F) sao cho tồn tại một lân cận U của 0 trong E để A(U) bị chặn, ta

có kết quả :

Với F là không gian Fréchet, các điều sau tương đương

i) ( ()F) = ( ()F) với mọi dãy mũ 

ii) F có tính chất (LB)

Chúng ta lưu ý rằng mọi không gian có (LB)-chuẩn đều có (DN)-chuẩn, điều ngược lại nói chung không đúng

Kết quả chính của mục này là định lý sau

Định lý 3 Cho F là một không gian Fréchet và F’ bor là không gian F’ trang bị tôpô Mackey Khi đó đẳng thức (X, [F’ bor ]’ = w (X, [F’ bor ]’ đúng với mọi tập compact kiểu duy nhất X của C n nếu và chỉ nếu [[F’ bor ]’  (LB)

Để chứng minh Định lý 3 ngoài việc á p dụng các Bổ đề 1.1, 1.2 chúng ta

chứng minh kết quả sau

1.4.2.Bổ đề 1.6 Tồn tại một tập cực compact kiểu duy nhất trong

Chứng minh a) Trước tiên chúng ta chứng minh rằng một tập compact X trong

là kiểu duy nhất nếu và chỉ nếu X là tập hoàn toàn Thật vậy, cho f  (U), F|X = 0

ở đây U là một lân cận của X trong  Khi đó F|X = 0 với mọi thành phần liên thông Z của U giao X và do đó f = 0 trên V {Z : Z là thành phần liên thông của U với Z X }

Ngược lại, nếu X không hoàn toàn thì X có một điểm cô lập và do đó X không

là kiểu duy nhất

b) Cho một dãy 1 = (1n) 0, 1n < 2-n Định nghĩa một họ các khoảng đóng (Jnj)n0, 1 j 2n với

Jo,s = [o, 1] với s  1

và

c) Với mỗi n ≥ 0 xác định μn, độ đo đều trên ⋃ cho trọng lƣợng 2-nđối với mỗi Jnj nghĩa là

Định nghĩa độ đo xác suất trên C(l) bởi

Chú ý rằng giới hạn này tồn tại Đặt

d) Chúng ta sẽ chứng minh rằng, với và μ đƣợc xác định nhƣ trên, C (=C(1)) là tập cực compact kiểu duy nhất

Rõ ràng rằng C là tập hoàn toàn, vì C là tập dạng Cantor Ta chứng minh

C = -1

(-) Hiển nhiên (z) > - với z C Bây giờ giả sử rằng xo C và xo

Jnjn, n  0 Từ Jn,jn+1 Jn,jn chúng ta có

Cuối cùng ta còn phải kiểm tra rằng  là điều hòa dưới trên

Cho zo Khi đó dist (C,zo) > 0 và do đó log|z-zo| bị chặn trên một lân cận của z0 Cho nên từ định lý hội tụ chặn Lebesgue ta có  liên tục tại z0 Giả sử

zo C Cho A > 0 Chọn  > 0 sao cho

dẫn đến rằng  điều hòa dưới

Lưu ý : Chúng tôi cám ơn giáo sư Thomas đã chỉ ra cho chúng tôi cấu trúc của

tập C trong Bổ đề 3.3 khi ông ở Hà Nội

1.4.3 Chứng minh của Định lý 3

Cho F là không gian Fréchet với [F’bor]’  (LB) và f  w (X,[F’bor]’)

ở đây X là tập compact kiểu duy nhất trong n

Trước tiên ta thấy rằng

ở đây {|| ||p}là một hệ cơ bản các nửa chuẩn liên tục của F và với mỗi p ≥ 1 ta ký hiệu Fp à không gian Banach tương ứng với || ||p Suy ra

Vì [F’bor]’  (LB) không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

|| là một chuẩn trên [F’bor]’

Theo [22] với mỗi p ≥ 1 tồn tại một lân cận Up của X trong n

và một hàm phân hình fp : Up → F”p sao cho , ở đây

là ánh xạ chính tắc Hàm phân hình ̂ là mở rộng duy nhất của hàm phân hình fp trên ̂ bao chỉnh hình của Up

Theo bổ đề 1.1, ̂ và do đó fp có thể được viết dưới dạng fp = hp/p, ở đây hp : Up →F”p, p: Up →  là các hàm chỉnh hình và p 0 sao cho

codim Z (hp, p)  2

Vì || là một chuẩn trên [F’bor]’ chúng ta có  là đơn ánh, ở đây  : F”p → F”1 là các ánh xạ chính tắc

Vì 1 =  p và do X là kiểu duy nhất, chọn thích hợp Up ta nhận đƣợc

Do đó dạng

xác định một hàm chỉnh hình ̃ từ Up vào [F’bor]’ sao cho ̃ Suy ra f  (X, [F’bor]’)

Ngƣợc lại, theo Bổ đề 1.6 chúng ta có thể chọn một tập cực compact

kiểu duy nhất X trong Ta biết rằng [ (X)]’ ( \ X) () Đẳng cấu

thứ nhất suy ra từ định lý đối ngẫu Grothendieck và đẳng cấu thứ hai từ kết

quả của Zaharjuta [52]

Theo Vogt [48] chỉ cần chứng minh rằng

Do tính ([F’bor]”, [F’bor]’- liên tục của f(z) dẫn đến rằng f(z) 

[F’bor]’.Hơn nữa f  W(X, [F’bor]’) Theo giả thiết chúng ta có thể tìm

đƣợc một lân cận U của X trong n

và một hàm phân hình [F’bor]’- giá trị trên U sao cho

̂ ̂ = ̂

Do đó chúng ta có

Do vậy T* bị chặn trên B°

Đặt w = T*(B°) Do đó V = W° là một lân cận của 0  ([ (X)] và

T(V) B bị chặn trong [F’bor]’ Suy ra [F’bor]’ (LB)

Định lý đƣợc chứng minh

§1.5 Hàm phân hình xác định trên tập compact không đa cực với giá trị trong không gian Fréchet có (DN)-chuẩn

1.5.1 Với U là tập mở trong n, chúng ta ký hiệu SH(U) là lớp các hàm đđiều

hòa dưới trên U Xét lớp

L = { u  SH(U) (n

) : u(z)  log (1 + |z|) + O (1)}

Tập E được gọi là đa cực nếu với mọi a  E tồn tại một lân cận U của a và một

hàm  SH(U) sao cho  = -  trên E U và  -  [40]

Từ kết quả Siciak [41], Josefson [25] ta có

E là đa cực nếu và chỉ nếu tồn tại  L sao cho  = -  trên E và - 

Ngoài ra ta lưu ý rằng nếu E là một tập L-chính qui thì E là tập không đa cực

1.5.2 Với những ký hiệu như trong 1.3.1- chúng ta nói rằng E có tính chất (LB) nếu và chỉ nếu

Với E là không gian Fréchet, các điều sau tương đương

i) L (E ()) = L (E ()) với mọi dãy mũ 

ii) F có tính chất (LB) [48]

Chúng ta lưu ý rằng mọi không gian có tính chất ̃ đều có tính chất (LB

), điều ngược lại nói chung không đúng

Kết quả chính trong mục này là định lý

Định lý 4 Cho X là tập compact của n

Các điều sau tương đương :