Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm tử Tor và hàm tử Ext trên miền Dedekind

Đề tài nghiên cứu miền Dedekind, hàm tử Tor và hàm tử Ext trên vành giao hoán có đơn vị và trên miền Dedekind, mục đích của luận văn là tìm hiểu sâu hơn, toàn diện và hệ thống hơn về hàm tử Tor và Ext trên một miền nguyên bất kỳ. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Cao Văn Hoàng

HÀM TỬ TOR VÀ HÀM TỬ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành Phố HỒ CHÍ MINH - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Cao Văn Hoàng

HÀM TỬ TOR VÀ HÀM TỬ EXT

TRÊN MIỀN DEDEKIND

Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG

Thành Phố Hồ Chí Minh - Năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Mỵ Vinh Quang Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số kết quả, nội dung từ các sách được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về luận văn của mình.

Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn, tôi đã nhận được sự giúp đỡ cũng như hướng dẫn nhiệt tình của các thầy cô và các bạn cao học toán K28.

Đầu tiên, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc, chân thành đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người thầy tâm huyết trong giảng dạy và cũng là người tận tình, giúp

đỡ, hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn, có thể nói luận văn này

sẽ không được hoàn thành nếu không có sự chỉ bảo của thầy.

Ngoài ra, với lòng kính trọng và biết ơn, tôi cũng xin được gởi lời cảm ơn chân thành đến:

Các thầy cô khoa Toán của trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh cùng GS.TSKH Nguyễn Tự Cường đã trực tiếp trang bị cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Ban giám hiệu, phòng Đào tạo sau đại học, khoa Toán trường Đại học Sư phạm

TP Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, hoàn thành và bảo vệ luận văn.

Các thầy cô trong Hội đồng Bảo vệ luận văn thạc sĩ đã đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá luận văn.

Cuối cùng tôi xin dành lời cảm ơn đến gia đình đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn.

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2019

Cao Văn Hoàng

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Danh mục các kí hiệu

Mở đầu

1.1 Hàm tử Hom 3

1.2 Hàm tử Tenxơ 5

1.3 Môđun tự do 6

1.4 Môđun xạ ảnh 7

1.5 Môđun nội xạ 8

1.6 Hàm tử đồng điều 10

1.7 Đồng luân 12

Chương 2 HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ 14 2.1 Phép giải xạ ảnh 14

2.2 Xây dựng hàm tử Tor 20

2.3 Hai dãy khớp đối với hàm tử Tor 22

2.4 Ứng dụng của dãy khớp đối với Tor 24

2.5 Xây dựng hàm tử Ext 28

2.6 Hai dãy khớp dài đối với Ext 30

2.7 Ứng dụng của dãy khớp đối với hàm tử Ext 32

Chương 3 HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND 38 3.1 Môđun trên miền Dedekind 38

3.2 Hàm tử Tor trên miền Dedekind 43

3.3 Hàm tử Ext trên miền Dedekind 46

Hom(X, Y ) : Tập tất cả các đồng cấu từ X tới Y

f ⊗ g : Tích tenxơ của hai đồng cấu f và g

X ⊗ Y : Tích tenxơ của hai môđun X và Y

Hom(f, g) : Hom của hai đồng cấu.

X ⊕ Y : Tổng trực tiếp trong của hai môđun X và Y

f ' g : Hai ánh xạ dây chuyền f và g đồng luân.

Hn(K) : môđun đồng điều chiều n của phức K

Hn(L) : môđun đối đồng điều chiều n của phức L

T orn(X, Y ) : Tích xoắn n- chiều của các môđun X và Y

T orn(h, g) : Tích xoắn n- chiều của các đồng cấu h và g Extn(X, Y ) : Tích mở rộng n- chiều của các môđun X và Y Extn(h, g) : Tích mở rộng n- chiều của các đồng cấu h và g

X = hx1, x2, , xni : X là môđun hữu hạn sinh được sinh bởi các

phần tử x1, x2, , xn.

MỞ ĐẦU

Hàm tửT orvà hàm tửExtcùng với các hàm tử Tenxơ và hàm tửHomđược xem như bốn cột trụ của Đại số đồng điều, chính vì vậy các hàm tửT or vàExt đóng vai trò quan trọng trong nhiều chuyên ngành khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều, Đại số giao hoán, Hình học đại số, tô pô hình học Chính bởi vậy, tôi chọn đề tài : "Hàm tử T or và hàm tửExt trên miền Dedekind" làm đề tài cho luận văn Thạc

sĩ Toán của mình với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn, được tiếp cận nhiều hơn với một hướng nghiên cứu đang phát triển và có nhiều ứng dụng của Toán học hiện đại Với đối tượng, phạm vi nghiên cứu là miền Dedekind, hàm tử T or và hàm tử

Ext trên vành giao hoán có đơn vị và trên miền Dedekind, mục đích của luận văn

là tìm hiểu sâu hơn, toàn diện và hệ thống hơn về hàm tửT or vàExt trên một miền nguyên bất kỳ Sau đó dựa trên một số tính chất của miền Dedekind và môđun trên miền Dedekind để chứng minh một số tính chất sâu sắc và thú vị của hàm tửT or và hàm tửExttrên miền Dedekind Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được trình bày thành ba chương.

Chương 1: Các kiến thức cơ bản.

Nội dung chính của chương 1 trình bày các định nghĩa, tính chất về hàm tửHom, hàm

tử Tenxơ, môđun tự do, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, hàm tử đồng điều, đồng luân Chương 2 Hàm tửT or vàExttrên vành giao hoán có đơn vị.

Chương này trình bày cách xây dựng hàm tửT orvàExtnhư là dẫn xuất của các hàm

tử Tenxơ và hàm tửHom Chương này cũng trình bày và chứng minh một số kết quả

về các tính chất củaT orvàExt.

Chương 3 Hàm tửT or vàExttrên miền Dedekind.

Chương này trình bày một số tính chất của miền Dedekind, môđun trên miền Dedekind

và ứng dụng chúng để nghiên cứu các hàm tửT orvàExttrên miền Dedekind.

Khi đóHom(X, Y )là một môđun trênR.

Định nghĩa 1.1.2 Cho đồng cấuα : A −→ B vàX là môđun cố định Xét các ánh xạ cảm sinh:

* Hàm tửHom(X, −) : M od −→ M od

• Mỗi môđunA ∈ M odtương ứng vớiHom(X, A).

• MỗiR- đồng cấuα : A −→ B với đồng cấu môđun

α∗ : Hom(X, A) −→Hom(X, B)

β 7−→α∗(β) = αβHom(X, −)là hàm tử hiệp biến.

* Phản hàm tửHom(−, X) : M od −→ M od.

• Mỗi môđunA ∈ M odtương ứng vớiHom(A, X).

• MỗiR- đồng cấuα : A −→ B với đồng cấu môđun

α∗ : Hom(B, X) −→Hom(A, X)

β 7−→α∗(β) = βαHom(−, X)là hàm tử phản biến.

Định lí dưới đây cho thấy tính khớp trái của hàm tửHom.

Định lí 1.1.4 Với mỗi môđunXvà với bất kỳ dãy khớp ngắn

0 −→ A−→ Bχ −→ C −→ 0σ

Các dãy sau đây là khớp

0 −→ Hom(X, A)−→ Hom(X, B)χ∗ −→ Hom(X, C)σ∗

1.2 Hàm tử Tenxơ

Định nghĩa 1.2.1 ChoX, Y, Glà cácR- môđun Ánh xạϕ : X × Y −→ Ggọi là ánh

xạ song tuyến tính nếu thỏa:

a)ϕlà song cộng tính, tức là:

ϕ(x1+ x2, y) = ϕ(x1, y) + ϕ(x2, y)ϕ(x, y1+ y2) = ϕ(x, y1) + ϕ(x, y2)

∀x, x1, x2∈ X và∀y, y1, y2∈ Y.

b)ϕlà kết hợp trong đối với phép nhân ngoài trênX vàY, tức làϕ(xr, y) = ϕ(x, ry),

∀r ∈ R, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.

Định nghĩa 1.2.2 Ta gọi tích tenxơ trênR của các môđunA và B là một môđun T

trênR cùng với một hàm song tuyến tínhf : A × B −→ T sao cho, với mọi hàm song tuyến tính g : A × B −→ X từ A × B vào một môđun X trên R, tồn tại một đồng cấu duy nhấth : T −→ X của môđun T vào môđunX, thỏa mãn quan hệ giao hoán

h ◦ f = gtrong tam giác sau:

A × B T

X

f

Ánh xạ song tuyến tínhf gọi là ánh xạ tenxơ.

Tích tenxơ của hai môđun bất kỳ luôn luôn tồn tại và duy nhất (sai khác một đẳng cấu).

Định nghĩa 1.2.3 Chof : X −→ X0 vàg : Y −→ Y0 là các đồng cấuR- môđun Xét biểu đồ

Tương tựτB2 = − ⊗ B là hàm tử hiệp biến.

Định lí 1.2.5 Các hàm tử(A ⊗ −)và(− ⊗ A)là các hàm tử khớp về bên phải Nghĩa

là choAlàR-môđun và dãy khớp

−→ Z ⊗ A −→ 0khớp chẻ.

1.3 Môđun tự do

Định nghĩa 1.3.1 Cho môđunX TậpS ⊂ X được gọi là hệ sinh củaX nếuX = hSi

hay∀x ∈ X thì x = r1s1+ r2s2+ · · · + rnsn với r1, r2, , rn ∈ R vàs1, s2, , sn ∈ S

tức x biểu thị được dưới dạng tổ hợp tuyến tính củaS.

Định nghĩa 1.3.2 Tập S ⊂ X được gọi là độc lập tuyến tính nếu

Định nghĩa 1.3.4 MôđunX có cơ sở được gọi là môđun tự do.

Định lí 1.3.5 Mỗi môđunX đẳng cấu với môđun thương của môđun tự do nào đó.

Hệ quả 1.3.6 Mỗi môđunX nhúng được vào dãy khớp0 −→ A −→ F −→ X −→ 0

trong đóF là môđun tự do.

1.4 Môđun xạ ảnh

Định nghĩa 1.4.1 Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu σ :

B −→ C, mỗi đồng cấu f : P −→ C, tồn tại một đồng cấu ϕ : P −→ B sao cho

f = σϕ

B

Pf

Trong đó dòng là khớp, gh = 0 và P là môđun xạ ảnh Khi đó tồn tại đồng cấu

k : P −→ Athỏaf k = h.

Mệnh đề 1.4.3 Mỗi môđun tự doX đều là môđun xạ ảnh.

Mệnh đề 1.4.4 Tổng trực tiếp của họ môđunP = ⊕

i∈I

Pi là xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi môđun thành phầnPi là xạ ảnh.

Định lí 1.4.5 Với một môđun tùy ý P trên R và tự đồng cấu đồng nhất của nó 1P :

P −→ P, các phát biểu sau là tương đương:

e) Với mọi dãy khớp ngắn 0 −→ A −→ Bf −→ C −→ 0g những môđun trên R, dãy

0 −→ Hom(P, A)−→ Hom(P, B)f∗ −→ Hom(P, C) −→ 0g∗

vớif∗ = Hom(1P, f )vàg∗ = Hom(1P, g)cũng là một dãy khớp ngắn.

Mệnh đề 1.4.6 Gọi1P : P −→ P là tự đồng cấu đồng nhất của một môđun xạ ảnh bất kỳP trênR Khi đó mọi dãy khớp ngắn

Định nghĩa 1.5.1 MôđunJ được gọi là môđun nội xạ khi và chỉ khi với mỗi đơn cấu

χ : A −→ B, mỗi đồng cấuf : A −→ J, tồn tại đồng cấu ef : B −→ J sao cho f =f χe

Mệnh đề 1.5.2 Cho biểu đồ các đồng cấuR- môdun

Định lí 1.5.3 (Tiêu chuẩn Baer).

R- môđunJ là nội xạ khi và chỉ khi và bất kỳ iđêan trái I củaR và bất kỳ đồng cấu

f : I −→ J luôn luôn tồn tại phần tửq ∈ J sao cho∀λ ∈ I, ta cóf (λ) = λq.

vớiJ là môđun nội xạ.

Định lí 1.5.7 Với một môđun tùy ýJ trênR và tự đồng cấu đồng nhất của nó 1J :

J −→ J, các phát biểu sau là tương đương:

a)J là nội xạ.

b) Mọi dãy khớp ngắn

0 −→ J −→ Uf −→ V −→ 0g

những môđun trênRđều chẻ ra.

c)J đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ trênR.

d) Với mọi đơn cấug : A −→ B,g∗ = Hom(g, 1J) : Hom(B, J ) −→ Hom(A, J )là một toàn cấu.

e) Với mọi dãy khớp ngắn 0 −→ A −→ Bf −→ C −→ 0g những môđun trên R, dãy

với∂ = ∂K|L là phức con củaK.

Định nghĩa 1.6.3 ChoLlà phức con củaK (Ln 6Kn, ∀n).

Khi đóK/L : · · · −→ Kn+1/Ln+1 −→ K∂ n/Ln −→ K∂ n−1/Ln−1 −→ · · ·

với∂(k) = ∂(k)là phức thương của phứcK theo phức conL.

Định nghĩa 1.6.4 Cho các phứcK vàK0như sơ đồ sau:

(K0) : · · · Kn+10 ∂

0 n+1 Kn0 ∂

• Zn(K) = Ker∂n ⊂ Kn hayZ(K) = Ker∂.

• Bn(K) = Im∂n+1⊂ Zn(K)hayB(K) = Im∂ ⊂ Z(K).

• Đặt môđun thương:Hn(K) = Zn(K)/Bn(K) = Ker∂n/Im∂n+1

Hn(K)gọi là môđun đồng điều chiềuncủa phứcK.

• x ∈ Hn(K) (x ∈ Zn(K))gọi là lớp đồng điềun- chiều củaK.

• x ∈ Zn(K)gọi là xích (chu trình)n- chiều.

• y ∈ Bn(K)gọi là biên (bờ)n- chiều.

Định nghĩa 1.6.7 Cho phứcK, K0; f : K −→ K0là ánh xạ dây chuyền

(K0) : · · · Kn+10 ∂

0 n+1 Kn0 ∂

Tương tự như trên ta có định nghĩa dãy phức tiến

Định nghĩa 1.6.10 Phức tiến là dãy các môđun và đồng cấu môđun dạng

Định nghĩa 1.6.11 Đặt môđun thương

Hn(L) = Kerδn/Imδn−1 = Kerδ/Imδ

Hn(L)gọi là môđun đối đồng điều chiềun của phứcL

Định lí 1.6.12 Cho0 −→ A−→ Bf −→ C −→ 0g là dãy khớp ngắn các phức tiến Khi

đó ta có dãy khớp dài sau:

• Phản xạ: Chof : K −→ K là ánh xạ dây chuyền thì

0 = {0 : Kn −→ Kn+1} : f ' f.

• Đối xứng: Nếus = {sn} : f ' gthì −s = {−sn} : g ' f

• Bắc cầu: Nếus = {sn} : f ' gvàt = {tn} : g ' hthì

s + t = {sn+ tn} : f ' h

b) Quan hệ đồng luân bảo toàn qua phép nhân ánh xạ

Nếuf, g : K −→ K0vàf0, g0: K0 −→ K00là các ánh xạ dây chuyền và

Định nghĩa 2.1.1 ChoX làR- môđun Phép giải xạ ảnhC trênX là dãy khớp các môđun có dạng:

Sự tồn tại của phép giải xạ ảnh trên môđun thể hiện qua mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1.2 ChoX là môđun tùy ý Khi đó luôn tồn tại phép giải tự do trênX.

Chứng minh. Ta cóX ∼= F0/A0vớiF0là môđun tự do.

−→ A1 −→ Ff1 1 −→ Ag1 0−→ 0vớiF1 tự do Tương tự vớiAn−1ta có dãy khớp ngắn

Dog0toàn cấu nên khớp tạiX.

Vậy dãy (*) là phép giải tự do củaX.

Mỗi đồng cấu môđunf : X −→ Y có thể "nâng" lên thành ánh xạ dây chuyền từ phép giải xạ ảnh củaX đến phép giải xạ ảnh củaY, cụ thể ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1.3 ChoX, Y là hai môđun vàh : X −→ Y là đồng cấu Giả sửC, D lần lượt là phép giải xạ ảnh trênX, Y Khi đó tồn tại ánh xạ dây chuyềnf : C −→ Dthỏa

Do∂ : D0 −→ Y toàn cấu nên theo định nghĩa môđun xạ ảnhC0tồn tạif0: C0 −→ D0

Theo mệnh đề1.4.2, tồn tại đồng cấufn : Cn −→ Dnthỏa fn−1∂ = ∂fn.

Vậy định lí đã được chứng minh.

Mệnh đề dưới đây cho thấy phép "nâng" trong mệnh đề2.1.3là duy nhất.

Mệnh đề 2.1.4 ChoX, Y là hai môđun, C, D lần lượt là phép giải xạ ảnh củaX và

Y Nếuf, g : C −→ Dlà hai ánh xạ dây chuyền thỏaf−1 = g−1thìf đồng luâng.

Áp dụng mệnh đề 1.4.2 vớiX = Cn, tồn tạisn : Cn −→ Dn+1 thỏa

∂n+1sn = h = fn− gn− sn−1∂ Suy rasn thỏa điều kiện (n).

Hệ quả 2.1.5 Hai phép giải xạ ảnh của cùng môđunX thì tương đương đồng luân.

Chứng minh.

Giả sửC, D là hai phép giải xạ ảnh của cùng môđunX và ta có sơ đồ sau:

Tồn tại ánh xạ dây chuyềnf : C −→ Dthỏa f−1 = 1X.

Tồn tại ánh xạ dây chuyềng : D −→ C thỏag−1= 1X.

Khi đógf là ánh xạ dây chuyềnC −→ C thỏa(gf )−1 = g−1f−1= 1X.

Mặt khác1C là ánh xạ dây chuyền từ C −→ C thỏa(1C)−1 = 1X = (gf )−1.

Do đó theo mệnh đề 2.1.4 ta cógf ' 1C Tương tựf g ' 1D.

Vậyf là tương đương đồng luân.

Ta kết thúc phần này bằng bổ đề quan trọng sau:

Bổ đề 2.1.6 Với một dãy khớp ngắn tùy ý cho trước

0 −→ X −→ Yh −→ Z −→ 0k những môđun trên R cùng với những phép giải xạ ảnh tùy ý cho trướcC vàE của các môđun X và Z theo thứ tự, tồn tại một phép giải xạ ảnh D của môđun Y và hai ánh xạ dây chuyền f : C −→ D, g : D −→ E sao cho

∀n>0, 0 −→ Cn −→ Dfn n gn

−→ En −→ 0là một dãy khớp ngắn chẻ ra.

Chứng minh.

i i f

p p

p p g

Vì E0 là xạ ảnh và g là toàn cấu nên ∃α0 : E0 −→ Y thỏa gα0 = ∂000 Ta định nghĩa

∂0(c, d) = f ∂00(c) + α0(d) Khi đó∂0làm hai hình vuông giao hoán.

Vậy ta đã xây dựng được dãyα0, , αn.

3) Chứng minh dãy(E)khớp

Xét dãy khớp0 −→ C −→ E −→ D −→ 0

Ta có dãy khớpHn+1(D) −→ Hn(C) −→ Hn(E) −→ Hn(D) −→ Hn−1(C)

MàHn(C) = Hn(D) = 0nênHn(E) = 0 ⇒ (E)khớp.

Suy rag∗f∗ s' 1∗ C⊗ 1Y = 1C⊗Y, f∗g∗ ' 1t∗ D ⊗ 1Y = 1D⊗Y.

⇒ f∗ là tương đương đồng luân

⇒ Hn(f∗) : Hn(C ⊗ Y ) −→ Hn(D ⊗ Y )là đẳng cấu.

VậyHn(C ⊗ Y ) ∼= Hn(D ⊗ Y ) ∀n.

Từ mệnh đề trên, ta có thể định nghĩa môđunT orn(X, Y )(sai khác một đẳng cấu) như sau:

Định nghĩa 2.2.2 ChoX, Y là hai môđun, C là phép giải xạ ảnh củaX.

Với mọin > 1, ta định nghĩaT orn(X, Y ) = Hn(C ⊗ Y )là tích xoắn n- chiều của X

vàY.

Quy ước 2.2.3.

T or0(X, Y ) = X ⊗ Y

T or1(X, Y ) = T or(X, Y )

2.3 Hai dãy khớp đối với hàm tử Tor

Để trình bày hai dãy khớp đối với hàm tử Tor, trước hết ta cần định nghĩa sau:

Định nghĩa 2.3.1 ChoX là môđun vàC là phép giải xạ ảnh củaX.

C :−→ Cn −→ C∂ n−1 −→ · · ·∂ −→ C∂ 1 −→ C∂ 0 −→ X∂ −→ 0−→ · · ·∂

Khi đó, phép giải xạ ảnh thu gọn củaX là dãy nửa khớp

C :−→ Cn −→ C∂ n−1 −→ · · ·∂ −→ C∂ 1 −→ C∂ 0 −→ 0 −→ · · ·

Ý nghĩa quan trọng của phép giải xạ ảnh thu gọn được cho trong mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.3.2 ChoX, Y là các môđun,C là phép giải xạ ảnh thu gọn trênX Khi

2.4 Ứng dụng của dãy khớp đối với Tor

Phần này giới thiệu một số ứng dụng của dãy khớp đối với hàm tử Tor.

Mệnh đề 2.4.1.

NếuX, Y là các môđun trên vành chính thìT orn(X, Y ) = 0 ∀X, Y ; ∀n>2.

Ngoài ra, nếu nhúngX vào dãy khớp ngắn0 −→ A−→ Pf −→ X −→ 0g vớiP xạ ảnh thìT or(X, Y ) ∼= Kerf∗ (f∗ = f ⊗ 1Y).

môđun con của môđun tự do là môđun tự do VậyAlà môđun tự do.

Theo mệnh đề 1.4.3, ta cóAlà môđun xạ ảnh.

Theo mệnh đề 2.2.4, ta cóT orn(P, Y ) = T orn−1(A, Y ) = 0 ∀n >2.

Suy raT orn(X, Y ) = 0, ∀n>2.

VìT or1(A, Y ) = T or1(P, Y ) = 0(mệnh đề 2.2.4) nênT or1(X, Y ) = 0

⇒ ∂ đơn cấu⇒ T or1(X, Y ) ∼= Im∂ = Kerf∗ = Ker(f ⊗ 1Y).

Mệnh đề 2.4.2 Với những môđun tùy ý cho trướcX, Y trênRvà mọi dãy khớp ngắn

0 −→ A−→ Pf −→ X −→ 0g trong đóP là một môđun xạ ảnh trênR, ta có:

VìP là môđun xạ ảnh nên theo mệnh đề 2.2.4 ta cóT or(P, Y ) = 0

⇒ Img∗ = 0 ⇒ Ker∂ = 0 ⇒ ∂ đơn cấu⇒ T or(X, Y ) ∼= Im∂ = Kerf∗.

Mệnh đề 2.4.3 Với những dãy khớp ngắn tùy ý:

Suy raα ⊗ 1Qlà đơn cấu Mặt khácα ⊗ β = (α ⊗ 1Q)(1A⊗ β).

Do đó:Ker(α ⊗ β) = Ker(α ⊗ 1Q)(1A⊗ β) = Ker(1A ⊗ β) (3)

• Vớin = 1, ta cóT or(X, Y ) = 0(giả thiết).

• Giả sử kết luận đúng vớin − 1nghĩa làT orn−1(X, Y ) = 0, ∀Y.

• Khi đó ta chứng minh:T orn(X, Y ) = 0, ∀Y.