Định lý RITT thứ hai đối với hàm phân hình và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMNGUYỄN THỊ THU THẢO ĐỊNH LÝ RITT THỨ HAI ĐỐI VỚI HÀM PHÂN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2020... Mục tiêu của luận v

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU THẢO

ĐỊNH LÝ RITT THỨ HAI ĐỐI VỚI HÀM PHÂN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2020

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU THẢO

ĐỊNH LÝ RITT THỨ HAI ĐỐI VỚI HÀM PHÂN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS VŨ HOÀI AN

Thái Nguyên, năm 2020

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn trực tiếp của TS Vũ Hoài An Các tài liệu trong luận văn làtrung thực

Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận vănnày đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của

TS Vũ Hoài An Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chânthành và sâu sắc nhất đến thầy, người đã định hướng chọn đề tài và luôndành nhiều thời gian, công sức, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu

và hoàn thiện luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban chủ nhiệmKhoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên, Viện Toán Học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy

và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứukhoa học

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn

cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thànhluận văn này

Luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy rấtmong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn họcviên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Thảo

Mục lục

Trang bìa phụ i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mở đầu 1

Chương 1 Hai Định lý cơ bản của Lý thuyết phân bố giá trị 6 1.1 Các hàm Nevanlinna 6

1.2 Định lý cơ bản thứ nhất 12

1.3 Định lý cơ bản thứ hai 13

1.4 Sự xác định hàm phân hình theo nghịch ảnh của tập hợp điểm 19 1.5 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ 23

Chương 2 Định lý Ritt thứ hai đối với hàm phân hình và ứng dụng 25

2.1 Định lý Ritt thứ hai đối với hàm phân hình 26

2.2 Ứng dụng của Định lý Ritt thứ hai vào vấn đề xác định duy nhất hàm phân hình 31

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo 40

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Định lý cơ bản của lý thuyết số được phát biểu như sau: Mọi số nguyên

1 pmk

k với k ≥ 1, ở đó p1, , pk là các số nguyên tố đôi một phân biệt và m1 ≥ 1, , mk ≥ 1 là các

Ta kí hiệu M(C) (tương ứng, A(C)) là tập các hàm phân hình (nguyên)

và kí hiệu L(C) là tập các đa thức bậc một Đặt E, F là các tập con khácrỗng của M(C), khi đó một hàm phân hình F (z) được gọi là không phântích được trên E × F nếu bất kì cách viết thành nhân tử F (z) = f ◦ g(z)

với f (z) ∈ E và g(z) ∈ F đều kéo theo hoặc f là tuyến tính hoặc g là tuyếntính

Định lý 1.(Định lý Ritt thứ nhất) Cho F là tập con khác rỗng của

các đa thức không phân tích được trên F × F:

F = ϕ1 ◦ ϕ2 ◦ ϕr = ψ1 ◦ ψ2 ◦ ψs,

thì r=s, và bậc của các đa thức ψ là bằng với bậc của các đa thức ϕ nếukhông tính đến thứ tự xuất hiện của chúng

Định lý 2.(Định lý Ritt thứ hai) Giả sử rằng a, b, c, d ∈ C[x]\C

thỏa mãn a ◦ b = c ◦ d và gcd(deg(a), deg(c)) = gcd(deg(b), deg(d)) = 1.Khi đó tồn tại các hàm tuyến tính lj ∈ C[x] sao cho (l1 ◦ a ◦ l2, l−12 ◦ b ◦

l3, l1 ◦ c ◦ l2, l4−1 ◦ d ◦ l3) có một trong các dạng

(Fn, Fm, Fm, Fn) hoặc

(Xn, Xsh (Xn) , Xsh(X)n, Xn) ,

ở đó m, n > 0 là nguyên tố cùng nhau, s > 0 nguyên tố cùng nhau với n, và

h ∈ C[x]\XC[x], l−1j là hàm ngược của lj, Fn, Fm là các đa thức Chebychev.Định lý thứ hai của Ritt mô tả các đa thức nghiệm đúng phương trình

f, g) nguyên tố cùng nhau Rõ ràng phương trình đa thức được Ritt nghiêncứu là trường hợp riêng của phương trình hàm P (f ) = Q(g), ở đó P, Q làcác đa thức và f, g là các hàm phân hình Phương trình hàm P (f ) = Q(g)

được nghiên cứu liên tục và mạnh mẽ với các kết quả của H.Fujimoto, HaHuy Khoai-C.C.Yang, F.Pakovich, C.C.Yang-X.H.Hua, (Xem [2], [3], [4],[5])

Để ý rằng, phương trình hàm liên quan mật thiết đến vấn đề duy nhất của

lý thuyết phân bố giá trị được nghiên cứu lần đầu tiên bởi R.Nevanlinna.Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C Với mỗi a ∈ C, ta xác định hàm

Cho F là một tập con khác rỗng của M(C) Hai hàmf,g của F được gọi

là nhận chung S, tính cả bội, nếu Ef (S) = Eg(S) Lấy một tập S ⊂ C ∪{∞}vàf,glà hai hàm phân hình (nguyên) khác hằng NếuEf (S) = Eg(S)

kéo theo f = g với bất kì hai hàm phân hình (nguyên) f, g khác hằng, thì

S được gọi là tập xác định duy nhất đối với các hàm phân hình (nguyên).Hai tập S1, S2 ⊂ C ∪ {∞} được gọi là song tập xác định duy nhất đối vớihàm phân hình (nguyên), nếu với bất kì hai hàm phân hình (hàm nguyên)

f, g thỏa mãn điều kiện Ef (Si) = Eg(Si) , i = 1, 2, kéo theo f = g Tậpxác định duy nhất đối với hàm phân hình (hàm nguyên) đã được tìm thấybởi Frank và Reinders, Fujimoto, Li và Yang, Mues và Reinders, Yi, (Xem[2], [3])

Quy trình giải bài toán: Tìm tập xác định duy nhất đối với hàm phânhình f, g gồm hai bước

Bước 1: Chuyển điều kiện nghịch ảnh đối với f, g về phương trình hàm

P (f ) = cP (g), ở đó P là đa thức, c 6= 0

Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình P (f ) = cP (g) có nghiệm duynhất f = g

Quan sát quá trình trên ta thấy rằng nếu giải được phương trình

thì tìm được các tập X, Y, các hàm phân hình f, g thỏa mãn điều kiện

Ef (X) = Eg(Y ), ở đó X, Y lần lượt là tập các không điểm của P, Q

Từ nhận xét này, ta xét bài toán sau

Bài toán A: Cho X, Y là hai tập gồm các phần tử biệt của C∪ {∞} Kýhiệu

(xem [5]) Nhờ đó, Pakovich đưa ra điều kiện cần và đủ để một đa thức là

đa thức duy nhất mạnh Tuy nhiên, tiêu chuẩn này rất khó kiểm tra.Trong [2], Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Pham Ngoc Hoa đã tương

tự Định lý Ritt thứ nhất, Định lý Ritt thứ hai cho hàm phân hình Từ

đó, như một ứng dụng, họ đã giải được bài toán A trong trường hợp

P, Q là hai đa thức kiểu Fermat-Waring:

P (z) = azn+ bzn−m + c, Q(z) = uzn+ vzn−m+ t

Chú ý rằng, trước tiên họ đã thiết lập Định lý Ritt thứ hai đối với hàmphân hình, sau đó như một hệ quả họ nhận được Định lý Ritt thứ nhấtđối với hàm phân hình Họ cũng đưa ra các ứng dụng của việc giải phươngtrình P (f ) = Q(g) vào bài toán tập xác định duy nhất Trong [3], Ha HuyKhoai, Vu Hoai An and Le Quang Ninh đã thiết lập các định lý duy nhấtcho đường cong chỉnh hình với các siêu mặt kiểu Fermat-Waring thông qua

việc giải phương trình P (f ) = Q(g) nói trên Với lý do trên, tôi chọn đề tài

"Định lý Ritt thứ hai đối với hàm phân hình và ứng dụng"

2 Mục tiêu của luận văn

Trên cơ sở kết quả của Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Pham Ngoc Hoa[2], Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Le Quang Ninh [3], tác giả trình bàyĐịnh lý Ritt thứ hai đối với hàm phân hình và ứng dụng vào giải bài toánxác định hàm phân hình (Bài toán A)

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Định lý Ritt thứ hai đối với hàm phân hình và ứng dụng vào giải bài toánxác định hàm phân hình trong trường hợp các đa thức được xét là hai đathức kiểu Fermat-Waring

F (z) = azn + bzn−m + c, Q(z) = uzn+ vzn−m+ t

4 Phương pháp và công cụ nghiên cứu

Hai Định lý cơ bản và các kiểu Bổ đề Borel của Lý thuyết phân bố giátrị để giải các phương trình hàm đã được sử dụng Nhờ đó các kết quả vềvấn đề xác định hàm và vấn đề duy nhất đã được trình bày

5 Ý nghĩa khoa học của luận văn

Luận văn đã trình bày Định lý Ritt thứ hai đối với hàm phân hình vàứng dụng vào bài toán xác định hàm phân hình và bài toán xác định duynhất hàm phân hình Các kết quả trình bày ở đây là các kết quả đã đượccông bố trong [2], [3] Định lý 2.1.1 là một tương tự của Định lý Ritt thứhai cho hàm phân hình Nó mô tả nghiệm của phương trình hàm

2.1.5 vào bài toán thiết lập các đa thức duy nhất, đa thức duy nhất mạnh.Đây là tài liệu tham khảo hữu ích đối với học viên cao học, nghiên cứu sinhchuyên ngành giải tích,

6 Cấu trúc của luận văn

Luận văn bao gồm hai chương:

Chương 1: Hai Định lý cơ bản của Lý thuyết phân bố giá trị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản: các hàmNevanlinna cùng các tính chất và ví dụ; trình bày Định lý cơ bản thứ nhất(Định lý 1.2.1), Định lý cơ bản thứ hai (Định lý 1.3.1) cùng các bổ đề cầndùng cho chương 2 tiếp theo

Chương 2: Định lý Ritt thứ hai đối với hàm phân hình và ứng dụngChương 2 trình bày nội dung chính của luận văn Trước tiên chúng tôitrình bày hai tương tự của Định lý Ritt cho hàm phân hình và bốn hàmnguyên Đó là các Định lý 2.1.1, 2.1.5 Các ứng dụng của hai định lý nàyđược trình bày trong luận văn là các Định lý 2.2.4, 2.2.5, 2.2.7, 2.2.8 và các

Hệ quả 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3

Chương 1

Hai Định lý cơ bản của Lý thuyết

phân bố giá trị

Lý thuyết phân bố giá trị của hàm phân hình do Nevanlinna xây dựng

Vì thế Lý thuyết phân bố giá trị còn được gọi là Lý thuyết Nevanlinna Lýthuyết phân bố giá trị của hàm phân hình đã được Hayman trình bày trong[1] Hiện nay, lý thuyết này là một chuyên đề của chương trình đào tạo thạc

sĩ, chuyên ngành Toán giải tích Trên cơ sở đó, trong chương này chúng tôitrình bày lại một số khái niệm và hai Định lý cơ bản của Lý thuyết phân

bố giá trị của hàm phân hình Trước tiên chúng tôi trình bày các khái niệm

cơ bản của Lý thuyết phân bố giá trị do Nevanlinna xây dựng

ta giả sử n(t, f ) là số cực điểm của hàm f (z) trong hình tròn |z| < t,

r1, r2, , rN là môđun của các cực điểm b1 đến bN đó Khi đó ta có

= m(R, f ) − m



R, 1f



+ N (R, f ) − N



R, 1f

Mệnh đề 1.1.1 Giả sử các hàm fk(z) phân hình trong mặt phẳng phức C.Khi đó ta có

Đặc biệt, với mọi hàm phân hình f (z) và mọi a ∈ C ta có

|T (r, f ) − T (r, f − a)| ≤ log+|a| + log 2

Thật vậy, trong 4) lấy f1 = f, f2 = a ta được

T (r, f − a) ≤ T (r, f ) + log+|a| + log 2,

T (r, f ) ≤ T (r, f − a) + log+|a| + log 2

trong đó c 6= 0 đồng thời tử số và mẫu số không có nhân tử chung

Giả sử p > q khi đó f (z) → ∞ khi z → ∞ Như vậy hàm m



r, 1f

khi

(kể cả bội) với mọi a hữu hạn, nên

Ta cũng có

N



r, 1f



= (q − p) log r + O(1),m



r, 1f

dt

r

π + O(log r).

ở đó tổng lấy theo các số nguyên dương k ≤ r

2π Ta cóN

+

h r2π



+ 1

 r 2π

Từ công thức Poisson-Jensen và Mệnh đề 1.1.1 ta được

trong đó ε(a, R) ≤ log+|a| + log 2

Nhận xét Từ định nghĩa các hàm Nevanlinna ta thấy rõ ý nghĩa củaĐịnh lý cơ bản thứ nhất Hàm đếm N



f − a

được cho bởi công thức

và độ lớn tập hợp tại đó f (z) nhận giá trị gần bằng a Trong khi đó, vếphải của đẳng thức trong Định lý cơ bản thứ nhất có thể xem là không phụthuộc a (sai khác một đại lượng giới nội) Vì thế Định lý cơ bản thứ nhấtcho ta thấy rằng hàm phân hình f (z) nhận mỗi giá trị a (và giá trị gần a)một số lần như nhau Đây là một tương tự của Định lý cơ bản đại số.Hàm đặc trưng Nevanlinna về mặt ý nghĩa nào đó có thể xem như đặctrưng cho cấp tăng của một hàm phân hình

Các Ví dụ 1.1.2, 1.1.3 đã kiểm nghiệm Định lý cơ bản thứ nhất

1.3 Định lý cơ bản thứ hai

Trong phần này, chúng ta sẽ chứng minh một trong những kết quả quantrọng nhất của Lý thuyết phân bố giá trị (còn gọi là Lý thuyết Nevanlinna):Định lý cơ bản thứ hai Định lý cơ bản thứ hai chỉ ra rằng, nói chung hàm

m(r, a) là "rất nhỏ" so với hàm N (r, a) Và như vậy, cùng với Định lý cơbản thứ nhất ta có một tương tự của Định lý cơ bản đại số cho trường hợpcác hàm phân hình.

Định lý cơ bản thứ hai Nevanlinna được suy ra từ định lý sau đây, đượcgọi là Bất đẳng thức cơ bản

Định lý 1.3.1 Giả sử f (z) là hàm phân hình khác hằng số trong hình tròn

{|z| ≤ r}, a1, a2, , aq, q ≥ 2 là các số phức phân biệt Khi đó ta có

|g (reiϕ)|dϕ + log |g(0)|

Chứng minh Từ định nghĩa và Định lý cơ bản thứ nhất ta có

N (r, g) − N



r, 1g



− m



r, 1g



và hai trường hợp sau.

1) Trường hợp 1: Tồn tại ν sao cho với mọi z trong hình tròn {|z| ≤ r}

3δ =

12q.

Ta sẽ ước lượng từng thành phần của vế trái.

f (0)

f0(0)



= T (r, f ) − N



r, 1f



+ log

1

f (0)

f0(0)

f (0)

lý cơ bản thứ hai Nevanlinna sau đây.

Định lý 1.3.3 Giả sử r là một số thực dương, f (z) là hàm phân hình trongC; a1, , aq là các số phức phân biệt Khi đó ta có

Từ Định lý cơ bản thứ nhất ta thấy với mọi ν = 1, 2, , q

Định lý 1.3.4 Giả sử f (z) là hàm phân hình khác hằng trong

{|z| < R0 ≤ +∞} xác định như trong định lý Khi đó ta có

1.4 Sự xác định hàm phân hình theo nghịch ảnh của tập hợpđiểm

Như ta đã biết, một đa thức khác hằng được xác định duy nhất bởi nghịchảnh của hai điểm (Định lý Gauss) Một câu hỏi tự nhiên là hàm phân hình

sẽ được xác định duy nhất bởi nghịch ảnh của bao nhiêu điểm? Khi chứngminh Định lý Gauss, ta đã dùng hai công cụ là Định lý cơ bản của đại số(để kết luận rằng hàm hữu tỷ h với bậc mẫu số cao hơn bậc tử số phải cócực điểm) và so sánh bậc của các đa thức Đối với hàm phân hình, có thểxem hai Định lý cơ bản của Nevanlinna như là tương tự của Định lý cơ bảnđại số, đồng thời hàm đặc trưng Nevanlinna đóng vai trò như bậc của đathức (cấp tăng của đa thức) Vì thế để giải quyết vấn đề nêu trên, điều tựnhiên là dùng hai Định lý cơ bản của Nevanlinna.

Cho f là hàm chỉnh hình khác hằng trên C Với mỗi z0 ∈ C, f có thểviết dưới dạng

Với mỗi a ∈ C, đặt νfa(z) = νf −a(z), νaf(z) = νf −a(z), nf(a, r) = nf −a(r),

nf(a, r) = nf −a(r) Với r > 1, mỗi a ∈ C, ta định nghĩa

Định lý 1.4.1 (Định lý năm điểm của Nevanlinna) Giả sử f1(z),

f2(z) là các hàm phân hình khác hằng Nếu tồn tại 5 giá trị phân biệt

trong đó đẳng thức có được vì tập hợp nghiệm của hai phương trình f1(z) =

aj và f2(z) = aj là như nhau (không kể bội) Từ Bất đẳng thức cơ bản đốivới hàm f1(z) ta có

1.5 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ

Chúng ta cần các Bổ đề sau là một dạng khác của Định lý cơ bản thứhai

Bổ đề 1.5.1 [1] Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C và a1, a2, , aq

là các điểm phân biệt trong C∪ {∞} Khi đó

Bổ đề 1.5.2 [8] Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C và a1, a2, , aq

là các điểm phân biệt trong C∪ {∞} Giả sử f − ai không có không điểmhoặc f − ai có không điểm bội ít nhất mi, i = 1, , q Khi đó

1 T (r, f ) ≤ N2(r, f )+N2



r, 1f



+N2(r, g)+N2



r, 1g

1 T (r, f ) ≤ N2(r, f ) + N2



r, 1f



+ N2(r, g) + N2



r,1g



++ 2



N1(r, f ) + N1



r, 1f



+N1(r, g) +N2



r,1g



+S(r, f ) +S(r, g).Bất đẳng thức tương tự xảy ra đối với T (r, g),

Trong [2] cũng đề cập đến việc giải phương trình bốn ẩn đối với các hàmnguyên dạng cf1n + df1n−mf2m + ef2n = ug1n + vg1n−mg2m + tg2n và ứng dụngvào bài toán tập xác định duy nhất Các công việc trên được gọi là Định

lý Ritt thứ hai đối với hàm phân hình và ứng dụng Nội dung của nó đượcđưa ra trong [2], [3] Trong luận văn, Định lý Ritt thứ hai đối với hàm phânhình là Định lý 2.1.1 Định lý 2.1.5 là Định lý Ritt thứ hai đối với bốn hàmnguyên

Ứng dụng của Định lý 2.1.1 và Định lý 2.1.5 vào bài toán xác định hàmphân hình là các Định lý 2.2.4, 2.2.5, 2.2.7, 2.2.8 Các định lý này mô tả mốiquan hệ giữa hai hàm phân hình thông qua điều kiện ảnh ngược của các tậphữu hạn Các Hệ quả 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3 là ứng dụng của Định lý 2.1.1, Định

lý 2.1.5 vào bài toán thiết lập đa thức duy nhất, đa thức duy nhất mạnh.Trước tiên chúng tôi trình bày Định lý Ritt thứ hai đối với hàm phân

lý Ritt thứ hai hàm phân hình ứng dụng Nội dung đượcđưa [2], [3] Trong luận văn, Định lý Ritt thứ hai hàm phânhình Định lý 2.1.1 Định. .. lý 2.1.5 Định lý Ritt thứ hai bốn hàmnguyên

Ứng dụng Định lý 2.1.1 Định lý 2.1.5 vào tốn xác định hàmphân hình Định lý 2.2.4, 2.2.5, 2.2.7, 2.2.8 Các định lý mô tả mốiquan hệ hai hàm phân. .. data-page="24">

Từ Định lý thứ ta thấy với ν = 1, 2, , q

Định lý 1.3.4 Giả sử f (z) hàm phân hình khác

{|z| < R0 ≤ +∞} xác định định lý Khi ta có

1.4 Sự xác định hàm phân hình