Toán học Chuyên đề Thể tích34694

Chuyên T L u Tu n Hi p GVTHPT Lai Vung 2 Trong trường phổ thông , Hình học Không gian là một bài toán rất khó đối với học sinh, do đó học sinh phải đọc thật kỹ đề bài và từ đó xác định

Chuyên   

T 

L u Tu n Hi p  GVTHPT Lai Vung 2

Trong trường phổ thông , Hình học Không gian là một bài toán rất khó đối với học sinh, do đó học sinh phải đọc thật kỹ đề bài và từ đó xác định giả thuyết bài toán, vẽ hình rồi tiến hành giải bài toán

C hai ch ng trình chu n và nâng cao đ u đ c p đ n thể tích của khối đa diện (

thể tích khối chóp, khối lăng trụ)

Thông thường bài toán về hình chóp được phân thành 2 dạng như sau:

Cho hình chóp

Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt

phẳng đáy

B 

S

Đa giác đáy :

− Tam giác đều

− Hình vuông, chữ nhật

C 

B 

S 

O

- Hình chóp tam giác đều

- Hình chóp tứ giác đều

Thông thường bài toán về hình lăng trụ:

V B h =

B: diện tích đáy

h : đường cao

Lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 Lăng trụ xiên ABC.A 1 B 1 C 1

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN  A.Các Tính Ch t : 

a. Tam giác :

−  Di n tích c a tam giác 

*  1  .sin  µ 

2 

ABC 

*  1  . 

2 

ABC 

SD = BC AH

−  Các tam giác đ c bi t : 

o  Tam giác vuơng : 

h 

H 

A 

B 

B1 

C1  A1 

H  A1 

B 

C 

A 

B1 

C1 

G

+  nh lý pitago: BC2 =AB2 + AC 2 

+ T  s  l ng giác trong tam giác vuơng 

µ = Đối = sin

Huyền

b

B

a

µ = Kề = cos

Huyền

c

B

a

µ =Đối = tan

Kề

b

B

c 

+ Di n tích tam giác vuơng: 

1  . 

2 

ABC 

SD = AB AC

o  Tam giác cân: 

+  ng  cao  AH  c ng  là  đ ng  trung 

tuy n 

+ Tính đ ng cao và di n tích 

µ 

.tan 

1  . 

2 

ABC 

SD = BC AH

o  Tam giác đ u 

+  ng cao c a tam giác đ u

= = 3

2

h AM AB 

( đ ng cao h = c nh  x 3

2  ) 

+ Di n tích :  ( )  2  3 

4 

ABC 

SD = AB

c 

a 

b 

C 

B 

A 

A 

B  H  C 

B 

A

G 

C  M

−  Hình vuông 

+ Di n tích hình vuông : 

2 

( ) 

ABCD 

( Di n tích b ng c nh bình ph ng) 

+  ng chéo hình vuông

= = 2

AC BD AB 

( đ ng chéo hình vuông b ng c nh x 2  ) 

+ OA = OB = OC = OD

−  Hình ch  nh t 

+ Di n tích hình vuông : 

. 

ABCD 

S =  AB AD

( Di n tích b ng dài nhân r ng) 

+  ng chéo hình ch a nh t b ng nhau và 

OA = OB = OC = OD 

B Th  Tích Kh i Chóp: 

+ Th  tích kh i chóp

= 1

3

Trong đó : B là di n tích đa giác đáy 

h : là đ ng cao c a hình chóp 

Các kh i chóp đ c bi t :

+ T t c  các c nh đ u b ng nhau  + T t c  các m t đ u là các tam giác đ u  +  O là tr ng tâm c a tam giác đáy 

Và  AO ⊥  (BCD) 

B

+ T t c  các c nh bên b ng nhau 

+  a giác đáy là hình vuông tâm O 

+ SO ⊥ (ABCD) 

O 

B 

D 

A 

C 

O 

h 

S 

B 

A 

C 

H 

A 

C 

D 

M 

O 

O 

C 

D 

B 

A 

S

Cách xác đ nh góc

−  Góc gi a đ ng th ng d và m t ph ng (P): 

o  Tìm hình chi u d  /  c a d lên m t ph ng (P) 

o  Khi đó góc gi a d và (P) là góc gi a d và d  / 

Ví d  1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, SA vuông góc v i (ABCD) và 

góc gi a SC v i (ABCD) b ng 45 0 . Hãy xác đ nh góc đó. 

Gi i 

Ta có : AC hc= (ABCD ) SC

⇒ · · · ( ,(SC ABCD)) ( = SC AC, ) =SCA = 45 o

−  Góc gi a hai m t ph ng (P) và (Q) : 

o  Xác đ nh giao tuy n d c a (P) và (Q) 

o  Tìm trong (P) đ ng th ng a ⊥  (d) , trong m t ph ng (Q) đ ng th ng b ⊥  (d) 

o  Khi đó góc gi a (P) và (Q) là góc gi a hai đ ng th ng a và b 

Ví d  2: Cho hình chóp t  giác đ u S.ABCD có ABCD là hình vuông, và góc gi a m t bên 

v i m t đáy b ng 60 0 . Hãy xác đ nh góc đó. 

Gi i 

G i M là trung đi m BC 

Ta có :

(SBC) ∩ (ABCD) = BC (ABCD)⊃AM ⊥ BC  (SBC) ⊃SM ⊥  BC 

( vì 

( SM ) 

ABCD 

AM hc = )

⇒ · · ·  ((SBC ABCD),( )) ( = SM AM, ) =SMA = 60  o 

45 

O 

S 

C 

D 

B 

A 

60 

M 

O 

S 

C

Bài Toán  1.1: 

S.ABC 

Gi i 

§  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình:

−  V  tam giác đáy, v  đ ng cao SA ⊥  (ABC) và v  th ng đ ng

−  S  d ng đ nh lý pitago trong tam giác vuơng 

§  L i gi i: 

Ta cĩ : AB = a  2 , 

AC = a  3 

SB = a  3 . 

* D  ABC vuơng t i B nên BC= AC2 −AB 2 = a

⇒   S ABC  1 . 1 2.  2  2 

a 

* D  SAB vuơng t i A cĩ SA= SB2 −AB 2 = a

* Th  tích kh i chĩp S.ABC 

. 

1. . 1. 2.  2 

S ABC ABC  a a 

Bài Toán  1.2: 

Gi i 

§  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình:

−  V  tam giác đáy, v  đ ng cao SA ⊥  (ABC) và v  th ng đ ng

−  Tam  giác  ABC  vuơng  ,  cân  t i  B nên  BA =  BC  và s   d ng đ nh  lý pitago  trong tam giác vuơng 

§  L i gi i: 

Ta cĩ : AC = a  2 , 

SB = a  3 . 

* D  ABC vuơng, cân t i B nên 

2 

2 

AC 

⇒   S ABC  1 . 1  .  2 

a 

* D SAB vuơng t i A cĩ SA= SB2 −AB 2 =  a

* Th  tích kh i chĩp S.ABC 

3 3 2 6 

S ABC ABC  a a 

B 

S 

B  S

Bài Toán  1.3: 

Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC đ u c nh 2a, c nh bên SA vuơng gĩc v i 

Gi i 

§  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình:

−  V  tam giác đáy, v  đ ng cao SA ⊥  (ABC) và v  th ng đ ng

−  Tam giác ABC đ u cĩ ba gĩc b ng 60 0 và s  d ng đ nh lý pitago trong tam  giác vuơng SAB 

§  L i gi i: 

* D  ABC đ u c nh 2a nên 

AB = AC = BC = 2a

S sin 60 2 2 3 

* D  SAB vuơng t i A cĩ SA= SB2 −AB 2 =  a

* Th  tích kh i chĩp S.ABC 

3 

2    1. . 1 3.  3 

S ABC ABC  a 

Bài Toán  1.4: 

bên SA vuơng gĩc v i m t ph ng đáy và SA =2a.Tính th  tích kh i chĩp S.ABC 

Gi i 

§  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình:

−  V  tam giác đáy, v  đ ng cao SA ⊥  (ABC) và v  th ng đ ng

−  Tam giác ABC cân t i A và Â = 120 0 

§  L i gi i: 

* D  ABC cân t i A,  · B AC 120 =  0 , BC = 2a  3 

AB = AC = BC = 2a  Xét D AMB vuơng t i M cĩ BM = a  3, Â = 60 0

tan 60  3 

BM =a  = a

S 2 3 3 

* SA = a 

* Th  tích kh i chĩp S.ABC 

3 

2    1. . 1 3.  3 

S ABC ABC  a 

S 

B 

C 

A 

M 

S 

B 

C  A

Bài Toán  1.5: 

Gi i 

§  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình:

−  V   đáy  là hình vuơng  (  v  nh  hình bình hành),  cao  SA ⊥  (ABCD)  và  v  

th ng đ ng

−  ABCD là hình vuơng ;  s  d ng đ nh lý pitago trong tam giác vuơng 

§  L i gi i: 

Ta cĩ : ABCD là hình vuơng c nh a  2 

SC = a  5 . 

* Di n tích ABCD

⇒ ( )  2  2  ABCD 

S = a 2 = 2  a

* Ta cĩ : AC = AB.  2 = a 2 2 2 = a

D SAC vuơng t i A

⇒  SA= SC2 −AC 2 =  a

* Th  tích kh i chĩp S.ABCD 

3 

2   

1. . 1.2   2 

S ABCD ABCD  a 

Bài Toán  1.6: 

Cho hình chĩp  S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình  vuơng, c nh bên  SA vuơng gĩc 

Gi i 

§  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình:

−  V   đáy  là hình vuơng  (  v  nh  hình bình hành),  cao  SA ⊥  (ABCD)  và  v  

th ng đ ng

−  Bi t AC và suy ra c nh c a hình vuơng ( ng chéo hình vuơng b ng c nh 

§  L i gi i: 

Ta cĩ : SA = AC = a  2 

* ABCD là hình vuơng 

AC = AB.  2 ⇒ 

2 

AC 

Di n tích ABCD :  2 

ABCD 

S  =  a

* SA = a  2 

* Th  tích kh i chĩp S.ABCD 

3 

2    1. . 1 2  2 

S ABCD ABCD  a 

D 

C 

S 

D 

C  S

Bài Toán  1.7: 

2a.Tính th  tích kh i chĩp S.ABC 

Gi i 

§  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình:

−  Hình chĩp tam giác đ u cĩ đáy là tam giác đ u tâm O 

+ G i M là trung đi m BC 

+ O là tr ng tâm c a tam ABC 

−  ng cao c a hình chĩp là SO ( SO ⊥  (ABC)) 

§  L i gi i: 

* S.ABC là hình chĩp tam giác đ u 

G i M là trung đi m BC

D  ABC đ u c nh a  3 , tâm O 

SO ⊥  (ABC)  SA=SB=SC = 2a 

* D  ABC đ u c nh a 3 

⇒  AM =  3.  3 3 

2 2 

a 

⇒  AO= 2 2 3 . 

3 3 2 

a 

ABC  1 1 3 3 3 

S sin 60 3 3. 

a 

* D SAO vuơng t i A cĩ SO= SA2 −AO2  =  a 3 

* Th  tích kh i chĩp S.ABC 

S ABC ABC 

−  H c sinh v  “sai” hình chĩp tam giác đ u vì 

+ khơng xác đ nh đ c v  trí đi m O  + khơng hi u tính ch t c a hình chĩp đ u là SO ⊥ (ABC)  + khơng tính đ c AM và khơng tính đ c AO

−  Tính tốn sai k t qu  th  tích 

A 

C 

B 

S 

M  O

Bài Toán  1.8: 

.Tính th  tích kh i chĩp S.ABCD 

Gi i 

§  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình:

−  Hình chĩp t  giác đ u cĩ 

+ đa giác đáy là hình vuơng ABCD tâm O 

+ SO ⊥  (ABCD)  + t t c  các c nh bên b ng nhau

−  ng cao c a hình chĩp là SO ( SO ⊥  (ABCD)) 

§  L i gi i: 

* S.ABCD là hình chĩp t  giác đ u 

ABCD là hình vuơng c nh 2a , tâm O 

SO ⊥  (ABCD)  SA=SB=SC =SD = a  3 

* Di n tích hình vuơng ABCD

⇒  AC = 2a.  2

⇒  AO=AC 2 2  2 

2 2 

= =

⇒ ( )  2  2  ABCD 

S = 2a = 4  a

* D  SAO vuơng t i O cĩ SO= SA2 −AO 2 = a

* Th  tích kh i chĩp S.ABCD 

3 

2    1. . 1.4   4 

S ABCD ABCD  a 

−  H c sinh v  “sai” hình chĩp t  giác đ u  + khơng xác đ nh đ c tính ch t đa giác đáy là hình vuơng  + khơng SO ⊥  (ABCD) mà l i v  SA D  (ABCD) 

+ khơng tính đ c AC và khơng tính đ c AO

−  Tính tốn sai k t qu  th  tích 

O 

C 

D 

B 

A 

S

Bài Toán  1.9:  Tính th  tích c a kh i t  di n đ u c nh a 

Gi i 

§  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình:

−  T  di n đ u ABCD cĩ các tính ch t 

+ t t c  các c nh đ u b ng nhau 

+ t t c  các m t là các tam giác đ u 

+ g i O là tr ng tâm c a tam giác đáy

−  ng cao c a hình chĩp là AO ( AO ⊥ (BCD)) 

§  L i gi i: 

* ABCD là t  di n đ u c nh a 

G i M là trung đi m CD 

Ta cĩ : AB=AC=AD = AC=CD=BD = a

D BCD đ u c nh a, tâm O

⇒ AO ⊥ (BCD) 

* D  BCD đ u c nh a

⇒  BM =  3

2 

a

⇒   BO= 2 2.  3 3 

3 =3 2 =  3

BM

⇒   S BCD  2  3 

4

D = a 

* D  AOB vuơng t i O cĩ

3 3

 

= − = −   =

  

* Th  tích kh i chĩp S.ABC 

1. . 1. 3.  6 2 

ABCD BCD  a a a 

Bài Toán  1.10: 

Gi i 

* Tam giác ABC vuơng t i B

⇒  BC = AC2 −AB2 = a 2

⇒ 1 2 2

ABC

a

* Tam giác A / AB vuơng t i A

⇒ A A/ = A B/ 2 −AB2 =  a 3

A 

C 

D 

B 

M 

O 

2a 

a  3 

B  / 

C  / 

A  / 

D ng 2 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP- KH I L NG TR

LIÊN QUAN ĐẾN GÓC

Trong chương trình Toán phổ thông , Hình học Không gian được phân phối học ở

cuối năm lớp 11 và đầu năm lớp 12, kiến thức về góc ( góc giữa đường thẳng và mặt

phẳng ; góc giữa hai mặt phẳng) được học vào cuối năm lớp 11 và đến đầu năm lớp 12

sẽ được vận dùng vào bài toán tính thể tích của khối chóp, kh i l ng tr Đó là một vấn đề rất khó đối với học sinh lớp 12 khi vận dụng vì đa số học sinh quên và không biết cách vận dụng, từ đó đa số học sinh đều bỏ hoặc làm sai bài toán tính thể tích của khối chóp , kh i l ng tr trong các kỳ thi học kỳ, thi Tốt nghiệp THPT

Ở đây, tôi hệ thống lại một số sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải bài toán tính thể tích liên quan đến giả thuyết về góc

Góc

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

B 

S

Xác định Góc giữa SB và (ABC)

Ta có : 

( SB ) 

ABC 

AB hc =

⇒ · · ·  ( ,(SB ABC)) ( , = SB AB ) =SBA

Góc giữa hai mặt phẳng

A 

C 

B 

S 

M 

O

Xác định góc giữa (SBC) và

(ABC)

Ta có : (SBC) ∩(ABC) = BC

SM ⊥ BC

AM ⊥ BC

⇒

· · ·  ((SBC ABC),( )) ( = SM AM, ) =SMA

Chú ý : Xác định hai đường thẳng

nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm

Bài Toán 2.1: 

th  tích kh i chĩp S.ABC 

Gi i 

§  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình:

−  V  tam giác đáy, v  đ ng cao SA ⊥ (ABC) và v  th ng đ ng

−  Xác đ nh gĩc gi a SB và (ABC) là gĩc gi a SB v i  hình chi u c a nĩ lên  (ABC) 

§  L i gi i: 

* Ta cĩ : AB = a , 

( SB ) 

ABC 

AB hc =

⇒ · · ·  ( ,(SB ABC)) ( , = SB AB) =SBA = 45  o 

* D ABC vuơng t i B cĩ AB = a, · ACB = 60 0 

tan 60 3  3 

⇒   S ABC  1 . 1 .  3 2  3 

* D SAB vuơng t i A cĩ AB= a, µ B = 45 0 

⇒   SA AB= .tan 45  o =  a

* Th  tích kh i chĩp S.ABC 

S ABC ABC  a a 

Bài Toán 2.2: 

Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng c nh a, c nh bên SA 

kh i chĩp S.ABCD 

Gi i 

§  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình:

−  V  tam giác đáy, v  đ ng cao SA ⊥ (ABC) và v  th ng đ ng

−  Xác đ nh gĩc gi a SC và (ABCD) là gĩc gi a SC v i hình chi u AC c a SC  lên (ABCD) 

§  L i gi i: 

* Ta cĩ : ABCD là hình vuơng c nh a , 

( SC ) 

ABCD 

AC hc =

⇒ · · ·  ( ,(SC ABCD)) ( , = SC AC) =SCA = 60  o 

* Di n tích hình vuơng

⇒   2  ABCD 

S  =  a

* D  SAC vuơng t i A cĩ AC= a  2 , C = µ  60 0 

⇒  SA AC= tan 60o = a 6 

* Th  tích kh i chĩp S.ABCD 

3 

2    1. . 1 6  6 

S ABCD ABCD  a 

S 

B 

C 

A 

60 

D 

C  S

Bài Toán 2.3: 

bên SA vuơng gĩc v i m t ph ng đáy ; m t bên (SBC) t o v i m t đáy (ABC) m t gĩc 

Gi i 

§  Sai l m c a h c sinh:

−  G i M là trung đi m BC

−  Ta cĩ AM ⊥  BC 

SM ⊥  BC

⇒ · · ·  ((SBC ABC),( )) ( = SM AM, ) =SMA = 60  o 

(Hình v  sai) 

§  L i gi i đúng: 

(SBC) ∩ (ABC) = BC

AB ⊥ BC ( vì D ABC vuơng t i B) 

SB ⊥  BC ( vì 

( SB ) 

ABC 

AB hc =

⇒ · · ·  ((SBC ABC),( )) ( , = SB AB) =SBA = 60  o 

* D  ABC vuơng t i B cĩ AB = a  3 ,BC =a

⇒  S ABC  1 . 1 3.  2  3 

a 

* D  SAB vuơng t i A cĩ AB= a, µ B = 60 0 

⇒   SA AB= tan 60o =  3  a

* Th  tích kh i chĩp S.ABC 

S ABC ABC  a a 

§  Nh n xét:

−  H c sinh khơng lý lu n đ  ch  ra gĩc nào b ng 60 o , do đĩ m t 0.25 đi m

−  H c sinh xác đ nh gĩc gi a hai m t ph ng b  sai vì đa s  h c sinh khơng n m rõ  cách xác đ nh gĩc và c  hi u là gĩc SMA v i M là trung đi m BC 

o  N u đáy là tam giác vuơng t i B (ho c C), hình vuơng và SA vuơng gĩc v i  đáy thì gĩc gi a m t bên và m t đáy s  là gĩc đ c xác đ nh t i m t trong hai 

v  trí đ u mút c a c nh giao tuy n 

o  N u đáy là  m t tam  giác cân  (đ u)  và SA  vuơng  gĩc  v i đáy ho c  là hình  chĩp đ u thì gĩc gi a m t bên và m t đáy là gĩc   t i v  trí trung đi m c a 

c nh giao tuy n. 

60 

M 

S 

B 

C 

A 

60 

S 

B 

C  A

Bài Toán 2.4: 

, c nh bên SA vuơng gĩc v i m t ph ng đáy ; m t bên (SBC) t o v i m t đáy (ABC) 

Gi i 

§  Sai l m c a h c sinh:

⇒ · ·  ((SBC ABC),( )) =SBA = 45  o 

§  L i gi i đúng: 

(SBC) ∩ (ABC) = BC

G i M là trung đi m BC

AM ⊥ BC ( vì D ABC cân t i A) 

SM ⊥  BC ( vì 

( SM ) 

ABC 

AM hc =

⇒ · ((SBC ABC),( )) ( =· SM AM, ) =SMA ·  = 45  o 

* D  ABC vuơng cân t i A cĩ ,BC = a 2 

⇒  AB = BC = a và AM =  2

2 

a

⇒  S ABC  1 . 1  .  2 

a 

* D  SAM vuơng t i A cĩ AM=  2

2 

a  , M = ¶  45 0 

⇒   tan 45  2 

2 

o  a 

* Th  tích kh i chĩp S.ABC 

3 3 2 2 12 

S ABC ABC  a a a 

45 

M 

S 

B 

C  A

Bài Toán 2.5: 

kh i l ng tr  

Gi i 

* Ta cĩ A / A ⊥  (ABC)

/

(A BC) ( ∩ ABC ) = BC

AB ⊥  BC 

(ABC ) A B

hc  nên A / B ⊥ BC

⇒ · ( (A BC ABC/ ),( )) = · A BA / =  30 0

* Tam giác ABC vuơng t i B

⇒ 1 2 2

ABC

a

* Tam giác A / AB vuơng t i A ⇒ / .tan 30 0 3

3

a

3 /

6

6

ABC ABC A B C

a

Bài Toán 2.6: 

Gi i 

* G i M là trung đi m BC 

G là tr ng tâm c a tam giác ABC 

Ta cĩ A / G ⊥  (ABC) 

(ABC ) A A

hc

⇒ · ( A A ABC/ ,( )) = · A AG / =  30 0

* Tam giác ABC đ u c nh 2a 3 ⇒ ( ) 2

2

3

2 3 3 3

4

ABC

* Tam giác A / AG vuơng t i G cĩ µ 30 ,0 2 2.2 3. 3 2

3 3 2

⇒ / .tan30 0 2 3

3

a

ABC A B C

30  0 

B  / 

2a 

B 

C 

A 

30  0 

2a  3 

C / 

A  / 

B  / 

M 

B  G

D ng 3 T  S  TH  TÍCH

- Vi c  tính  th   tích c a m t kh i chóp  th ng h c sinh  gi i b  nhi u sai sót,  Tuy  nhiên trong các đ  thi l i yêu c u h c sinh tính th  tích c a m t kh i chóp “nh ” c a kh i  chóp đã cho. Khi đó h c sinh có th  th c hi n các cách sau: 

+ Cách 1: 

o  Xác đ nh đa giác đáy 

o  Xác đ nh đ ng cao ( ph i ch ng minh đ ng cao vuông g i v i m t 

ph ng đáy) 

o  Tính th  tích kh i chóp theo công th c  + Cách 2 

o  Xác đ nh đa giác đáy 

o  Tình các t  s  đ  dài c a đ ng cao (n u cùng đa giác đáy) ho c di n  tích đáy (n u cùng đ ng cao) c a kh i chóp “nh ” và kh i chóp đã  cho và k t lu n th  tích kh i c n tìm b ng k l n th  tích kh i đã cho  + Cách 3: dùng t  s  th  tích 

Hai kh i chóp S.MNK và S.ABC có chung đ nh S 

và góc  đ nh S 

Ta có :  . 

. 

. . 

S MNK 

S ABC 

C  hai ch ng trình chu n và nâng cao đ u có đ  c p đ n tính th  tích c a m t kh i 

chóp “nh ” liên quan đ n d  ki n c a kh i chóp l n.Tuy nhiên 

­  Không  trình  bày khái  ni m  t   s   th  

tích c a 2 kh i chóp 

Có trình bày khái ni m t  s  th  tích c a 

2 kh i chóp 

n 

B 

C 

A 

S 

N 

K  M