(Luyện thi toán học) Chuyên đề Hình học Không gian rất hay

(Luyện thi toán học) Chuyên đề Hình học Không gian rất hay(Luyện thi toán học) Chuyên đề Hình học Không gian rất hay(Luyện thi toán học) Chuyên đề Hình học Không gian rất hay(Luyện thi toán học) Chuyên đề Hình học Không gian rất hay(Luyện thi toán học) Chuyên đề Hình học Không gian rất hay(Luyện thi toán học) Chuyên đề Hình học Không gian rất hay

CHYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP

GÓC – KHOẢNG CÁCH

Quan hệ song song – vuông góc là một mảng vô cùng quan trọng trong chương trình hình học không gian nói chung và trong những bài toán có liên quan đến hình chóp nói riêng Và một trong những ứng dụng quan trọng nhất của quan hệ song song – vuông góc trong việc giải các bài toán hình học không gian cũng như các bài toán có liên quan đến hình chóp là tìm góc và khoảng cách.Ta đến với những bài toán sau:

Bài 1: Cho (),(   ) (A ( ( (    =  = (,(P)), MAM = , MAA =  ,,

Bài 2:  = =  CA, SF  CB CMR:

a SC  EF b

4 4

tan ( )

1 tan ( )

2

2 2

2

AB SI

2. a   (a x) a   (a y) = a2 + (a – x)2 + a2 + (a – y)2 – (x2 + y2)

 2[a2 + (a – x)2].[a2 + (a – y)2] = [4a2 – 2a(x + y)]2

 a4 + a2[2a2 – 2a(x + y) + x2 + y2] + (a2 + x2 – 2ax)(a2 + y2 – 2ay) = 2[2a2 – a(x + y)]2

 a4 + 2a4 – 2a3(x + y) + a4 + a2(x2 + y2) + 4a2xy – 2a3(x + y) + x2y2 – 2axy(x + y) = 8a4 – 8a3(x + y) + 2a2(x2 + y2) + 4a2xy

= AK2 

 sin AKI = 3

2

2 3 3

AKI =

3



 SC CE ((SCB), (SCD)) SC CB       = ECB + SE.SD = SC2 SE = 2 4 3 a a = 4 3 3 a  DE = 3 3 a  CE2 = DE.SE = 4 3 3 4 2 3 a 3 a 3a + 2 2 2 5 2 2 6 cos 2 3 3 BD a SD SB BD SB a ESB SD SB SD a               BE2 = SE2 + SB2 – 2.SE.SB.cos ESB = 16

3 a2 + 6a2 – 2.2 2 4 3 2 2 6

3 3 a a 3a  cos ECB = 2 2 2 2 CE CB EB CE CB   = 2 2 2 4 2 2 6 3 3 3 2 3 2 2

3 a a a a a    ECB = arccos 6 3 Bài 5: Cho 

D C

B A

1 sin , , 6

 '

'2

42

Bài 6:  

= S (ABC)  ABC

2

S



+

S

SAB

 

(SAI)BC  Ich S (SAI)

2



4.sin 2



2

2

4

2

3 tan 1 2







Bài 7

=

ỉ ở  

Gi i:

H

S

E

Bài 8 = =

= = = (MBC, NCD)

4a

Bài 9 = a 6

2 ’ ’ ’

 SIJ AD SI AD SI d (do d / /AD / /BC)

SJ AD SJ d ISJ ((SAD), (SBC))

VS.ABD = 1SB.AD.d(AD,SB).sin (AD,SB)

2 39sin SBC

Suy ra: VS.ABD = 3 2

a d(SB, AD)

12 (2) = 3a

( )  và (ABC)

= 3 và o

J ù

J  JK  TB (4)

3 4 : (JBK)  TB JBK (( ), (ABC))      : JK 6a, BK 2 3a BJ 6a 6 3 2      cos JBK = BK 2 2 BJ  3 Bài 12 ’ ’ ’ ’

’ ’ ù

’ ’C :

’ ’ ’ ’

CD (K  CD)  ’ H  B' K) ’ ’ J J ’

Ta có : CD BK CD (B' BK) BH B'C BH (B' DC) CD BB' BH DB' BH B' K                    ’ ’  ’

J BH B'C

BH A ' B







J

Bài 13 ụ

= ;

c

:

SK HSK J

J

ụ AB KE AB KE (SAK) KE BH KE SA           + BH SK BH (SKE) IJ (SKE) IJ KE IJ BD (do BD / /KE) BH KE IJ / / BH                   +IJ  (SKE)   IJ SC J

: a a 3 3a 2 2 a 13 KB , KC , KA , KS SA AK 2 2 2 2       =

KB.KA 3a 13

KH

=

mp(SAD)

BT4/ Trong mp(P) cho hình thang cân ABCD có AB=2a, CD=a, BC=AD=a =a

5 ở = =

=

ỏ ổ 6 0

, AC = b, =

600 Tính:

b

7 = =

= ỏ ơ J

e J và ã

8

K H

O I

SI 3 IO

IS 1 ) 1 (

2

1 IO

IS 1 MS



Bài 2: Cho h

’ ’ ’

.1SC

'

M CSB

- ’

ù

- MA'

SA

S MBC S ABC



1

' 2

1 2

2

OASOSA

'30

h h a

h h

c) ’ ’ ’ ?

22

2 2 2

2 2

h

a h a

SC SA

2

''

2

h a

ah SC

AC SH AC SC

AC AC

h h

a HE SH HC AH HC

(2

2 2

(2

2.2

'')//

''('

'

2

2 2 2

2

h

a h a h

a h h

a SH

SE BD D B BD D B SH

SE BD

D

2

1 ' ' '.

2

h a

ah

)2

(2

2 2

h

a h

)2(2

)2

(

2 2

2 2 2

h a h

a h a

(2

)2

(2

42'

2 2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

2

a h

a h h

a

h a a

h AC SA SC

0 1

Gi i:

- e

’ ’ ơ ’ ’ ’ ’ ’ ’

C

B A

S

- ’ ’ ’ ’

+ Ta có: (SAB) (SCD), //A'B', //C'D'

)SCD//(

'D

'

C

)SAB//(

'B'

A

'D'C//

'B'

CD

)SAB//(

AB

CD//

Bài 6: ’ ’ ’ ’

’ ’ ’ ’

'D'C//

'B'A

SF

)SCD()SAB(

SE

+ Ta có:

)P//(

SE'D'C//

'B'A//

SE'

SAB

(

SE

)SCD()

E F

D

C B

A

S

AB FI JE AB FI JE

CD JI FE CD JI EF

2,

//

//

2,

a) ã 

?

b)  ’ ’ ’ ’ c) ã ’ ’ ’?

d) ’ ’ ’

Gi i:

a) AB'SB,B'SB AK' SK.

’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ở  ’ ’ ’

e

b) ’ ’ ’ ’ c) ’ ’ ỉ ’ ’ ã

AB KL AL AK SA

AL SA

''

;'''')('

'

//

'''',

L C C K AB L K SAB mp

L

K

KL L K SL SK SL SK AL

x AC

R

AC CB

h SB

SA SB

SB SB SB

h

Rh x

R h

2

2

44

2

'

''

4 22

2

B C AC AC

CM R

' '.

2

1 sin ' ' '.

' 2

1 sin

' '.

' 2

1 sin '.

' '.

' 2

1 sin '.

' '.

2

1 sin ' ' '.

2

1

L K AB L

K B C K

AC

L C B C K

C B C L

C AC K

a PQ CD

PQ

b MQ SA

1

22

M N//

PQ

2

SHEF

M NEF

CD//

PQ

CD//

M N

SH//

EF)

R//(

CD),R//(

SHBC

A S

-   tan

4

5a2

tan.BCHB2

tan.HC2

SHEF

2 2

SAC(mpBDSA

BDAC

BD

))mp(

SCdo(D

- Có AB SB

AB

SC

ABBCSA

BC,AB

BC

1 1

ABAD

2

BDD

B2

2

3a2

1a

1AC

1SA

1

AC

1

1 2

2 2 2 2

6 a 2

2 a 2

1 S

2 D

H

S

Q J

P

I R D

A

QR

CD//

RS//

PQAB

SR CD

PQ AH

- Có: CDAH,CDHBCDIJSR IJ

IJ SR S

PQRS

- Mà:

15 a

2 x

2

3 a 4

a 3 a 2

2 ax HB

HB AB

2 ax

AB

HB HA

x HE

IK BH

BI CD

SR

2 2 2

2x.CD

- Và:

15a

2x415a15a

2x41HB

BI1HB

BIBHHB

a

)2x15a.(

2x4.15

x30aSR.IJ

S

2 PQRS

Gi i:

- ụ  SAH  60 

A'

C

B A

S

- ’

- Ta có:

1BS

SNBNBC

1SA

1.xSB

3 4

a 3 2 60 cot '.

AA 2 ' BA 2

1 x a 3(2 3)

2

3a

1a

MA

ở (MNP)

2 1 1

.

RC

RB RC

RB MB

MA NA

3 2

1 1

RM BM

BA CA

A

- Á ụ e e R :

11

2.2

1.1

QD

QB QD

QB RB

2.3

2.1

RQ BQ

BD CD

CP RP

RQ

-

1

2

3

2CP12

- Á ụ R R

11260

cos.4.12.2412cos

2

11760

cos.3.12.2312cos

2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

PCN CN

PC CN

PC

PN

RCP CP

RC CP

RC

RP

RCN CN

RC CN

RC

RN

721322

Vì S 

SAB

R

SAB mp

CD

//

//

)(

)

(

)(

//

thang cân

Ta có

2 PQ CD

KF

Trong KEF e ý

)sin(

)sin(

Fsin

sin      

a E

KE KF

)sin(

sin

;)sin(

sin.1

KE SE

KE SE SE

SK AB PQ





cos 2

)sin(

.)

sin(

cos.sin21

cos.sin)

sin(

)sin(

.)sin(

sin.2

1

2

2 2

Bài toán   ã chóp S.BCMN theo a,

Bài 16:  = x ( 0< x < AC)

sin

sin

sin

sin

2 2

2 2

AC

CD

AB

MA CM AC

CD

AB

MA CM AC

CD

AB

AM AC

CD CM

AC

AB MQ MN

AM CD AC

CM AB MQ

2

.2).(

J

= = = = :

AB IJ mp(ABJ), CD

CD BJ CD, AJ

2

2 2 2 2

J EF//AB(EAJ, F  BJ)  EF  IJ

Trong mp(ACD PQ//CD(P AD, Q  AC)  EF  PQ, PQ  IJ

MN//CD(M BC, N  BD)  MN  EF, MN  IJ



Ta có

IJ

AB.JO F

J AB

F  E 

I

JO E

PQ JI

JO JA

JE JA

JE JA

1

14

1

.1

JI

AB JI

JO JI

JO CD AB JI

JO CD

S x  AB CD mn

4

)

AD CI

3 3

1 2 1 1

IK

1

2 2 2 2 2

2

a IK a

a a ID



60 3

2 2

x AQ MA

MQ x

)22(2

x a a

x a a SA

SQ AD PQ SA

223

22

312

11

1

1

2 2 2 2 2

2

a x

HA x

x x AM

AQ

R

O

Q P

B

C

D E

K N A

MNQPR cos

  ẫ ú ú ý

2

1 )) (

Á ụ e e 3 ICP:

QE QP QE

IF 3 2 3 18F

ID IQ IN

IC IP

V EDQN V ECP

ã

Bài 20: =

’ ’ =

ở

e

Gi i:

''

S

- TH 2: ’

2

3ax3

3ahay),'AM

x BC QR 3

a x

2

3 a

x '

3x.SOPMa

3x3

3a

xAO

0,

3

3ax3

a23

3a2S

2 2

3 3 a 0,

a

x2'

BCRTa

a2x.326

3a3

3ax'OA

OM'

+ 6a 4x 3

a

)3x2a3.(

SO'

M Ma

3x2a36

3a

x2

3a'OA

a 3 S

2 max   

8

3 a 3 x 4

a 3 S

2 max   

’

8

3 a 3

BC

SA BC

CC CB

45 ' 

Ta có CMN~ CAS nên

AC

CM SA

SHC~ MHKnên

HC a

Suy ra CM HC a

3

3 2

3

2 2



ơ AMQ~ ACBnên a

AC

AM BC MQ

3

2

2 3

3

3 3

AC

HC  Suy ra: 2 2 2 2

a HC SH

SC    hay SC = a

Và

3

3 2 3

4

3a a a BC SC

3

3 2

J J’

H

Q

L

2

2

HI SH

AA' BJ = ’ A' BA~ ABJ nên

BJ

AB.AJ A'

SE   Trong tam giác vuông SBD, ta có 2 2

SB BD

2

7 2

2

2 2 2

BL

SI BL BS

BL

3

723

44

39

2 2

a a

BJD

e) e HF IC và f) do SH  mp(ABC)nên ta suy ra SFIC.

  BC,

ũ  AC)

e J’ J’

2

QI   Ta có

6

3 2

SH SF

HF    và suy ra PI  HF a QI

3

3 2

J J = J

J

6

23

3.6

6

2

a a a IP

JP

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: ADa 2 ỉ ’ ’ ’ ở ?

Bài 2: 5 ;

ụ =

ở ?

Bài 6: = sao cho:  BOH   COH   = = Xét hình chóp O.ABC:

?

 ổ

Bài 7: Cho hình chóp S ABCD, = =

AM x( 0 x 2a)

e ?

Bài 8: ở = 

THỂ TÍCH – CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 2 3V

SB a SA

SA '  , '  , '  < ≤

Ta có :

' '

' '

1 ' ' ' ' ' '  

' ' '

:

SC

SC SB

SB SA

SA V

V

ABC S

C B A

.

' ' '

3

k abc

abc c

b a k

abc ca

bc ab

SB a SA

SA '  , '  , '  < ≤

' ' '

3bkz

V

S A B C S ABC V

G

D

CB

S DGA

Suy ra :

14k(ab bc cd da)4

S.ADC

S.B'A'D'V

S.BAD

S.B'C'D'V

S.BCD



(a c)(b d) k ac bd k4

4a k y

4b k z

4c k t

k

2V

S.A'B'C'D'

VV

j 1 i

Bài toán 3: Cho hình chóp S.A1A2A3… n - ẵ ≥6 n- SIkSG

α i ’I (i1; n α

' ' '

1 2 n S.A A A ỏ tích hình chóp S.A1A2A3… n là V

V' ' 'S.A A An1 2

Hay i

i

kna

A

B C

B'

A'

C'

S' G

a

'

1,'

1,'

Q 1 1 1

SA '.SB' SB'.SC ' SC '.SA '

c SC

b SB

a

'

1,'

1,'1

A

B C

B'

A'

C'

S' G

3kbty

3kctz

1M2M3 c   1, 2, 3, ,n mà

n i

N M

S

A

C

B H

a Ta có ABC và SBC

Suy ra :

2

a 34

C B

OA AC CO a

2sin 2

2 2

2 2

2

a t 12

t4sin

Rút kinh nghiệm:

“ ” ú e

I O

S

D

C B

4 SAa 2 a

 SAB và  SAD

e

e

S  M

ã trí S

Ta có: DABC DA

SA SBAC

b 2hSBAC

b

ơ 6 SN

Ta có: DABC DA

SA SBAC

Gi i:

SC SB SM

5 1 2

5 1

AC

=

cos

2 2

x

(**)

(*) và (**) 

2 2

sin

x

=

2

2 2

2 2

sincos

sin

sincos 

1

SC BC

3

sincos

sin.sin 3

OH

=

cos2

2tan

2 2 2 2

d h OH SH

SO

x OA

x

 x =

2tan21

tan 2



d

tan 2

3

tan 2 1 ) tan

ˆ D A B D

C

A ’ ’ ’ ’

b.Ta có '' '

V

S AB C V

S ABC

=

SC SB SA

SC SB SA

''

' '

SC

SC SC SB

SB SB

= 2 2

4

.SC

SB SA

V ’ ’ = V

SC SB

SA

4

ơ ’ ’ = V

SD SC

SA

2 2 4

.32

 V ’ ’ ’ = 2 2 2

2 2 4

3

)2

.(

SD SC SB

SC SB V

, V =

4

32

h a

=

)4)(

3)(

.(

4

)2( 3

2 2 2 2 2 2

2 2 5 2

a h a h a h

a h h a

Gi i:

a Ta có AM  MB và SA  MB

)(

)(

SBM AK

AK SB P

SB

AK MB SAM

 

b.AM = MB = R 2

.

SB

SB SH SM

SM SK

2

4

R h R

2

4

R h R h

h



 = 3.( 2 2 2)( 2 4 2)

5 2

R h R h

h R

.BC 2 KH BC KA BC

SK  (SSBC)2 = (SHBC)(SABC)

ơ SAB)2 = SABC.SHAB , (SSAC)2 = SABC.SHAC

SAB)2 + (SSAC)2 + (SSBC)2 = (SABC)2

SSAB + SSAC + SSBC  SSAB2 S SAC2 S SBC2(12 12 12)  3SABC

c VS.ABC =

6

1SA.SB.SC =

6

1ax.(k-x) 

2

26

a Ta có MN AB CD

CD AB

SAB AB

MCD CD

MN SAB

mp MCD mp

//

//

//

)(

)(

)()(

SA CD

AD CD

.

.

.

.

=

SB

SN SA

MNCD

SABCD

V V

SABCD

SABCD

V V

1  x = a

27 23

A

B

C D

x(2k 1)x k

_

22k

D' E'

B

C

D E

(B' D')  2(B'C') (3)

 B' AC'   Ta có: B' AD ' 3

2

Á ụ ý sin cho B' AD' và B' AC'

MA MB MC MDT

bV

cV

dV

a)

b)

c) ỏ

Bài tập4: cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang vuông

0 BAD ABC 90 , AB AD a, BC a 6

       2009.SI  1992.SO ’ ’ ’ ’

’ ’ ’ ’ ỏ

Bài tập 5

C1 sao cho SC1=3C1 ; 1 2 sao cho SC2= 7C2C1 Mp(P) qua

SC2 ’ ’ ’ 2 ’ ỏ

 

a)

b) e ,  Khi  ã  c) ỏ

Bài tập 9:

=4 ; ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ỏ

→ bài toán 1: 3

’ ’ ’ ’ ’ ’ góc AO

ụ

3 ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’

_ ’ ’ ’ ’ ’ S(I; IM)) ’ ’ ’ ă 3 ’ ’ ’ ’ ă

_ ’ ă 3 ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’

(A;k)C'N (C)

D' B'

C'

ơ '

1 C'C  AO; '

1

D ' D  AO (B'C' D') AO

t

→ ĩ “ ” ẽ ơ “ ” ; “ ” ẽ ơ “ ” “ ” ẽ

ơ “ ” ;

→ ABCD

MA1, MB1, MC1, MD1 1,B1,C1 l

1, B1, C1 giác

” “ ” ẽ ơ “ ” 3;

inh:

; 1, B1, C1, D1 ∆ ∆ ∆ ∆

h a

Suy ra: R =

2 236

h a

 Tính r:

r R

  

 

  ỉ = 3

6 3

a h

 

6a

0

0

S S

SAC AMK

S S

ẫ e ý ’ ’

3 ở ỉ

ng minh : 3.S S S S

2 = = = e

O O'  S x0 ;k x 0

2 ( ) 4 k x kx  ổ ; ổ 2

24 k a V  ã ỉ = – x

2 k x  

2 24 ma x k a V  ã ỉ = =

2 k

4 ỹ

ẽ 3

ẽ

’

ở ở

' 2

2 SB x O SC y       

ỹ ’

’J’ ơ

2 2

2

k



   

J

I

J’

I’

S



J

A

y

x

a AE

a BF

2 2 1 4 a AE  

2 1 4 a AE    ơ ũ

2 2 2 1 1 4 4 a a BF   BF 

2 2 1 1 1 1

3 3 2 6 1 1 1 (4 ) 6 4 24 BCD V S AH CD BF AH CD AE BF a a a a             Xét hàm f(a) = 2 (4 ) a a ’ = -3a2 + 4

V max 3 1 24 8 V   ã ỉ =

ù e ồ

BCD =

ACD =

(BCD)(ACD)

Ta có:

a

f’(a)

f (a)

3

0

1

3



2 3

0

A

D

C

B

1 SC

2 ỹ

Z

E

S

ẽ PH AC

PH = h

3

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

AC

 

Ta có :

2

2 3 1 2 2

3 3 9 1 3 a a SP a V S SAEPF  AEPF   8 ABC ABCa ; và ADC = ù

=

1

2 J 3 3 ã tìm tâm và bán k J J

3  ở

2 1

tg tg

cos



 







4 ABC ỏ ã  = 600

1

3

21

a

cos cos

2 1 cos tg tg cos       4 ABC ỏ ã 0

60   0

60   thì  ỏ ã ơ

2 2 2 2 2 1 3 3.sin 1 3.sin 1 (0 90) 1 1 sin sin 2 2 cos tg cos cos cos                         0

45  : tam giác ABC ở

Bài 9:  ) cho 

; I 

 = =

OP OQ 1 a  b 

2 Cho 0 60 AOB , a = 2b và SM b 3  1, 2

ở 

ù

1

tg tg 