Toán học - Chuyên đề: Biến đổi lượng giác lớp 10

Biểu diễn các cung sau trên đường tròn lượng giác và tính các giá trị lượng giác tương ứng của nó... Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến.[r]

Trang 1

I) CÁC CễNG TH ỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ

- 3 /2

-1/2

- 2 /2

tang sin

cosin

Giá trị lượng giác

c ủa c á c c ung (g ó c ) đặc biệt

- 3 /2 -1/2

- 2 /2

2 /2

3 /2

1/2

3 /2

2 /2 1/2

-1/ 3 -1

- 3

-/4 -/3

-/6

-1 -1/ 3

3

1

1/ 3 0 5/6

3/4

/4

/6

O

1) Cỏc h ệ thức lượng giỏc cơ bản:

 tan sin

cos



2 k



sin



 ,  k 

sin cos   , 1 R  tan cot  1

2

1

1 cot

sin



2

1

1 tan

cos



2 k



2) Cỏc cụng th ức quy gọn gúc

 sin(k2 ) sin & cos(k2 ) cos

 tan( k )tan & cot(k )cot

 sin( )  sin & tan() tan

cos()cos & cot() cot

 sin(  )sin & tan(  ) tan

cos(  ) cos & cot(  ) cot

 sin(  ) sin & tan(  )tan

cos(  ) cos & cot(  )cot

 sin( ) cos

2

    & tan( ) cot

2

cos( ) sin

2

3) Cụng th ức cộng cung

cos(a b) cos cosa bsin sin a b

cos(a b ) cos cosa bsin sin a b

sin(a b ) sin cosa bcos sin a b

sin(a b ) sin cosa bcos sin a b

tan tan tan( )

1 tan tan

a b





tan tan tan( )

1 tan tan

a b



 



Trang 2

ũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email:

4) S ử dụng công thức nhân và công thức hạ bậc

4a) Công th ức nhân đôi, công thức hạ bậc 2

sin 2a2sin cosa a

2

1 sin 2 a(sinacos )a

2

1 sin 2 a(sinacos )a

2 2

cos sin cos 2 2 cos 1

1 2 sin

a







2

2 tan

tan 2

1 tan

a a

a





2

1 cos 2 a2 cos a

2

1 cos 2 a2 sin a

2 1 cos 2

sin

2

a

cos

2

a

a 

4b) Công th ức nhân ba, công thức hạ bậc 3

3

cos

4

3 sin 3a 4 sin a3sina 3 3sin sin 3

sin

4

4c) Công th ức tính sina, cosa, tana theo tan

2

a

t

Đặt tan

2

a

t thì

2

2 sin

1

t a

t



 ;

2

1 cos

1

t a t





2 tan

1

t a t





5)S ử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

Quy t ắc nhớ a b (a – b) (a+b)

1

2

1

2

1 sin cos sin( ) sin( )

2

1 cos cos cos cos

2

1 sin sin cos cos

2

1 sin cos sin sin

2

6) Công th ức biến đổi tích thành tổng

Quy t ắc nhớ

 

2

 

2

 

      sin sin  2sin cos

      sin sin  2 cos sin

      cos cos   2 sin sin

sin( ) tan tan

cos cos

 



cos cos

 



a a a   a

Trang 3

II) M ỘT SỐ DẠNG TOÁN BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

D ẠNG 1 Tính giá trị của biểu thức

D ẠNG 2 Chứng minh đẳng thức lượng giác

D ẠNG 3 Chứng minh bất đẳng thức lượng giác

D ẠNG 4 Rút gọn biểu thức lượng giác

D ẠNG 5 Chứng minh đẳng thức lượng giác không phụ thuộc vào biến

D ẠNG 6 Chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác

III) M ỘT SỐ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

A) S Ử DỤNG CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Bài A1 Tính giá tr ị các biểu thức sau:

A1.1) 2 cos 02 0 3sin 902 0

5cot 3sin 2 tan

A      Đáp số: A = -1/3

cos 2 sin 3 tan

A1.3)

2

sin 90 tan 45

2 sin 30 2 cos 0 tan 45

D





Bài A2 Bi ểu diễn các cung sau trên đường tròn lượng giác và tính các giá trị lượng giác tương ứng của nó

A2.1) 0

45

sin 45 cos 45

A2.2)

3



A2.3)

6





3

x  k  k Z Tính sin2 2 

3 k

A2.5) xk ;k Z Tính cos k 

2

2 k

k

tan

k

Bài A3 Ch ứng minh các đẳng thức sau:

sinxcosx  sinxcosx 4sin cosx x

sin xcos x 1 2 sin xcos x

sin xcos x 1 3sin xcos x

sin xcos x 1 4 sin xcos x2 sin xcos x

sin xcos xsin xcos xsin xcos x

A3.6)

2

2 2

1 sin

1 2 tan

1 sin

x

x x



 



A3.7)

Trang 4

A3.8) sin cos 1 cos

sin cos 1 sin 1

A3.9) sin cos 1 2 cos



A3.10) cos tan 1

x



A3.11) 1 cos 1 cos 4 cot

1 cos 1 cos sin

A3.11)

1 cot 1 tan

A3.12)

tan cot sin sin cos cos

A3.13)

3



2

2 tan cot sin cos

x







A3.16)

2

1

1 tan cot







A3.17) 1 tan cot 1



A3.18) 1 2sin cos x xsin cosx x1 tan x1 cot x

sin x cos sinx y  cos cos sinx y z  cos cos cosx y z  1

Bài A4 Rút g ọn các biểu thức sau:

A4.4)

2 1

2 cos 1 sin cos

x D





2 2

2 sin 1 sin cos

x D







A4.5)

cos cos cot sin sin tan

E





cos sin sin

E



A4.6)

sin tan cos cot

F





tan sin sin cot

F

A4.7) 1 cos cot sin tan

cos sin

G





2

1

G

1 sin 1 cot cos 1 tan

2

1 sin 1 sin

H

A4.9)* 1 1 sin 1 sin

1 sin 1 sin

K

Trang 5

A4.10) 4 2 4 2

Bài A5 Ch ứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

cos sin cos sin

cos sin 2 sin

1 2 cos sin 3 cos sin

C



A5.5)

cot cos sin cos

E



E

2 6

tan

x

cos cot 5cos cot 4sin

1 tan

1 tan 1 cot tan

x

sin cos 6 sin cos 4 sin cos sin cos

Bài A6 Tính các giá trị lượng giác của cung  biết rằng:

A6.1) sin 1

3

  và 0

2





 

A6.2) cos 3

5

2



  

A6.3) tan 3

4

2

A6.4) cot  2 và

2

    

Bài A7

A7.1) Cho bi ết sinxcosxm Tính các bi ểu thức sau theo m

sin cos

A7.2) Cho bi ết sinxcosxn Tính các bi ểu thức sau theo n

sin cos

A7.3) Cho bi ết tanxcotx6 Tính các bi ểu thức sau

tan cot

A7.4) Cho bi ết tanxcotx2 Tính các bi ểu thức sau

tan cot

A7.5) Cho bi ết tanx2 Tính các bi ểu thức sau

2sin 3cos

4 sin 5 cos

A





2 sin cos 3sin 5cos

B





3

sin cos sin cos

C







Trang 6

2

sin cos sin cos

D



sin cos sin cos sin cos

E



A7.6) Cho bi ết cotx3 Tính các bi ểu thức sau

sin 2 cos

3sin 4 cos

A





sin cos sin 2 cos

B







3

sin cos sin cos

C







2

sin cos sin cos

D



sin cos sin cos sin cos

E



- B) S Ử DỤNG CÁC CÔNG THỨC QUY GỌN CUNG

Bài B1 Tính giá tr ị các biểu thức sau:

1 cos 300

2 sin120

2sin 2550 cos 188 1

tan 368 2 cos 638 cos 98

0

sin 234 cos 216

tan 36 sin144 cos 216





0

cos 44 tan 226 cos 406

cot 72 cot18 cos 316

cos 20 cos 40 cos160 cos180

1 tan1 tan 2 tan 3 tan 88 tan 89

2 tan10 tan 20 tan 30 tan 80

E 

tan 20 tan 40 tan 60 tan160 tan180

sin 5 sin10 sin15 sin 355 sin 360

cot195 cot 210 cot 225 sin 330 sin 345

Bài B2 Rút g ọn các biểu thức sau:

B x   x  x    x

C x  x    x   x

B2.4)

cos 270 2 sin 450 cos 900 2 sin 720 cos 540

Bài B3 Cho A, B, C là ba góc c ủa tam giác ABC Chứng minh rằng:

B3.1) sinBCsinA cosBC cosA

B3.2) sin cos



B3.3) cosA B C cos 2C cosA B 2C cosC

2

C

A B C  C

- C) S Ử DỤNG CÁC CÔNG THỨC CỘNG CUNG (TRỪ CUNG)

Bài C1 Tính giá tr ị các biểu thức sau:

C1.1) 1 sin5

12

2

7 cos 12

12

Trang 7

C1.2) 1 sin10 cos 200 0 sin 20 cos100 0

cos cos sin sin

cos10 cos 25 sin10 sin 25 sin 65 cos10 cos 65 sin10





C1.3) Cho biết

3

a b 

Tính giá trị của các biểu thức:

C1.4) Cho biết  

cos

a b

m m

a b



 Tính giá trị của biểu thức: Dtan tana b

C1.5) Cho biết cos 1; cos 1

a b Tính giá trị của bt: Ecosa b  cos a b 

C1.6) Cho biết sin 8 ; tan 5

2

a b 

  Tính giá trị của biểu thức sau:

F  a b  a b a b

C1.7) Cho biết tan tana b 3 2 2 và 0 , ;

a b  a b 

    Tính giá trị của

biểu thức: G1 tana và G2 tanb

Bài C2 Ch ứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

C2.1) cos sinx y z cos siny z x cos sinz xy0

C2.2) sin sinx y z sin siny z x sin sinz xy0

C2.2) sin  sin  sin 

0 cos cos cos cos cos cos

x x x   x 

C2.5) Cho biết sinbsin cosa ab CMR: 2 tanatanab

Bài C3 Rút g ọn các biểu thức lượng giác sau:

1

A



2

A



sin 45 cos 45 sin 45 cos 45

B



   B2 sin 4 cot 2x xcos 4x

C x x x 

Bài C4 Cho A, B, C là ba góc c ủa tam giác ABC Chứng minh rằng:

C4.1) sinAsin cosB Csin cosC B

C4.2) sin cos cos sin sin

C4.3) tanAtanBtanCtan tan tanA B C , với ABC không vuông

C4.4) tan tan tan tan tan tan 1

C4.5) cot cotA Bcot cotB Ccot cotC A1

Trang 8

C4.6) cot cot cot cot cot cot

- D) S Ử DỤNG CÔNG THỨC NHÂN VÀ CÔNG THỨC HẠ BẬC

Bài D1 Tính giá tr ị các biểu thức sau:

1 sin15 cos15

1 cos 20 cos 40 cos 80

1 sin10 sin 50 sin 70

2 sin 6 sin 42 sin 66 sin 78

C 

sin10 sin 30 sin 50 sin 70 sin 90

D

D1.5)* cos cos2 cos4 cos8 cos16 cos32

D1.6)* 1 cos cos2 cos3

2

cos cos cos cos

1 sin18

2 cos18

3 sin 36

4 cos 36

G 

Bài D2 Ch ứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

D2.1) cotxtanx2 cot 2x

D2.2) sin 2 tan

1 cos 2

x

x

D2.3) cos sin cos sin 2 tan 2

cos sin cos sin

x

D2.4)

sin 2 sin cos cos

cos 2 tan 2 1

x x





D2.5) 1 cos cos 2 cos 3 2 cos

cos 2 cos 2

x

D2.6)

sin 3 cos 3

8 cos 2

x

D2.7)

cos cos 3 sin sin 3

3

D2.8) sin cos 1 tan

sin cos cos

x



cos 4x8cos x8 cos x 1

sin cos

4

x

sin cos

8

x

D2.12) 8 8 cos 6 7 cos 8

sin cos

8

Bài D3 Rút g ọn cá biểu thức sau:

2 cos

x A

x

2

1 2sin

2 cot 45 cos 45

x A





1 cos cos 3 sin sin 3

2 cos cos 3 sin sin 3

Trang 9

D3.4) 3 3

1 cos sin 3 sin cos 3

D3.5)

sin 2 4sin sin 2 4sin 4

E





sin 4 cos 2

1 cos 4 1 cos 2

E



D3.6) 1 cos 2 1 cos 2 ; 0;

2

F   x  x x   

2

G  x  x x   

H  x  x x 

Q x   x   x

M  x  x  x   x

D3.12) N cos cos 2 cos 4 cos 2x x x n x. v ới nN*

- E) S Ử DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Bài E1 Tính giá tr ị của các biểu thức sau:

E1.1) 1 sin sin7

2

cos cos

1 4.sin 70 sin10

E1.2) 1 cos2 cos4 cos6

2

E1.3) 1 cos cos2 cos4

2

1 sin 10 sin 20 sin 30 sin 170 sin 180

2 cos 10 cos 20 cos 30 cos 170 cos 180

Bài E2 Ch ứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

E2.1) sin 5x2 sinxcos 4xcos 2xsinx

E2.2) sinx1 2 cos 2 x2 cos 4x2 cos 6xsin 7x

E2.3) sin 4 sin10x xsin11 sin 3x xsin 7 sinx x0

E2.4) sin 6 sin 4x xsin15 sin13x xsin19 sin 9x x0

E2.5) sin sin sin 1sin 3

x  x  x x

E2.6) cos cos cos 1cos 3

x  x  x x

E2.7) cosyz sin y z coszx sin zxcosxy sin xy0

E2.8) sinyz sin y z sinzx sin zxsinxy sin xy0

Bài E3 Bi ến đổi các biểu thức sau về tổng:

1 sin 30 cos 30

2 sin 30 sin 30 cos 2

E3.2) B14 cos sin 2 sin 3x x x B2 8sin sin 2 sin 3x x x

E3.3) Ccosx .cosx cosx .cosx3 

Trang 10

D  x  x   x    x

E x   x  x x 

- F) SƯ DỤNG CÔNG THƯC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

Bài F1 Tính giá tr ị của các biểu thức sau:

1 cos14 cos134 cos106

2 cos 85 cos 35 cos 25

tan 9 tan 27 tan 63 tan 81

cos 24 cos 48 cos84 cos12

Bài F2 Bi ến đổi các biểu thức sau về tích:

F2.1) A1cosxcos 2xcos 3x A2  1 cosxcos 2xcos 3x

F2.2) B1sin 3xsin 5xsin 7xsin 9x B2  1 cos 2xsin 4xsin 6x

1 cos cos 2 cos 3 1

2 sin sin 2 sin 3

Bài F3 Rút g ọn các biểu thức sau:

F3.1) 1 sin 2 sin 4

cos 2 cos 4

A





sin 2 sin 4 cos 2 cos 4

A







F3.2) 1 sin 2 sin 4

cos 2 cos 4

B





sin sin 3 sin 5 cos cos 3 cos 5

B



F3.3) 1 sin 3sin 4 sin 7

cos 3cos 3 cos 7

C



sin sin 3 sin 5 sin 7 cos cos 3 cos 5 cos 7

C



F3.4) 1 2 cos cos 2

1 cos cos 2

D



Bài F4 Ch ứng minh rằng các đẳng thức lượng giác sau:

4 cos 2xcos 4x 3 8cos x

3 4 cos 2 xcos 4x8sin x

Bài F5 Cho A, B, C là ba góc trong tam giác ABC Ch ứng minh rằng:

F5.1) sin sin sin 4 cos cos cos

A B C

F5.2) cos cos cos 1 4 sin sin sin

A B C 

F5.3) sin 2Asin 2Bsin 2C4 sin sin sinA B C

cos Acos Bcos C 1 2 cos cos cosA B C

sin Asin Bsin C 2 2 cos cos cosA B C

F5.6) cos 2Acos 2Bcos 2C  1 4 cos cos cosA B C

-The end -

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	227,68 KB