Ôn tập Hình học 10 Chương 1: Véc tơ29323

 Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu  AB..  Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu .0  Hai vectơ đgl cùng p

Chương 1: Véc tơ

§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA

A LÝ THUYẾT:

 Vectơ là một đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là  AB

 Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó

 Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu  AB

 Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0

 Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau

 Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng

 Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài

Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a b , ,  để biểu diễn vectơ.

+ Qui ước: Vectơ cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ 0

Mọi vectơ đều bằng nhau.0

B CÁC DẠNG TOÁN:

Dạng 1: Cách xác định một véc tơ, hướng của véc tơ, độ dài của véc tơ, phương của véc tơ, chứng minh hai véc tơ bàng nhau:

Ví dụ 1: Cho 3 điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng.

a) Khi nào hai véc tơ AB và cùng hướng?

AC



b) Khi nào hai véc tơ AB và ngược hướng?

AC



c) Trường hợp nào ta có AB BC

Ví dụ 2: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc nhọn ฀ 60o

A a) Chứng minh ABDC và ADBC

b) Tính độ dài các véc tơ  AC BD, theo a

Dạng 2: Véc tơ không và các tính chất đặc biệt của véc tơ không

Phương pháp: Để chứng minh AB0 ta dùng các cách sau:

 AB  0 A B

 AB 0 AB 0

Ví dụ 1: Cho véc tơ AB a( 0) Từ B dựng véc tơ BCBA Chứng minh: AC 0

Ví dụ 2: Cho hai véc tơ a b , không cùng phương và đều khác véc tơ không Từ một điểm O bất kỳ dựng

Từ điểm A dựng Tiếp đó từ O dựng và từ C dựng Chứng minh

OAa ABb OCb CDa BD0

Dạng 3: Véc tơ đối của một véc tơ

Phương pháp:

 Chứng minh và đối nhau, ta chứng minh: m và hai véc tơ , ngược hướng

a

m  a

 

m



a

 Dùng tính chất: I là trung điểm AB  IA IB , là hai véc tơ đối nhau

0

IA IB

  

Chương 1: Véc tơ

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo Chứng minh rằng véc tơ đối của

là , véc tơ đối của là

AB



CD

OA

OC

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Dựng điểm B’ sao cho AB'BC và dựng điểm A’ sao cho CA'AB Tiếp tục dựng điểm C’ sao cho BC'CA

a) Chứng minh AB' là véc tơ đối của và A là trung điểm của đoạn thẳng B’C’

'

AC



b) Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại một điểm

Dạng 4: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn một điều kiện có liên quan đến một véc tơ cho trước

Ví dụ 1: Tìm tập hợp điểm cuối của các véc tơ có điểm đầu là O cho trước và cùng phương với véc tơ a0 cho trước

Ví dụ 2: Cho véc tơ a 0 Tìm tập hợp điểm cuối của các véc tơ bằng véc tơ và có điểm đầu chạy trên b

a một đường tròn cho trước

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho ABCD là hình thoi có O là tâm đối xứng

a) Tìm các véc tơ khác véc tơ không và cùng phương với véc tơ AB

b) Tìm các véc tơ bằng véc tơ BC

c) Tìm các véc tơ đối của véc tơ OA

Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF có O là tâm đối xứng Tìm các véc tơ nhận một trong các đỉnh của lục giác

hoặc tâm O làm điểm đầu hoặc điểm cuối mà chúng:

a) Cùng phương với véc tơ AB

b) Bằng véc tơ AB

c) Là các véc tơ đối của véc tơ AB

Bài 3: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B không thuộc d Gọi A’, B’ lần lượt là các điểm đối xứng của A,

B qua d Với vị trí nào của A và B ta có:

a) A B' 'AB?

b) A B' ' là véc tơ đối của

AB



c) A B' ' không bằng véc tơ

AB



Bài 4: Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông có H là trực tâm và có O là tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ là điểm đối xứng của đỉnh B qua tâm O Chứng minh: AH cùng phương với và cùng

'

B C



CH phương với AB'

Bài 5: Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD Chứng minh

rằng MNPQ

Bài 6: Cho tam giác đều ABC Các đẳng thức sau đây đúng hay sai?

a) ABBC

b) AB AC

c) AB  AC

Bài 7: Cho tam giác ABC có trực tâm H nội tiếp trong đường tròn tâm O Ta dựng véc tơ HEAO và gọi

A’ là trung điểm của cạnh BC Chứng minh rằng O, A’, E thẳng hàng.

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD sao cho AM=CN

Chứng minh: AN MC và MDBN

Chương 1: Véc tơ

Bài 9: Cho hình bình hành ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và DC AN và CM lần lượt cắt

BD tại E và F Chứng minh DEEFFB

Bài 10: Cho tam giác ABC và điểm M ở trong tam giác Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

và N, P, Q lần lượt là điểm đối xứng của M qua A’, B’, C’.

a) Chứng minh: AQCN AM , PC

b) Chứng tỏ 3 đường thẳng AN, BP, CQ đồng quy.

Ghi chú:

 1 Nguyễn Mộng Hy:

 2 Trần Thành Minh:

§2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉC TƠ

A LÝ THUYẾT

1 Tổng của hai vectơ

 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có:   AB BC AC 

 Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có:   AB AD  AC

 Tính chất: a b    b a  ; a b    c  a  b c ; a  0 a 

2 Hiệu của hai vectơ

 Vectơ đối của là vectơ sao cho a  Kí hiệu vectơ đối của là

b 

a



 Vectơ đối của là 0 0

 a b     a   b 

 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB OA    AB

3 Áp dụng:

a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB  IA IB 0

b) G là trọng tâm của tam giác ABC GA GB GC    0

B CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức véc tơ

Phương pháp:

 Biến đổi biểu thức véc tơ ở vế này thành biểu thức véc tơ ở vế kia

 Biến đổi biểu thức véc tơ ở hai vế cùng bằng biểu thức véc tơ thứ ba

 Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức mà ta biết là đúng

Trong quá trình biến đổi có thể sử dụng: các tính chất véc tơ, các quy tắc biến đổi véc tơ

Ví dụ 1: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì Chứng minh:

a)  AB CD  AD CB

b) AB CD   ACBD

Ví dụ 2: Cho tư giác ABCD và điểm M bất kì Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD

Chứng minh rằng với O là trung điểm của đoạn EF ta có:

a) OA OB OC     OD0

b) MA MB    MCMD4MO, với M là điểm bất kỳ.

Dạng 2: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức véc tơ cho trước

Chương 1: Véc tơ

Phương pháp: Ta biến đổi đẳng thức véc tơ về dạng AM v trong đó A là điểm cố định, là một véc tơ v không đổi và M là điểm cần tìm.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, hãy dựng các điểm M, N sao cho:

a) MA2MB0 b) NA NB   NC0

Ví dụ 2: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

a) Dựng điểm D sao cho ODOB OC  và chứng minh ODBC

b) Dựng điểm H sao cho OHOA OB OC    và chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.

Dạng 3: Các bài toán liên quan đến độ dài của các véc tơ a b a b    , 

Phương pháp: Tùy theo tính chất của véc tơ a b a b    ,  được tạo thành từ các véc tơ a b , , ta dựa vào tính chất hình học của hình được tạo nên gắn với các véc tơ a b , , để tính toán

,

a b a b    

Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Hãy tính độ dài của véc tơ AB AC 

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB=3cm, BC=4cm Hãy tính độ dài của véc tơ AB AC 

Ví dụ 3: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng và có AB=3cm, AC=2cm

a) Tính  ABAC khi AB và cùng hướng

AC



b) Tính  ABAC khi AB và ngược hướng

AC



Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi véc tơ a b , ta có: Khi nào ? Khi nào

a b  a b

a b  a  b

a b   a b a b   b a

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Hình lục giác đều ABCDEF có O là tâm đối xứng Chứng minh rằng:

0

OA OB OC       OD OE OF 

Bài 2: Hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O Hãy đơn giản các biểu thức sau:

a)     ABBO OC CDDA

b) BC     OA OB OD  DA CO

c) OA BC      DO CD OC  BO

Bài 3: Chứng minh rằng với O là điểm bất kỳ và nếu 4 điểm A, B, C, D trong đó không có 3 điểm nào thẳng

hàng thỏa mãn hệ thức: OA OC  OB OD  thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bài 4: Nếu ABCD là hình bình hành thì với điểm O bất kỳ ta có OA OC  OB OD 

Bài 5: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có góc ฀ 90o thì

C  CA CB   CA CB 

Bài 6: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm.

a) Chứng minh rằng GA GB GC    0

b) Ngược lại nếu có một điểm I thỏa mãn hệ thức IA IB   IC0, chứng minh I là trọng tâm tam giác

ABC.

Bài 7: Cho tam giác ABC Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIK, BCPQ, CARS Chứng minh rằng

0

RKIQPS 

   

Bài 8: Một ca no vượt ngang dòng sông nước chảy với động cơ đẩy sang ngang với vận tốc biết rằng u

Dòng nước sông chảy kéo theo ca no với vận tốc biết rằng Với sự tổng hợp của

6 /

4 /

v  m s



Chương 1: Véc tơ

hai vận tốc đĩ, kết quả là ca no di chuyển với vận tốc Hãy tính biết rằng hai véc tơ và tạo thành x

x



u

v

 một gĩc 90o Gọi là gĩc tạo thành bởi hai véc tơ và , hãy tính gĩc  u

x





Bài 9: Cho hai lực và đều bằng 100 N cùng đặt tại điểm O và tạo với nhau một gĩc F1 Tính lực

2

F



60o

tổng hợp của hai lực đĩ

Bài 10: Cho hai điểm A, B phân biệt Tìm tập hợp điểm M sao cho:

a) MA MB  BA b) MA  MB c) MA MB  0 d) MA MB  AB

Bài 11: Cho các điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằng: AD BE CF AE BF CD       

Bài 12: Cho tứ giác ABCD Hãy xác định vị trí điểm G sao cho GA GB GC     GD0 Chứng minh rằng

4

OG OA OB OC     OD

Bài 13: Cho tam giác đều ABC Lấy điểm M bất kì thuộc miến trong của tam giác đĩ và vẽ MH, MK, MI lần lượt vuơng gĩc với các cạnh BC, CA, AB của tam giác Chứng minh rằng:

MA MB MC MHMKMI

     

Bài 14: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ cĩ trọng tâm lần lượt là G và G’ Chứng minh

Từ đĩ suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác cĩ cùng trọng tâm

3GG'  AA'BB'CC'

Bài 15: Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý Chứng minh rằng nếu cĩ MA MB   MA MC  thì điểm M sẽ ở trên một đường thẳng cố định

Ghi chú:

 1 Nguyễn Mộng Hy:

 2 Trần Thành Minh:

§3 TÍCH CỦA MỘT VÉC TƠ VỚI MỘT SỐ

A LÝ THUYẾT

 Cho vectơ và số k a   R là một vectơ được xác định như sau:

ka 

+ ka  cùng hướng với nếu k  0, ngược hướng với nếu k < 0.

a 

ka 

a 

+ ka   k a.

 Tính chất: k a bka kb  ; (k l a )ka la  ; k la  ( )kl a 

 k = 0 hoặc

ka  0 a  0

 Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a và b a    0cùng phương  k R b:ka 

 Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng  k  0:  ABk AC 

 Biểu thị một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương: Cho hai vectơ khơng cùng phương a b , và tuỳ ý Khi đĩ ! m, n  R:

x 

x ma nb  

Chú ý:

 Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB    MA MB 0  OA OB   2OM  (O tuỳ ý)

 Hệ thức trọng tâm tam giác:

G là trọng tâm ABC  GA GB GC     0  OA OB OC     3OG  (O tuỳ ý)

B CÁC DẠNG TỐN

Chương 1: Véc tơ

Dạng 1: Chứng minh một đẳng thức về véc tơ trong đó có chứa phép toán nhân một véc tơ với một số

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng:   ABACAD2AC

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm Chứng minh rằng với điểm O bất kỳ ta có:

1

3

OG OA OB OC   

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD Hãy xác định vị trí của điểm O sao cho: OA OB OC     OD0

Dạng 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc hai đường thẳng song song

Phương pháp: Ba điểm A, B, C thẳng hàng   AB AC, cùng phương

:

  ฀  

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Trên đường thẳng BC lấy điểm M sao cho MB3MC Trên cạnh AC lấy điểm

N sao cho NA3NC0 Trên cạnh AB lấy điểm P sao cho PA PB  0 Chứng minh rằng 3 điểm M, N, P

thẳng hàng

Ví dụ 2: Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có H là trực tâm và D là trung điểm của cạnh BC

Chứng minh rằng:

a) AH 2OD b) OA OB OC    OH c) HA HB   HC2HO

d) Đường thẳng HO đi qua trọng tâm G của tam giác ABC ( đường thẳng Ơ-le )

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi M và N là hai điểm thỏa mãn các đẳng thức

MCMBMA NANB NC

       

a) Chứng minh ba điểm M, B, G thẳng hàng.

b) Chứng minh hai véc tơ MN AC , cùng phương

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho tam giác OMN và số k khác 1 Gọi M’, N’ là các điểm sao cho OM'k OM. và ON'k ON. a) Chứng minh rằng: ' 'M Nk MN.

b) Tìm giá trị của k để MA M N , ' ' là các véc tơ khác và đối nhau

0 c) Tìm giá trị của k để MN, M’N’ là hai đường thẳng song song.

Bài 2: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỉ số k khác 1 nếu MAk MB.

a) Xét vị trí điểm M với hai điểm A, B nếu: k 0;k0; 0 k 1;k 1;k 1

b) Chứng minh rằng nếu điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k khác 1, thì với điểm O bất kì ta luôn có:

1

OA k OB OM

k







 



Bài 3: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P lần lượt là các điểm chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo cùng tỉ số k

khác 1 Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Bài 4: Cho ngũ giác lồi ABCDE Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE và gọi

I và K lần lượt là trung điểm của các đoạn MP và NQ Chứng minh rằng 1 và IK//AE.

4

IK  AE

 

Bài 5: Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua hai điểm A, B cố định Chứng minh rằng điểm M thuộc

đường thẳng d khi và chỉ khi có số k sao cho OMk OA. (1 k OB). Với điều kiện nào của k thì M thuộc đoạn AB.

Bài 6: Cho điểm O cố định và hai véc tơ a b , cho trước không cùng phương và đều khác Với mỗi số m ta

0 xác định điểm M sao cho OMm a. (1 m b). Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi.

Chương 1: Véc tơ

Bài 7: Cho tứ giác ABCD Với số k tùy ý ta lấy các điểm M, N sao cho AM k AB DN. , k DC. Tìm tập

hợp các trung điểm I của đoạn MN với mọi giá trị của k.

Bài 8: Cho hai điểm A, B cố định và hai số m, n với m n 0

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn đẳng thức m IA n IB 0

b) Với điểm M bất kỳ, chứng minh rằng m MA n MB. (m n MI ) Nếu m=n=1, hãy xác định điểm I.

Bài 9: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Gọi M và N là các điểm

xác định bởi các đẳng thức MA k MC 0, NBk ND.0, k 1 Và gọi O là trung điểm của đoạn MN

OI MA  NB OJ  MC ND

b) Từ đó chứng minh rằng OIk OJ.0 và hãy kết luận về vị trí của 3 điểm O, I, J

c) Gọi P và Q là hai điểm xác định bởi PA k PD 0, QBk QC.0 Chứng minh rằng O là trung điểm của PQ.

Bài 10: Cho tam giác OAB Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB Hai trung tuyến AN và BM cắt

nhau tại G Hãy tìm những số m và n thích hợp trong các đẳng thức sau đây:

a) OMm OA n OB.  b) MNm OA n OB.  c) OGm OA n OB. 

d) AN m OA n OB.  e) GMm OA n OB. 

Bài 11: Tam giác ABC có G là trọng tâm Đặt aGA b , GB Hãy phân tích các véc tơ    AB GC BC CA, , , theo các véc tơ a b ,

Bài 12: Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A Chứng minh rằng:

a) BB  'CC'DD'0

b) Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm

Bài 13: Cho tam giác ABC Lần lượt lấy các điểm M,N,P trên các đoạn AB, BC, CA sao cho

AM  AB BN  BC CP CA   ANBP CM 0

Bài 14: Cho hình bình hành ABCD Gọi I là trung điểm của CD Lấy điểm M trên đoạn BI sao cho BM=2MI

Chứng minh rằng ba điểm A, M, C thẳng hàng.

Bài 15(*): Cho tam giác ABC và I là trung điểm của BC Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn 2MA  MB MC

Bài 16(*): Tìm điểm C trên đoạn AB sao cho CA2CB0 Cho điểm M bất kì trong mặt phẳng và gọi MN

là véc tơ định bởi MNMA2MB Chứng tỏ đường thẳng MN qua một điểm cố định.

Bài 19(*): Cho tam giác ABC Gọi D là điểm định bởi 2 và I là trung điểm của AD Gọi M là điểm

3

BD BC

 

thỏa mãn AM x AC. với x là số thực

a) Tính BI theo và

BA



BC



b) Tính BM theo và

BA



BC



c) Tính x để ba điểm B, I, M thẳng hàng.

Bài 20: Cho tứ giác ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BD Chứng minh rằng

2

AB CD  MN

  

Bài 21: Cho tam giác ABC trọng tâm G Gọi I là trung điểm AG Chứng minh:  ABAC6GI0

Bài 22: Cho tam giác ABC có AB=3 và AC=4 Gọi AD là phân giác trong của góc A Tính AD theo

,

AB AC

 

Chương 1: Véc tơ

Bài 23: Cho tam giác ABC trọng tâm G và I là trung điểm của AG Lấy điểm K trên đoạn AC Tính AK theo

để 3 điểm B, I, K thẳng hàng.

AC



Bài 24: Cho tam giác ABC.

a) Xác định điểm D thỏa mãn DA3DB0;

b) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn MA3MB 8

Bài 25: Cho tam giác ABC Xác định điểm D thỏa mãn DB3DC0 Cho M là điểm bất kì và

Chứng minh đường thẳng MN đi qua điểm cố định

3

MN MB MC

  

Ghi chú:

 1 Nguyễn Mộng Hy:

 2 Trần Thành Minh: 13-25

§4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

A LÝ THUYẾT

1 Trục tọa độ:

 Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đĩ đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị Kí e 

hiệu  O e;

 Toạ độ của vectơ trên trục: u  ( )a  u  a e.

 Toạ độ của điểm trên trục: M k( )OM k e.

 Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB a  ABa e.

Chú ý: + Nếu  AB cùng hướng với e  thì

ABAB Nếu  AB ngược hướng với e  thì

AB AB + Nếu A(a), B(b) thì AB b a

+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta cĩ: AB BC AC

2 Hệ trục tọa độ: Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuơng gĩc với nhau Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là

O là gốc toạ độ, Ox là trục hồnh, Oy là trục tung.

i j,

 

3 Tọa độ của véc tơ với trục: u ( ; )x y  u  x i.y j.

4 Tọa độ của một điểm: M x y( ; )OM x i.y j.

5 Cho véc tơ u u u( 1; 2), ( ;v v v 1 2), ta cĩ:

2 2

u v







 

 u cùng phương với

v

1 2 2 1

u k v u v u v

 u  v (u1v u1; 2v2)

 u v  (u1v u1; 2v2)

 k u. (ku ku1; 2)

6 Cho A x( A;y A), (B x B;y B)ta cĩ:

Chương 1: Véc tơ

( B A) ( B A)

AB AB  x x  y y

 Tọa độ trung điểm I của AB: ;

 MAk MB. tọa độ của M là . ; . ( 1)

7 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: ;

B CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Tọa độ của điểm, của véc tơ

Ví dụ 1: Cho véc tơ a(1; 2), ( 3; 4)b  Tìm tọa độ của véc tơ:

a) m2a3b b) n4a b 

Ví dụ 2: Tìm tọa độ của véc tơ biết:u

a) u b  0 với b(2; 3) b) u  a b với a(1; 4) , b( 6;15)

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A(-4;0), B(-5;0), C(3;0) Tìm điểm M trên trục Ox sao cho

0

MA MB MC

   

Dạng2:Tìm tọa độ trung điểm, trọng tâm, tâm ngoại tiếp, điểm thứ tư của hình bình hành

Phương pháp:

 Sử dụng công thức tọa độ trung điểm, trọng tâm

 Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(-3;6), B(9;-10), C(-5;4)

a) Tính tọa độ trung điểm I của đoạn AB

b) Tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

c) Tính tọa độ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(1;2), B(-2;6), C(4;4)

a) Xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

b) Xác định tọa độ giao điểm I của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành nói trên

Dạng 3: Phân tích một véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương

Phương pháp:

Ví dụ 1: Cho véc tơ a(5;3), Hãy phân tích véc tơ theo hai véc tơ

(4; 2), (2; 0)

b c

c



,

a b 

Ví dụ 2: Cho lục giác đều ABCDEF Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc O trùng với đỉnh A, véc tơ

, véc tơ ,

(1; 0)

AB



(0; 3)

AE



a) Tính tọa độ các đỉnh của lục giác đều đối với hệ trục tọa độ Oxy nói trên

b) Hãy phân tích các véc tơ  AC EF, theo hai véc tơ

,

u  AB vAE

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Trên trục (O; ) cho 3 điểm A(-4), B(-5), C(3) e

a) Tìm điểm M trên trục sao cho MA MB   MC0

Chương 1: Véc tơ

b) Tính MA MB,

MB MC

Bài 2: Trong mp(Oxy) cho các véc tơ (2;1), (3;4), (7;2) a b c

a) Tìm tọa độ của véc tơ u2a3b c 

b) Tìm véc tơ sao cho x

x  a b c

   

c) Tìm các số k,l để: ck a l b. 

Bài 3: Cho 3 điểm A(2;0), B(0;4), C(1;3)

a) Chứng minh 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính độ dài đường trung tuyến CM của tam giác ABC

c) Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC.

Bài 4: Cho hai điểm M(-2;2) và N(1;1)

a) Tìm tọa độ điểm P trên trục Ox cách đều hai điểm M, N

b) Tìm điểm R trên trục Ox sao cho ba điểm M, N, K thẳng hàng.

Bài 5: Cho 3 điểm A(-1;-2), B(3;2), C(4;-1).

a) Chứng minh rằng 3 điểm đó là ba đỉnh của một tam giác

b) Tính chu vi tam giác ABC

c) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A

d) Tìm điểm E trên Ox sao cho   EA EB EC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 6: Cho tam giác ABC với A(2;5), B(1;1), C(3;3).

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành Tìm tọa độ tâm hình bình hành đó

b) Tìm tọa độ điểm E sao cho AE3AB2AC

Bài 7: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA của tam giác và biết

rằng M x y( ;1 1),N x y( ;2 2), ( ;P x y3 3) Hãy tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Bài 8: Cho 4 điểm A(-1;1), B(0;2), C(3;1), D(0;-2) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.

Bài 9: Cho tam giác ABC với A(2;4), B(-3;1), C(3;-1)

a) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành

b) Tính tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c) Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC.

Bài 10: Cho điểm A(5;4) và điểm B(3;-2) Tìm GTNN của MA MB  khi M di động trên trục hoành Ox.

Bài 11: Hãy sử dụng bất đẳng thức tam giác đối với véc tơ để chứng minh bất đẳng thức sau:

x  x  x  x 

Bài 12: Cho véc tơ (2a m 1;3m2), (2;1)b

a) Tìm m để cùng phương với a

b b) Tìm tọa độ của véc tơ có độ dài bằng 1 cùng phương với b

Bài 13: Cho hai điểm A(-2;1), B(-4;5)

a) Tìm M trên trục Ox sao cho A, B, M thẳng hàng;

b) Tìm N trên trục Ox sao cho ABNO là hình thang cạnh đáy AO;

c) Tìm giao điểm I của hai đường chéo hình thang

Bài 14: Cho tam giác ABC với AB=5 và AC=1 Tính tọa độ điểm D là chân của phân giác trong góc A theo tọa độ của B và C.

Bài 15: Cho a(1; 2), ( 3;1), (6;5)b  c Tìm m để véc tơ ma b  cùng phương với c

Bài 16: Cho tam giác ABC với A(2;3), B(-1;-1), C(6;0)

a) Tính AB, BC và CA Suy ra tam giác ABC vuông cân;

b) Tính diện tích tam giác ABC và đường cao AH.