Ôn tập Hình học 10 Chương 2: Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng28691

B C Dạng 2: Biết giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị lượng giác của các góc còn lại Ví dụ 1: Cho sin 4, với tính các giá trị lượng giác còn lại của x.. Tính sin , cosx x Dạng

Trang 1

Chương 2: Tích vơ hướng của hai véc tơ và ứng dụng

1

y M x

y

฀฀

1 -1

§1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC TỪ 0 ĐẾN 180

A LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Lấy M trên nửa đường trịn đơn vị tâm O Xét gĩc nhọn  = xOM ฀ Giả sử M(x; y)

sin = y (tung độ)

cos = x (hồnh độ)

tan = y tung độ (x  0)

x hoành độ

cot = x hoành độ (y  0)

y tung độ

Chú ý: – Nếu  tù thì cos < 0, tan < 0, cot < 0

– tan chỉ xác định khi   900, cot chỉ xác định khi   00 và   1800

2 Các hệ thức lượng giác:

a) Giá trị lượng giác của hai gĩc bù nhau, hai gĩc phụ nhau

0 0 0 0

sin(90 ) cos cos(90 ) sin tan(90 ) cot cot(90 ) tan

0 0 0 0

sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan cot(180 ) cot

  

sin

cos cos

sin tan cot 1 (sin cos 0)



2

2 2

2

1

cos 1

sin



Chú ý: 0sin   1; 1 cos 1.

3 Giá trị lượng giác của các gĩc đặc biệt:

2

2 2

3

2

2 2

1

Trang 2

Chương 2: Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng

4 Góc giữa hai véc tơ:

B CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Ví dụ 1: Cho góc  135o Hãy tính cot

Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC có ฀ ฀ 30o Hãy tính các giá trị lượng giác của góc A.

B C

Dạng 2: Biết giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị lượng giác của các góc còn lại

Ví dụ 1: Cho sin 4, với tính các giá trị lượng giác còn lại của x

5

x 90o  x 180o

Ví dụ 2: Cho cotx 3 Tính sin , cosx x

Dạng 3: Chứng minh các hệ thức về giá trị lượng giác

Phương pháp:

 Dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác của một góc

 Dựa vào tính chất tổng 3 góc trong một tam giác

 Sử dụng các hệ thức lượng giác ở phần lý thuyết

Ví dụ 1: Chứng minh rằng 4 4 2 2

sin xcos x 1 2 sin xcos x

Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

a) 1 tan2 12 ( 90 )

cos

o



2

1

sin

o o



Ví dụ 3: Chứng minh rằng biểu thức sau độc lập với x,y: 2 2 2 2

cos sin

cot cot sin sin



C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Hãy xác định điểm M, N, P, Q trên nửa đường tròn đơn vị sao cho:

฀ 150 ,o ฀ 180 ,o ฀ 0 ,o ฀ 135o

Bài 2: Hãy tính giá trị lượng giác của các góc ở câu 1

Bài 3: Cho tam giác ABC, chứng minh:

a) sinBsin(A C ) b) cosB cos(A C )

Bài 4: Cho ABC là tam giác đều, trọng tâm G Hãy cho biết số đo và giá trị lượng giác của các góc sau:

( AB BC, )

(GA AC , )

(GA BA , )

Bài 5: Cho góc x với sin 1 Hãy tính giá trị của biểu thức

2

4 sin cos

Bài 6: Tính các giá trị hàm số lượng giác khác của góc biết :

5

13

    

Trang 3

3

O A

B

a b

a

b

c) cot 2 (0 90 )

3

   

Bài 7: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin4xcos4x 1 2 sin2x.cos2 x b) 6 6 2 2

sin xcos x 1 3sin x.cos x

c) sin cos 1 2 cos



Bài 8: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc x

2(sin cos ) 3(sin cos )

2(sin cos sin cos ) (sin cos )

c)

2

cot cos sin cos

C



Ghi chú:

 1 Nguyễn Mộng Hy:

 2 Trần Thành Minh:

§2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ

A LÝ THUYẾT

1 Góc giữa hai vectơ

Cho a b , 0 Từ một điểm O bất kì vẽ OA a OB ,b 

Khi đó  a b , ฀ AOB với 00  ฀ AOB  1800

Chú ý:

+  a b , = 90 0  a  b 

+  a b , = 0 0  a b , cùng hướng

+  a b , = 180 0  a b , ngược hướng

+    a b ,  b a ,

2 Tích vô hướng của hai vectơ

 Định nghĩa: a b . a b  cos ,  a b  

Đặc biệt: a a   a 2  a 2.

 Tính chất: Với a b c , ,  bất kì và k R, ta có:

+ a b.b a.; a b ca b a c.  ;

 ka b k a b . a kb.  ; a2 0;a2  0 a 0.

+ a b2 a22 a b b 2; a b2 a22 a b b 2; a2b2 a b a b.

+ a b.> 0   a b, nhọn + a b.< 0   a b, tù

a b.= 0   a b, vuông

*) Công thức hình chiếu: Cho hai véc tơ bất kì  AB CD, Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C, D xuống đường thẳng AB Ta có công thức:  AB CD  AB EF

3 Biểu thức toạ độ của tích vô hướng: Cho = (a a 1, a2), b = (b1, b2) Khi đó: a b  a b1 1a b2 2

Trang 4

4 Ứng dụng của tích vô hướng: Cho = (a a 1, a2), b = (b1, b2) Khi đó:

a) Tính độ dài của véc tơ: a   a12a22;

Suy ra: Cho A x( ; ), ( ; )A y A B x y B B Khi đó: AB (x Bx A)2(y By A)2

b) Tính góc giữa hai véc tơ: a b a b Chú ý:

a b

1 1 2 2

cos( , )







a  b a b1 1a b2 2 0

5 Áp dụng:

 Bài toán 1: Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MA MB  k ( A, B cố định, k là hằng số)

 Bài toán 2: phương tích của một điểm với một đường tròn.

Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai véc tơ

Phương pháp: Áp dụng công thức của định nghĩa

Chú ý:

 Xác định góc giữa hai véc tơ phai đưa hai véc tơ về chung gốc

 Khi hai véc tơ cùng phương, phân biệt hai trường hợp góc của chúng bằng 0o hay 180o

Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính: CB AD AD AC AB DC      , ,

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A Cạnh AB=5dm Tính BA BC  

Dạng2: Chứng minh sự vuông góc và sự cùng phương bằng phương pháp tọa độ

Phương pháp:

 Điều kiện vuông góc: a b a b   0 a b1 1a b2 2 0

 Điều kiện cùng phương: , cùng phương a

1 2 2 1

a k b





Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho 4 điểm A(-2;1), B(1;2), C(3;-4), D(0; -5) Chứng minh ABCD là hình

chữ nhật

Ví dụ 2: Trong mp tọa độ cho hai điểm A(-1;2) và B(4,5; 3) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC

vuông tại C.

Dạng 3: Các bài toán liên quan đến độ dài véc tơ, khoảng cách hai điểm, góc giữa hai véc tơ

Chú ý: Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(0;3), B(-1;0), C(3;0)

a) Tính độ dài 3 cạnh của tam giác

b) Tính góc lớn nhất của tam giác

Ví dụ 2: Trong mp(Oxy) cho hai điểm B(-1;3), C(3;1) Tìm tọa độ điểm A sao cho ABC là tam giác vuông

cân tại A

Dạng 4: Chứng minh các bài toán về véc tơ có liên quan đến tích vô hướng Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B cố định và M là điểm bất kỳ Gọi H là hình chiếu của M lên AB và I là trung điểm

của AB Chứng minh rằng:

Trang 5

5

a)

2 2

4

AB

MA MBMI 

 

b)

2

AB

MA MB  MI 

2

MA MB  AB IH

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và A’, B’, C’theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh rằng

BC AA CA BB AB CC 

     

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, đường cao BB’ và CC’ cắt nhau tại H Chứng minh rằng AH vuông góc với BC Dạng 5: Sử dụng công thức hình chiếu

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và  AB CB 4, AC BC 9 Tính 3 cạnh của tam giác.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức BC.(2 AM BC)0

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có 3 đường cao là AA’, BB’, CC’ Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,

CA, AB Chứng minh: '      A M BCB N CA C P AB'  ' 0

Dạng6: Chứng minh hệ thức giữa các độ dài

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có ฀ 120 ,o 3, 6 Tính cạnh BC.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với trọng tâm G, BC=a, CA=b, AB=c.

a) Chứng minh rằng 2 2 2

2

 

b) Tính AG theo 3 cạnh a,b,c.

Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh bằng a Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có:

MA MB MC MD  MO  a

Dạng 7: Tìm tập hợp điểm

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn:

a) (MA MB MC    )( MB)0

b) MA2MA MB  0

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện:

a)

2

4

a

MA MC 

 

b) MA MC    MB MD a2

c) (MA MB     MC MA MC)(  )a2

Dạng 8: Tính phương tích, tính đoạn tiếp tuyến

Ví dụ 1: Cho 4 điểm A(-2;1), B(4;7), M(0;2), N(-3;-5) Tính phương tích của các điểm M, N đối với đường tròn đường kính AB.

Trang 6

Ví dụ 2: Cho 4 điểm A(-2;-1), B(-1;4), C(4;3), D(5;-2) Chứng minh rằng điểm M ở ngoài đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tính đoạn tiếp tuyến MT vẽ từ M đến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( T

là tiếp điểm ).

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho ABC là tam giác vuông cân tại A có cạnh góc vuông bằng a.

a) Hãy tính  AB AC2 2 và

2

( AB AC ) b)      AB BC AB AC AB CA , ,

Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a Hãy tính các biểu thức sau:

AB BC

 

AB AC

 

d)  AB DC e)

AB CD

 

Bài 3: Tính a b  với:

a) a( 5;3), (2; 6) b

b) a 4i 6 , j b 3i 7j

Bài 4: Hãy xác định giá trị của m để hai cặp véc tơ sau đây vuông góc

a) a(3; 2), b(4;5 )m

b) a(9; 16 ), m b(1; 4 )m

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A(0;0), B(1;0) Hãy tìm điểm C để cho ABC là tam giác đều.

Bài 6: Trong mp tạo độ cho A(-1;1), B(3;2) Hãy tìm điểm C trên Ox có tọa độ nguyên sao cho tam giác ABC

vuông tại C.

Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A và O là tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi D là trung điểm của AB và G là trọng tâm tam giác ACD Chứng minh rằng OG vuông góc với CD.

Bài 8: Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm bất kì Chứng

minh rằng T (MA GB      MB GC MC GA ) có giá trị không đổi, tính giá trị này

Bài 9: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a có tâm O Dùng công thức hình chiếu tính các tích vô hướng sau:

AB BD ABAD BDBC OA OB OC AB 

         

Bài 10: Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn: ( 2 ) 3 2

2

a

CA BC CM 

  

Bài 11: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh rằng:

1

2

GA GB GB GC      GC GA  GA GB GC

Bài 12: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=4, AD=3 và điểm M thỏa mãn AM k AB Định k để hai đường

thẳng AC và DM vuông góc.

Bài 13: cho tam giác ABC vuông tại A Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=AC; trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE=AB Chứng minh rằng đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ADE vuông

góc với BC.

Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A, D thuộc tia AC và AD=3AC và G là trọng tâm tam giác BCD Chứng

minh rằng 2 1 2 2

9

Bài 15: Cho tứ giác ABCD.

a) Chứng minh rằng: 2 2 2 2

2

AB BC CD DA   AC DB

Trang 7

7

A

b) Từ công thức trên suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc là

AB CD BC AD

Bài 16: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện:

a) (  ABAC AM) 0

b) MA MA .( 2MB MC)0

Bài 17: Cho tam giác ABC đều, cạnh bằng a Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện

2

(MA MB MC   ) a

Ghi chú:

 2 Trần Thành Minh:

§3 CÁC HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

A LÝ THUYẾT

Cho ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c

– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma , m b , m c

– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha , h b , h c

– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p

– diện tích tam giác: S

1 Định lí côsin

a2 b2c22 cosbc A b2 c2a22 cosca B c2 a2b22 cosab C

2 Định lí sin

R

sin sin sin 

3 Độ dài trung tuyến

a

m

4



4 Diện tích tam giác

S = 1ah a 1bh b 1ch c=

1 sin 1 sin 1 sin

= abc = = (công thức Hê–rông)

R

4 pr p p a p b p c(  )(  )(  )

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.

5 Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)

Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao

 BC2 AB2AC2 (định lí Pi–ta–go)

 AB2 BC BH , AC2 BC CH

 AH2 BH CH ,

AH2 AB2 AC2

 AH BC AB AC 

 ba.sinBa.cosC ctanBccotC; ca.sinCa.cosBbtanCbcotC

Trang 8

O M

C

D

T

R

6 Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)

Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định

 Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD

PM/(O) = MA MB   MC MD   MO2R2

 Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT

PM/(O) = MT2 MO2R2

Dạng 1: Tính toán các yếu tố trong tam giác dựa vào các yếu tố đã cho

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có b=6, c=5 và cos 4 Tính a, sinA và diện tích tam giác ABC.

5

A

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ฀ 30 ,o 5,฀ 45o Tính cạnh AC và đường tròn ngoại tiếp tam giác

A BC B

ABC

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AC=100, ฀ 65o , AB=96 Tính góc B của tam giác, biết rằng góc A nhỏ hơn

C

25o

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có 3 cạnh BC=a=7, AC=b=4, AB=c=2 Hãy tính 3 góc của tam giác.

Dạng2: Giải tam giác

Tương ứng với 3 trường hợp bằng nhau của tam giác, để giải tam giác ta có 3 trường hợp cơ bản:

 Cho biết 3 cạnh (c.c.c)

 Cho biết hai cạnh và góc xen giữa ( c.g.c)

 Cho biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó ( g.c.g)

Các trường hợp còn lại ta đưa về 3 trường hợp trên.

Ví dụ 1: Giải tam giác ABC biết a=2,b=3,c=4.

Ví dụ 2: Giải tam giác ABC biết ฀ 45 ,o ฀ 30 ,o 10

Ví dụ 3: Giải tam giác ABC biết 8, 2, 12,฀ 110o

Dạng 3: Chứng minh các biểu thức liên quan đén cạnh, góc, độ dài trung tuyến, đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp và diện tích tam giác.

Phương pháp: Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác thường, tam giác vuông và các công thức liên

quan

Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: abcosCccosB Hãy suy ra các hệ thức tương tự

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

a) Nếu b c 2a thì 2 1 1

a b c

h h h

b) Nếu bca2 thì 2 và

sin sinB Csin A 2

b c a

h h h

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tam giác ABC có 5, 8,฀ 77o Tính cạnh b.

a c B

Bài 2: Cho tam giác ABC có a90,b70,c40 Hãy tính các góc A, B, C.

Trang 9

9

Bài 3: Cho một hình bình hành có hai cạnh 30 cm và 70 cm và có một góc bằng 65o Hãy tính hai đường chéo của hình bình hành

Bài 4: Một cái cọc cao 40m được đóng trên một triền dốc thẳng nghiêng với chiều ngang một góc 17o Người

ta nối một dây cáp từ đỉnh cọc đến cuối dốc Tìm chiều dài của dây cáp cho biết đoạn đường từ đáy cọc đến cuối dốc bằng 72m

Bài 5: Cho tam giác ABC có ฀ 48 ,o ฀ 57 ,o 47 Tính các cạnh và góc còn lại của tam giác ABC.

Bài 6: Cho tam giác ABC có ฀ 67 ,o 100, 125 Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác

Bài 7: Cho tam giác ABC có ฀ 36 7 ',o 12, 4, 8, 7 Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác

Bài 8: Cho tam giác ABC có a=2,20 cm, b=1,30cm và ฀ 44 3'o Hãy tính diện tích tam giác ABC.

C 

Bài 9: Cho tam giác ABC có a=5 cm, b=3 cm và ฀ 37o Tính diện tích tam giác ABC Tính góc C.

A

Bài 10: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:

a) sinAsinBcosCsinCcosB b) h A 2 sinR BsinC

c) S2R2sinAsinBsinC

Bài 11: Chứng minh rằng: 2 2 2 3 2 2 2

4

a b c

m m m  a b c

Bài 12: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 6 cm, E là trung điểm của CD Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE và các góc của tam giác này.

Bài 13: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Một đường tròn có bán kính bằng 6 qua hai đỉnh A, C và

3

a

cắt cạnh BC tại E Tính đoạn AE và góc BAE.

Bài 14: Cho tam giác ABC có ฀ 120o AD là phân giác trong của góc A (D thuộc cạnh BC) Chứng

BAC minh rằng tổng hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và tam giác ADC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 15: Cho tam giác ABC và điểm M thuộc cạnh BC Biết rằng BAM฀ ,CAM฀ . Chứng minh rằng

sin( )

sin sin

bc

AM

 







Bài 16: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là m b2m c2 5m a2

Bài 17: Tam giác ABC có 3 cạnh là BC=a, CA=b, AB=c và trung tuyến Chứng minh rằng:

2

c

AM 

sin A2 sin Bsin C

Bài 18: Cho tam giác ABC nhọn có AB=3cm, AC=4 cm và diện tích 2 Tính cạnh BC và đường

3 3

cao AH của tam giác

Bài 19: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, O là tâm hình vuông và E là trung điểm của AB Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, diện tích và các góc của tam giác OCE.

Bài 20: Cho tam giác ABC chứng minh: t anA 22 22 22

tan



 

Bài 21: Tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c và các cạnh thỏa mãn 2 2 2 Chứng minh

5

b c  a

rằng hai trung tuyến vẽ từ B và C vuông góc với nhau.

Bài 22:

a) Cho tam giác MPQ có trung tuyến MR Chứng minh: 2 2 2 2

2

PQ

MP MQ  MR 

b) Cho tam giác ABC vuông tại A và BC=6 Trên đường thẳng BC lấy hai điểm D và E sao cho

BD=BE=1 Chứng minh rằng: 2 2 2

AD AE  AC 

Trang 10

Ghi chú:

 2 Trần Thành Minh: 12- 22

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	0,98 MB