b Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.. Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt.. Tìm m để hai phương trình trên có nghiệm.. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm ké
Trang 1§ 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1 Định nghĩa :
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình dạng :
ax2 + bx + c = 0 ( a 0)
2 Giải và biện luận phương trình ax 2 + bx + c = 0
Tính : = b2 – 4ac
Nếu : < 0 , phương trình vô nghiệm
Nếu : = 0 , phương trình có nghiệm kép :x1 x2 b
2a
Nếu : > 0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 b ;
2a
2a
Chú ý:
Khi b là số chẵn ta có thể giải: / = b/2 – ac và
* Nếu : / < 0 , phương trình vô nghiệm
* Nếu : / = 0 , phương trình có nghiệm kép :x1 x2 b/
a
* Nếu : / > 0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 b/ / ;
a
a
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 = c
a
Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = –1và x2 = – c
a
Nếu ax2 + bx + c = 0 (1) có nghiệm x1, x2
thì (1) a(x – x1)(x – x2 ) = 0
Lưu ý : Nếu a có chứa tham số thì xét a = 0.
Ví dụ 1 Giải và biện luận phương trình : (m –1)x2 – 2mx + m – 1 = 0
Hướng dẫn giải
Xét m – 1 = 0 m = 1, phương trình trở thành –2x = 0 x = 0
Khi m 1, ta có / = 2m – 1
– Nếu 2m – 1 = 0 m 1, phương trình có nghiệm kép
2
– Nếu 2m – 1 > 0 m 1, phương trình có hai nghiệm phân biệt
2
, 1
x
m 1
x
m 1
– Nếu 2m – 1 < 0 m 1, phương trình vô nghiệm
2
Vậy : Nếu m = 1 phương trình có một nghiệm x = 0
Nếu m 1, phương trình có nghiệm kép
2
Nếu 1 m 1, phương trình có hai nghiệm phân biệt
Trang 2x1 m 2m 1 ,
m 1
x
m 1
Nếu m 1, phương trình vô nghiệm
2
Ví dụ 2 Giải và biện luận phương trình :
mx2 – 2(m – 2)x + m – 3 = 0 (1)
Hướng dẫn giải
Nếu m = 0
(1) 4x – 3 = 0 x = 3
4
Nếu m 0
Ta có : / = (m – 2)2 – (m – 3)m = – m + 4
Nếu – m + 4 < 0 m > 4 thì / < 0 : phương trình vô nghiệm
Nếu – m + 4 = 0 m = 4 thì / = 0 :
phương trình có nghiệm kép : x1 x2 m 2 4 2 1
Nếu – m + 4 > 0 m < 4 thì / > 0 : phương trình phương trình có hai nghiệm phân biêt:x1 m 2 4 m ; (*)
m
m
Kết luận :
Nếu m = 0 , phương trình có một nghiệm duy nhất : x = 3
4
Nếu m > 4 , phương trình vô nghiệm
Nếu 0 m < 4 , phương trình có hai nghiệm phân biệt ( *)
Bài tập tương tự.
Giải và biện luận các phương trình sau:
a) x2 – 2(m – 1)x + m2 + 2 = 0 c) mx2 + 2(m +1)x + m – 2 = 0
b) (m – 1)x2 + 4mx + 4m + 1 = 0 d) (m + 1)x2 – 2(m –1)x + m – 3 = 0
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Tìm điều kiện để phương trình : ax 2 + bx + c = 0 (1)
Có hai nghiệm phân biệt
0
0
a
Có nghiệm kép
0
0
a
Có nghiệm a 0 hoặc
0
a 0
b 0
Vô nghiệm a 0 hoặc
0
a b 0
c 0
Trang 3Ví dụ 1
Tìm m để phương trình : mx2 –2(m + 2)x + m + 1 = 0 (1)
a) Có nghiệm
b) Có hai nghiệm phân biệt
c) Có nghiệm kép
d) Vô nghiệm
Hướng dẫn giải
a) Nếu m = 0 ta có : (1) –4x + 1 = 0 x = ( m = 0 thoả)1
4
Khi m 0 thì để phương trình có nghiệm khi :
/ 0 (m + 2)2 – m(m + 1) 0 3m + 4 0 m – 4
3
Vậy điều kiện để phương trình có nghiệm là : m – 4
3
b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi
2
m 0
m 0
4
0 (m 2) m(m 1) 0 3m 4 0 m
3
c) Phương trình có nghiệm kép khi :
2
m 0
m 0
m 4
3
d) Nếu m = 0 ta có : (1) –4x + 1 = 0 x = ( m = 0 loại)1
4
Khi m 0 thì để phương trình vô nghiệm khi :
/ < 0 (m + 2)2 – m(m + 1) < 0 3m + 4 < 0 m < 4
3
Vậy điều kiện để phương trình vô nghiệm là : m < 4
3
Ví dụ 2
Tìm m để phương trình : (m + 2)x2 + 2(3m – 2)x +m +2 = 0 Có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó
Hướng dẫn giải
Để phương trình có nghiệm kép thì :
0 (3m 2) (m 2) 0 8m 16m 0
m 0
m 2
Khi m = 0 ta có : x1 = x2 = 1
Khi m = 2 ta có : x1 = x2 = –1
Trang 4Ví dụ 3.
Cho phương trình : (m2 – 4)x2 + 2(m + 2)x + 1 = 0 (1)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất
Hướng dẫn giải
a)
Xét a = 0 m2 – 4 = 0 m = 2
Khi m = 2 ta có : (1) 8x + 1 = 0 x = – ( m = 2 thoả)1
8
Khi m = –2 ta có : (1) 0x + 1 = 0 ( PTVN)
Khi a 0 m 2 phương trình có nghiệm khi :
2 m 2 4m 8 0
0 (m 2) (m 4) 0
Tóm lại phương trình có nghiệm khi m > –2
b)
Khi a= 0 theo câu a) phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 2
Khi a 0 phương trình có nghiệm duy nhất khi :
a 0/ m 2 m 2 hệ vô nghiệm
4m 8 0 m 2 0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 2
Bài tập tương tự.
1 Tìm m để phương trình : mx2 –2(m + 1)x + m + 1 = 0
a) Có hai nghiêïm phân biệt
b) Có ít nhất một nghiệm
c) Có nghiệm kép
d) Vô nghiệm
2 Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
a) (2m – 1)x2 + 2(2 – m)x – 1 = 0
b) (m – 1)x2 –2(m + 1)x + m – 5 = 0
c) (m – 1)x2 – (2 – m)x – 1 = 0
d) (4m + 1)x2 – 4mx + m – 3 = 0
3 Cho hai phương trình : x2 + mx + 1 = 0 và x2 + x + m = 0
Tìm m để hai phương trình trên có nghiệm
4 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép và tính các nghiệm kép đó
a) x2 – 2mx + m + 4 = 0
b) x2 – (m + )x + 3m + 4 = 0
c) x2 – (2m + 3)x + m2 = 0
d) (m + 1)x2 + 3(m – 2)x + m = 0
e) (m + 3)x2 + 2(3m + 2)x + m + 3 = 0
f) (m – 1)x2 – 3(m – 1)x + 2 = 0
Trang 5Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm cho trước.
Ví dụ 1 :
a) Tìm m để phương trình : x2 + 5mx – 6m = 0
có nghiệm x = 1 , tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phương trình: x2 + 7mx + m2 + 11= 0
có nghiệm x1 = 3 , x2 = 4
Hướng dẫn giải
a) Để phương trình có nghiệm x = 1 thì ta có :12 + 5m – 6m = 0 1 - m = 0 m = 1 Thay m vào phương trình trên ta có : x2 + 5x + 6 = 0
Phương trình này có nghiệm x = 1 , x = – 6
Vậy nghiệm còn lại là x = – 6
b) Để phương trình có nghiệm x1 = 3 ta có :
32 + 7m 3 + m2 + 11 = 0 m2 + 21m + 20 = 0 (1)
Để phương trình có nghiệm x2 = 4 ta có :
42 + 7m 4 + m2 + 11 = 0 m2 + 28m + 27 = 0 (2)
Từ (1) và (2) ta có : 22
m 10
m 21m 10 0
m 1
m 28m 27 0
m 27
Vậy m = –1 là điều kiện cần tìm
Ví dụ 2 :
Tìm m để phương trình : x2 + 5mx – 6m = 0 (1) có hai nghiệm
x1 , x2 thoả điều kiện : x1 – 7x1 + 10 = 0 Tìm nghiệm x2
Hướng dẫn giải
Ta có: x1 – 7x1 + 10 = 0 x1 = 2 x1 = 5
Khi x1 = 2 thay vào (1) ta có : 4m + 4 = 0 m = –1 Thay m = –1 vào (1) x2 = 3 Khi x1 = 5 thay vào phương trình (1) ta có : 19m + 25 = 0 m = –25
19
Thay vào (1) ta có nghiệm x2 5
19
Vậy điều kiện cần tìm là: m = –1 , m = –25
19
Ví dụ 3 :
Cho hai phương trình : x2 – x + m = 0 (1)
x2 – 3x + m = 0 (2)
Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm gấp hai lần môït
nghiệm của phương trình (2)
Hướng dẫn giải
Trang 6Để hai phương trình trên có nghiệm thì : 1
2
1 m
m
m 4
Giả sử phương trình (1) có nghiệm x0 thì 2x0 là nghiệm của (2) và ta có:
(1) x0 – x0 + m = 0
(2) (2x0)2 – 3.2x0 + m = 0 4x0 – 6x0 + m = 0
Vậy ta có hệ : 02 0 02 0
Vậy ta có: – x0 + x0 = – 4x0 + 6x0 3x0 – 5x0 = 0 0
0
x 0 5 x 3
Khi x0 = 0 thì ta có m = 0
Khi x0 = thì ta có m =5
10
Vậy để phương trình (1) có một nghiệm gấp hai lần nghiệm của phương trình (2) thì m = 0 hoặc m =
9
10
Bài tập tương tự.
1 Tìm m để phương trình : (m+ 1)x2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0
có nghiệm x = 3 Tìm nghiệm còn lại
2 Tìm m để phương trình : 2x2 – (m + 3)x + m – 1 = 0
có nghiệm x = Tìm nghiệm còn lại
2 1
3 Cho hai phương trình : x2 – (4m + 1)x + 6m = 0 (1)
x2 + (m – 3)x + m = 0 (2)
Tìm m để phương trình một có một nghiệm gấp hai lần nghiệm của
phương trình (2)
Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai có nghiệm.
Ví dụ 1
Tìm tất cả các giá trị m để hai phương trình :
x2 – 2(m – 1)x + m2 – 1 = 0
x2 + 2x – m = 0 cùng có nghiệm
GIẢI
Để hai phương trình trên có nghiệm thì:
0
0 2
1 / /
(m 1) m 1 0
1 m 1
1 m 0
Ví dụ 2
Tìm tất cả các giá trị m để hai phương trình :
x2 + mx + 1 = 0 (1)
Trang 7x2 + x + m = 0 (2) đều có nghiệm
Hướng dẫn giải
Để hai phương trình trên có nghiệm khi:
0
0 2 1
2
(m 2)(m 2) 0
1 m
4
Bài tập tương tự.
Tìm tất cả các giá trị m để hai phương trình sau có nghiệm
a) x2 + 2(m – 1)x + 3 + m2 = 0 và x2 + 4mx + 4m2 +1 = 0
b) x2 – 2(m + 2)x + 2 + m2 = 0 và x2 + 2mx + m2 +1 = 0
Tìm điều kiện để hai phương trình có nghiệm chung
Ví dụ 1 Cho hai phương trình :
x2 + mx + 1 = 0 (1) và x2 + x + m = 0 (2)
Tìm m để hai phương trình trên có nghiệm chung
Hướng dẫn giải
Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x
Lấy (1) – (2) ta có : x(m – 1) + 1 – m = 0
(x – 1)(m – 1) = 0 x = 1 hoặc m = 1
Khi m = 1 ta có : (1) và (2) đều trở thành phương trình : x2 + x + 1 = 0 Phương trình vô nghiệm
Khi x = 1 ta có : 2 lúc đó ta có :
2
1 1 m 0
m 2
1 m 1 0
2
(1)x 2x 1 0 x 1
2
(2)x x 2 0 x 1 x 2
Phương trình có nghiệm chung x = 1
Vậy hai phương trình trên có nghiệm chung khi m = – 2
Ví dụ 2
Cho hai phương trình : x2 – x + m = 0 (1)
x2 – x + 3m = 0 (2)
Tìm m để hai phương trình trên có nghiệm chung
Hướng dẫn giải
Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x
Lấy (1) – (2) ta có : m = 0
Khi m = 0 ta có :
Hai phương trình (1) và(2) trở thành : x2 – x = 0 x = 0 hoặc x = 1 Vậy để hai phương trình có nghiệm chung thì m = 0
Ví dụ 3.
Cho hai phương trình : (m – 1)x2 – x + m = 0 (1)
Trang 8(m – 1)x2 – mx + 1 = 0 (2)
Tìm m để hai phương trình trên có nghiệm chung
Hướng dẫn giải
Nếu m – 1 = 0 m = 1 thì phương trình (1) và (2) trở thành :
–x + 1 = 0 x = 1 Vậy m = 1 thoả điều kiện
Nếu m 1 0 m 1
Trừ vế theo vế của (1) với (2) ta có :
(m – 1)x + m – 1 = 0 (x + 1)(m – 1) = 0
x = –1 hoặc m = 1 (loại)
Khi x = –1 thay vào (1) và (2) ta có : (1) m = 1 (loại)
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Bài tập tương tự.
Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung
a) x2 – 6mx + 5m = 0 và x2 – 7mx + 6m = 0
b) x2 + mx + m + 1 = 0 và x2 + (2m + 1)x – m – 1= 0
c) (m + 1)x2 – 6mx + 6m = 0 và (m + 1)x2 – 7mx + 7m= 0
4 ĐỊNH LÍ VIÉT
* Định lí Viét
Nếu phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (a 0)
Có hai nghiệm x1 và x2 thì tổng và tích của hai nghiệm đó là:
b
a
a
* Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là nghịêm của phương trình: x2 – Sx + P = 0
Chú ý : Điều kiện để phương trình: x2 – Sx + P = 0 có nghiệm là:
S2 – 4P 0
VÍ DỤ ÁP DỤNG.
Ví dụ 1:
Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 4 và tích của chúng bằng 1
GIẢI
Gọi hai số cần tìm là u và v
Theo bài toán ta có : S = u + v = 4 , P = uv = 1
Như vậy u và v là nghiệm của phương trình: x2 – 4x + 1 = 0
Có / = 4 – 1 = 3 > 0 x1 2 3 , x2 2 3
Vậy hai số cần tìm là: 2 3 và 2 3
Ví dụ 2:
Tìm hai cạnh của hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích
Trang 9bằng 28m2
Hướng dẫn giải
Gọi u và v là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật ( u > 0 , v > 0 ), ta có:
S = u + v = 11 , P = uv = 28
Vậy u và v là nghiệm của phương trình : x2 – 11x + 28 = 0
= 121 – 4.28 = 9 = 32
Vậy ta có : x1 11 3 4 ,
2
2
Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 4m và 7m
Bài tập tương tự.
Tìm hai số biết :
a) Tổng của chúng bằng 19 , tích của chúng bằng 84
b) Tổng của chúng bằng 10 , tích của chúng bằng 1
c) Tổng của chúng bằng 12 , tích của chúng bằng 1
d) Tổng của chúng bằng 16 , tích của chúng bằng 39
3 Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
Phương pháp
Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a 0)
Giả sử x1 và x2 là nghiệm của phương trình Theo định lý Viet ta có:
S = x1 + x2 = b , P = x1x2 =
a
a
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 < 0 < x2 P < 0
0 < x1 < x2 ; x1 < x2 < 0
0
S 0
P 0
0
S 0
P 0
Chú ý :
Điều kiện để phương trình có nghiệm :
0 < x1 x2 ; x1 x2 < 0
0
S 0
P 0
0
S 0
P 0
Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1
Tìm m để phương trình :x2 – 3x + m – 1 = 0
a) Có hai nghiệm trái dấu
b) Có hai nghiệm dương phân biệt
c) Có hai nghiệm âm phân biệt
Hướng dẫn giải
Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình , theo bài toán ta có:
a) Ta có x1 < 0 < x2 P < 0 m – 1 < 0 m < 1
Trang 10b) Ta có 0 < x1 < x2 .
0
S 0
P 0
9 4(m 1) 0
m 1 0
3 0
Giải hệ trên ta có 1 m 13
4
c) x1 < x2 < 0
0
S 0
P 0
9 4(m 1) 0
m 1 0
3 0
13 m
m 1 4
m 1
Bài tập tương tự.
1 Tìm m để phương trình : mx2 – 2(m – 3)x + m – 4 = 0
Có đúng một nghiệm dương
2 Tìm m để phương trình : (m – 2)x2 – 6mx + 2(m – 5) = 0
Có hai nghiệm trái dấu
3 Tìm m để phương trình : (m – 2)x2 – 2(m + 3)x + 2(m – 5) = 0 Có hai nghiệm trái dấu
4 Tìm m để phương trình : x2 – 6x + m – 2 = 0
Có hai nghiệm dương phân biệt
5 Tìm m để phương trình : (m – 1)x2 + 2(m + 1)x + m = 0
Có hai nghiệm dương phân biệt
ĐS : 1 0 m4 2 2 < m < 5 3 – 3 < m < 2
4 2 < m < 11 5 0
3
BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG CỦA CÁC NGHIỆM
Biểu thức đối xứng của các nghiệm x1 và x2 của phương trình:
ax2 + bx + c = 0 (a 0)
Là biểu thức không thay đổi khi ta thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1
Chú ý : Đặt S x1 x2 b ,
a
a
x1 + x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2P
x1 + x2 = (x1 + x2)3 – 3 x1x2(x1 + x2) = S3 – 3PS
Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1:
Tìm m để phương trình : x2 – 4x + m – 1 = 0
a) Có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức x1 + x2 = 3 b) Có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức x1 + x2 = 40
Hướng dẫn giải
Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
/ = 4 – m + 1 = 5 – m 0 m 5
Và S = 4 , P = m – 1
a) x1 + x2 = 3 (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 3 S2 – 2P = 3
Trang 11 16 – 2(m – 1) = 3 m = 15 ( không thoả điều kiện m 5)
2
Vậy không có giá trị m thoả điều kiện bài toán
b) x1 + x2 = (x1 + x2)3 – 3 x1x2(x1 + x2) = S3 – 3PS = 64 – 12(m – 1)
= 76 – 12m
Theo bài ra ta có: 76 – 12m = 40 m = 3 thoả mãn với điều kiện m 5
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm
Bài tập tương tự
1 Tìm m để phương trình : x2 – mx + 7 = 0
Có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x1 + x2 = 10
2 Tìm m để phương trình : x2 – (2m + 1)x + m2 + 2 = 0
Có hai nghiệm x1 , x2 sao cho 3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0
3 Tìm m để phương trình : x2 + mx + 1 = 0
Có hai nghiệm thoả x1 + x2 = 7
4 Tìm m để phương trình : 3x2 + mx – 2 = 0
Có hai nghiệm thoả x1 + x2 = 13
9
5 Tìm m để phương trình : x2 – 2(m – 2)x + m(m – 3) = 0
Có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x1 + x2 = 0
HD : x1 + x2 = 0 x1 = x1 x1 = – x2 x1 + x2 = 0
Giải tương tự như trên ta có m = 2
$ 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất của hai ẩn Phương pháp giải Từ phương trình bậc nhất ta rút một ẩn theo ẩn còn lại rồi thế vào
phương trình kia
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình: x2 2y2 2xy 5
x 2y 7
) ( 2 1
Hướng dẫn giải
Từ phương trình (2) ta có x = 7 – 2y
Thế vào phương trình (1) ta có :
(7 – 2y)2 + 2y2 – 2(7 – 2y)y = 5 5y2 – 21y + 22 = 0
y 2 x 3
Vậy nghiệm của hệ là : x 3 ,
y 2
13 x 5 11 y 5
II Hệ phương trình đối xứng đối với hai ẩn x và y
1 Hệ phương trình đối xứng loại I
Là hệ phương trình khi thay x bởi y và thay y bởi x thì các phương trình trong hệ không thay đổi
Phương pháp giải:
Ta đặt S = x + y , P = xy , biến đổi hệ theo S và P rồi giải tìm S và P
