skkn hướng dẫn học sinh lớp 9 làm một số dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn thcs ba đình

Phòng giáo dục và đào tạo bỉm sơnTrờng thcs ba đình Hớng dẫn học sinh lớp 9 làm một số dạng toán về phơng trình bậc hai một ẩn... SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2011 - 2012ĐỀ TÀI: HƯỚNG D

Phòng giáo dục và đào tạo bỉm sơn

Trờng thcs ba đình

Hớng dẫn học sinh lớp 9 làm một số dạng toán về phơng

trình bậc hai một ẩn

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2011 - 2012

ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9 LÀM MỘT SỐ

DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

A – ĐẶT VẤN ĐỀ

I – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình bậc hai một ẩn số là một phần kiến thức quan trọngtrong chương trình đại số lớp 9, nó tiếp tục được củng cố ở các lớp bậcPhổ thông trung học Trong sách giáo khoa đại số lớp 9, mảng kiến thức

về phương trình bậc hai một ẩn bao gồm: Định nghĩa phương trình bậchai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a0);

Công thức nghiệm; Định lý Vi ét thuận và đảo; Tính chất và đặc điểmnghiệm (nếu có); các phương trình qui về bậc hai; Giải bài toán bằngcách lập phương trình bậc hai

Vị trí của phương trình bậc hai quan trọng như vậy, đặc biệt là định

lý Vi ét có nhiều ứng dụng rộng rãi, trong các kỳ thi tốt nghiệp Trunghọc cơ sở và kỳ thi chuyển cấp các bài toán về phương trình bậc haimột ẩn chiếm một vị trí không nhỏ, chủ đề về phương trình bậc hai cóthể nói là “người bạn đồng hành”

Nhưng qua thực tế giảng dạy Tôi thấy học sinh chỉ biết cách giảiphương trình bậc hai, sử dụng định lý Vi ét để nhẩm nghiệm, giải bàitoán bằng cách lập phương trình bậc hai, còn các bài toán đòi hỏi phải

có sự linh hoạt sáng tạo khi vận dụng các kiến thức trên thì nhiều emcòn lúng túng không biết đường lối giải

Để giúp học sinh có kiến thức tương đối sâu sắc về phương trình bậc

hai, có kỹ năng thành thạo khi giải các dạng toán có liên quan, Tôi đãquan tâm nghiên cứu và lựu chọn thực hiện đề tài “Hướng dẫn học sinhlớp 9 giải một số bài toán về phương trình bậc hai một ẩn”.

II – THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.

*Thực trạng đối với giáo viên:

Do thời gian của chương trình nên để HS hiểu được sâu hơn thì

GV phải tự tổng hợp kiến thức để dạy lồng ghép vào các buổi học

*Thực trạng đối với học sinh:

- Nhìn chung các em chỉ làm những bài tập trong từng bài học màchưa biết cách hệ thống các dạng bài tập để luyện tập, củng cố kiếnthức

- Một số học sinh chưa chịu khó tìm tòi những bài tập đòi hỏi tínhsáng tạo, những bài toán liên quan đến nhau trong chương trình đãhọc

2/.Khảo sát thực tế:

Qua đợt kiểm tra khi HS chưa học đề tài về một số bàit ki m tra khi HS ch a h c ểm tra khi HS chưa học đề tài về một số bài ưa học đề tài về một số bài ọc đề tài về một số bài đề tài về một số bài ài về một số bài ề tài về một số bài t i v m t s b iột số bài ố bài ài về một số bàitoán v phề tài về một số bài ưa học đề tài về một số bàiơng trình bậc hai một ẩn ở hai lớp 9A; 9D trườngng trình b c hai m t n hai l p 9A; 9D trậc hai một ẩn ở hai lớp 9A; 9D trường ột số bài ẩn ở hai lớp 9A; 9D trường ở hai lớp 9A; 9D trường ớp 9A; 9D trường ưa học đề tài về một số bàiờngngtrung h c c s Ba ình thu ọc đề tài về một số bài ơng trình bậc hai một ẩn ở hai lớp 9A; 9D trường ở hai lớp 9A; 9D trường Đình thu được kết quả như sau: đưa học đề tài về một số bàiợt kiểm tra khi HS chưa học đề tài về một số bàic k t qu nh sau:ết quả như sau: ả như sau: ưa học đề tài về một số bài

Lớp Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB Điểm yếu

Từ thực tế trên, để giúp các em có kết quả học tập tốt hơn, năm học

này tôi đã thực hiện đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 9 làm một số dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn”

B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:

1 Đối tượng thực hiện:

+ Đối tượng giúp tôi nghiên cứu và áp dụng đề tài này là lớp9A; 9D trường trung học cơ sở Ba Đình- Bỉm Sơn – Thanh Hoá

+ Thời gian thực hiện : Trong năm học 2011- 2012

- Tham khảo các tài liệu liên quan đến chương trình đại số 9 và đặcbiệt là tham khảo ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp trong tổ toáncủa trường.

II – TỔ CHỨC THỰC HIỆN:

Giáo viên cùng h c sinh h th ng ki n th c b ng nh ng câu h i g i m , ọc đề tài về một số bài ệ thống kiến thức bằng những câu hỏi gợi mở, ố bài ết quả như sau: ức bằng những câu hỏi gợi mở, ằng những câu hỏi gợi mở, ững câu hỏi gợi mở, ỏi gợi mở, ợt kiểm tra khi HS chưa học đề tài về một số bài ở hai lớp 9A; 9D trường

a ra các b i t p, nh h ng cách l m sau ó giao các b i t p t ng t , đưa học đề tài về một số bài ài về một số bài ậc hai một ẩn ở hai lớp 9A; 9D trường định hướng cách làm sau đó giao các bài tập tương tự, ưa học đề tài về một số bàiớp 9A; 9D trường ài về một số bài đ ài về một số bài ậc hai một ẩn ở hai lớp 9A; 9D trường ưa học đề tài về một số bàiơng trình bậc hai một ẩn ở hai lớp 9A; 9D trường ự,

có ki m tra , ánh giá, cho i m.GV cho HS ch t l i v n ểm tra khi HS chưa học đề tài về một số bài đ đ ểm tra khi HS chưa học đề tài về một số bài ố bài ại vấn đề sau mỗi phần ấn đề sau mỗi phần đề tài về một số bài sau m i ph n ỗi phần ần

h c ọc đề tài về một số bài

1 HỆ THỐNG LÝ THUYẾT

1.1 Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số.

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 + bx+ c = 0 trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số đã cho, a0

Nếu x = t là nghiệm của phương trình thì ta luôn có at2 + bt + c =0

1.2 Giải phương trình.

a) Phương trình bậc hai khuyết b và c ( b =0; c = 0 )

ax2 = 0 : Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 0 b) Phương trình bậc hai khuyết b ( b = 0 )

ax2 + c = 0  x2 = a c

+ Nếu a và c cùng dấu hay a c > 0 : Phương trình vô nghiệm

+ Nếu a và c trái dấu hay a c < 0 : Phương trình có 2 nghiệm

x1 = -

a

c

 ; x2 =

a c



c) Phương trình bậc hai khuyết c ( c = 0): ax2 + bx = 0  x(ax +

b) = 0 :

Phương trình có 2 nghiệm là : x = x1 = 0 ; x = x2 = a b

d) Phương trình bậc hai đủ: ax2 + bx + c = 0 ( 1) (a, b, c0)

Công thức nghiệm tổng quát Công thức nghiệm thu gọn

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2

thì tổng và tích của hai nghiệm đó là:

S = x1 + x2 = a b ; P = x1 x2 = a c b) Định lý đảo:

a

* Bài toán:

Cho phương trình mx2 - 2(m - 1)x + m + 1 = 0 (1)

a) Giải phương trình với m = -2

b) Tìm điều kiện m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

0 2

GV: Để phương trình đã cho có nghiệp kép thì phải có điều

0 1

2 6

a

Đáp số a = 0 hoặc a = - 2 hoặc a = 2

* Bài toán vận dụng:

Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm kép:

a) x2 - 18x + m = 0 c) mx2 - 12x + 4 = 0 b) x2 + mx + 1 = 0 d) m2x2 - mx - 2 = 0

2.3 Điều kiện để phương trình bậc hai vô nghiệm.

Xét a 0 ;  < 0 hoặc a = 0; b = 0; c 0

Bài toán: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: mx2 + 2m2x +

1 = 0 (1)

Định hướng giải:

Xét m = 0 ; Phương trình (1) có dạng 0x + 1 = 0 : Vô nghiệm

Xét m 0 ; Phương trình (1) là phương trình bậc hai, Vô nghiệmnếu  < 0

Bài toán : Cho phương trình 4x2 - 2(a + b)x + ab = 0 (1)

a) Giải phương trình với a = 1 ; b = 2

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm vớimọi a,b

Định hướng giải:

a) Với a = 1 ; b = 2 ta có 4x2 - 2(1 + 2)x + 2 = 0

= ( 2 - 1)2

Phương trình có 2 nghiệm x1 = 21 ; x2 =

2

2 b) Ta có  = (a - b)2  0 với a ,b R

Vậy phương trình (1) có nghiệm với mọi a,b

Bài toán vận dụng:

Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m:

x2 - (3m2 - 5m + 1)x - (m2 - 4m + 5) = 0

2.5 Điều kiện để một phương trình bậc hai có một nghiệm bằng

một số cho trước, tìm nghiệm còn lại.

Bài toán:

Cho phương trình mx2 - 2(m - 2)x + m - 3 = 0 (1)

Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm bằng 3, tìmnghiệm còn lại

0

a

 0  m <4

x = 3 là nghiệm của phương trình (1)  m = - 49(Thoả mãn)

2 0 0

2 0

a x x

ax x

 (a - 1)x0 = a - 8Nếu a  1 thì x0 = 18

(2) là x2 + x - 6 = 0 có nghiệm x1 = 2 ; x2 = 3

Nếu a = 1 thì (1) là x2 + x + 8 = 0 và (2) là x2 + x +1 = 0 , cảhai phương trình này vô nghiệm

Kết luận: a = - 6 thì (1) và (2) có ít nhất một nghiệm chung

0 2 26 8

2

2

m a a

m a a

 6a2 - 18a = 0 hay 6a(a - 3) = 0

- Với a = 0 thì m = 0

(1) là 2x2 - 13x = 0 có nghiệm x1 = 0 ; x2 = 132

(2) là x2 - 4x = 0 có nghiệm x1 = 0 ; x2 = 4

Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình, thế thì:

0 6 ) 2 ( 2 2

0

2 0

0

2 0

m mx x

x m x

 (m - 4)x0 = m - 4

Nếu m  4 thì x0 = 1 Thay vào (1) ta có 12 + (m - 2).1 + 3 = 0

 m = - 2

m = -2 thì (1) là x2 - 4x + 3 = 0 có nghiệm x1 = 1 ; x2 = 3 (2) là 2x2 - 2x = 0 có nghiệm x1 = 1 ; x2 = 0

Nếu m = 4 thì (1) là x2 + 2x + 3 = 0

(2) là 2x2 + 4x + 6 = 0 cả hai phương trình này

vô nghiệm

Vậy với m = - 2 thì (1) và (2) có ít nhất một nghiệm chung

2.7 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức:

Cách giải :

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A trong khoảng (a ; b):

- Chứng tỏ rằng A k với x  (a ; b)

- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A trong khoảng (a ; b):

- Chứng tỏ rằng A k với x  (a ; b)

- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức

Bài toán 1: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

A = 3x2 - 6x + 1

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

B = - 2x2 - 4x + 1Hướng dẫn giải:

a) A = 3(x - 1)2 - 2  - 2 ; min A = - 2  x = 1

b) B = -2(x + 1)2 +3  3 ; max B = 3  x = - 1

Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức sau:

Nếu m  0, với những giá trị khác nhau của x, A có thể có nhữnggiá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, vì thế khi gọi m là giá trị của A thìphải có x để 22 21

   0  (2m + 1)(m - 1)  0  - 21  m1Kết hợp cả 2 trường hợp ta có: - 21  m1

m = -21 thì (2)  x2 + 4x + 4 = 0  x = - 2

m = 1 thì (2)  x2 - 2x + 1 = 0  x = 1

Vậy min A = - 21  x = - 2 max A = 1  x = 1

Cách 2:

A = 1 -

2

) 1 ( 2 2

3 HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN.

3.1 Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0)

- Nếu ta tính nhẩm được hai giá trị x1, x2 thoả mãn:

a

b x x

2 1

2 1

* Bài tập vận dụng: Tính nhẩm nghiệm

a) x2 - 49x - 50 = 0 ; b) x2 - (1 + 5)x + 5 = 0

Đáp số: a) x1 = -1; x2 = 50 ; b) x1 = 1 ; x2 = 5

3.2 Xét dấu các nghiệm của phương trình:

Cho phương trình ax2 +bx + c = 0 (a  0) ; gọi S = - a b ; P = a cĐiều kiện để phương trình:

a) Có 2 nghiệm trái dấu: P < 0

b) Có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu:  > 0 ; P > 0

c) Có 2 nghiệm dương phân biệt:  > 0 ; P > 0 ; S > 0

d) Có 2 nghiệm âm phân biệt:  > 0 ; P > 0 ; S < 0

e) Phương trình có nghiêm kép âm (dương):  = 0 ; S < 0 ;(S > 0)

* Bài toán:

Không giải phương trình, xét dấu các nghiệm của các phương trìnhsau:

 Phương trình có nghiệm kép dương.

* Bài toán áp dụng: Cho PT: x2 – 2(m – 1)x + m + 1 = 0

Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu

b)Có hai nghiệm dương phân biệt; c) Có đúng một nghiệm dương

3.3 Xác định hệ số của phương trình theo điều kiện về dấu các nghiệm:

0 10

k P

10

k

k

 1 < k < 10b) P < 0  k - 1 < 0  k < 1

Bài toán áp dụng:

Xác định m để phương trình:

(m - 1)x2 + 2(m + 1)x + m = 0 có hai nghiệm dương

Đáp số: - 31 < m < 0

3.4 Tính giá trị của một hệ thức giữa các nghiệm:

Bài toán: Cho phương trình

a) x2 + 3x - 8 = 0

b) 5x2 + 4x + 1 = 0

Tính tổng các nghịch đảo các nghiệm, tổng các bình phương cácnghiệm

2 1

x x

Chú ý: Không thể nói phương 5x2 + 4x + 1 = 0 có tổng cácnghiệm bằng -54, tích các nghiệm bằng 15 Như vậy phải kiểm trađiều kiện có nghiệm của phương trình trước khi tính hệ thức giữacác nghiệm

3.5 Xác định hệ số của phương trình biết hệ thức giữa các nghiệm:

3 2 1

2 1

x x

x x

2 2

1

x x

ta có k - 1 = x1.x2 = 2  k = 3

b) Giải hệ:

2 1

2 1

x x

x x

2

1

x x

k - 1 = x1.x2 = 45  k = 49 c)   0  k 

4 13

x12 + x22 = 3  (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 3  9 - 2(k - 1) = 3  k

= 4

k = 4 > 134 (không thoả mãn) d) x1.x2 = 1  k - 1 = 1  k = 2 < 134 (thoả mãn)

3.6 Tìm hệ thức giữa các nghiệm độc lập với các tham số: (không

phụ thuộc vào các tham số)

Muốn tìm 1 hệ thức giữa các nghiệm x1 ; x2 và độc lập vớitham số m, ta làm như sau:

- Tính S = x1 + x2 ; P = x1 x2

- Khử m ,tìm hệ thức liên hệ giữa S và P  Đó là hệ thức độc lậpvới m

 Bài toán: Cho phương trình x2 - (k - 1)x + k + 1 = 0 Giả sửphương trình có các nghiệm x1 ; x2

3.7 Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nó:

- Trường hợp cho từng nghiệm x1 , x2

Ta có phương trình ẩn số x là (x - x1)(x - x2) = 0

- Trường hợp không có x1 , x2 riêng

Ta tìm S = x1 + x2 ; P = x1.x2

Phương trình có ẩn số x là x 2 - Sx + P = 0 (Định lý Vi ét đảo), Phương trình trên chỉ có nghiệm khi S 2  4P tức   0

* Bài toán: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nó bằng:

1 4 8

1 4

1 2 1

4

3 4

1 2 1

2 P S P

1

; 4

2 P S

P S

 Phương trình phải lập là: x2 - 4x + 1

= 0

Hướng dẫn giải:

x1 + x2 = 2k ; x1 x2 = 1

.

6 ) (

3 2 1 2

1

2 1 2

1

x x y

y

k x x y

* Bài toán: Cho phương trình x2 - mx +m - 1 = 0

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm

= 4(m2 + 6m + 9) + 48 = 4(m + 3)2 + 48  48

min P = 48  m = - 3

3.9 Tìm hai số biết tổng S và tích P của chúng:

Hai số phải tìm là nghiệm của phương trình bậc hai x 2 - Sx + P =

0 với điều kiện S 2 - 4P  0

4

y x

5

xy

y x

(1) Đặt - y = y’

5 '

'

y x

y x

5 '

'

xy

y x

Theo định lý Vi ét ta có: x, y’ là nghiệm phương trình

-3.10 So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước:

a) Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a 

0) có ít nhất một nghiệm không âm:

- Hoặc S = 0 (có một nghiệm không âm)

- Hoặc S < 0 , P  0 (có một nghiệm không âm, một nghiệm âm)

* Bài toán:

Tìm m để phương trình (m + 1)x2 - 2x + (m - 1) = 0 (1) có ít nhất một nghiệm x  0

Vậy giá trị của m phải tìm là

a) Xác định m để PT có hai nghiệm trái dấu

b) Xác định m để phương trình có đúng một nghiệm âm

b) So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số  :

* Bài toán :

Bài toán vận dụng: Tìm giá trị của m để phương trình sau có hai

nghiệm phân biệt lớn hơn 2: 3x2 - 14x + 2m = 0 (1)

0 2 0

2

1

x x

Đáp số: 8 < m < 496

Cách 2: Đặt x – 2 = y, phương trình trở thành:

3(y + 2)2 - 14(y + 2) + 2m = 0  3y2 - 2y + 2m - 16 = 0Cần tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

S

P  8< m < 496

c) Xét số nghiệm của phương trình bằng cách so sánh nghiệm

của phương trình bậc hai với một số:

* Bài toán: Tìm m để phương trình:

x - 1 x 2 = m (1) có một nghiệm duy nhấtHướng dẫn giải: (1)  x - m = 2 1

x m x

m x

(2)(1)  2x2 - 2mx + m2 - 1 = 0

(1) có nghiệm duy nhất khi có 1 nghiệm của (2) thoả mãn x m.Đặt

x - m = y

(2)  2y2 + 2my + m2 - 1 = 0 (3)

Tìm m để (3) có 1 nghiệm thoả mãn y0 ; có 3 trường hợp:

- Nếu (3) có nghiệm kép không âm

- Nếu (3) có 2 nghiệm trái dấu P < 0  - 1 < m < 1

- Nếu (3) có 1 nghiệm bằng 0 ; nghiệm còn lại âm P = 0 , S < 0 

m = 1

Vậy m = - 2 hoặc - 1 < m  1

* Bài toán áp dụng: Tìm m để phương trình x(x + 2)(x + 4)(x –

2) = m (1) có 4 nghiệm phân biệt

Đáp án để GV đối chiếu với bài làm của học sinh:

0 9

0 16

C - KẾT LUẬN Sau một thời gian thực hiện đề tài“Hướng dẫn học sinh lớp 9 làm một số dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn” sự tiến bộ và

lòng say mê học toán của các em học sinh đã thể hiện rõ, kết quả đạtđược như sau:

1 VỀ MẶT KIẾN THỨC:

Nhìn chung các em học sinh đã biết làm các bài toán vềphương trình bậc hai một ẩn, đã biết vận dụng rất linh hoạt nhữngkiến thức về phương trình bậc hai đã học trong Chương IV - Sáchgiáo khoa đại số lớp 9 để làm một số bài toán có liên quan