Phương trình lượng giácDạng I - Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 1... Dạng III - Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác1.. Các bước giải một phương trình l
Trang 1HUỲNH ĐỨC KHÁNH
Phương trình LƯỢNG GIÁC
QUY NHƠN - 2012
Trang 2Mục lục
Phần 1 : Các công thức cơ bản : trang 2
Phần 2 : Các công thức liên hệ : trang 3 → 4
Phần 3 : 5 Dạng phương trình lượng giác cơ bản : trang 5 → 9
Phần 5 : Đề thi Đại học 2002 → 2012 : trang 13 → 27
Phần 6 : 100 Đề thi thử trên toàn quốc : trang 28 → 53
Huỳnh Đức Khánh - duckhanh0205@gmail.com - 0975.120.189
Trang 3Phần 1 Các công thức cơ bản
1 Hệ thức cơ bản giữa các hàm số lượng giác
tan x = sin x
cos x
1cos2x = 1 + tan
2x
cot x = cos x
sin x
1sin2x = 1 + cot
2x
2 Hai cung đối nhau x và −x
3 Hai cung bù nhau x và π − x
4 Hai cung phụ nhau x và π
2 − x
sinπ
2 − x= cot xcosπ
2 − x= tan x
5 Hai cung hơn kém nhau π
6 Hai cung hơn kém nhau π
Trang 4Phần 2 Các công thức liên hệ
1 Công thức cộng
sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a tan (a ± b) = tan a ± tan b
1 ∓ tan a tan bsin (a − b) = sin a cos b − sin b cos a
cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b cot (a ± b) = cot a cot b ∓ 1
cot a ± cot bcos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b
2 Công thức nhân đôi
1 − tan2acos 2a = cos2a − sin2a = 2cos2a − 1 = 1 − 2sin2a cot 2a =cot
Trang 55 Công thức chia đôi
= 2 tan
a 2
=1 − tan
2 a 2
7 Công thức biến đổi tổng thành tích
sin a + sin b = 2 sina + b
2 cos
a − b
sin (a ± b)sin a sin b
sin a − sin b = 2 cosa + b
2 sin
a − b2
cos a + cos b = 2 cosa + b
2 cos
a − b
sin (b ± a)sin a sin b
cos a − cos b = −2 sina + b
2 sin
a − b2
Trang 6Phần 3 Phương trình lượng giác
Dạng I - Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
1 Phương trình bậc nhất đối với sin x
2; ±
√2
2 ; ±
√3
2 ; ±1
) Khi đó phương trình trở thành
2; ±
√2
2 ; ±
√3
2 ; ±1
) Khi đó phương trình trở thành
+ k2π
x = π − arcsin
−ba
+ k2π
2; ±
√2
2 ; ±
√3
2 ; ±1
) Khi đó phương trình trở thành
2; ±
√2
2 ; ±
√3
2 ; ±1
) Khi đó phương trình trở thành
+ k2π
x = − arccos
−ba
+ k2π
, k ∈ Z
Trang 73 Phương trình bậc nhất đối với tan x
3; ±1; ±
√3
Khi đó phương trình trở thành
3; ±1; ±
√3
Khi đó phương trình trở thành
tan x = −b
a ⇔ x = arctan
−ba
+ kπ, k ∈ Z
Công thức nghiệm đặc biệt
5) 2 sin2x −π
3
Trang 8
Dạng II - Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
a sin x + b cos x = c
• Điều kiện để phương trình có nghiệm : c2≤ a2+ b2
• Chia hai vế phương trình cho√a2+ b2 ta đựợc phương trình
5) 3 sin x − 4 cos x = 3 6) 3 sin x − 4 cos x = 4
7) 3 sin x − 4 cos x = 0 8) 4 cos x + 3 sin x = 0
9)√
3 sin 3x + cos 3x = 2 cos 2x 10)√
3 cos 3x − sin 3x = 2 sin 2x11)√
3 cosx + π
2
+ sinx −π
Trang 9Dạng III - Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
1 Phương trình bậc hai đối với sin x
a sin2x + b sin x + c = 0 (a 6= 0)Cách giải
• Nếu a + b + c = 0 Kết luận phương trình ⇔
"
sin x = 1sin x = c
a
• Nếu a − b + c = 0 Kết luận phương trình ⇔
"
sin x = −1sin x = −c
a
• Nếu a ± b + c 6= 0 Ta đặt t = sin x, do −1 ≤ sin x ≤ 1 nên điều kiện −1 ≤ t ≤ 1 Khi đó ta đượcphương trình
at2+ bt + c = 0giải phương trình bậc hai theo t và chọn t, thay t = sin x để tìm x
2 Phương trình bậc hai đối với cos x
a cos2x + b cos x + c = 0 (a 6= 0)Cách giải
• Nếu a + b + c = 0 Kết luận phương trình ⇔
"
cos x = 1cos x = c
a
• Nếu a − b + c = 0 Kết luận phương trình ⇔
"
cos x = −1cos x = −c
a
• Nếu a ± b + c 6= 0 Ta đặt t = cos x, do −1 ≤ cos x ≤ 1 nên điều kiện −1 ≤ t ≤ 1 Khi đó ta đượcphương trình
at2+ bt + c = 0giải phương trình bậc hai theo t và chọn t, thay t = cos x để tìm x
3 Phương trình bậc hai đối với tan x
a tan2x + b tan x + c = 0 (a 6= 0)Cách giải Giải như phương trình chứa sin x hoặc chứa cos x
3 − x− 3√2 cosπ
3 − x+ 2 = 03) tan2x − 1 +√
3 tan x +√3 = 0 4) 3tan2x
2 −π3
− 4√3 tanx
2 −π3
+ 3 = 0
Trang 10Dạng IV - Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x
a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0
• Kiểm tra cos x = 0 có là nghiệm của phương trình không ?
• Khi cos x 6= 0, chia hai vế phương trình cho cos2x, ta thu được phương trình
a tan2x + b tan x + c = 0
Chú ý Dạng a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = d ta làm như sau
asin2x + b sin x cos x + ccos2x = d
⇔ asin2x + b sin x cos x + ccos2x = d sin2x + cos2x
⇔ (a − d) sin2x + b sin x cos x + (c − d) cos2x = 0
Bài tập rèn luyện
Giải các phương trình lượng giác sau :
1) sin2x − √
3 + 1 sin x cos x +√3 cos2x = 0 2) sin2x − √
3 + 1 sin x cos x +√3 cos2x = 13) sin2x − √
3 + 1 sin x cos x +√3 cos2x =√
3 4) sin2x − √
3 + 1 sin x cos x +√3 cos2x = −25) sin2x− √
3 + 1 sin x cos x+ √3 + 1 cos2x = −1 6) 3sin2x + 5cos2x − 2 cos 2x − 4 sin 2x = 0
Dạng V - Phương trình đối xứng giữa sin x và cos x
a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c = 0
• Đặt t = (sin x + cos x) =√2 sinx + π
4
Vì −1 ≤ sinx + π
• Giải phương trình bậc hai theo t và chọn t, thay t =√2 sinx −π
2 (sin x + cos x) − 2 sin x cos x − 4 = 0 2) 1 +√
3 (sin x + cos x) − sin 2x − 1 +√3 = 03)√
2 (sin x + cos x) − 2 sin 2x − 2 = 0 4) cos3x +√
3 sin x cos x + sin3x = 0
5) (3 − cos 4x) (sin x − cos x) = 2 6) cos x + 1
cos x+ sin x +
1sin x =
103
Trang 11Phần 4 Một vài thủ thuật
1 Các bước giải một phương trình lượng giác
• Bước 1 Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa (nếu có) Các phương trình có chứa căn, có mẫu
số, có tan hoặc cot thì cần có điều kiện
• Bước 2 Sử dụng các phép biến đổi để đưa phương trình về 1 trong 5 dạng cơ bản
• Bước 3 Giải và đối chiếu chọn nghiệm phù hợp
• Bước 4 Kết luận nghiệm
2 Các phương pháp giải phương trình lượng giác
• Phương pháp 1 Biến đổi đưa về dạng cơ bản
• Phương pháp 2 Biến đổi phương trình về dạng tích : A.B = 0 ⇔
2 + cos
x2
Ví dụ 2 (Biến đổi về dạng tích) Giải phương trình sau:
cos3x + sin3x + 2sin2x = 1
Lời giải Phương trình đã cho
⇔ cos3x + sin3x = 1 − 2sin2x
⇔ cos3x + sin3x = cos 2x
⇔ cos3x + sin3x = cos2x − sin2x
⇔ (cos x + sin x) (1 − sin x cos x) = (cos x − sin x) (cos x + sin x)
Trang 12Ví dụ 3 (Biến đổi về dạng tổng hai bình phương) Giải phương trình sau:
Lời giải Phương trình đã cho
⇔ sin2010x + cos2010x = sin2x + cos2x
⇔ sin2x sin2008x − 1 = cos2x 1 − cos2008x (*)
Ta có
(sin2x ≥ 0sin2008x ≤ 1 ⇒ sin2x sin2008x − 1 ≤ 0, ∀xvà
(cos2x ≥ 0cos2008x ≤ 1 ⇒ cos2x 1 − cos2008x ≥ 0, ∀x
Do đó phương trình (*) ⇔
(sin2x sin2008x − 1 = 0cos2x 1 − cos2008x = 0 ⇔ x =
kπ
2 , k ∈ Z
4 Các nguyên tắc chung để giải phương trình
1 Biến đổi Phân tích thành phương trình tích theo nguyên tắc
2xcos2x=
2xcos2x =
1 − t2
t2
cos 3x = 4cos3x − 3 cos x = 4t3− 3t
Trang 135 Một số công thức đặc biệt
1) sin2x = (1 − cos x) (1 + cos x) 2) cos2x = (1 − sin x) (1 + sin x)
3) cos 2x = (cos x − sin x) (cos x + sin x) 4) 1 + sin 2x = (sin x + cos x)2
5) 1 − sin 2x = (sin x − cos x)2 6) 1 + cos 2x + sin 2x = 2 cos x (sin x + cos x)
7) 1 − cos 2x + sin 2x = 2 sin x (sin x + cos x) 8) 1 + tan x = sin x + cos x
15) cot a ± cot b = sin (b ± a)
cos (a − b)cos a sin b
17) tan a − cot b = − cos (a + b)
cos a sin b 18) tan a + cot a =
2sin 2a
19) cot a − tan a = 2 cot 2a 20) 1 + tan a tan b = cos (a − b)
cos a cos b
6 Đường tròn lượng giác
Trang 14Phần 5 Các đề thi Đại học
Bài 1 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình :
5
sin x + cos 3x + sin 3x
1 + 2 sin 2x
= cos 2x + 3
Chính thức khối A năm 2002Hướng dẫn • Điều kiện : sin x 6= −1
• Khi đó với điều kiện trên phương trình
5 cos x = cos 2x + 3 ⇔ 2cos2x − 5 cos x + 2 = 0
⇔
" cos x = 2 (loại)cos x =1
3 và x2=
5π
3 .Bài 2 Giải phương trình : 2 sin x + cos x + 1
sin x − 2 cos x + 3 =
1
3.
Dự bị 1 khối A năm 2002Hướng dẫn • Phương trình đã cho
⇔ 3 (2 sin x + cos x + 1) = sin x − 2 cos x + 3
Dự bị 2 khối A năm 2002
Hướng dẫn • Điều kiện :(cos x 6= 0
cosx
2 6= 0 .
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ tan x + cos x − cos2x = sin x 1
cos x ⇔ cos2x − cos x = 0
Bài 4 Giải phương trình : sin23x − cos24x = sin25x − cos26x
Chính thức khối B năm 2002Hướng dẫn • Phương trình đã cho
⇔ cos 6x − cos 8x = cos 12x − cos 10x
⇔ 2 sin 7x sin x = −2 sin 11x sin x
⇔ sin x (sin 7x + sin 11x) = 0
Trang 15Bài 5 Giải phương trình : tan4x + 1 = 2 − sin
22x sin 3xcos4x .
Dự bị 1 khối B năm 2002Hướng dẫn • Điều kiện : cos x 6= 0
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ sin
4x + cos4xcos4x =
2 − sin22x sin 3xcos4x ⇔ sin4x + cos4x = 2 − sin22x sin 3x
⇔ 1 − 2sin2xcos2x = 2 − sin22x sin 3x ⇔ 1 − 1
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ sin
4x + cos4x
5 sin 2x =
12
cos 2xsin 2x− 1
8 sin 2x ⇔ 8 sin4x + cos4x = 20 cos 2x − 5
Bài 7 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình :
cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0
Chính thức khối D năm 2002Hướng dẫn • Phương trình đã cho
⇔ 4cos3x − 3 cos x − 4 2cos2x − 1 + 3 cos x − 4 = 0 ⇔ 4cos3x − 8cos2x = 0
Bài 8 Giải phương trình :
r18cos2x= sin x.
Dự bị 1 khối D năm 2002Hướng dẫn • Điều kiện : cos x 6= 0
• Với điều kiện trên phương trình
2x ⇔
(sin x ≥ 0
1 = 8cos2xsin2x
⇔
(sin x ≥ 0
√22
Bài 9 Giải phương trình : cot x − 1 = cos 2x
Trang 16
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ cos x − sin x
sin x =
cos x cos2x − sin2xcos x + sin x + sin x (sin x − cos x)
⇔ cos x − sin x = sin x cos x (cos x − sin x) + sin2x (sin x − cos x)
⇔ (cos x − sin x) 1 − sin x cos x + sin2x = 0
⇔ (cos x − sin x) sin2x − sin x cos x + cos2x = 0
Bài 10 Giải phương trình : cos 2x + cos x 2tan2x − 1 = 2
Dự bị 1 khối A năm 2003Hướng dẫn • Điều kiện : cos x 6= 0
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ 2cos2x − 1 + cos x 2sin
2
x − cos2xcos2x
= 2 ⇔ cos x 2cos2x − 1 + 2 − 3cos2x = 2 cos x
⇔ 2cos3x − 3cos2x − 3 cos x + 2 = 0 ⇔ (cos x + 1) 2cos2x − 5 cos x + 2 = 0
Bài 11 Giải phương trình : 3 − tan x (tan x + 2 sin x) + 6 cos x = 0
Dự bị 2 khối A năm 2003Hướng dẫn • Điều kiện : cos x 6= 0
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ 3cos2x − sin x (sin x + 2 sin x cos x) + 6cos3x = 0
⇔ 3cos2x − sin2x − 2sin2x cos x + 6cos3x = 0
⇔ 3cos2x − 1 − cos2x − 2 1 − cos2x cos x + 6cos3x = 0
⇔ 8cos3x + 4cos2x − 2 cos x − 1 = 0
⇔ (2 cos x + 1) 4cos2x − 1 = 0
Bài 12 Giải phương trình : cot x − tan x + 4 sin 2x = 2
sin 2x.
Chính thức khối B năm 2003Hướng dẫn • Điều kiện : sin 2x 6= 0
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ cos x
sin x −sin x
cos x + 4 sin 2x =
1sin x cos x ⇔ cos2x − sin2x + 4 sin x cos x sin 2x = 1
⇔ cos 2x + 2sin22x = 1 ⇔ 2cos22x − cos 2x − 1 = 0
Bài 13 Giải phương trình : 3 cos 4x − 8cos6x + 2cos2x + 3 = 0
Dự bị 1 khối B năm 2003Hướng dẫn • Phương trình đã cho
⇔ 3 2cos22x − 1 − 8cos6x + 2cos2x + 3 = 0 ⇔ 6cos22x − 8cos6x + 2cos2x = 0
⇔ 6 2cos2x − 12− 8cos6x + 2cos2x = 0 ⇔ −8cos6x + 24cos4x − 22cos2x + 6 = 0
Bài 14 Giải phương trình :
2 −√3 cos x − 2sin2x
2 −π4
2 cos x − 1 = 1.
Dự bị 2 khối B năm 2003Hướng dẫn • Điều kiện : cos x 6= 1
Trang 17Bài 15 Giải phương trình : sin2x
2 −π4
tan2x − cos2x
2 = 0.
Chính thức khối D năm 2003Hướng dẫn • Điều kiện : cos x 6= 0
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ 1 − cos2x − (1 + sin x) (1 − cos x) = 0
⇔ (1 − cos x) [(1 + cos x) − (1 + sin x)] = 0
⇔ (1 − cos x) (cos x − sin x) = 0
Bài 16 Giải phương trình : cos
2x (cos x − 1)sin x + cos x = 2 (1 + sin x).
Dự bị 1 khối D năm 2003Hướng dẫn • Điều kiện : sin x + cos x 6= 0
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ (cos x − sin x) (cos x − 1) = 2 (1 + sin x)
⇔ cos2x − cos x − sin x cos x − sin x − 2 = 0
⇔ cos2x − cos x − 2 − (sin x cos x + sin x) = 0
⇔ (cos x + 1) (cos x − 2) − sin x (cos x + 1) = 0
⇔ (cos x + 1) (cos x − sin x − 2) = 0
Bài 17 Giải phương trình : cot x = tan x + 2 cos 4x
sin 2x .
Dự bị 2 khối D năm 2003Hướng dẫn • Điều kiện : sin 2x 6= 0
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ cos xsin x =
sin xcos x +
cos 4xsin x cos x ⇔ cos2x = sin2x + cos 4x
⇔ cos2x − sin2x = cos 4x ⇔ cos 2x = cos 4x
Bài 18 Giải phương trình : 4 sin3x + cos3x = cos x + 3 sin x
Dự bị 1 khối A năm 2004Hướng dẫn • Phương trình đã cho
⇔ cos x 1 − 4cos2x + sin x 3 − 4sin2x = 0
⇔ cos x 1 − 4cos2x + sin x 4cos2x − 1 = 0
⇔ 1 − 4cos2x (cos x + sin x) = 0
Bài19 Giải phương trình : √
1 − sin x +√
1 − cos x = 1
Dự bị 2 khối A năm 2004Hướng dẫn • Phương trình đã cho
⇔ 1 − sin x + 2p(1 − sin x) (1 − cos x) + 1 − cos x = 1
⇔ 1 − (sin x + cos x) + 2p1 − (sin x + cos x) + sin x cos x = 0
Trang 18Bài 20 Giải phương trình : 5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x) tan2x.
Chính thức khối B năm 2004Hướng dẫn • Điều kiện : cos x 6= 0
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ 5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x) sin
2x
1 − sin2x ⇔ 5 sin x − 2 = 3sin
2x
1 + sin x
⇔ (5 sin x − 2) (1 + sin x) = 3sin2x ⇔ 2sin2x + 3 sin x − 2 = 0
Bài 21 Giải phương trình : 2√
Dự bị 1 khối B năm 2004Hướng dẫn • Điều kiện : sin 2x 6= 0
• Với điều kiện trên phương trình
= 0 ⇔ (cos x − sin x) (sin 2x + 1) = 0
Bài 22 Giải phương trình : sin 4x sin 7x = cos 3x cos 6x
Dự bị 2 khối B năm 2004Hướng dẫn • Phương trình đã cho
⇔ (2 cos x − 1) (2 sin x + cos x) = sin x (2 cos x − 1)
⇔ (2 cos x − 1) (2 sin x + cos x − sin x) = 0
⇔ (2 cos x − 1) (sin x + cos x) = 0
Bài 24 Giải phương trình : 2 sin x cos 2x + sin 2x cos x = sin 4x cos x
Dự bị 1 khối D năm 2004Hướng dẫn • Phương trình đã cho
⇔ 2 sin x cos 2x + 2 sin xcos2x = 2 sin 2x cos 2x
⇔ 2 sin x cos 2x + cos2x − 2 cos x cos 2x = 0
⇔ 2 sin x2cos2x − 1 + cos2x − 2 cos x 2cos2x − 1 = 0
⇔ 2 sin x −4cos3x + 3cos2x + 2 cos x − 1 = 0
Bài 25 Giải phương trình : sin x + sin 2x =√
3 (cos x + cos 2x)
Dự bị 2 khối D năm 2004Hướng dẫn • Phương trình đã cho
Trang 19Bài 26 Giải phương trình : cos23x cos 2x − cos2x = 0.
Chính thức khối A năm 2005Hướng dẫn • Phương trình đã cho
⇔ 1 + cos 6x
2
cos 2x − 1 + cos 2x
2 = 0 ⇔ cos 6x cos 2x − 1 = 0
⇔ 4cos32x − 3 cos 2x cos 2x − 1 = 0 ⇔ 4cos42x − 3cos22x − 1 = 0
Bài 27 Giải phương trình : 2√
⇔ h√2 cosx − π
4
i3
− 3 cos x − sin x = 0
⇔ (sin x + cos x)3− 3 cos x − sin x = 0
⇔ sin3x + 3sin2x cos x + 3 sin xcos2x + cos3x − 3 cos x − sin x = 0
⇔
(cos x = 0sin3x − sin x = 0hoặc
(cos x 6= 0tan3x + 3 tan x + 3 tan x + 1 − 3 1 + tan2x − tan x 1 + tan2x = 0
⇔ cos x = 0 hoặc
(cos x 6= 0tan x = 1 .
Bài 28 Giải phương trình : tan 3π
2 − x
+ sin x
1 + cos x = 2.
Dự bị 2 khối A năm 2005Hướng dẫn • Điều kiện : cos 3π
2 − x
6= 0 ⇔ − sin x 6= 0 ⇔ sin x 6= 0
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ (1 + sin 2x) + (sin x + cos x) + cos 2x = 0
⇔ (sin x + cos x)2+ (sin x + cos x) + cos2x − sin2x = 0
⇔ (sin x + cos x) [(sin x + cos x) + 1 + (cos x − sin x)] = 0
⇔ (sin x + cos x) (2 cos x + 1) = 0
Bài 30 Giải phương trình : sin 2x + cos 2x + 3 sin x − cos x − 2 = 0
Dự bị 1 khối B năm 2005Hướng dẫn • Phương trình đã cho
⇔ (sin 2x − cos x) + (cos 2x + 3 sin x − 2) = 0
⇔ (sin 2x − cos x) + −2sin2x + 3 sin x − 1 = 0
⇔ cos x (2 sin x − 1) − (sin x − 1) (2 sin x − 1) = 0
⇔ (2 sin x − 1) (cos x − sin x + 1) = 0
Trang 20Bài 31 Giải phương trình : 4sin2x
2 −√3 cos 2x = 1 + 2cos2
x −3π4
Dự bị 2 khối B năm 2005Hướng dẫn • Phương trình đã cho
⇔ 1 − 2sin2xcos2x + 1
2
hsin4x −π
2
+ sin 2xi−3
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ sin x cos 2x + cos2x sin2x − cos2x
cos2x
+ 2sin3x = 0
⇔ sin x cos 2x + sin2x − cos2x + 2sin3
x = 0
⇔ sin x cos 2x − cos 2x + 2sin3x = 0
⇔ sin x 1 − 2sin2x − 1 − 2sin2x + 2sin3x = 0
2 + x
6= 0 ⇔ − sin x 6= 0 ⇔ sin x 6= 0
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ − cot x − 3tan2x = −2sin2x
cos2x ⇔ − cot x − 3tan2x = −2tan2x
⇔ − cot x − tan2x = 0 ⇔ tan3x = 1
Trang 21Bài 35 Giải phương trình : 2 cos
6x + sin6x − sin x cos x
√
2 − 2 sin x = 0.
Chính thức khối A năm 2006Hướng dẫn • Điều kiện : sin x 6=
√2
2 .
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ 2 cos6x + sin6x − sin x cos x
⇔ 2h cos2x + sin2x3− 3cos2xsin2x cos2x + sin2x − sin x cos x = 0
Dự bị 1 khối A năm 2006Hướng dẫn • Phương trình đã cho
⇔ cos 3x4cos3x − sin 3x4sin3x = 2 + 3
√22
⇔ cos 3x (cos 3x + 3 cos x) − sin 3x (3 sin x − sin 3x) = 2 + 3
√22
⇔ cos23x + sin23x + 3 (cos 3x cos x − sin 3x sin x) =2 + 3
√22
⇔ cos 3x cos x − sin 3x sin x =
√22
⇔ cos 4x =
√2
2 .Bài 37 Giải phương trình : 2 sin 2x −π6 + 4 sin x + 1 = 0
Dự bị 2 khối A năm 2006Hướng dẫn • Phương trình đã cho
⇔ 2sin 2x cosπ
6 − sinπ
6 cos 2x
+ 4 sin x + 1 = 0
⇔ √3 sin 2x − cos 2x + 4 sin x + 1 = 0
⇔ √3 sin 2x + 2sin2x + 4 sin x = 0
⇔ cos2x + sin2x = 4 sin x cos x ⇔ sin 2x = 1
2.
Trang 22Bài 39 Giải phương trình : 2sin2x − 1 tan22x + 3 2cos2x − 1 = 0.
Dự bị 1 khối B năm 2006Hướng dẫn • Điều kiện : cos 2x 6= 0
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ 2sin2x − 1 sin
2
2xcos22x + 3 2cos
⇔ cos2x − sin2x + (1 + 2 cos x) (sin x − cos x) = 0
⇔ (cos x − sin x) [(cos x − sin x) − (1 + 2 cos x)] = 0
⇔ (cos x − sin x) (− cos x − sin x − 1) = 0
Bài 41 Giải phương trình : cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0
Chính thức khối D năm 2006Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành
⇔ 4cos3x − 3 cos x + 2cos2x − 1 − cos x − 1 = 0
⇔ 4cos3x + 2cos2x − 4 cos x − 2 = 0
⇔ cos2x − 1 (4 cos x + 2) = 0
Bài 42 Giải phương trình : cos3x + sin3x + 2sin2x = 1
Dự bị 1 khối D năm 2006Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành
⇔ (cos x + sin x)3− 3 cos x sin x (cos x + sin x) = 1 − 2sin2x
⇔ (cos x + sin x)3− 3 cos x sin x (cos x + sin x) = cos2x − sin2x
⇔ (cos x + sin x)h(cos x + sin x)2− 3 cos x sin x − (cos x − sin x)i= 0
⇔ (cos x + sin x) [1 − cos x sin x − (cos x − sin x)] = 0
Bài 43 Giải phương trình : 4sin3x + 4sin2x + 3 sin 2x + 6 cos x = 0
Dự bị 2 khối D năm 2006Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành
⇔ 4sin3x + 4sin2x + (3 sin 2x + 6 cos x) = 0 ⇔ 4sin2x (sin x + 1) + 6 cos x (sin x + 1) = 0
⇔ (sin x + 1) 4sin2x + 6 cos x = 0 ⇔ (sin x + 1) −4cos2x + 6 cos x + 4 = 0.Bài 44 Giải phương trình : 1 + sin2x cos x + 1 + cos2x sin x = 1 + sin 2x
Chính thức khối A năm 2007Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành
⇔ cos x + sin2x cos x + sin x + cos2x sin x = (sin x + cos x)2
⇔ cos x + sin x + sin x cos x (cos x + sin x) = (sin x + cos x)2
⇔ (cos x + sin x) [1 + sin x cos x − (sin x + cos x)] = 0
Trang 23Bài 45 Giải phương trình : sin 2x + sin x − 1
2 sin x − 1
sin 2x= 2 cot 2x.
Dự bị 1 khối A năm 2007Hướng dẫn • Điều kiện : sin 2x 6= 0
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ sin22x + sin 2x sin x − cos x − 1 = 2 cos 2x
⇔ sin22x − 1 + (sin 2x sin x − cos x) − 2 cos 2x = 0
⇔ −cos22x + cos x 2sin2x − 1 − 2 cos 2x = 0
⇔ −cos22x − cos x cos 2x − 2 cos 2x = 0
⇔ − cos 2x (cos 2x + cos x + 2) = 0
⇔ cos 2x 2cos2x + cos x + 1 = 0
Bài 46 Giải phương trình : 2cos2x + 2√
3 sin x cos x + 1 = 3 sin x +√
3 cos x
Dự bị 2 khối A năm 2007Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành
⇔ sin 7x − sin x = 1 − 2sin22x
⇔ 2 cos 4x sin 3x = cos 4x
⇔ cos 4x (2 sin 3x − 1) = 0
Bài 48 Giải phương trình : sin 5x
2 −π4
− cosx
2 −π4
⇔ sin 5x
2 −π4
=√
2 cos3x2
⇔ sin 5x
2 −π4
− sin 3π
4 −x2
=√
2 cos3x2
⇔ 2 cosx + π
4
sin 3x
2 −π2
=√
2 cos3x2
⇔ −2 cosx +π
4
cos3x
2 =
√
2 cos3x2
Trang 24Bài 49 Giải phương trình : sin 2x
cos x +
cos 2xsin x = tan x − cot x.
Dự bị 2 khối B năm 2007Hướng dẫn • Điều kiện :
(sin x 6= 0cos x 6= 0 ⇔ sin 2x 6= 0
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ sin 2x sin xcos x sin x +
cos x cos 2xcos x sin x =
sin xcos x−cos x
2
+√
3 cos x = 2
Chính thức khối D năm 2007Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành
Dự bị 1 khối D năm 2007Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành
⇔ √2hsin2x − π
12
− sin π12
Dự bị 2 khối D năm 2007Hướng dẫn • Điều kiện : cos x 6= 0
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ cos x − sin x
cos x
(sin x + cos x)2= cos x + sin x
cos x
⇔ (cos x + sin x) [(cos x − sin x) (sin x + cos x) − 1] = 0
⇔ (cos x + sin x) (cos 2x − 1) = 0
Bài 53 Giải phương trình : 1
sin x +
1sin
x − 3π2
= 4 sin
7π
4 − x
Chính thức khối A năm 2008Hướng dẫn • Điều kiện :
sin x 6= 0sin
x − 3π2
6= 0 ⇔
(sin x 6= 0cos x 6= 0 .
• Với điều kiện trên phương trình
sin x +
1cos x = −2
Trang 25Bài 54 Giải phương trình : tan x = cot x + 4cos22x.
Dự bị 1 khối A năm 2008Hướng dẫn • Điều kiện :
(sin x 6= 0cos x 6= 0 ⇔ sin 2x 6= 0
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ sin x
cos x =
cos xsin x + 4cos
22x ⇔ sin2x = cos2x + 4 sin x cos xcos22x
⇔ cos2x − sin2x + 4 sin x cos xcos22x = 0 ⇔ cos 2x + 2 sin 2xcos22x = 0
⇔ cos 2x (1 + 2 sin 2x cos 2x) = 0 ⇔ cos 2x (1 + sin 4x) = 0
Bài 55 Giải phương trình : sin2x −π
√2
2 .
Dự bị 2 khối A năm 2008Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành
⇔ sin 2x − (cos 2x + 1) − sin x + cos x = 0 ⇔ sin 2x − 2cos2x − sin x + cos x = 0
⇔ 2 cos x (sin x − cos x) − (sin x − cos x) = 0 ⇔ (sin x − cos x) (2 cos x − 1) = 0
Bài 56 Giải phương trình : sin3x −√
3cos3x = sin xcos2x −√
3sin2x cos x
Chính thức khối B năm 2008Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành
⇔ 3 sin x + cos 2x + sin 2x = 2 sin x (1 + cos x)
⇔ 3 sin x + cos 2x + sin 2x = 2 sin x + sin 2x
⇔ sin x + cos 2x = 0
⇔ −2sin2x + sin x + 1 = 0
Trang 26Bài 59 Giải phương trình : 2 sin x (1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x.
Chính thức khối D năm 2008Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành
⇔ 2 sin x2cos2x + sin 2x = 1 + 2 cos x
⇔ sin 2x (2 cos x + 1) = 1 + 2 cos x
⇔ (2 cos x + 1) (sin 2x − 1) = 0
Bài 60 Giải phương trình : 4 sin4x + cos4x + cos 4x + sin 2x = 0
Dự bị 1 khối D năm 2008Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành
⇔ 4 1 − sin2xcos2x + cos 4x + sin 2x = 0
⇔ −4sin22x + sin 2x + 5 = 0
Bài 61 Giải phương trình : (1 − 2 sin x) cos x
(1 + 2 sin x) (1 − sin x) =
√3
Chính thức khối A năm 2009Hướng dẫn • Điều kiện :
sin x 6= 1sin x 6= −1
2
• Với điều kiện trên phương trình
3 cos 3x = 2 cos 4x + sin3x
Chính thức khối B năm 2009Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành
⇔ sin x + cos x sin 2x +√
3 cos 3x = 2 cos 4x + 2sin3x
⇔ sin x − 2sin3x + cos x sin 2x +√3 cos 3x = 2 cos 4x
⇔ sin x 1 − 2sin2x + cos x sin 2x +√3 cos 3x = 2 cos 4x
⇔ sin x cos 2x + cos x sin 2x +√
3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0
Chính thức khối D năm 2009Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành
⇔ √3 cos 5x − (sin 5x + sin x) − sin x = 0
⇔ √3 cos 5x − sin 5x = 2 sin x
⇔ sinπ
3 − 5x= sin x
Trang 27Bài 64 Giải phương trình :
(1 + sin x + cos 2x) sinx + π
(cos x 6= 0tan x 6= −1 .
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ (1 + sin x + cos 2x) (sin x + cos x) = cos x + sin x
⇔ (1 + sin x + cos 2x) (sin x + cos x) = cos x + sin x
⇔ (sin x + cos x) (1 + sin x + cos 2x − 1) = 0
⇔ (sin x + cos x) (sin x + cos 2x) = 0
Bài 65 Giải phương trình : (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0
Chính thức khối B năm 2010Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành
⇔ sin 2x cos x + cos 2x cos x + 2 cos 2x − sin x = 0
⇔ 2 sin xcos2x − sin x + cos 2x (cos x + 2) = 0
⇔ sin x 2cos2x − 1 + cos 2x (cos x + 2) = 0
⇔ (cos x + 2) (sin x + cos 2x) = 0
Bài 66 Giải phương trình : sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0
Chính thức khối D năm 2010Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành
⇔ (sin 2x − cos x) − (cos 2x − 3 sin x + 1) = 0
⇔ cos x (2 sin x − 1) − −2sin2x − 3 sin x + 2 = 0
⇔ cos x (2 sin x − 1) + (sin x + 2) (2 sin x − 1) = 0
⇔ (2 sin x − 1) (cos x + sin x + 2) = 0
Bài 67 Giải phương trình : 1 + sin 2x + cos 2x
1 + cot2x =
√
2 sin x sin 2x
Chính thức khối A năm 2011Hướng dẫn • Điều kiện : sin x 6= 0
• Với điều kiện trên phương trình
⇔ 2 sin xcos2x + sin x cos x = 2cos2x − 1 + sin x + cos x
⇔ sin x cos x (2 cos x + 1) = cos x (2 cos x + 1) − 1 + sin x
⇔ cos x (2 cos x + 1) (sin x − 1) = −1 + sin x
⇔ (sin x − 1) [cos x (2 cos x + 1) − 1] = 0
⇔ (sin x − 1) 2cos2x + cos x − 1 = 0