(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh phân tích tìm phương pháp giải phù hợp cho các bài toán max, min về môđun số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT THIỆU HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH TÌM PHƯƠNG PHÁP GIẢIPHÙ HỢP CHO BÀI TOÁN MAX, MIN VỀ MÔĐUN SỐ PHỨC Người thực h

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH TÌM PHƯƠNG PHÁP GIẢIPHÙ HỢP CHO BÀI TOÁN MAX, MIN VỀ MÔĐUN SỐ PHỨC

Người thực hiện: Lê Văn Thượng

Mục lục

1 MỞ ĐẦU Trang 31.1 Lí do chọn đề tài Trang 31.2 Mục đích nghiên cứu Trang 31.3 Đối tượng nghiên cứu Trang 31.4 Phương pháp nghiên cứu Trang 41.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm Trang 4

2 NỘI DUNG Trang 52.1 Cơ sở lí luận Trang 52.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến Trang 62.3 Giải pháp thực hiện Trang 62.3.1 Phương pháp phân tích chung Trang 62.3.2 Phương pháp hình học tìm max, min môđun số phức Trang 102.3.3 Phương pháp đại số tìm max, min môđun số phức Trang 162.3.4 Phương pháp giải tích tìm max, min môđun số phức Trang 172.3.5 Bài tập tổng hợp Trang 182.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Trang 20

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 22

Tài liệu tham khảo Trang 24

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình sách giáo khoa giải tích 12 ở chương IV (chương số

phức) đã xây dựng khái niệm số phức một cách khá cơ bản và nhẹ nhàng Tuynhiên với tình hình đổi mới thi trắc nghiệm như hiện nay số phức đã được khaithác khá sâu, trong đề thi tốt nghiệp THPT đã xuất hiện các câu hỏi về số phức ởmức vận dụng, vận dụng cao Một trong những dạng toán được hỏi nhiều đó làcác bài toán max, min về môđun số phức

Để giải được các bài toán này học sinh cần có các kiến thức cơ bản về bấtđẳng thức, về hàm số và hình học Đặc biệt là hình học, bằng cách đặt tương ứngmỗi số phức với mỗi điểm trên mặt phẳng tọa độ, ta thấy giữa Đại số và Hìnhhọc có mối liên hệ với nhau khá "gần gũi" Hơn nữa nhiều bài toán số phức, khichuyển sang hình học, từ những con số khá trừu tượng, bài toán đã được minhhọa một cách rất trực quan, sinh động và cũng giải được bằng hình học vớiphương pháp rất đẹp Đặc biệt, trong kỳ thi TN THPT, việc sử dụng phươngpháp hình học để giải quyết các bài toán về số phức là một trong những phươngpháp khá hay và hiệu quả đối với bài toán max, min môđun số phức Hơn nữa,với những bài toán hình học theo phương pháp trắc nghiệm, nếu khi biểu diễnđược trên giấy thì qua hình ảnh minh họa, ta có thể lựa chọn đáp án một cách dễdàng

Qua thực tiễn giảng dạy số phức và đặc biệt ôn tập cho hoc sinh thi tốtnghiệp THPT tôi nhận thấy nhiều học sinh còn lúng túng chưa có hướng giải bàitoán max, min về môđun số phức vì vậy bản thân tôi luôn trăn trở cần tìmphương pháp hướng dẫn học sinh phân tích, tìm lời giải cho lớp bài toán này

Qua nhiều năm giảng dạy, học hỏi các đồng nghiệp cùng tìm hiểu các tàiliệu trên mạng bản thân đã đúc kết thành kinh nghiệm hướng dẫn học sinh phântích tìm lời giải cho bài toán max, min về môđun số phức bằng phương pháphình học, đại số và giải tích

1.2 Mục đích

Mục đích nghiên cứu của SKKN giúp học sinh phân tích bài toán max,min môđun số phức để nhanh chóng đưa ra lời giải phù hợp chó từng bài toán cụthể Để giải quyết tốt các bài toán này, yêu cầu học sinh cần nắm vững mối liên

hệ giữa số phức với hình học phẳng, hình học giải tích trong mặt phẳng, các kiếnthức về bất đẳng thức, về hàm số

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Các tập hợp điểm biểu diễn hình học của số phức: Đường thẳng, đoạnthẳng, đường tròn, đường elíp

- Các bất đẳng thức và tính chất bất đẳng thức cùng với các kiến thức vềhàm số

- Giải bài toán max, min môđun số phức từ phương diện hình học, đại số,giải tích.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

-Kết hợp linh hoạt các phương pháp hình học, đại số và giải tích để giảiquyết bài toán về max, min môđun số phức

-Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh

-Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải

quyết các bài toán max, min trước và sau khi được học phương pháp phân tíchnày

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán max, min dưới các khía cạnh củahình học, đại số và giải tích Từ đó giúp học sinh có cái nhìn tổng quan bài toánmax, min về môđun số phức Trên cơ sở đó khi đứng trước một bài toán max,min về môđun số phức học sinh có thể nhanh tróng đưa ra được phương phápgiải phù hợp, tìm được kết quả nhanh nhất

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

2.1.1 Những kiến thức cơ bản (Do giới hạn sáng kiến nên không trình bày trong bài viết này)

2.1.2 Những tập hợp điểm phổ biến

M t s quỹ tích nên nh ột số quỹ tích nên nhớ ố quỹ tích nên nhớ ớ

Biểu thức liên hệ x y, Quỹ tích điểm M

ax by c  0 (1) hoặc z a bi   z c di (2) (1)Đường thẳng :axby c 0

(2) Đường trung trực đoạn ABvới

F c F c , tâm O(0;0) là tâm đối xứng

2.1.4 Các kiến thức về hàm số và lượng giác ( Do giới hạn của sáng kiến nên không trình bày trong bài viết này)

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua thực tiễn giảng dạy, ôn tập cho hoc sinh thi TN THPT tôi nhận thấyđứng trước bài toán max, min về môđun số phức nhiều em chưa có hướng giảivới lý do đây là phần kiến thức phức hợp yêu cầu học sinh phải nắm vững cáckhái niệm về số phức, đặc biệt mối liên hệ giữa số phức với hình học Ngoài racác em còn phải có kiến thức về bất đẳng thức, kiến thức về hàm số

2.3 HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN MAX, MIN VỀ MÔĐUN SỐ PHỨC

2.3.1 Phương pháp phân tích chung:

Bước 1 Tìm mối liên hệ giữa phần thực và phần ảo của số phức z Đây cũng

là quá trình tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện bài toán

Bước 2 Phân tích bài toán để tìm phương pháp giải phù hợp:

- Chuyển bài toán về bài toán hình học, sử dụng các khoảng cách hình học để tìm max, min.

- Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá.

- Sử dụng khảo sát hàm số để đánh giá.

- Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để đánh giá.

Bài toán 1 Cho số phức z thỏa mãn w ( z 3 )(i z 1 3 )i là số thực Tìm z saocho z đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải

Gọi z x yi x y R  ( ,  ), khi đó:

2 2

w (  z  3 i z)(   1 3 )i x y  4x 4y  6 2(x y  4)i là số thực khi x y  4 0.Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng (d): x y  4 0, từ đó

ta có các cách giải bài toán

Bài toán 2 Cho số phức z thỏa mãn z 1 3i    z 1 i Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa z 3 2 i

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải

Gọi z x yi x y R  ( ,  ), khi đó: z 1 3i     z 1 i x y  2 0

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng ( ) : x y  2 0, từ đó

ta có các cách giải bài toán

Cách 3 (Phương pháp lượng giác hóa)

Đặt x 2 5 sin , t y 4 5 cost Khi đó

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải

Gọi M x y( ; ) biểu diễn z x yi  thỏa mãn z1 z 1 4 Ta có tập hợp M là

đường elip có phương trình

Cách 3 (Phương pháp lượng giác hóa)

Đặt x2sin , t y 3 cost Khi đó z2 x2y2 4sin2t3cos3t 3 sin2t

Do 0 sin 2t 1 3x2y2 4 3z 2

Vậy zmin  3  z 3i , zmax   2 z 2

Trên đây là phương pháp chung khi phân tích tìm lời giải cho một bài toán max, min môđun số phức

Tuy nhiên không phải bài toán nào cũng có thể giải bằng nhiều cách khác nhau nói trên, mà tùy từng bài học sinh cần tìm phương pháp giải phù hợp Sau đây là các bài tập với phương pháp giải phù hợp cho đặc điểm bài toán đó.

2.3.2 Phương pháp hình học

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.

Bài toán 1 Cho số phức z thỏa mãn z a bi  z , tìm z Min

Ta có quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OAvới A a b ; 

Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di . Khi đó ta biến đổi

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải

Gọi M x y( ; ) là điểm biểu diễn số phức z Ta có z  z 2i  y  1 0

suy ra biểu

diễn hình học của số phức z thỏa mãn giả thiết là đường thẳng y  1 0 Xétđiểm A(0;1) và B(4;0) thìP z i  z 4 MA MB . Dễ thấy A B, cùng phía vớiđường thẳng y  1 0 nên MA MB nhỏ nhất bằng BAtrong đó A'(0; 3) đốixứng với Aqua đường thẳng y  1 0

B

A'

M

Gọi A là điểm biểu diễn số phức z , E2;1 ,  D4;7 và N1; 1  

Ta có: AE A D   z 2 i  z 4 7 i 6 2 và ED 6 2 nên ta có A thuộc đoạn thẳng ED Gọi H là hình chiếu của N lên ED, ta có

Vậy

5 273

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn của z x iy 

N

D

A

Theo hình vẽ, minP d A  ,, với : x y  hay 2

maxP AE  2 4 2 5, với E0; 2  Vậy M m 2 2 5

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.

Bài toán 6 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi   R 0 z z 0 R

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải

Ta có tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z  3 2  2 là đườngtròn có tâm I(3 2;0), bán kính r  2

Tập hợp điểm N biểu diễn số phức w thỏa mãn w 4 2i 2 2 là đường tròn

có tâm J(0;4 2) , bán kính R 2 2

Khi đó z w MN

Ta có: IM MN NJ  IJ  MN IJ MI NJ   IJ r R 

Suy ra minMN 2 2 khi , , , I M N J thẳng hàng và , M N nằm giữa ,IJ

Bài toán 8 Xét số phức z thỏa mãn z 2 2 i 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 i  z 5 2 i

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải

Nhận thấy, điểm A nằm trong đường tròn ( ) C còn điểm B nằm ngoài đường

tròn ( )C , mà MA MB AB   17 Pmin  17 khi M là giao điểm của đoạn

AB với ( ) C

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.

Bài toán 9 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c  z c 2 ,a a c   Tìmmax, min

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải

Gọi M a b ;  là điểm biểu diễn số phức z a bi a b   ,   thỏa mãn

Ta có: z 6  a 62 b2 IM , với I6;0 suy ra z 6max IA11 khi điểm M A5;0 z 5.

Bài toán 11 Cho hai số phức z và   a bi thỏa mãn z 5  z 5 6

và 5a 4b 20 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của z 

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải

Đường thẳng d song song với  có dạng 5x 4y c 0, (c20) Đường

thẳng d tiếp xúc với ( ) E khi và chỉ khi

5 9 ( 4) 4 289

17

c c

2.3.3 Phương pháp đại số

Bài toán 1 Cho số phức z thỏa mãn

14

z z

Bài toán 2 Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn nhất M , giá trị nhỏ

Bài toán 3 Cho số phức z  thỏa mãn 0

3 3

12

z z

Tìm giá trị lớn nhất củabiểu thức

Hàm số liên tục trên  1;1 và với x  1;1 ta có:

x 

,

45

y 

Bài toán 2 Cho số phức z thoả mãn z  Gọi 1 M và m lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đặt t z z  do z 1 nên điều kiện t   2; 2.

M 

tại

7 4

t

và m  3 tại t 2.Vậy

 2 2 2 2   2 

Dấu bằngxảy ra khi

y 

Do đó P 2(2 3) 4 2 3  Vậy P  min 4 2 3 khi

013

x y

2.4 Hiệu quả sau khi thực hiện sáng kiên.

Trên đây là phương pháp phân tích tìm lời giải cho các bài toán

dạy ở lớp 12G có 46 học sinh, 12A có 41 học sinh (hai lớp khối A) và ôn tập cho

học sinh cuối khóa năm học 2020-2021 tại trường THPT Thiệu Hóa

Trước khi dạy các phương pháp trên tôi đã cho học sinh làm một bài kiểmtra thu được kết quả như sau:

Điểm Điểm dưới 5 Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Sáng kiên kinh nghiệm của tôi được viết ra từ thực tiễn giảng dạy nhiều năm lớp 12 Tôi đã theo dõi và rút kinh nghiệm từ năm học 2016-2017 Năm học 2020-2021 tôi tiến hành áp dụng và khảo sát khi được giảng dạy hai lớp 12A và 12G Kết quả khảo sát cho thấy hiệu quả của phương pháp mà tôi trình bày trong sáng kiên là rất cao.

Do giới hạn của một sáng kiến nên còn nhiều vấn đề chưa được ở rộng và trình bày trong bài viết này.

Sáng kiến của tôi tuy chỉ đề cập một vấn đề của số phức, nhưng nó lại là vấn đề khá phổ biến trong các đề ôn luyện thi TN THPT và là vấn đề còn gây khó khăn cho nhiều học sinh Chính vì vậy đề tài của tôi được đồng nghiệp đánh giá cao và đưa vào áp dụng giảng dạy.

3.2 Kiến nghị

Trong chương trình toán phổ thông, bài toán số phức nói chung và bài toán max, min về mô đun số phức nói riêng là bài toán mới và học sinh chỉ được học ở cuối lớp 12 thời gian tìm hiểu về loại toán này ít Hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi tiếp cận với bài toán max, min môđun số phức Để giúp học sinh biết cách phân tích tìm lời giải đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều dạng toán khác nhau tôi xin nêu một số giải pháp đề nghị sau:

Bước 1: Hệ thống hóa các kiến thức các khái niệm cơ bản của số phức, mối liên

hệ của số phức với hình học, biểu diễn hình học của số phức và các kiến thức về bất đẳng thức, bất đẳng thức về môđun số phức, các kiến thức về hàm số

Bước 2: Hướng dẫn học sinh biết cách phân tích tìm lời giải các bài toán cơ

bản điển hình vể các dạng toán max, min môđun số phức.

Bước 3: Giúp các em rèn luyện kĩ năng phân tích, vận dụng các kiến thức hình

học, đại số và giải tích một cách linh hoạt từ đó tìm lơì giải phù hợp cho các bài toán, đặc biệt các bài toán tổng hợp và nâng cao Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng bài toán.

Trên đây là một số ý kiến nhỏ của tôi qua quá trình giảng dạy các bài toán max, min môđun số phức ở lớp 12 THPT và hướng dẫn học sinh cuối khóa ôn tập Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các đọc giả Xin chân thành cảm ơn

Sáng kiến kinh nghiệm tôi trình bày ở trên là ý tưởng hình thành trong quá trình giảng dạy và trải nghiệm thực tế, qua kết quả học tập của học sinh, tôi cam đoan là sáng kiến kinh nghiệm này do cá nhân tự nghiên cứu Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Thiệu Hóa, ngày 24 tháng 5 năm 2022

Tác giả

Lê Văn Thượng

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA

CHỦ TỊCH

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa, sách bài tập toán lớp 12- Nhà xuất bản Giáo dục

2 Bài tập dại số và giải tích 12 nâng cao – Nhà xuất bản Giáo dục

3 Đề thi Đại học các năm – Bộ giáo dục và Đào tạo

4 Phân loại phương pháp giải toán Đại số Tổ hợp Số phức - NXB Đại họcQuốc gia Hà nội – Th S Lê Thị Hương, Th S Nguyễn Kiếm, Th S Hồ XuânThắng

5 18 chủ đề giải tích 12- Nhóm biên soạn sách bỗ trợ giáo dục OLYMPIC, chủbiên: Nguyễn Tất Thu- Nguyễn Văn Dũng

6 Tài liêu trên mạng: Chuyên đề cực trị số phức

Danh mục sáng kiến đã đạt giải do Sở GD&ĐT đánh giá và xếp loại:

1 Ứng dụng đạo hàm giải và biện luận phương trình, bất phương trình và

hệ phương trình - Được hội đồng khoa học ngành đánh giá xếp loại B Năm

học 2010 – 2011.

2 Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán xác suất từ đó vận dụng hai quy

tắc đếm cơ bản và các quy tắc tính xác suất để tìm xác suất - Được hội đồng khoa học ngành đánh giá xếp loại C Năm học 2014 – 2015.