Kinh nghiệm đổi biến số trong bài toán tính tích phân chứa hàm ẩn

Với những lí do như trên, từ thực tế giảngdạy, với kinh nghiệm thu được, tôi đã tiến hành thực hiện đề tài sáng kiến kinh nghiệm cho năm 2021 với nội dung “ Kinh nghiệm đổi biến số trong

MỤC LỤC

Nội dung Trang

1 MỞ ĐẦU……… 2

1.1 Lý do chọn đề tài………. 2

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu………. 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………. 3

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm………. 3

2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 5

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề……… 6

2.3.1.Dạng 1……… 6

2.3.2.Dạng 2 ……… 10

2.3.3.Dạng 3……… 14

2.3.4.Bài tập áp dụng……… 16

2.4 Hiệu quả sáng kiến đối với họat động dạy và học 18

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……… 19

1 Kết luận ……… 20

2 Kiến nghị ………. 20

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Đứng trước một bài toán, đặc biệt là bài toán khó người làm toán luôn đặt raphương hướng giải quyết Tuy nhiên đối với người ham mê toán còn đi tìm cáccách giải quyết khác nhau, nhất là tìm được cách giải hay ngắn gọn và mới lạ thì lạicàng kích thích tính tò mò, khám phá và lòng say mê môn học

Trong chương trình toán THPT (lớp 12) chúng ta thường gặp bài toán về tính tíchphân dạng hàm ẩn Đây là các dạng toán thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi

và đặc biệt là kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia

Có nhiều phương pháp để giải dạng bài toán này Với học sinh phổ thông việc sửdụng kỹ thuật đổi biến để đưa về những dạng công thức quen thuộc trong chươngtrình đã được học ở sách giáo khoa là dễ hiểu và thiết thực cho học sinh khi ứngdụng

Nhằm phát triển tư duy sáng tạo và giúp học sinh biết cách tìm tòi trong quá trìnhhọc toán đặc biệt với những em học khá, giỏi Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạycác đội tuyển học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh, ôn thi tốt nghiệp THPT tôi luônhướng cho các em tìm ra nhiều cách giải một bài toán, mục đích là nhằm phát triển

tư duy sáng tạo và kỹ năng làm toán Với những lí do như trên, từ thực tế giảngdạy, với kinh nghiệm thu được, tôi đã tiến hành thực hiện đề tài sáng kiến kinh

nghiệm cho năm 2021 với nội dung “ Kinh nghiệm đổi biến số trong bài toán

tính tích phân chứa hàm ẩn ”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Với việc nghiên cứu đề tài “ Kinh nghiệm đổi biến số trong bài toán tính tích

phân chứa hàm ẩn ” sẽ giúp học sinh, đặc biệt là đối tượng học sinh học ở mức độ

khá, giỏi có thể tính tích phân một cách nhanh hơn, mới lạ hơn và sáng tạo hơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến là áp dụng cho học sinh ở mức độ trung bìnhkhá trở lên lớp 12 -THPT Nga Sơn -Thanh Hóa Tất nhiên với từng đối tượng lớp

mà sẽ có những ví dụ minh họa hoặc các bài toán áp dụng sẽ là khác nhau

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Sáng kiến kinh nghiệm này được trình bày các dạng bài toán tiêu biểu thường gặp,

có ví dụ minh hoạ điển hình và một số bài tập áp dụng Qua đó mong muốn khai

thác thêm được cái hay cái đẹp của toán học và đồng thời góp phần tăng thêm kỹnăng giải toán cho học sinh.

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Trong chương trình toán lớp 12 học sinh đã được học về nguyên hàm, tích phântuy nhiên với dạng tích phân chứa hàm ẩn, học sinh thường coi đây là dạng toánkhó và mới lạ Tuy nhiên với việc đưa về một số dạng công thức quen thuộc họcsinh đã được học thì việc tính toán trở nên sẽ đơn giản hơn

Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 12 (cả cơ bản và nâng cao) đều dạyphương pháp đổi biến số để tính tích phân

Xin nhắc lại định nghĩa tích phân ( SGK Giải tích NC lớp 12 trang 148 mục 2) ,tínhchất cơ bản của tích phân (SGK Giải tích NC lớp 12 trang 151 mục 3 ) và phươngpháp đổi biến số (SGK Giải tích NC lớp 12 trang 158, 159 mục 1 ) là lý thuyết cơbản nhất để tính tích phân trong hàm ẩn

Người ta dùng kí hiệu F x( )b a để chỉ hiệu số F b( )  F a( ) Như vậy nếu Flà mộtnguyên hàm của f trên K thì ( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

Chú ý: Nếu F x ( ) f x( ) với mọi x K thì F x( ) f x dx( )

2.1.3 Phương pháp đổi biến số

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức sau đây

 Trong nhiều trường hợp việc tính tích phân

mới này đơn giản hơn

Cách 2.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Sau khi dạy xong phần phương pháp đổi biến số, để áp dụng tôi yêu cầu các emlàm ví dụ minh họa Tuy nhiên qua theo dõi các em làm, một số em không áp dụngphương pháp đã học mà sử dụng máy tính để tính và cho kết quả Điều đó đã khôngnắm bắt được khả năng hiểu bài và sự sáng tạo trong mỗi học sinh Vì thế, để thayđổi điều này trong một đợt ra đề thi thử, kỳ thi tốt nghiệp THPT cho học sinh cáclớp được phân công giảng dạy tại trường THPT Nga Sơn tôi đã ra bài toán sau:

Bài toán: Cho hàm số f x là hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn 2

*Kết qủa thu được

Khi chấm bài của các em tôi thấy phần lớn các em không làm được bài này Thực

ra đây là bài toán không khó, có chăng nó hơi “lạ”với các em vì đây là dạng hàm

ẩn Tuy nhiên nếu ta biết sử dụng phương pháp tối ưu mà cụ thể là đổi biến số phùhợp để tính thì bài toán trở nên đơn giản và quen thuộc, ta có lời giải như sau :

trong quá trình làm bài để chọn đáp án đúng Bài toán này cũng chính là dạng 2.3.3

trong phần các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề mà tôi sẽ trình bày dướiđây

Sau những năm trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá giỏi, học sinh dựthi học sinh giỏi trường, giỏi tỉnh, ôn thi tốt nghiệp THPT tôi đã đi tìm tòi các cách

giải phù hợp trong đó: “ Kinh nghiệm đổi biến số trong bài toán tính tích phân

chứa hàm ẩn ” là những phương pháp như thế và tôi đã mạnh dạn cải tiến phương

pháp, đồng thời áp dụng sáng kiến trong quá trình giảng dạy của mình tại trườngTHPT Nga Sơn Thanh Hoá

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Để làm sáng tỏ điều này tôi xin đưa ra 3 dạng toán cơ bản, 13 ví dụ điển hình từ

dễ đến khó và các bài tập áp dụng cho mỗi loại Cũng xin nói thêm là nhằm pháthuy tư duy, sáng tạo và kỹ năng giải toán cho học sinh, nên các bài toán minh hoạ

ra theo hình thức tự luận còn phần bài tập áp dụng ra theo hình thức trắc nghiệm,

để phù hợp với các kỳ thi hiện nay Cụ thể như sau :

2.3.1: Dạng 1 Cho hàm số f x hoặc tích phân của hàm số f x , ta tính tích phân chứa hàm ẩn

Ở dạng này từ việc cho hàm số f x  (cho bằng một hoặc nhiều công thức, chobằng đồ thị ) Ta phải tính tích phân của hàm ẩn  

là đề thi học sinh giỏi lớp 12 của các tỉnh trong cả nước

Bài 1 Cho hàm số f liên tục trên ¡ và  

Bài 2 Cho hàm số yf x  liên tục trên ¡ thỏa mãn  

Bài 4 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục trên¡ và có đồ thị hàm số yf x( )

như hình vẽ:

1 '(4 2) cosx '(x 2)

e

x x

e e

e e

Đặt ln 1 1 1

x x

Nhận xét: Qua 5 ví dụ trên ta thấy dù việc cho hàm số ở nhiều dạng khác nhau

( nhiều công thức, chứa trị tuyệt đối, đồ thị ) Nhờ việc đổi biến số thích hợp tađều dễ dàng tính được tích phân của hàm ẩn thông qua định nghĩa, tính chất củatích phân Đây là tình huống giúp học sinh chuyển từ cái mới lạ trở thành cái quenthuộc dễ hiểu và quan trọng hơn là phát huy được tư duy của học sinh và hạn chếvào máy tính để tính

2.3.2:Dạng 2 Cho tích phân hàm số chứa hàm ẩn, ta tính tích phân hàm số

f(x) hoặc tích phân hàm ẩn khác

Ở dạng này từ việc cho tích phân các hàm số chứa hàm ẩn, bằng cách sử dụngphương pháp đổi biến số và dùng các tính chất thích hợp của tích phân, ta tính đượctích phân ( )

Ta có 5 ví dụ minh hoạ sau:

Bài 6 Cho hàm số yf x  là hàm lẻ và liên tục trên  4; 4 biết  

( )

3

f x dx

3 d 5

x f x x

Ta tính được  

1 2 2 0

Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy nhờ việc đổi biến số ta đã chuyển từ việc cho

tích phân hàm ẩn, bằng cách sử dụng các tính chất quen thuộc ta đã chuyển về đượctích phân của hàm số f x  để tính Đây là tình huống giúp học sinh chuyển từ cáimới lạ trở thành cái quen thuộc dễ hiểu

2.3.3: Dạng 3 Cho mối liên hệ giữa hàm số f(x) và hàm số chứa hàm ẩn, ta tính tích phân hàm số f(x) hoặc tích phân hàm ẩn khác

Ở dạng này từ việc cho mối liên hệ của hàm số f x  và hàm ẩn của nó, sử dụngphương pháp đổi biến số ta sẽ tính được tích phân các hàm số f x  hoặc hàm ẩn

Để làm rõ điều này ta có 3 ví dụ minh hoạ dưới đây:

Bài 13 Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên 0;3 ; và f 3  x f x.    1,f x   1

với mọix 0;3 thoả mãn  0 1

.

d 1

1 1

( )

f x dx x

2 d

x x

2.4 Hiệu quả của sáng kiến đối với các hoạt động dạy và học

Nội dung sáng kiến này đã được trình bày tùy theo đối tượng ở các lớp 12 nhưng

chủ yếu dành cho các em học sinh khá giỏi Sự hứng thú và tự tin của học sinh đốivới việc học Toán, đặc biệt là loại toán về tích phân, thật sự được cải thiện, đã gópphần vào thành tích chung trong các kì thi của nhà trường các năm học qua

Sau nhiều năm được phân công trực tiếp giảng dạy các khối lớp 12, đặc biệt làcác đối tượng học sinh khá, giỏi ở trường THPT Nga Sơn –Thanh Hóa, tôi đã ápdụng sáng kiến này trong việc giảng dạy đại trà ở lớp, bồi dưỡng học sinh khá giỏi,

ôn thi tốt nghiệp THPT Từ đó tôi đã rút ra kết luận sau :

* Kết quả kiểm nghiệm trong quá trình giảng dạy cho các nhóm lớp:

( Lớp 12D, 12C ,12M trường THPT Nga Sơn Thanh Hoá)

Số học sinh làm được bài dạng này khi đã dạy phương pháp

Số lượng Phần trăm Số lưọng Phần trăm

* Bài học kinh nghiệm rút ra:

Sau một thời gian đưa vào sử dụng, bồi dưỡng học sinh tôi đã rút ra một số kinhnghiệm sau:

- Giáo viên phải nghiên cứu kỹ kiến thức sách giáo khoa, tài liệu tham khảo

- Lựa chọn đúng phương pháp giảng dạy bộ môn phù hợp với đối tượng học sinh

- Để áp dụng và làm tốt các bài tập cần cho học sinh nắm vững cơ sở lý thuyếtcủa vấn đề tránh được những thiếu sót và không chặt chẽ trong quá trình giải bàitập của học sinh

- Khi cho bài tập cần nâng cao dần về mức độ khó

- Sau mỗi bài tập cần chốt lại cái cơ bản của vấn đề và nhận xét nhằm lôi cuốnhọc sinh có lòng say mê học toán

3.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

1.Kết luận

Trên đây là sáng kiến của tôi trong quá trình trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học

sinh giỏi Sau nhiều năm tôi đã hệ thống thành chuyên đề về : “ Kinh nghiệm đổi

biến số trong bài toán tính tích phân chứa hàm ẩn ” Đây là phương pháp rất

hữu ích giúp học sinh biết chuyển bài toán từ lạ thành quen, từ tưởng như phức tạpthành bài toán đơn giản để giải quyết và đặc biệt làm cho học sinh cảm thấy hứngthú say mê và sáng tạo trong học tập Dạng toán này cũng là một chuyên đề quantrọng giúp cho giáo viên ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn luyện các đội tuyển học sinhgiỏi hàng năm

2 Kiến nghị

Mặc dù bản thân đã rất tâm huyết với đề tài, tuy vậy thời gian nghiên cứu còn hạnchế, bản thân kinh nghiệm chưa nhiều nên bài viết không tránh khỏi những thiếusót Mong được sự góp ý chân thành của quý Thầy Cô giáo

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hóa,ngày 15 tháng 5 năm 2021

Tôi xin cam đoan trên đây là SKKN củamình, không sao chép nội dung

người khác

Trịnh Văn Hoan

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Đại số và giải tích 12 nâng cao – Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)–NXB Giáo dục Việt Nam-Năm 2008.

2 Sách giáo khoa Đại số và giải tích 12 – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) –NXBGiáo dục Việt Nam-Năm 2008

3 Phương pháp tính tích phân – Nguyễn Hữu Ngọc (Chủ biên) –NXB Trẻ -Năm2002

4 Giải toán đại số và giải tích – Trần Thành Minh (Chủ biên) –NXB Giáo Dục Năm 2003

-5 Báo toán học và tuổi trẻ

6.Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân – Trần Phương – NXB Đạihọc Quốc gia Hà nội – Năm 2011

7 Đề thi thử THPT tốt nghiệp THPT của các Sở GDĐT Thanh Hoá (2018, 2021),Nam Định( 2021), Tp Hồ Chí Minh (2021) …

8 Đề thi chọn học sinh giỏi các tỉnh Nam Định, Quảng Nam, Bắc Giang, TháiBình…

9.Tham khảo trên Internet

DANH MỤC

CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP

CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Trịnh Văn Hoan

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Nga sơn

giá xếp loại

Kết quả đánh giá xếp loại

Năm học đánh giá xếp loại

1.

Phương pháp lượng giác hoá để giải các

phương trình vô tỷ.

Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh

2.

Phương pháp toạ độ để giải và biện luận

phương trình chứa tham số.

Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh

1.

3.

Sử dụng phương pháp toạ độ, để giải các

bài toán bất đẳng thức và giá trị lớn nhất,

nhỏ nhất.

Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh

2.

4.

- Hướng dẫn học sinh xác định số hạng

tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy

hồi, qua bài học cấp số cộng, cấp số nhân.

Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh

3.

5.

- Phương pháp tọa độ để tính khoảng cách

trong bài toán hình học không gian.

Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh

6.

- Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

qua một số bài toán về GTLN, GTNN và

BĐT bằng phương pháp toạ độ.

Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh

7.

- Phương pháp tìm giới hạn của dãy số

được cho bởi công thức truy hồi, qua việc

tìm số hạng tổng quát của dãy.

Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh