Bài 3 QUY ĐỒNG mẫu THỨC NHIỀU PHÂN THỨC

CHƯƠNG 2: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ BÀI 3: QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC Mục tiêu  Kiến thức + Xác định được nhân tử chung trong trường hợp có những nhân tử đối nhau và biết cách đổi dấu đ

CHƯƠNG 2: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ BÀI 3: QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC Mục tiêu

 Kiến thức

+ Xác định được nhân tử chung trong trường hợp có những nhân tử đối nhau và biết cách đổi dấu

để lập được mẫu thức chung

+ Vận dụng được quy trình quy đồng mẫu nhiều phân thức

+ Vận dụng được quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số, thứ tự thực hiện các phép

tính khi trong dãy có các phép cộng trừ, nhân, chia

 Kĩ năng

+ Biết cách nhận biết được những trường hợp cần đổi dấu và thành thạo việc đổi dấu để xuất hiện

nhân tử chung của tử và mẫu

+ Biết cách tìm nhân tử phụ và thành thạo bước nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử

phụ tương ứng để được những phân thức mới có mẫu thức chung

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, ta thực hiện

theo ba bước như sau:

- Bước 1 Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm

mẫu thức chung

 Phân tích mẫu thức của mỗi phân thức đã cho

thành nhân tử

 Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân

tử được chọn như sau

+ Thường chọn BCNN của các nhân tử bằng số

+ Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt

trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao

nhất

- Bước 2 Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức

- Bước 3 Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với

nhân tử phụ tương ứng

Ví dụ: Quy đồng mẫu thức hai phân thức

2

5

3 3

x A x



3 2

x B



  ta thực hiện như

sau:

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử, ta được

3x   3 3 x 1 x 1 ;x  3x  2 x 1 x 2

Suy ra MTC 3x 1x 1x 2 

Khi đó, ta có

2

5

;

x x x

A

x





2

.

x x x

B



II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức

Phương pháp giải

Bước 1 Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi

tìm mẫu thức chung

Bước 2 Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức

Bước 3 Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với

nhân tử phụ tương ứng

Ví dụ: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau

2

3x6 x 4

Hướng dẫn giải

Bước 1 Phân tích các mẫu thức thành nhân tử

3x 6 3 x2

2

x   x x

Suy ra mẫu thức chung (MTC) là

3 x2 x2

Bước 2 Nhân tử phụ của mẫu thức 3 x6 là

2

MTC

x

Nhân tử phụ của mẫu thức x24 là

2

3

MTC

Bước 3

;

x



2

 9 .

3 x 2 x 2



Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Quy đồng mẫu thức các phân thức sau

a) ;

12 30

x xy

8 12 24

xy yz xz

c) 1 ; 4

Hướng dẫn giải

a) MTC60

Nhân tử phụ của mẫu thức 12 là 60 5

MTC

Nhân tử phụ của mẫu thức 30 là 60 2

MTC

Khi đó, ta có .5 5 ;

x  x  x

xy  xy  xy

b) MTC24

Nhân tử phụ của mẫu thức 8 là 24 3

MTC

Nhân tử phụ của mẫu thức 12 là 24 2

MTC

Nhân tử phụ của mẫu thức 24 là 24 1

Khi đó, ta có: .3 3 ;

xy  xy  xy

;

.1

c) Rút gọn phân thức 4 1

8y 2y

6

Nhân tử phụ của mẫu thức 6x là 6

y

x  x 

Nhân tử phụ của mẫu thức 2y là 6 3

x

Khi đó, ta có 1 1.

d) Rút gọn phân thức 4 2 ;2

Nhân tử phụ của mẫu thức 3z là 6 2

xy

Nhân tử phụ của mẫu thức 2x là 6 3

yz

Nhân tử phụ của mẫu thức 2y là 6 3

xz

Khi đó, ta có

2 2

;

2 2

;

2 2

Bình luận: Ở câu c, d, ta rút gọn các phân thức trước khi tìm mẫu thức chung làm cho bài toán đơn giản hơn

Ví dụ 2 Tìm các phân thức mới bằng các phân thức đã cho và có chung mẫu thức

a) 2 4

4

x  x và

5

2x8 b) 2 1

2y 4y2 và 2

2

3y 3y

c) 22 6 ; 2 2

3 5

x

Hướng dẫn giải

a) Phân tích các mẫu thức thành nhân tử

2

x  xx x

2x 8 2 x4 Suy ra MTC2x x 4 

Nhân tử phụ của mẫu thức x24x là  

2

2

x x MTC



Nhân tử phụ của mẫu thức 2x8 là  

x x MTC

x



Do đó, ta có

2

;

Vậy các phân thức cần tìm là

8 

2x x4 và 2 5 4.

x

x x b) Phân tích các mẫu thức thành nhân tử

2y 4y 2 2 y 2y 1 2 y1 ;

2

3y 3y3y y1

MTC y y

Nhân tử phụ của mẫu thức 2y24y2 là  

2 2 2

3

y y MTC

y



Nhân tử phụ của mẫu thức 3y23y là  

2 2

y y MTC

y



Do đó, ta có

2

;

2

Vậy các phân thức cần tìm là

 2

3

y

 2

y

y y





c) Rút gọn các phân thức

2

;

x x



2

Suy ra MTC x 5

Do đó, ta có 22 6 2 ;

x

2

;

x

Vậy các phân thức cần tìm là 2 ; 1

x x và

3 5

x

Ví dụ 3 Đưa các phân thức sau về cùng mẫu thức

a) 114 2

7

36a b

b)

3

x

x x y

c) 3 2 ; ; 25 2

a a b a b

Hướng dẫn giải

a) MTC144a b4 3

Nhân tử phụ của mẫu thức 144a b là 4 2

4 3

144

b

Nhân tử phụ của mẫu thức 36a b là 2 3

4 3

2

144

4

a

Khi đó, ta có 114 2 11.4 2 114 3;

a b  a b b  a b

b) Rút gọn các phân thức

2

Suy ra MTCx x y

Nhân tử phụ của mẫu thức xy là  

MTC

x



Nhân tử phụ của mẫu thức x x y là

MTC



Khi đó, ta có

;

3 2

.1

x

c) Rút gọn phân thức 3ab2 3b

a  a

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử

aa

3a3b3 a b

2 2

a b  a b a b

Suy ra MTC3a a b  ab

Nhân tử phụ của mẫu thức a là 3      

a a b a b MTC

a b a b

Nhân tử phụ của mẫu thức 3a3b là   

3

a a b a b MTC

a a b

Nhân tử phụ của mẫu thức a2b2 là   

2 2

3

3

a a b a b MTC

a

2

;

;

2 2

Bình luận: Ở câu b, ta rút gọn các phân thức trước khi quy đồng làm cho bài toán đơn giản hơn

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1 Quy đồng mẫu thức các phân thức sau

a) 3 31 2; 2 14

b) 2 3 ; 25

b  b b  b

c) 34 ; 2 3 ; 2

x

x  x  x

Bài tập nâng cao

Câu 2 Quy đồng mẫu thức các phân thức sau

a) 3 3 2

2

x  x và

7

2x4 b) 23 3

x



2 3

x  x

c)

2

x



Dạng 2: Một số bài toán đố khác

Phương pháp giải

Sử dụng các phương pháp: Phân tích đa thức thành

nhân tử, chia đa thức, rút gọn, tìm mẫu thức chung,

quy đồng mẫu thức,… để giải một số bài toán đố

Ví dụ: Cho hai phân thức



Khi quy đồng mẫu thức, bạn Quang Hải chọn

3

MTCx x x còn bạn Tiến Dũng nói:

“Đơn giản, chọn MTC x 3” Đố em biết bạn nào chọn đúng?

Hướng dẫn giải

Cả hai bạn đều đúng, vì

- Bạn Quang Hải phân tích các mẫu thức thành nhân tử

x  x x x

x  xx x  x x x

MTCx x x

- Bạn Tiến Dũng thì rút gọn các phân thức đã cho trước khi tìm mẫu thức chung Tức là

;

2 3

x x





Suy ra MTC x 3

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho đa thức Ax32x2  x 2 và hai phân thức 2 2; 2



a) Chia đa thức A cho các mẫu thức 2 2

x  x  x từ đó suy ra có thể chọn đa

thứ A làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho

b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho

Hướng dẫn giải

a)

3

2 2

2

2 2

2 2 0

x

x x













3 2

2 2

1 2

2

2 0

x





 

 



 

Vì đa thức A chia hết cho các mẫu thức 2 2

x  x  x nên có thể chọn đa thức A

làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho

b) MTC A x32x2 x 2

Khi đó, nhân tử phụ tương ứng với mỗi mẫu thức bằng thương của phép chia đa

thức A cho từng mẫu thức đó

Do đó, ta có   

2

;

2

1

x x

Ví dụ 2 Cho hai phân thức

rằng có thể chọn đa thức 3 2

Bx  x  x làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho Hãy quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho

Hướng dẫn giải

x x



x x



Cách 1: Chia đa thức B cho từng mẫu thức    2

x x x 

x x x  x

3

2

2

3 4

3 12

3 12

0

x

x

x













3 2

2

2

2 6

0

x







Vì đa thức B chia hết cho các mẫu thức 2 2

x  x  x nên có thể chọn đa thức

Bx  x  x làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức

đã cho

Nhân tử phụ của mẫu thức x24 là 2 2 3

x

Nhân tử phụ của mẫu thức x2 x 6 là 2 2 2

x

Do đó, ta có

 2            

;

x x



x x



Cách 2 Phân tích đa thức B thành nhân tử

Bx  x  x  x  x  x x x  x

Suy ra đa thức B chia hết cho các mẫu thức x2x2 ; x2x3 nên có

thể chọn đa thức B làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã

cho

 2 2 3 

MTC x x x

Do đó

x x



x x



Bình luận:

- Trước khi quy đồng mẫu thức, ta luôn cần xem các phân thức có rút gọn được không

Cách 2 gọn gàng hơn, nhanh hơn cách

1

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1 Cho đa thức Ax45x24 và phân thức 2 2 ; 2

x

x  x x  x

a) Chia đa thức A cho các mẫu thức 2 2

x  x x  x từ đó suy ra có thể chọn đa thức A làm mẫu

thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho

b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho

Bài tập nâng cao

Câu 2 Cho hai phân thức

      Chứng minh rằng có thể chọn đa thức

2

4

M x  làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho Hãy quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho

ĐÁP ÁN BÀI 3 QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1

MTC x y Do đó, ta có

3

b) Phân tích các mẫu thức thành nhân tử

b  b  b b  b b b

MTC b b Do đó

2

b b



c) Phân tích các mẫu thức thành nhân tử 3    2 

x   x x  x

MTC x x  x

Do đó, ta có

;

3

;

x x x





2

2



Bài tập nâng cao

Câu 2

a) Phân tích các mẫu thức thành nhân tử

x  x x x

2x 4 2 x2

MTC x x

Nhân tử phụ của mẫu thức x32x2 là  

2

2

MTC



Nhân tử phụ của mẫu thức 2x4 là  

2

2

MTC

x



Do đó, ta có

;

2

x x



Phân tích các mẫu thức thành nhân tử

2

x  xx x

Suy ra MTCx x 3 

Nhân tử phụ của mẫu thức x3 là  3

x x MTC

x



Nhân tử phụ của mẫu thức x x 3 là  

2

3 1

x x MTC



Do đó, ta có



c) Rút gọn các phân thức

2

2

2

x x



2

MTC x

Nhân tử phụ của mẫu thức x2 là  2

2

2

x MTC

x



Nhân tử phụ của mẫu thức  2

2

2 2 2

2 1

x MTC



2 2

x

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1

a) Thực hiện phép chia đa thức A cho các mẫu thức x23x2;x23x2

4 2 2

2

2 2

0









A x  x x  x

Do đó A chia hết cho các mẫu thức 2 2

x  x x  x nên có thể chọn đa thức A làm mẫu thức chung

để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho

b) Quy đồng

Nhân tử phụ của mẫu thức x23x2 là 2 2 2 3 2

Nhân tử phụ của mẫu thức x23x2 là 2 2 2 3 2

2

;

x

Bài tập nâng cao

Câu 2

Rút gọn các phân thức

2

2 2

x



  2      2

2

x



Suy ra MTCx2x2 

M x   x x

Vậy có thể chọn đa thức M x2 4 làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho Quy đồng

Nhân tử phụ của mẫu thức x2 là  2 2

2

MTC

x

Nhân tử phụ của mẫu thức x2 là  2 2

2

MTC

x