BÀI 2 PT LƯỢNG GIÁC cơ bản

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN MỤC TIÊU Kiến thức: Nắm vững 4 phương trình lượng giác cơ bản và cách giải.. Biết áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản,

Trang 1

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

MỤC TIÊU

Kiến thức:

Nắm vững 4 phương trình lượng giác cơ bản và cách giải

Biết áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản,

Kỹ năng:

Vận dụng để giải những trường hợp mở rộng của 4 phương trình lượng giác cơ bản

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Phương trình sin x a

- Nếu a 1: Phương trình vô nghiệm

- Nếu a 1.Đặt asin hoặcasin0, phương trình tương đương với

2

2 360











 



  



Tổng quát:





Các trường hợp đặc biệt

2

2

sinx 0 x k(k )

2 Phương trình cos x a

- Nếu a 1:Phương trình vô nghiệm

- Nếu a 1.Đặt acoshoặc 0

cos

a  phương trình tương đương với



Tổng quát:

cos ( )f x cos ( )g x  f x( ) g x( )k2 ( k ).

Các trường hợp đặc biệt

2



3 Phương trình x a

Điều kiện cos x0.

Trang 2



Tổng quát:

tan ( )f x tan ( )g x  f x( )g x( )k(k ).

5 Phương trình cot xa

Điều kiện sin x0.



Tổng quát:

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1, Phương trình sin x a

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Giải phương trình 2sin 3 3

4

  

Hướng dẫn giải (1)

       

Trang 3

2

k



Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

2

k

  







  



     

Hướng dẫn giải

k k



             

  





Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

8 15

11

k k x

   









Ví dụ 3 Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình

2



Hướng dẫn giải

2

k

k





k

 

Vì x *nên9x *3k Ư (98) { 1; 2; 7; 14; 49; 98}.2       

Lại có

*

x

k

 



- Với k1 thì x12 (thỏa mãn3x4k )

- Với k 3 thì x4 (thỏa mãn3x4k)

- Với k 17 thì x12(không thỏa mãn 3x4k)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là x4;12 

Bài tập tự luyện dạng 1

Trang 4

Câu 1: Cho phương trình sin( ) 2,

1

m

m

 

 là tham số Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?

4

2

Câu 2: Phương trình sin 1

2

x có nghiệm thỏa mãn



  là

6

6

x

3

x  k  k

3

x

Câu 3: Số nghiệm của phương trình sin 2 0

1 cos

x

x 

 0 trên đoạn [0;3 ] là

Câu 4: Cho phương trình sin 2 9,

3

x

  là tham số Với giá trị nào của m thì phương trình vô nghiệm?

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1

Phương trình sin( ) 2

1

m x

m

 

 có nghĩa    x D ,m1

Ta có

2

1

1 sin( ) 1

2

1 ( 2) 1

m m x

m m





 

      

 



Giải (1) Ta có

1

2

m









m

Kết hợp nghiệm ta có 1

2

m 

Câu 2

Phương trình sin 1

2

x có nghĩa    x D

Do sin 1 nên sin 1 sin sin

5

k





Trang 5

Câu 3

Phương trình sin 2 0

1 cos

x

x 

 có nghĩa  1 cosx 0 cosx  1 x k2  D R\{ 2 }k 

x



Kết hợp với điều kiện ta có

(2 1)

2

k





  



Vậy phương trình có 5 nghiệm

Câu 4

Phương trình sin 2 9

3

x m

  có nghĩa    x D

3

x

             (vô lý)

Vậy phương trình vô nghiệm với m 

Dạng 2 Phương trình cos x b

Ví dụ 1 Giải phương trình 2cos 2 2 1 

6

  

Hướng dẫn giải

2 (1) cos 2

   

k







Vậy nghiệm của phương trình là 24 ( )

5 24

k

  











Ví dụ 2 Giải phương trình cos 2 sin 5 0  2

3

Hướng dẫn giải

Trang 6

2

k

k k





Vậy nghiệm của phương trình là  

2

k x

k k x

  







  



Ví dụ 3 Cho phương trình   2

1

m

m

 

 là tham số Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

Hướng dẫn giải

cos

1

m x

m

 

 có nghĩa    x D ,m1.

 

2

1

2

1

m m x

m m





 

      

 



Giải  1 Ta có

1

2

m









m

Kết hợp nghiệm ta có 1

2

Vậy với 1

2

m  thì phương trình đã cho có nghiệm

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Phương trình 2 cosx 20 có nghiệm là

A.

2 4

3

2 4

k

  







  



3 2 4

3 2 4

k

  











C.

5

2 4

5

2 4

k

  











2 4

2 4

k

  









  



Câu 2: Phương trình 2 cos 3 0

2

x  có nghiệm là

3

6

6

3

Câu 3: Phương trình cos 3 cos

15

có nghiệm là

Trang 7

15

x  k  k

k

k

k

Câu 4: Phương trình cos2 1

2

x có nghiệm là

x  k k

2

x   k k

2

x  k  k

2

x   k  k

Câu 5: Phương trình cos 2xcosx có cùng tập nghiệm với phương trình

A sin3 0

2

x

 B sinx1. C.sin 4x1. D sin 2x1.

Câu 6: Số nghiệm của phương 2 cos 1

3

  

  với 0 x 2 là

Câu 7: Phương trình sinh sin 5 cos 1

  có bao nhiêu họ nghiệm?

A 1 họ nghiệm B 4 họ nghiệm C 6 họ nghiệm D 2 họ nghiệm HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1

Phương trình 2 cosx 20 có nghĩa    x D

2

Do cos3 2 nên cos 2 cos cos3

3 2 4

3 2 4

k

  







Câu 2

Phương trình 2 cos 3 0

2

x

  có nghĩa    x D R

Do cos5 3

 

x

Câu 3

cos 3xcos12 có nghĩa    x D R

Do cos120 cos nên cos 3 cos120 cos 3 cos

Trang 8

2

2

k

k k





Câu 4

Phương trình 2 1

cos

2

x có nghĩa    x D R

Ta có 2

2 cos

cos

cos

2

x x

x









 





x  x     x  k  k

Kết hợp nghiệm ta được ( )

k

Câu 5

Phương trình cos 2xcosx có nghĩa    x D

Ta có

2

3

3

k









     



;

2

x   x  k  k

k

x  x  k    x   k

x  x  k    x  k k

Vậy phương trình sin3 0

2

x  có cùng tập nghiệm với phương trình cos 2xcosx

Câu 6

Phương trình 2 cos 1

3

  

  có nghĩa    x D

      

2 12 2

7

2 12

   



      

   



Do 0 2 nên 23 ; 17

Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn 0 x 2

Câu 7

Trang 9

Phương trình sin 5 cos 1

  có nghĩa    x D

Vì sin 1 nên sin 5 cos 1 sin 5 cos sin

5



 



1 cos

cos

1

cos

cos

7

cos

10

x

x

x











 



(vì  1 cosx1 )

1

3

    

10





Vậy phương trình có 6 họ nghiệm

Dạng 3 Phương trình tanxm.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Giải phương trình 3 tan 5 3 1 

4

  

Hướng dẫn giải

k

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là , 

Ví dụ 2 Giải phương trình tan 2 cot  2

4

  

Hướng dẫn giải

sin 0

k

k

x



k

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là , 

k

Trang 10

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1: Nghiệm của phương trình  0

tan x15 1 với 900  x 2700 là

A x2100. B x1350 C x600. D x1200

Câu 2: Phương trình 3 tanx 3 0 có nghiệm là

3

x  k k

3

x   k  k

6

x  k k

3

x   k k

Câu 3: Phương trình tan2x3 có nghiệm là

3

x   k k

3

x   k k

3

x  k k

Câu 4: Nghiệm của phương trình tan tan

5

  trong khoảng ;

2

 

  là

A.4

5



3



5



5



Câu 5: Phương trình tan sin 4 3



  có bao nhiêu họ nghiệm?

A 2 họ nghiệm B 6 họ nghiệm C.Vô nghiệm D 4 họ nghiệm

Câu 6: Phương trình lượng giác 2 tan 2 2 0



   

2

x  k k

3

x   k k

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1

90  x 270 90 30 k.180 270    k 1 x 210

Câu 2

Phương trình 3 tan x 3 0 có nghĩa cos 0 \

 

Ta có 3 tanx  3 0 tanx  3 tan tan ( )

x     x  k k

Câu 3

Phương trình 2

 

Ta có tan2 3 tan 3

x x

x

  

 

x  x    x  k k

Trang 11

3

   

Câu 4

Phương trình tan tan

5

 

2

  nên 4

5

Câu 5

Phương trình xác định với x   D

3



Với k0 thì 4 arc tan 3 4 1 sin 4 1

Với k 1 thì 4 arc tan 3 4 1 sin 4 1

       (vô lí)

Vậy đã cho phương trình vô nghiệm

Câu 6

Phương trình 2 tan 2 2 0



   

       

Dạng 4 Phương trình cot xn

Ví dụ mẫu

  

Hướng dẫn giải

k

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là , 

Trang 12

     

Hướng dẫn giải

Điều kiện

18

18

x







            

          

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 5  

18

x   k k

Bài tập tự luyện dạng 4

Câu 1: Phương trình 3cotx 30 có nghiệm là

6

x  k k

3

x  k k

3

x  k  k

4

   

  là tham số Với giá trị nào của m thì phương trình trên

vô nghiệm?

A.m 2. B   2 m 2.

Câu 3: Phương trình cot cot 2x x 1 0 có nghiệm là

4

x  k k

5

6

k

  







  



6

x  k k

x  k k

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1

Phương trình 3cotx 30 có nghĩa sinx  0 x k  D \{k}(k )

x   x  x    x  k k

Trang 13

Câu 2

Tập giá trị cot 3

4

  nên với m phương trình luôn có nghiệm

Vậy không tồn tại giá trị m để phương trình vô nghiệm

Câu 3

Phương trình cotxcot 2x 1 0 có nghĩa sin 0

x



Tập xác định \

2

k

 

Ta có cot cot 2 1 cos cos 2 1

sin sin 2

2 2

1

2sin

x

1

sin sin sin

1 4

x x













Nếu

2 6 sin sin

5 6

2 6

x



  



  



Nếu

2 6 sin sin

7 6

2 6

x





  





  



Kết hợp nghiệm ta có 6 ( )

5 6

k

  







  

