Một số vấn đề về hệ động lực rời rạc

Hệ động lực liên các dòng có thể thu được từ nghiệm của phương trình vi phân, trong khi một hệ động lực rời rạc có thể thu được bằng cách tác động liên tục một ánh xạ nghĩa là cáchlấy hà

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

KHOA TOÁN

————o0o————

LUẬN VĂN THẠC SĨ

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Giảng viên hướng dẫn: TS HUỲNH MINH HIỀN

Học viên: PHẠM THỊ THIÊN NGALớp: Toán giải tích K22

QUY NHƠN, 7/2021

Lời nói đầu

Hệ động lực là một lĩnh vực rất quan trọng của toán học hiện đại và cónhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa học khác, đặc biệt là trong Vật

lý, Cơ học, Sinh học, , và nhiều ứng dụng trong thực tế như các hệ điềukhiển tự động hóa, robot,

Hệ động lực có hai loại, phụ thuộc vào biến thời gian, gồm hệ động lựcliên tục và hệ động lực rời rạc Hệ động lực liên (các dòng) có thể thu được

từ nghiệm của phương trình vi phân, trong khi một hệ động lực rời rạc

có thể thu được bằng cách tác động liên tục một ánh xạ (nghĩa là cáchlấy hàm hợp), tập thời gian của hệ động lực rời rạc là tập các số tự nhiên

N = {1, 2, } hoặc các số nguyên Z = { , −2, −1, 0, 1, 2, }

Trong chương trình Thạc sĩ Toán Giải tích, học viên không được học

về lý thuyết hệ động lực Để tìm hiểu bước đầu về lý thuyết hệ động lực,chúng tôi chọn đề tài ‘Một số vấn đề về hệ động lực rời rạc’ để nghiên cứu.Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu một số ví dụ kinh điển của lớp

hệ động lực rời rạc, bao gồm ánh xạ nhân đôi, ánh xạ baker và các tự đẳngcấu trên xuyến T2 Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu tính chất các điểmtuần hoàn, thông qua một công cụ đắc lực là động lực học ký tự và tínhliên hợp Tuy nhiên, trong khuôn khổ của đề tài luận văn thạc sỹ, mụcđích của đề tài là làm quen, đọc hiểu và làm rõ các kết quả đã có trongcác tài liệu liên quan

Luận văn ‘Một số vấn đề về hệ động lực rời rạc’ gồm có bốn chương,

cụ thể như sau:

Chương 1.Trong chương này chúng tôi chuẩn bị một số kiến thức vềxuyến, ánh xạ dịch chuyển và giới thiệu khái niệm ‘hệ động lực rời rạc’cùng với các tính liên hợp, tự liên hợp.

Chương 2 Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa, các tínhchất của ánh xạ nhân đôi, xây dựng động lực học ký hiệu cho ánh xạ này,tính liên hợp, nửa liên hợp của ánh xạ nhân đôi với ánh xạ dịch chuyển vàcác quỹ đạo tuần hoàn của ánh xạ này

Chương 3 Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa, các tínhchất của ánh xạ baker, xây dựng động lực học ký hiệu cho ánh xạ này,tính liên hợp, nửa liên hợp của ánh xạ baker với các ánh xạ khác và đồngthời trình bày mối liên hệ giữa ánh xạ nhân đôi và ánh xạ baker

Chương 4 Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa, các tínhchất về các điểm tuần hoàn của các tự đẳng cấu trên xuyến T2; xây dựngđộng lực học ký tự và nghiên cứu các điểm tuần hoàn của một tự đẳngcấu hyperbolic cụ thể

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Quy Nhơn và KhoaToán đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận vănnày Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Huỳnh MinhHiền Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy, thầy

đã trực tiếp chỉ bảo, hướng dẫn chúng tôi trong suốt thời gian qua Cảm

ơn thầy đã dạy dỗ tận tình, tạo điều kiện để chúng tôi hoàn thành luậnvăn này

Nhân dịp này tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý Thầy,

Cô trong Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn đã dày công giảng dạytrong suốt 2 năm qua và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luậnvăn này

Mặc dù có tôi đã cố gắng và nỗ lực trong quá trình hoàn thành luận

văn, nhưng chắc chắn luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót Tôi rất mong nhậnđược sự góp ý của quý Thầy, Cô và các bạn để luận văn được hoàn thiệnhơn.

Bình Định, tháng 8 năm 2021Học viên thực hiện

Phạm Thị Thiên Nga

Mục lục

1.1 Xuyến 2

1.1.1 Xuyến 1 chiều 2

1.1.2 Xuyến 2 chiều 3

1.2 Ánh xạ dịch chuyển 4

1.3 Tính liên hợp giữa các hệ động lực rời rạc 6

1.3.1 Hệ động lực rời rạc 6

1.3.2 Tính liên hợp, nửa liên hợp 7

2 ÁNH XẠ NHÂN ĐÔI 9 2.1 Khái niệm 9

2.2 Động lực học ký tự và tính nửa liên hợp 10

2.2.1 Khai triển nhị phân 10

2.2.2 Xây dựng động lực học ký tự 12

2.2.3 Tính nửa liên hợp 15

3 ÁNH XẠ BAKER 21 3.1 Khái niệm 21

3.2 Động lực học ký tự 23

3.3 Tính liên hợp 26

4.1 Tự đẳng cấu trên xuyến T2 294.2 Điểm tuần hoàn 304.3 Động lực học ký tự và tính nửa liên hợp 33

T1 = R/Z

là tập các lớp tương đương của x ∈ R modulo Z Định nghĩa một cáchchính xác hơn, hai điểm x và y trong R được gọi là tương đương, ký hiệu

x ∼ y nếu và chỉ nếu x − y ∈Z (1.1)Khi đó

x = a + k

Do đó x ∼ a và

T1 = R/ ∼= [0, 1)/ ∼

Xét hình tròn đơn vị, kí hiệu S1:

S1 = (x, y) : x2 + y2 = 1 ⊂ R2.Với (x, y) ∈ S1, tồn tại duy nhất 0 ≤ θ < 1 sao cho

(x, y) = e2πθi.Khi đó

S1 = e2πθi, 0 ≤ θ < 1 ⊂ C.Ánh xạ Ψ được cho bởi:

Ψ : R/Z → S1, Ψ (x) = e2πxi, x ∈ R/Z (1.2)thiết lập sự tương ứng 1 − 1 giữa R/Z và S1

1.1.2 Xuyến 2 chiều

Tiếp theo, ta xét hình vuông [0, 1] × [0, 1] Khi ta dán hai cạnh song songthẳng đứng với nhau và hai cạnh song song nằm ngang với nhau bằng cáchđồng nhất

(x, 0) ∼ (x, 1), x ∈ [0, 1] và (0, y) ∼ (1, y), y ∈ [0, 1],

ta được một diện trông giống quả bánh vòng Diện này được gọi là xuyến

2 chiều và ký hiệu là T2; xem Hình 1.1 Ta định nghĩa xuyến 2 chiều mộtcách chỉnh chu như sau

Định nghĩa 1.3 Xuyến 2 chiều

T2 = R2/Z2gồm các lớp tương đương của (x, y) ∈ R2 modulo Z2 Hai điểm (x, y) và(x0, y0) trong R2 được gọi là tương đương, ký hiệu

(x, y) ∼ (x0, y0) nếu và chỉ nếu (x − x0, y − y0) = (k, l) ∈ Z2 (1.3)

là tập các dãy một chiều với các số hạng thuộc X.

Ví dụ 1.5 Xét X = {0, 1} Mỗi phần tử trong Σ+ là một dãy một phía(dãy số thông thường) với các phần tử là 0 hoặc 1, chẳng hạn như

0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1,

trong khi mỗi phần tử trong Σ là một dãy hai phía với các phần tử là 0hoặc 1, chẳng hạn như

, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, Định nghĩa 1.6 Các ánh xạ σ : Σ → Σ và σ+ : Σ+ → Σ+ xác định nhưsau:

(a) Với mọi x = (xi)∞i=−∞,

σ(x) = y = (yi)∞i=−∞ trong đó yi = xi+1, i ∈ Z;(b) Với mọi x = (xi)∞i=1,

σ+(x) = y = (yi)∞i=1 trong đó yi = xi+1, i ∈ N

và được gọi là các ánh xạ dịch chuyển (shift map)

Ví dụ 1.7 Ánh xạ dịch chuyển σ+ : Σ+ → Σ+ dịch chuyển các dãy sangbên trái:

σ+((ai)∞i=1) = (bi)∞i=1, trong đó bi = ai+1.Dãy (bi)∞i=1 nhận được từ dãy (ai)∞i=1 bằng cách bỏ chữ số đầu tiên của ai

và dịch chuyển các chữ số sang trái một vị trí Ví dụ

(ai)∞i=1 = 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1 ,

(bi)∞i=1 = 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1

Ánh xạ σ : Σ → Σ khả nghịch và ánh xạ ngược σ−1 : Σ → Σ là ánh xạdịch chuyển phải:

Σ−1(x)i = xi−1, vớii ∈ Z.Chú ý rằng ánh xạ σ+ không khả nghịch, vì nó không đơn ánh

Các mêtric trên Σ = XZ và Σ+ = XN được định nghĩa lần lượt nhưsau:

1.3 Tính liên hợp giữa các hệ động lực rời rạc

1.3.1 Hệ động lực rời rạc

Định nghĩa 1.8 Cho T là một trong các tập số tự nhiên (N), tập sốnguyên (Z) và tập số thực R; X là một tập hợp không rỗng

Một hệ động lực là một tác động nhóm φ : T × X → X, tức là φ thỏa(a) φ(0, x) = x và

(b) φ(s, φ(t, x)) = φ(s + t, x) với mọi t, s ∈ T và x ∈ X

Trường hợp T =R thì ta nói φ là một hệ động lực liên tục, hay còn gọi

là một dòng Trường hợp T = N hoặc T = Z ta gọi φ là một hệ động lựcrời rạc

Tiếp theo, ta sẽ thấy rằng một ánh xạ f : X → X là một hệ động lựcrời rạc Ký hiệu f0 = id là ánh xạ đồng nhất và fn = f ◦ f ◦ · · · ◦ f (nlần) Khi đó ta có một hệ động lực

và khi đó tương tự ta cũng có hệ động lực rời rạc

φf :Z× X → X, φf(n, f ) = fn.Trong luận văn này, chúng ta xét ba hệ động lực rời rạc kinh điển, đó làánh xạ nhân đôi, ánh xạ baker và tự đẳng cấu trên xuyến T2 Việc nghiêncứu các hệ động lực này thông qua

Định nghĩa 1.9 Cho f : X → X là một ánh xạ Ta nói điểm x ∈ X làmột điểm tuần hoàn với chu kỳ n hoặc là n-tuần hoàn của f nếu

fn(x) = x

Ví dụ 1.10 Xét ánh xạ dịch chuyển σ+ : {0, 1}N → {0, 1}N Khi đó dãychỉ gồm các số 0 và dãy chỉ gồm các số 1 là các điểm tuần hoàn chu kỳ 1.Dãy 0, 1, 0, 1, 0, 1, lặp đi lặp lại khối 0, 1 là một điểm tuần hoàn chu

kỳ 2

1.3.2 Tính liên hợp, nửa liên hợp

Định nghĩa 1.11 Cho X, Y là hai tập và f : X → X và g : Y → Y làhai ánh xạ Liên hợp giữa f và g là một ánh xạ khả nghịch ψ : Y → Xsao cho ψg = f ψ, tức là với mọi y ∈ Y, ta có:

Bổ đề 1.12 Nếu f và g liên hợp với nhau bởi ψ, y là một điểm tuần hoànchu kỳ n đối với g khi và chỉ khi ψ(y) là một điểm tuần hoàn của chu kỳ

n đối với f

Chứng minh Bằng quy nạp ta kiểm tra được rằng từ ψg = f ψ ta có được

ψgn = fnψ Vì ψ là một liên hợp nên ψ khả nghịch Khi đó

Ngược lại, giả sử ψ(y) là một điểm tuần hoàn chu kỳ n của f, tức là

fn(ψ(y)) = ψ(y) Khi đó

gn(y) = ψ−1fn(ψ(y)) = ψ−1(ψ(y)) = ynên y là điểm tuần hoàn chu kỳ n của g

Như vậy, để nghiên cứu các điểm tuần hoàn của một ánh xạ, ta có thểlàm việc với các điểm tuần hoàn của các liên hợp tương ứng

Định nghĩa 1.13 Cho X, Y là hai tập hợp và f : X → X và g : Y → Y

là hai ánh xạ Ta nói f nửa liên hợp với g nếu tồn tại một toàn ánh

ψ : Y → X sao cho ψg = f ψ, tức là với mọi y ∈ Y:

ψ(g(y)) = f (ψ(y))

Khi đó ta gọi ψ là nửa liên hợp của f và g

Từ phép chứng minh của Bổ đề 1.12, ta có kết quả sau

Bổ đề 1.14 Nếu f và g là nửa liên hợp qua ψ và y là một điểm tuầnhoàn với chu kỳ n của g thì ψ(y) là một điểm tuần hoàn với chu kỳ n của

f

2 ≤ x < 1

(2.1)

được gọi là ánh xạ nhân đôi

Hình 2.1: Đồ thị của ánh xạ nhân đôi

Từ định nghĩa trên, nếu x ∈



0,12

thì f (x) = 2x; nếu x ∈

1

2, 1

thì

f (x) = 2x − 1 ∼ 2x Hơn nữa, f (0) = 0 còn f (1) = 1 và 0 ∼ 1 nên ta

thác triển ánh xạ nhân đôi lên T1 = R/Z = [0, 1)/Z như sau:

2.2.1 Khai triển nhị phân

Ta biểu diễn các số trong [0, 1] bằng các dãy trong {0, 1}N

Bổ đề 2.3 Với mỗi x ∈ [0, 1], tồn tại dãy (xi)ni=1 ∈ {0, 1}N sao cho

Biểu diễn trên được gọi là khai triển nhị phân của x

Chứng minh Cho trước 0 < x < 1 Đặt cn = [2nx], n ≥ 0; trong đó

ký hiệu [a] là phần nguyên của a Khi đó cn là các số nguyên dương và

Điều này sẽ được trình bày rõ hơn trong Mục 2.2.2.

Ảnh của ánh xạ nhân đôi được biểu diễn qua khai triển nhị phân nhưsau:

và P0 ∪ P1 = [0, 1]/ ∼ Định nghĩa φ : [0, 1)/ ∼→ Σ+ bởi x 7→ (ak)∞k=0,trong đó

x0 ∈ P0 =



0, 12

 Do đó, số hạng đầu tiên trong khai triển nhị phân của

x là 0 Lưu ý rằng số hạng đầu tiên trong khai triển nhị phân của x khôngthể bằng 1, vì nếu điều này xảy ra thì x = 1

2, 1



và ta có số hạng đầu tiên trong khai triển nhịphân của x là 1

Bước 2: i = k Để chứng minh rằng ak là số hạng thứ k − 1 trongkhai triển nhị phân của x, ta áp dụng ánh xạ nhân đôi k lần Giả sử

x1, x2, xk, là các chữ số trong khai triển nhị phân của x Vì ánh

xạ nhân đôi tác động như ánh xạ dịch chuyển(trái) lên các khai triển nhịphân nên các hạng tử của fk(x) là xk+1, xk+2, Hơn nữa, theo địnhnghĩa của hành trình, hành trình của fk(x) là ak, ak+1, Do đó, nếu

Ta có điều phải chứng minh

Cho a0, a1, , an là một bộ n + 1 với giá trị bằng 0 hoặc 1 Định nghĩaI(a0, a1, , an) = {x ∈ [0, 1) : φ(x) = (a0, a1, , an, )}

= {x ∈ [0, 1] : fk(x) ∈ Pak, ∀ 0 ≤ k ≤ n}

Tập này chứa tất cả các điểm mà hành trình của chúng bắt đầu với

a1, a2, , an Ta có

I(a0, a1, , an) = Pa0 ∩ f−1(Pa1) ∩ · · · ∩ f−n(Pan) (2.5)Điều này có thể giải thích là nếu x thuộc tập giao bên phải của (2.5) khi

I(0, 1) = P0 ∩ f−1(P1) =

h1

4,

12

.Tương tự,

I(0, 0) = h0, 1

4

i, I(0, 1) = h1

4,

12

, I(1, 0) = h1

2,

34

, I(1, 1) = h3

4, 1

.Bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng:

(P1) Mỗi I(a0, a1, , an) là một khoảng có độ dài 1

2n+1;

Hình 2.2:

(P2) Vì a0, a1, , an ∈ {0, 1}, ta có 2n+1 cách chọn n + 1hạng tử trong{0, 1} Việc này tạo ra một phân hoạch của [0, 1) gồm 2n+1 khoảng có độdài 1

2n+1,k + 1

2n+1

, trong đó 0 ≤ k < 2n+1.Định lý 2.7 Ánh xạ nhân đôi sở hữu một quỹ đạo trù mật trong [0,1].Chứng minh Ký hiệu

O+f (x) = {x, f (x), f2(x), }

là quỹ đạo của x

Bước 1: Ta kiểm tra rằng nếu mỗi n, quỹ đạo của x đi qua tất cảcác khoảng có dạng I(a0, a1, , an) thì O+f (x) trù mật trong [0, 1) Thậtvậy, cho trước y ∈ [0, 1) và ε > 0, lấy N đủ lớn sao cho 1

Bước 2: Để xây dựng một quỹ đạo đi qua tất cả các khoảngI(a0, a1, , an),

ta xây dựng hành trình của nó (là một dãy trong Σ+)

Ta liệt kê cho mỗi n tất cả 2n+1 dãy hữu hạn a0, a1, , an với độ dài

n Sau đó, ta xây dựng một dãy (ai)∞i=0 bằng cách sắp xếp tất cả các dãynhư vậy theo thứ tự cho n = 0, n = 1, n = 2, , tức là

0, 1, (n = 0)

0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, (n = 1)

0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1,(n = 2)

Bước 3 Ta xét điểm x := ψ ((ai)∞i=0) mà các hạng tử của khai triển nhịphân là các phần tử của dãy (ai)∞i=0 Ta chứng minh quỹ đạo của nó điqua tất cả các khoảng của dạng I(a0, a1, , aN) và do đó nó trù mật bởiBước 1 Để thấy điều đó, ta cần tìm vị trí của khối a0, a1, , an xuất hiệnbên trong dãy (ai)∞i=0 Chẳng hạn, nếu ak = a0, ak+1 = a1, , ak+n = anthì theo định nghĩa, hành trình của fk(x) là ak, ak+1, , ak+n, Điềunày chỉ ra rằng

fk(x) ∈ I (ak, ak+1, , ak+n) = I(a0, a1, , an)

Vậy fk(x) là một điểm trong Of+(x) thuộc I(a0, a1, , an) Điều này kếtluận bằng chứng rằngOf+(x)đi qua tất cả các khoảng dạng

k

2n+1,k + 1

2n+1

,

Ta định nghĩa ánh xạ ψ : Σ+ → [0, 1] như sau Với mọi (ai)∞i=1,

Chứng minh Mỗi số thực x ∈ [0, 1] đều có khai triển nhị phân

2n.Mệnh đề 2.9 Ánh xạ ψ : Σ+ → [0, 1] là nửa liên hợp của ánh xạ nhânđôi f : [0, 1] → [0, 1] và ánh xạ dịch chuyển σ+ : Σ+ → Σ+

Chứng minh Vì ψ là một toàn ánh theo Mệnh đề 2.8 nên ta chỉ cần chứngminh biểu đồ sau:

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng tính nửa liên hợp của ánh xạ nhân đôi

f và ánh xạ dịch chuyểnσ+ để nghiên cứu các điểm tuần hoàn của ánh xạnhân đôi Nhắc lại rằng từ Bổ đề 1.14 rằng nếu y là một điểm tuần hoànvới chu kỳ n của σ+ thì ψ(y) là một điểm tuần hoàn với chu kỳ n của f

Do đó ta nghiên cứu các điểm tuần hoàn của phép dịch chuyển σ+

Các điểm tuần hoàn của σ+ là các điểm (ai)i∈N có các chữ số được lặplại theo chu kỳ Chẳng hạn như, nếu chúng ta lặp lại các chữ số 0, 1, 1 theochu kỳ, chúng ta nhận được điểm tuần hoàn của chu kỳ 3:

(ai)i∈N = 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1,

σ+(ai)i∈N = 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, (σ+)2(ai)i∈N = 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, (σ+)3(ai)i∈N = 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1,

= (ai)i∈N.Tổng quát, nếu an+i = ai với mọi i ∈N, thì:

σ+(ai)i∈N = (an+i)i∈N = (ai)i∈N,

do đó (ai)i∈N là tuần hoàn theo chu kỳ n

Định lý 2.10 Ánh xạ nhân đôi f : T1 → T1 có 2n − 1 điểm tuần hoànchu kỳ n.

Chứng minh Vì ánh xạ dịch chuyển σ+ : Σ+ → Σ+ và ánh xạ nhân đôi f

là nửa liên hợp nên các điểm tuần hoàn theo chu kỳ n của σ+ : Σ+ → Σ+

có được từ điểm tuần hoàn theo chu kỳ n của ánh xạ f Các điểm tuầnhoàn theo chu kỳ n của σ+ là tất cả các dãy số mà các chữ số lặp đi lặplại theo chu kỳ n Do đó, có 2n dãy như vậy, vì ta có thể chọn tùy ý n chữ

số đầu tiên trong {0, 1} và lặp lại chúng theo chu kỳ Ta có dãy n-tuầnhoàn [0] = 0, 0, 0, trongΣ+ được tạo ra từ0 ∈ [0, 1] và dãyn-tuần hoàn[1] = 1, 1, 1, trong Σ+ được tạo ra từ 1 ∈ [0, 1] Vì 0 và 1 trùng nhautrong R/Z nên số điểm n-tuần hoàn của f là 2n − 1 điểm tuần hoàn chu

24 + a2

25 + a3

26

+a1

27 + a2

28 + a3

29

+ · · ·

2 +

1

4 +

18

1

8j = 58

Bổ đề 2.12 Tập các điểm tuần hoàn chu kỳ n của ánh xạ nhân đôi là

2n− 1, 0 ≤ k < 2

n − 1, k ∈ N, n ∈ N