Một số vấn đề về tính chính quy mêtric toàn cục của ánh xạ đa trị và áp dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠNTRÀ QUỐC ANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHÍNH QUY MÊTRIC TOÀN CỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Bình Định - Nă

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRÀ QUỐC ANH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHÍNH QUY MÊTRIC TOÀN CỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích

Bình Định - Năm 2021

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRÀ QUỐC ANH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHÍNH QUY MÊTRIC TOÀN CỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8 46 01 02

Người hướng dẫn: TS NGUYỄN HỮU TRỌN

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫncủa TS Nguyễn Hữu Trọn Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi.Các kết quả trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng

và chưa từng được ai công bố trước đó

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học QuyNhơn, dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo, Tiến sĩ Nguyễn Hữu Trọn Tôi xin bày tỏlòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy, người đã luôn tận tình hướng dẫn,giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô Khoa Toán và Thống kê đã tậntình giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và nghiêncứu tại trường

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn cũng khó tránh khỏi một số sai sót

và hạn chế Tôi mong muốn nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô vàcác bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

1.1 Ánh xạ đa trị 4

1.2 Một số định nghĩa 6

1.3 Nguyên lí biến phân Ekeland 7

2 Lý thuyết chính quy mêtric trên tập cố định 9 2.1 Lý thuyết chính quy mêtric địa phương 10

2.2 Lý thuyết chính quy mêtric toàn cục 14

2.3 Đặc trưng của tính chính quy toàn cục 19

2.3.1 Tính chính quy và tính đầy đủ 19

2.3.2 Tiêu chuẩn chính quy 22

2.3.3 Định lí trù mật 29

2.3.4 Tính dưới chính quy mêtric, tính calm, tính điều khiển được, tính lùi xa tuyến tính 30

2.4 Tính ổn định nhiễu của tính chính quy toàn cục 35

2.4.1 Tính chính quy của ánh xạ tổng 35

2.4.2 Tính chính quy của ánh xạ hợp 39

3 Ứng dụng trong các định lí điểm bất động đa trị 44 3.1 Sự tồn tại của điểm bất động 44

3.2 Tính ổn định của bài toán điểm bất động 50

3.3 Sự tồn tại điểm bất động kép và điểm trùng 52

Lời nói đầu

Tính chính quy mêtric là một khái niệm trung tâm của Giải tích biến phân, rađời những năm 1980 Nó có nguồn gốc từ Nguyên lý ánh xạ mở của Banach-Mộttrong ba nguyên lý cơ bản của Giải tích hàm, Định lí Lyusternik nổi tiếng về khônggian tiếp xúc và Định lí toàn ánh của nhà toán học Graves, và trong kết quả cơbản của Giải tích là Định lí hàm ẩn và Định lí hàm ngược cổ điển Nó được giớithiệu và nghiên cứu bởi các nhà toán học hàng đầu trong Giải tích biến phân như:Borwein [2] [3], Ioffe [6], Rockafellar [5], Mordukhovich, Penot, Théra và các nhàtoán học trong nước như Nguyễn Đông Yên [1], Phan Quốc Khánh, Huỳnh VănNgãi, Nguyễn Hữu Trọn, Tính chính quy mêtric đóng vai trò cực kỳ quan trọngtrong nghiên cứu một số vấn đề cơ bản của giải tích như xem xét sự tồn tại vàdáng điệu của tập nghiệm của các phương trình tổng quát có dạng:y ∈ F (x)(trong

đó F và y được xem là dữ liệu, x là ẩn) dưới sự thay đổi nhỏ của dữ liệu Nhữngvấn đề đó dẫn đến ý tưởng đánh giá khoảng cách từ một điểm gần nghiệm đến tậpnghiệm của phương trình qua ánh xạF dưới dạng bất đẳng thức:

d(x, F−1(y)) ≤ kd(y, F (x))

Phạm vi ứng dụng của nó rất rộng bao gồm phân tích sự hội tụ của các thuậttoán, các điều kiện tối ưu, lý thuyết điểm bất động, điểm trùng, Tuy nhiên, chođến nay, hầu hết những nghiên cứu chỉ mới dừng lại ở việc khảo sát tính chínhquy mêtric địa phương, tức là ước lượng trên đúng cho những cặp gần cho trước.Nghiên cứu tính chính quy mêtric kiểu Holder chỉ mới xuất hiện gần đây trong các

công trình của Ioffe, Ngãi-Trọn-Théra, tức là ước lượng:

Nội dung của luận văn chia thành ba chương:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị: Trang bị một số kiến thức cơ bản vềánh xạ đa trị, nguyên lý biến phân Ekeland và một số định nghĩa liên quan

để phục vụ cho các chương sau

Chương 2 Lý thuyết chính quy mêtric trên tập cố định: Nghiên cứu cácđặc trưng của tính chính quy mêtric của các ánh xạ đa trị trên một tập hợp

cố định bằng cách sử dụng các công cụ của giải tích biến phân và vi phântổng quát Ngoài ra chúng tôi còn nghiên cứu tính ổn định nhiễu của tínhchính quy mêtric của các ánh xạ đa trị trên một tập hợp cố định

Chương 3 Ứng dụng trong các định lí điểm bất động đa trị: Ứng dụng cáckết quả đạt được vào chứng minh các định lí về sự tồn tại điểm bất động,điểm bất động kép, điểm trùng Ước lượng khoảng cách từ một điểm đến tậpđiểm bất động qua dữ liệu ban đầu

Một số kí hiệu dùng trong luận văn

Không gian Mêtric

Cho X, Y là các không gian mêtric Ta có các kí hiệu sau

ˆ d(x, Y ): Khoảng cách từ điểm x đến tập Y

ˆ d ξ ((x, y), (x0, y0)) = max{d(x, x0), ξd(y, y0)}: ξ-mêtric trong X × Y

ˆ d 1,K ((x, y), (x0, y0)) = d(x, x0) + Kd(y, y0): 1 × K-mêtric trong X × Y

ˆ d K,1 ((x, y), (x0, y0)) = Kd(x, x0) + d(y, y0): K × 1-mêtric trong X × Y

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho luận văn

về ánh xạ đa trị và một số định nghĩa liên quan; định nghĩa một số mêtric vànguyên lý biến phân Ekeland Các kết quả chính của chương được trích dẫn từ cáctài liệu [1], [3], [6]

1.1 Ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.1 (Ánh xạ đa trị) Cho hai tập hợp bất kì X, Y cho F : X ⇒Y làánh xạ đi từ X vào toàn bộ các tập con của Y (kí hiệu là 2Y), khi đó ta nói F làánh xạ đa trị từ X vào Y Như vậy, với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập con của Y.Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ có đúng một phần tử thuộc Y, thì ta nói F làánh xạ đơn trị từ X vào Y Khi đó, thay cho kí hiệu F : X ⇒ Y, ta dùng kí hiệuquen thuộc F : X → Y

Định nghĩa 1.2 Kí hiệu Graph F và dom F lần lượt là đồ thị và miền hữu hiệucủa F Được xác định như sau

Graph F = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)};

dom F = {x ∈ X : F (x) 6= ∅}

Định nghĩa 1.3 (Ánh xạ ngược) Ánh xạ ngược của F kí hiệu là F−1 : Y ⇒ X

được định nghĩa bởi công thức

F−1(y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)}

Hơn nữa

Graph F−1 = {(y, x) ∈ Y × X : (x, y) ∈ Graph F }.

Định nghĩa 1.4 Cho X, Y là các không gian mêtric và F : X ⇒ Y là ánh xạ đatrị

(1) F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng nếu F (x) là tập đóng với mọi x ∈ X

(2) F được gọi là ánh xạ đóng nếu Graph F là tập đóng

được gọi là ánh xạ hợp của F và G

Đặc biệt, nếu F hạn chế trên Q ⊂ X, thì

1.2 Một số định nghĩa

Định nghĩa 1.8 Cho X, Y là các không gian mêtric Trong không gian mêtric

X × Y, ta định nghĩa ba mêtric như sau

ˆ d ξ ((x, y), (x0, y0)) = max{d(x, x0), ξd(y, y0)}: ξ-mêtric trong X × Y

ˆ d 1,K ((x, y), (x0, y0)) = d(x, x0) + Kd(y, y0): 1 × K-mêtric trong X × Y

ˆ d K,1 ((x, y), (x0, y0)) = Kd(x, x0) + d(y, y0): K × 1-mêtric trong X × Y

Nếu K = 1thì ta chỉ cần viết là d((x, y), (x0, y0))

Định nghĩa 1.9 Cho hai tập P, Q ⊂ X, khi đó

ˆ d(P, Q) = inf{d(x, u) : x ∈ P, u ∈ Q}: Khoảng cách giữa tập P và Q

ˆ ex(P, Q) = inf{r > 0 : P ⊂ B(Q, r)} = sup{d(x, Q) : x ∈ P }: Độ vượt quá từ P

đến Q

ˆ H(P, Q) = max{ex(P, Q), ex(Q, P )}: Khoảng cách Hausdorff giữa P và Q.Quy ước:

ex(∅, Q) = 0, ex(Q, ∅) = ∞.

Định nghĩa 1.10 (Hàm chỉ) Cho tập Q ⊂ X, ta kí hiệu iQ(x) là hàm chỉ của Q

được cho bởi công thức

Hơn nữa, nếuf > −∞ (h.k.n), thì f |Q(x) = f (x) + iQ(x).

Định nghĩa 1.11 (Điều kiện Lipschitz cho ánh xạ đơn trị) Ta nói F : X → Y

thỏa điều kiện Lipschitz (hoặc là Lipschitz, hoặc liên tục Lipschitz) trên một tập

S ⊂ X nếu tồn tại số K ≥ 0 sao cho

d(F (x), F (x0)) ≤ Kd(x, x0), ∀x, x0 ∈ S.

Trong đó K gọi là hằng số Lipschitz

Định nghĩa 1.12 (Điều kiện Lipschitz cho ánh xạ đa trị) Ta nói ánh xạ đa trị

F : X ⇒ Y là Lipschitz (hoặc thỏa điều kiện Lipschitz) gần điểm x ∈ dom F, nếutồn tại K > 0 sao cho

H(F (x), F (x0)) ≤ Kd(x, x0)

với mọi x, x0 thuộc lân cận của x

1.3 Nguyên lí biến phân Ekeland

Định lí 1.13 (Nguyên lí biến phân Ekeland) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy

đủ và cho f : X →R∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới và dom f 6= ∅.Giả sử ε > 0 và z ∈ X thỏa

(iii) f (x) + εd(x, y) > f (y), với mọi x ∈ X\{y}

Một số dạng của nguyên lí biến phân Ekeland

Định lí 1.14 Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và f : X → R∪ {+∞} làhàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới và dom f 6= ∅ Giả sử ε > 0 và z ∈ X thỏa

f (z) < inf

X f + ε.

Khi đó, với λ > 0 tồn tại y sao cho

(i) d(z, y) ≤ λ,

(ii) f (y) + ε

λd(z, y) ≤ f (z), và(iii) f (x) + ε

λd(x, y) > f (y), với mọi x ∈ X\{y}.Hằm số λ trong định lí rất linh hoạt Để cân bằng các nhiễu trong (ii) và (iii)

ta chọn λ = √

ε.Định lí 1.15 Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và f : X → R∪ {+∞} làhàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới và dom f 6= ∅ Giả sử ε > 0 và z ∈ X thỏa

εd(z, y) ≤ f (z), và(iii) f (x) + √

εd(x, y) > f (y), với mọi x ∈ X\{y}.Khi điểm cực tiểu xấp xỉz trong Định lí 1.14 chưa biết được rõ ràng hoặc khôngquan trọng thì định lí sau đây (dạng yếu hơn của nguyên lí Ekeland) là hữu dụngĐịnh lí 1.16 Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và f : X → R∪ {+∞} làhàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới và dom f 6= ∅ Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại y

sao cho

f (x) + √

εd(x, y) > f (y).

Chương 2

Lý thuyết chính quy mêtric trên tập cố định

Tính chính quy mêtric là một khái niệm trung tâm, đóng vai trò quan trọng và

có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu các vấn đề của giải tích Trong chươngnày, chúng ta sẽ nghiên cứu một số lý thuyết cơ bản của tính chính quy mêtric củaánh xạ đa trị trên một tập cố định, đó là lý thuyết chính quy mêtric địa phương,tính chính quy mêtric toàn cục và các đặc trưng của nó, tính ổn định nhiễu củatính chính quy mêtric của ánh xạ tổng, ánh xạ hợp Các kết quả chính của chươngđược tổng hợp từ các tài liệu [2], [6]

Ta sẽ định nghĩa ba hàm sau đây liên kết với ánh xạ đa trị F :

Cho hai không gian mêtric X và Y Với mọi ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y và y ∈ Y,xét:

ϕy(x, v) = ϕF,y(x, v) = d(y, v) + iGraph F(x, v)

ψy(x) = ψF,y(x) = d(y, F (x));

và

ωKy (x) = ωF,yK (x) = d1,K((x, y), Graph F ).

Quy ước, khi viết ta bỏ qua chỉ số F và chỉ cần viết ϕy, ψy, ωyK Các hàm trên

sẽ là các yếu tố chính trong các tiêu chí chính quy và kí hiệu này sẽ được sử dụngxuyên suốt luận văn

Lưu ý, nói chung hàm ψy không nửa liên tục dưới khi không gian Y là vô hạnchiều Do đó ta phải xét bao đóng của nó:

ψy(x) = lim

u→x inf ψ y (u).

(Hàm ψy(x) luôn nửa liên tục dưới)

2.1 Lý thuyết chính quy mêtric địa phương

Chúng ta xét trường hợp đơn giản và phổ biến của tính chính quy mêtric làtính chính quy mêtric địa phương gần một điểm cho trước thuộc đồ thị của ánh

xạ đa trị F : X ⇒Y

Định nghĩa 2.1 F được gọi là mở (hay phủ) tại một tỉ lệ tuyến tính gần (x, y)

nếu tồn tại r > 0 và ε > 0 sao cho

B(y, rt) ∩ B(y, ε) ⊂ F (B(x, t)), nếu (x, y) ∈ Graph F, d(x, x) < ε, t ≥ 0

Chặn trên đúng củar làsur F (x, y) gọi là môđun của tính toàn ánhF gần(x, y).Nếu không tồn tại r như trên thì ta quy ước sur F (x, y) = 0

Định nghĩa 2.2 (Tính chính quy mêtric) F được gọi là chính quy mêtric gần

(x, y) ∈ Graph F nếu tồn tại K ∈ (0, ∞), ε > 0 sao cho

d(x, F−1(y)) ≤ Kd(y, F (x)), nếud(x, x) < ε, d(y, y) < ε.

Chặn dưới đúng của K là reg F (x, y) gọi là môđun của tính chính quy mêtric F

gần(x, y) Nếu không tồn tại số K như trên thì ta quy ước reg F (x, y) = ∞

Định nghĩa 2.3 F được gọi là có tính Aubin (hoặc giả Lipschitz) gần (x, y) nếutồn tại K > 0 và ε > 0 sao cho

d(y, F (x)) ≤ Kd(x, u), nếud(x, x) < ε, d(y, y) < ε, y ∈ F (u).

Chặn dưới đúng của K là lip F (x, y) gọi là môđun của tính giả Lipschitz F gần

(x, y) Nếu không tồn tại số K như trên, ta nói lip F (x, y) = ∞

Mệnh đề 2.4 (Tính tương đương địa phương) Các mệnh đề sau là tương đươngi) F mở tại một tỉ lệ tuyến tính gần (x, y) ∈ Graph F

ii) F chính quy mêtric gần (x, y)

iii) F−1 có tính giả Lipschitz gần (y, x)

Hơn nữa,

sur F (x, y) · reg F (x, y) = 1; reg F (x, y) = lip F−1(y, x).

với quy ước 0 · ∞ = 1

Mệnh đề 2.5 Ánh xạF mở tại một tỉ lệ tuyến tính gần (x, y) nếu và chỉ nếu tồntại r > 0 và ε > 0 sao cho

B(y, rt) ∩ B(y, ε) ⊂ F (B(x, t)), ∀(x, y) ∈ Graph F, d(x, x) < ε, 0 ≤ t ≤ ε

và chặn trên đúng của r là sur F (x, y).

Chứng minh Chiều suy ra là hiển nhiên vì chặn trên của r ở đây không nhỏ hơn

sur F (x, y) Do đó với r > 0 và ε > 0, ta xét δ < ε

2 đủ bé để

B(y, δ) ⊂ B(F (x), rt) nếut ≥ ε vàB(y, δ) ⊂ F (B(x, ε/2),

(trong đó B(F (x), rt) = {u ∈ Y : d(u, F (x)) ≤ rt}) Khi đó với mọi x, d(x, x) < δ

˚ B(F (x), rt) ∩ B(y, δ) ⊂ ˚ B(F (x), rt) ∩ B(y, ε) ⊂ F (B(x, t))

nếut < ε, và t ≥ ε ta có

˚ B(F (x), rt) ∩ B(y, δ) ⊂ B(y, δ) ⊂ F (B(x, ε/2)) ⊂ F (B(x, t)).

Vậy ta có điều cần chứng minh

Mệnh đề 2.6 Cho F : X ⇒ Y và (x, y) ∈ Graph F Khi đó

i) F chính quy mêtric gần (x, y) ∈ Graph F với reg F (x, y) ≤ K khi và chỉ khi vớimọi K0> K, tồn tại ε > 0 sao cho:

d(x, F−1(y)) ≤ K0d(y, F (x)), nếu d(x, x) < ε, d(y, y) < ε, d(y, F (x)) < ε;

ii) F có tính giả Lipschitz gần (x, y) với lip F (x, y) ≤ K nếu và chỉ nếu với mọi

K0> K, tồn tại ε > 0 sao cho:

d(y, F (x)) ≤ K0d(x, u), nếu d(x, x) < ε, d(y, y) < ε, d(x, u) < ε.

Mệnh đề 2.7 (Đặc trưng của tính giả Lipschitz) Cho X và Y là các không gianmêtric Xét ánh xạ đa trị F : X ⇒Y, và y ∈ F (x) Khi đó với K > 0, các tính chấtsau là tương đương

i) F có tính giả Lipschitz gần (x, y) với lip F (x, y) ≤ K;

ii) Với mọi δ > 0, tồn tại một lân cận U ⊂ X của x và V ⊂ Y của y sao cho baohàm thức

F (u)\V ⊂ B(F (x), (K + δ)d(x, u)),

đúng với mọi x, u ∈ U hoặc tương đương,

ex(F (u) ∩ V, F (x)) ≤ (K + δ)d(x, u).

Cụ thể, F (u) ∩ B(y, (K + δ)ε) 6= ∅ nếu u đủ gần x;

iii) Với mọi δ > 0, tồn tại một lân cận U ⊂ X của x và V ⊂ Y của y sao cho vớimỗi y thì hàm x → d(y, F (x)) thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên U với hằng số

≤ K + δ

Mệnh đề 2.8 Cho F : X ⇒Y là ánh xạ với đồ thị đóng, và (x, y) ∈ Graph F Khi

đó F là chính quy mêtric tại (x, y) nếu và chỉ nếu tồn tại K ≥ 0 sao cho

d(x, F−1(y)) ≤ Kψy(x)

đúng với mọi (x, y) thuộc lân cận của (x, y) Hơn nữa, chặn dưới đúng của K là

reg F (x, y)

Định nghĩa 2.9 (Tính chính quy đồ thị) F được gọi là chính quy đồ thị gần

(x, y) ∈ Graph F nếu tồn tại K > 0, ε > 0 sao cho bất đẳng thức

d(x, F−1(y)) ≤ d1,K((x, y), Graph F ) = ωyK(x), (2.1)đúng, với d(x, x) < ε, d(y, y) < ε.

Định nghĩa 2.9 chỉ ra rằng tính chính quy mêtric tương đương với tính chínhquy đồ thị gần cùng một điểm Trong đó tính chính quy đồ thị có ưu điểm hơn,trong một số trường hợp ta làm việc với đồ thị sẽ dễ dàng hơn bởi vì hàm(x, y) 7→ d((x, y), Graph F ) thỏa điều kiện Lipschitz (với hằng số Lipschitz là 1) trong khi

x 7→ d(y, F (x)) thì không

Mệnh đề 2.10 (Tính chính quy mêtric và tính chính quy đồ thị) ChoF : X ⇒Y,

và (x, y) ∈ Graph F Khi đó F chính quy mêtric tại (x, y) nếu và chỉ nếu nó chínhquy đồ thị tại (x, y) Hơn nữa, reg F (x, y) là chặn dưới đúng của K > 0 trong (2.1)với ε > 0 thích hợp

Chứng minh Giả sử F là chính quy gần (x, y) và reg F (x, y) < K, khi đó tồn tại

ε > 0 sao cho d(x, F−1(y)) ≤ Kd(y, F (x)) nếu d(x, x) < ε và d(y, y) < ε Xét δ > 0 đủ

bé để

d1,K((x, y), Graph F ) = inf{d(x, u) + Kd(y, v) : d(u, x) < ε, d(v, y) < ε, v ∈ F (u)}

(2.2)nếu d(x, x) < δ, d(y, y) < δ, thì y ∈ F (x) Thật vậy, xét 2(1 + K)2δ < ε Nếu

d(x, x) < δ và d(y, y) < δ, thì d1,K((x, y), (x, y)) < (1 + K)δ và mọi (u, v) ∈ Graph F

với d1,K((x, y), (u, v)) ≤ d1,K((x, y), (x, y)) < (1 + K)δ thỏa mãn d1K((u, v), (x, y)) < 2(1 + K)δ ≤ (1 + K)−1ε, vì d(u, x) < ε và d(v, y) < ε

Vì vậy với mọi (x, y) và (u, v) ∈ Graph F thỏa mãn (2.2) ta có

d(x, F−1(y)) ≤ d(u, x) + d(u, F−1(y))

≤ d(u, x) + Kd(y, F (u)) ≤ d(u, x) + Kd(y, v)

Bất đẳng thức này đúng cho mọi (u, v) ∈ Graph F × B((x, y), ε), thay vào (2.2) tađược F là chính quy đồ thị

Ngược lại, nếu (2.1) đúng thì bất đẳng thức cuối cùng là đúng và ta chứngminh được tính chính quy mêtric của F bằng cách đặt u = x và lấy infimum trên

v ∈ F (x)

2.2 Lý thuyết chính quy mêtric toàn cục

Cho X, Y là các không gian mêtric và U ⊂ X, V ⊂ Y Xét ánh xạ đa trị

F : X ⇒ Y và γ(·), δ(·)là các hàm thực mở rộng trên X vàY và nhận giá trị dương(có thể bằng vô cùng) tương ứng trên U và V

Định nghĩa 2.11 (Tính mở tuyến tính trên một tập) F được gọi là γ-mở hoặc(γ-phủ) tại một tỉ lệ tuyến tính trên (U, V ) nếu có số r > 0 sao cho

B(F (x), rt)\V ⊂ F (B(x, t)),

với x ∈ U và t < γ(x)

Nói cách khác, F là γ-mở tại một tỉ lệ tuyến tính trên (U, V )nếu bao hàm thức

B(v, rt)\V ⊂ F (B(x, t))

đúng với mọi (x, v) ∈ Graph F, x ∈ U và t < γ(x)

Chặn trên đúng của r kí hiệu là surγF (U, V ) được gọi là môđun của tính γ-toànánh F trên (U, V ) Nếu không tồn tại số r như trên, ta nói surγF (U, V ) = 0

Định nghĩa 2.12 (Tính chính quy mêtric trên một tập) F là γ-mêtric chính quytrên (U, V ) nếu tồn tại số K > 0 sao cho

d(x, F−1(y)) ≤ Kd(y, F (x)),

trong đó x ∈ U, y ∈ V và Kd(y, F (x)) < γ(x) Kí hiệu regγF (U, V ) là môđun của

γ-mêtric chính quy trên (U, V )

Định nghĩa 2.13 (Tính giả Lipschitz trên một tập) F được gọi là có tính giảLipschitz trên (U, V ) nếu có số K > 0 sao cho

sao cho y ∈ F (u)và Kd(x, u) < δ(y)

ii) Theo quy ước, khoảng cách đến một tập rỗng bằng vô cùng Do đó từ địnhnghĩa tính chính quy mêtric suy ra F−1(y) 6= ∅ nếu d(y, F (x)) < γ(x) với

x ∈ U Tương tự, định nghĩa tính giả Lipschitz chứa một phát biểu ẩn rằng

F (x) 6= ∅ với mọi x ∈ U thỏa mãn d(x, u) < ρ = supy∈V δ(y) với u ∈ U sao cho

F (u)TV 6= ∅. Cụ thể, nếu với x ∈ U, tập F (x) giao V và U ⊂ B(x, ρ) khi đó

F (x) 6= ∅ với mọi x ∈ U

Định lí 2.15 (Định lí ba mệnh đề tương đương tổng quát) Cho hai không gian

X, Y bất kỳ Xét ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y và U ⊂ X, V ⊂ Y Khi đó với mọi hàmthực mở rộng γ(x) trên U, ba mệnh đề sau là tương đương:

i) F là γ-mở tại một tỉ lệ tuyến tính trên (U, V ).

ii) F chính quy mêtric trên (U, V )

iii) F−1 có tính giả Lipschitz trên (V, U )

Hơn nữa

surγF (U, V ) · regγF (U, V ) = 1, regγF (U, V ) = lipγF−1(V, U ).

(quy ước 0 · ∞ = 1)

Chứng minh Chiều suy ra (ii) ⇒ (iii) là hiển nhiên Do vậy lipγF−1≤ regγF

Để chứng minh (iii) ⇒ (i), giả sử lipγF−1< ∞ và lấy K > lipγF−1, r < K−1

Hơn nữa, lấy t > rγ(x), x ∈ U, y ∈ V, v ∈ F (x) và y ∈ B(v, tr). Khi đó d(y, v) < rγ(x)

và từ (iii) d(x, F−1(y)) ≤ Kd(y, v) < r−1d(y, u) ≤ t.Suy ra tồn tại usao cho y ∈ F (u)

và d(x, u) < t Do đó y ∈ F (B(x, t)).

Khi đó r ≤ surγF (U, V ), hoặc tương đương 1 ≤ K surγF (U, V ).Vì có thể chọn r bất

kì gần với K−1 và K bất kì gần với lipγF−1(V, U ) Do vậy ta kết luận surγF (U, V ) · lipγF−1(V, U ) ≥ 1 Theo quy ước, bất đẳng thức đúng nếu lipγF−1(V, U ) = ∞.

Từ đó suy ra đẳng thức đầu tiên tự động đúng nếusur F (U, V ) = 0 Giả sử rằng(i) đúng với r > 0, lấy x ∈ U, y ∈ V và cho d(y, F (x)) < γ(x) Chọn v ∈ F−1(y) saocho d(x, v) < rγ(x) và đặt t = d(y, v) Từ (i), tồn tại u ∈ F−1(y) sao cho d(x, v) ≤ t

Do vậy d(x, F−1(y)) ≤ t = d(y, v)/r Có thể chọn d(y, v) bất kỳ gần với d(y, F (x)) và

ta được d(x, F−1(y)) ≤ r−1d(y, F (x)), tức là r · regγF ≤ 1 Mặt khác, r có thể đượcchọn bất kỳ gần vớisur γ F (U, V )và ta có thể kết luận sur γ F (U, V ) · regγF (U, V ) ≤ 1

Do vậy

1 ≥ surγF (U, V ) · regγF (U, V ) ≥ surγF (U, V ) · lipγF (V, U ) ≥ 1,

suy ra điều phải chứng minh

Chú ý 2.16 Nếu áp dụng Định lí 2.15 với U =B(x, ε)◦ , V = B(y, ε)◦ , γ(x) ≡ ∞, tanhận được Mệnh đề 2.4

Định nghĩa 2.17 (Tính chính quy) Ánh xạ đa trị F : X ⇒Y được gọi là γ-chínhquy trên (U, V )nếu ba tính chất trong Định lí 2.15 thỏa mãn Hơn nữa, ta nói rằng

F là chính quy toàn cục nếu nó là γ-chính quy trên dom F × Y với γ ≡ ∞

Định nghĩa 2.18 (Tính chính quy Milyutin) Đặt

m(x) = d(x, X\U ).

Ta nói F chính quy Milyutin trên (U, V ) nếu nó là γ-chính quy trên (U, V ) với

γ(x) = m(x) Kí hiệu môđun chính quy tương ứng

sur m F (U, V ), regmF (U, V ), lip Fm−1(V, U ).

Nếu V = Y, ta nói F là chính quy Milyutin trên U và kí hiệu môđun chính quytương ứng là surmF (U ).

Tính chính quy Milyutin trên (U, V ) với sur m F (U, V ) = r có nghĩa là với mọi

x ∈ U và y ∈ V với d(y, F (x)) < rm(x), tồn tại u ∈ U với y ∈ F (u) Tức là khi xemxét tính chính quy Milyutin, ta không cần xét các điểm ngoài U (chẳng hạn khitính đại lượngd(x, F−1(y))) Vì lý do đó, khi cần thiết ta sẽ làm việc với tính chínhquy Milyutin trong trường hợp không địa phương Mệnh đề dưới đây cho ta mốiliên hệ giữa tính chính quy Milyutin và tính chính quy địa phương

Mệnh đề 2.19 F chính quy gần (x, y) ∈ Graph F với sur F (x, y) > r nếu vàchỉ nếu tồn tại ε > 0 sao cho F chính quy Milyutin trên ( B(x, ε),◦

Ngược lại, giả sử F là chính quy Milyutin trên (B(x, ε),◦ B(y, ε))◦ Với mỗi ε > 0,xét δ < ε

2, ta có

B(y, rt) ∩ B(y, δ) ⊂ B(F (x), rt) ∩◦ B(y, ε) ⊂ F (B(x, t))◦

với (x, y) ∈ (Graph F ) ∩ (B(x, δ) ×◦ B(y, δ))◦ và t < δ, ta cóm(x) > δ, theo Mệnh đề2.5

suy ra F là chính quy gần (x, y)

Từ đây ta có hai hệ quả sau

Hệ quả 2.20 (Tính chính quy Milyutin suy ra tính chính quy địa phương) Nếu

F chính quy Milyutin trên (U, V ) thì F chính quy gần (u, v) ∈ (Graph F ) ∩ (U × V )

với sur F (x, v) ≥ surmF (U, V )

Hệ quả 2.21 F là chính quy gần (x, y) ∈ Graph F nếu và chỉ nếu tồn tại ε > 0

sao cho bất đẳng thức trong định nghĩa tính chính quy mêtric (Định nghĩa 2.2) làđúng với mọi x, y thuộc ε-lân cận tương ứng với x, y và d(y, F (x)) < ε

Mệnh đề 2.22 Cho X × Y được trang bị ξ-mêtric Cho F là γ-chính quy trên

(U, V ) với surγF (U, V ) ≥ r > 0 Đặt γ0(x, v) = min{1, (ξr)−1}γ(x) Khi đó PF là

γ0-chính quy trên (U × Y ) × V và

sur γ 0 PF(U × V, V ) = min{sur γ F (U, V ),1

ξ }.

Do đó, surγ0 PF(U × V, V ) = surγF (U, V ) nếu ξ · surγF (U, V ) ≤ 1.

Chứng minh Lấy y ∈ PF(B((x, v), t)), khi đó tồn tại u ∈ X sao cho y ∈ F (u)

và dξ((x, v), (u, y)) ≤ t, tức là d(x, u) ≤ t và d(y, v) ≤ t

ξ Mặt khác, bởi giả thiếtnên y ∈ F (B(x, t)) nếu y ∈ V và d(y, v) ≤ rt với v ∈ F (x) Cuối cùng, với mọi

t ta có t < γ(x) tương đương với min{1, (ξr)−1}t < γ0(x, v) Do đó nếu y ∈ V,

(x, v) ∈ (U × Y )T

Graph F và d(y, v) ≤ min{1, (ξr)−1}t < γ0(x, v) thì tồn tại u ∈ X

với y ∈ F (u) và dξ((x, v), (u, v)) = d(x, u) ≤ t Ta được điều phải chứng minh

2.3 Đặc trưng của tính chính quy toàn cục

2.3.1 Tính chính quy và tính đầy đủ

Các tiêu chuẩn của tính chính quy có thể được chứng minh dựa trên các điềukiện của tính đầy đủ Do đó, trong mục này ta sẽ xem xét mối liên hệ qua lại giữatính chính quy và tính đầy đủ

Mệnh đề 2.23 (Điều kiện của tính đầy đủ) Cho X, Y là các không gian mêtric,cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đóng Cho U ⊂ X và V ⊂ Y là các tập mở và γ là ánh

xạ dương và liên tục trên U Kí hiệu iX và iY là phép nhúng tự nhiên X → ˆ X và

Y → ˆ Y và đặt i = iX × iY Hơn nữa, cho:

ˆ ˆ X, ˆ Y là bổ sung đầy đủ của X và Y;

ˆ Đồ thị của F : ˆˆ X ⇒Yˆ là bao đóng của (Graph F ) trong X × ˆˆ Y;

ˆ ˆ U = int(cl iX(U )), V = int(cl iˆ Y(V ))

Khi đó, nếu F là chính quy Milyutin trên (U, V ) thì Fˆ là chính quy Milyutin trên

ˆ

U × ˆ V với sur mF ( ˆˆ U , ˆV ) = surmF (U, V )

Điều ngược lại cũng đúng nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện

a) Graph F là đầy đủ

b) X là không gian mêtric đầy đủ

Chứng minh Cho surm(U, V ) > r > 0 Đặt m(x) = d(x, X\U ) và m(x) = d(ˆ ˆ x, ˆ X\ ˆ U )

Rõ ràng m(i ˆ X(x)) = m(x) với x ∈ U Lấy u ∈ ˆ ˆ U,ˆ v ∈ ˆ F (ˆ u), t < ˆ m(ˆ u) sao cho

ˆ

y ∈B(ˆ◦ v, rt) ∩ ˆ V Cố định ε > 0 sao cho

ε < t, (1 + ε)t < ˆ m(ˆ u), d(ˆ y, ˆ v) + 2εrt < rt

và chọn một dãy (yn) ⊂ V sao cho d(iY(yn), ˆ y) < 2−(n+1)εrt, n = 1, 2,

Không mất tính tổng quát, giả sử d(iY(yn), ˆ v) < (r − 2ε)t với mọi n

Hơn nữa, lấy (u, v) ∈ Graph F thỏa mãn d(iX(u), ˆ u) < εt, d(iY(v), ˆ v) < εrt Khi

đó t < m(u) và

d(yn, v) = d(iY(yn), iY(v)) ≤ d(iY(yn), ˆ v) + d(ˆ v, iY(v)) < (1 − ε)rt.

Bởi tính chính quy của F, tồn tại x 1 sao cho y 1 ∈ F (x 1 ) và d(x 1 , u) ≤ r−1d(y 1 , v) < (1 − ε)t Do đó m(x 1 ) ≥ m(u) − d(x 1 , u) > εt Vì

Để chứng minh ý thứ hai, đầu tiên ta xét trường hợp (b) bởi nếu X là khônggian đầy đủ và iY(y) ∈ ˆ F (x) với y ∈ Y, khi đó y ∈ F (x) vì Graph F là đóng Mặtkhác, trường hợp (a) quy về trường hợp (b) được đề cập trong chứng minh Mệnh

đề 2.22

Từ đây ta có thể phát biểu lại mệnh đề trên cho trường hợp chính quy địaphương

Hệ quả 2.24 (Quan hệ giữa tính chính quy địa phương và tính đầy đủ) Cho haikhông gian mêtric X, Y, ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y và điểm (x, y) ∈ Graph F Nếu

F chính quy tại (x, y) với sur(x, y) > r thì Fˆ cũng chính quy gần (iX(x), iY(y)) vớicùng môđun của tính toàn ánh Điều ngược lại cũng đúng nếu có một trong haiđiều kiện sau:

(a) Graph F đầy đủ

(b) X là không gian đầy đủ

Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu điều kiện cần và đủ của tính chính quy.Khác với các định lí tương đương đã trình bày ở trên, các tiêu chuẩn chính quytrình bày ở đây sẽ mang tính thuật toán và là cơ sở để thu được các đặc trưngđịnh lượng và định tính của tính chính quy Các tiêu chuẩn sẽ được chứng minhdựa vào nguyên lý Ekeland

Ta bắt đầu với một mệnh đề cơ bản suy ra từ nguyên lý biến phân Ekekand.Cho tập mở U ⊂ X và hàm γ dương trên U Đặt

Lấy x thỏa mãn điều kiện Đặt ε = f (x)

Áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland cho f, tồn tại u thỏa mãn:

f (u) ≤ f (x) − rd(u, x) < rγ(x) − rd(u, x) ≤ rγ(u).

(Vì γ(x) − γ(u) ≤ K.d(u, x) ≤ 1.d(u, x))

Do đó, nếu f (u) > 0, ta có thể tìm được x thỏa (2.3) (với u thay thế bởi u).Điều này mâu thuẫn với (2.4)

sẽ được minh họa cụ thể trong chứng minh định lí trù mật

2.3.2 Tiêu chuẩn chính quy

Bổ đề cơ bản 2.25 cho ta một cách tiếp cận đơn giản để kiểm tra tính chínhquy Chẳng hạn, cho X là không gian đầy đủ và với mọi y, cho hàm f y nửa liêntục dưới có tập mức - không trùng với F−1(y), khi đó bổ đề cơ bản cho phép ta

ước lượng khoảng cách đến một tập theo fy, tất nhiên fy thỏa mãn các điều kiệncủa bổ đề Ngoài ra, giả sử đồ thị của F là đầy đủ theo mêtric tích và xét các hàm

fy trên Graph F với fy(x, v) ≤ 0 nếu và chỉ nếu v = y Bằng cách này, ta nhận đượccác tiêu chuẩn mạnh về tính chính quy, kể cả chính quy địa phương và chính quytoàn cục

Ta sẽ không làm việc với hàm fy tổng quát mà chỉ với ba hàm đã giới thiệu ởphần trước:

Định lí 2.27 (Tính chính quy Milyutin với ánh xạ đơn trị) Cho X là khônggian đầy đủ, Y là không gian mêtric và U ⊂ X là một tập mở Cho F : X → Y

là ánh xạ đơn trị và liên tục trên U Khi đó F là chính quy Milyutin trên U

với surmF (U ) ≥ r > 0 nếu và chỉ nếu với mọi r0 < r, với x ∈ U và y ∈ Y mà

0 < ψy(x) < r0m(x), tồn tại u 6= x sao cho

ψy(u) ≤ ψy(x) − r0d(x, u), (2.5)trong đó m(x) = d(x, X\U ).

Chứng minh Giả sử F chính quy Milyutin trên U với surmF (U ) ≥ r và 0 < r0 < r,khi đó bởi định nghĩa, từ ψy(x) < rm(x) suy ra tồn tạiu sao cho d(x, u) < r0−1ψy(x)

Định lí 2.28 (Tiêu chuẩn chính quy tổng quát) Cho các tập mởU ⊂ X và V ⊂ Y.Cho F : X ⇒Y là ánh xạ đa trị có đồ thị đầy đủ theo mêtric tích Cho ξ > 0, r > 0

và hàm γ(·) không âm trên X,dương trên U và thỏa điều kiện Lipschitz với hằng

số ≤ 1 Với y ∈ V, giả sử với cặp (x, u) ∈ Uγ × F (x) và 0 < d(y, u) < rγ(x) ta có thểtìm được cặp (u, w) ∈ Graph F khác (x, v) và thỏa

ϕy(u, w) ≤ ϕy(x, v) − rdξ((x, u), (u, w)). (2.6)Khi đó với mọi (x, v) ∈ Graph F, x ∈ U với d(y, u) ≤ rt < rγ(x), tồn tại u ∈ B(x, t)

sao choy ∈ F (u) Tức là F là γ-chính quy trên (U, V )với sur γ F (U, V ) ≥ r, với điềukiện giả thiết của định lí được thỏa mãn với mọi y ∈ V

Ngược lại, nếu F là γ-chính quy trên (U, V ) thì với 0 < r < surγF (U, V ), ξ > 0

sao cho rξ < 1, mọi (x, u) ∈ Uγ × F (x) và y ∈ V thỏa mãn 0 < d(y, v) < rγ(x), tồntại cặp (u, w) ∈ Graph F khác (x, v) thỏa điều kiện (2.6)

Định lí trên cho ta một giải thích hình học đơn giản của hiện tượng chính quy:

F là chính quy nếu với mọi (x, v) ∈ Graph F và y 6= v tồn tại một điểm trên đồthị mà thành phần Y của nó gần với y (hơn v) và khoảng cách từ điểm mới đếnđiểm gốc(x, v)tỉ lệ với khoảng cách đếny Cần chú ý rằng v không nhất thiết phảithuộc V

Hiển nhiên, ta có thể viết (2.6) dưới dạng

d(y, w) ≤ d(y, v) − f dξ((x, v), (u, w)) (2.7)

mà không cần đề cập đến ϕ y Tuy nhiên, ta vẫn sử dụng điều kiện (2.6) để thốngnhất phát biểu của tiêu chuẩn tổng quát với các tiêu chuẩn chính quy khác sử dụnghàm khác ϕy

Chứng minh Trên Graph F xét hàm ϕy(x, v) = d(y, u) Đây là một hàm liên tụcLipschitz nên nó nửa liên tục dưới

Áp dụng Bổ đề cơ bản2.25 với(Graph F, dξ) là không gian xác định vàU được thaybằng (U × Y ) ∩ Graph F Cố định x ∈ U và v ∈ F (x) Khi đó các điều kiện của bổ

đề này được thỏa mãn với ϕy nếu d(y, v) < γ(x) Trong trường hợp này, do bổ đềnên tôn tại cặp (u, w) ∈ Graph F sao cho ϕy(u, w) = 0 Nghĩa là y = w ∈ F (u) và

rd(u, x) ≤ dξ((x, v), (u, w)) ≤ d(y, v) < rt Phát biểu đầu tiền được chứng minh.Ngược lại, cho F là γ-chính quy trên (U, V ) và 0 < r < surγF (U, V ) Nếu x ∈ U

và v ∈ F (x) ∩ V Khi đó do định nghĩa, tồn tại u ∈ X sao cho y ∈ F (u) và

rd(x, u) ≤ d(y, v) Lấy ξ > 0 thỏa rξ < 1 ta được

d(x, y) = 0 ≤ max {d(y, v) − rd(x, u), d(y, v) − rξd(y, v)}

d(y, v) − r max {d(x, u), ξd(y, v)}

Đây chính là điều kiện (2.6)

Một bất tiện của tiêu chuẩn trên đến từ việc tồn tại một "khoảng cách" giữađiều kiện cần và điều kiện đủ Tuy nhiên "khoảng cách" này biến mất trong trườnghợp chính quy Milyutin (và cả với chính quy địa phương) Vì thế ta cần làm việcvới tính chính quy Milyutin trong trường hợp không địa phương

Định lí 2.29 (Tiêu chuẩn thứ nhất về tính chính quy Milyutin) Nếu đồ thị của

F là đầy đủ, khi đó điều kiện cần và đủ để F là chính quy Milyutin trên (U, V ) với

surmF ≥ r là tồn tại ξ > 0 sao cho với mọi r0 < r, với x ∈ U, v ∈ F (x) và y ∈ V

thỏa mãn 0 < d(y, v) < r0m(x), tồn tại (u, γ) ∈ Graph F khác (x, v) sao cho

d(y, ω) ≤ d(y, v) − r0dξ((x, v), (u, ω)). (2.8)Chứng minh Áp dụng Định lí 2.28 cho trường hợp U m = U

Để chứng minh tiêu chuẩn thứ hai về tính chính quy Milyutin, ta cần bổ đề sauđây

Bổ đề 2.30 Nếu đồ thị của F là đóng thì y ∈ F (x) với ψy(x) = 0

Chứng minh Xét dãy (xn) → xsao cho ψy(xn) → ψy(x) = 0 Điều này nghĩa là tồntại yn ∈ F (xn) sao cho d(yn, y) → 0 Vì đồ thị của F là đóng nên y ∈ F (x)