TÀI LIỆU THAM KHẢO
CO BAN CUA HIEN TUQNG
13.5.4. Dự đoán bằng mô hình tự hồi quy |
13.5.4.2. Mô hình tự hồi quy
a. Mô hình tự hồi quy bậc †
_ Cho dóy số thời gian 3 J3 nà ngằ } s2s Vers i> cú rất nhiều dang tu hồi quy. Dạng phổ biến nhất là quá trình tự hồi quy bậc 1 kí hiệu là AR(I).
Mo hinh ty hồi quy bậc 1 được viết như sau:
Y, = Py, j+£, t=l2,.. | (13.38)
trong đó: e, là sai số của mô,hình có kỳ vọng toán E(z,)=0 và phương sai (z,) = ứ”. Trong trường hợp này Ê, cũn được gọi là nhiễu trắng,
y, có kỳ vọng toán #(y,) =0 và phương sai ƒ(y,) = ơ?
y,.. gọi là biến trễ một giai đoạn của y,
Gia trị xuất phát của chuỗi (1) la yy tai t=0. Thong thudng, ching ta hay lầy Yo =0 tại =0.
__ Điều kiện để AR() như mô tả theo phương trình () là một quá trình
đừng là là lol <1. Chúng tas sé ẽ chỉ ra ARO@) thỏa mãn điều kiện. mối quan hệ
phụ thuộc yếu dưới đây.
Vi EQ,)= .0 và phương s sai Yœ,)= Oy nén ‘khong phy thuộc vào ¿.
Chứng ta chỉ cần:chỉ ra: hiệp phương. sai của ay, va Yen , Cov(y.s¥,,) cting
độc lập với rla aurge." . và ộ
"Tạ có:
V ish = PI sh-1 ty
553
Bằng phương pháp thay thế dẫn ta có:
2
Vish = PYish~ + Suy = ỉ(OV,.Ă_; + Svea ) + Evan = ỉ J.p—3 + PE, hs + Gish
=p" y, + ỉ8. +...†/26, 2u + Evan
Nhân phương trình cuôi cùng với y, và lây hiệp phương sai rôi dùng các phép biến đổi phương sai, hiệp phương sai và kỳ vọng toán ta có:
Cov(y,. Vien) = EŒ,y,.„) = ỉ"EŒ?) + PE Era) ) +...+ EỚ,&Ê,.„)
Lưu ý là y, và £,,„, >1, độc lập với nhau nên phương trình trên bằng:
Cov(},; Vien) = p'o,
Phuong trinh trén chi ra rang Cov( },„,„„) chỉ phụ thuộc vào khoảng cách thời gian # giữa hai mức độ chứ không phụ thuộc vào biến thời gian /.
Hơn nữa, khi |ứ|< 1 nếu š càng lớn thỡ ứ° —> 0. Cú nghĩa là y, và y,„„ độc
lập với nhau khi ở lớn.
Chúng ta có thể cho phép y, có kỳ vọng toán khác 0 và khi đó mô hình
AR(1) có thêm hệ số tự do như sau:
=O+ py,,+é,, t=1,2,... (13.39)
b. Mô hình tự hồi quy bậc cao
Tự hỗi quy cũng có thể ở dạng bậc 2 - AR(2):
=O+ DY4+ Prd, +E, t= 1,2,... (13.40)
Va bac p - AR(p):
=ệ 3 ỉ\ÿ,Ă + ỉ:V,-;+..0,ÿ, „+6, f=l2,.. (13.41) Việc đưa đủ các biến trễ vào mô hình tự hồi quy - tức là xác định đúng
bậc của quá trình tự hồi quy - là để đảm bảo cho các sai số của mô hình é, la các nhiễu trắng. Xác định bậc của quá trình hồi quy thường được dựa vào kinh nghiệm thực tế. Nếu không có kinh nghiệm thực tế, chúng ta cớ thé ước lượng lần lượt các mô hình tự hồi quy rồi dùng. kiểm định / thông thường như đã trình bày ở chương.12 cho các tham số p voi gia thuyét
kiém dinh la H,:p, =0, k=1,2,...p¢
554
13.5.4.3. Quá trình tự hôi quy không dừng
Khi dãy số thời gian là một quá trình không dừng hoặc không thỏa mãn điêu kiện môi quan hệ phụ thuộc yếu, kết quả ước lượng mô hình và các kiêm định dựa trên phương pháp bình phương nhỏ nhất sẽ không chính xác. Do vậy việc nhận biết một quá trình dừng hay không dừng là quan
trọng đê đảm bảo kết quả dự đoán có độ chính xác cao.
Mô hình (13.38) ở trên sẽ là một quá trình không dừng nếu p=1. Khi
đó mô hình được viết lại như sau:
',=ÿ,¡+£, t=L2,... (13.42)
Quá trình (13.42) biến động theo một quy trình được gọi là bước ngẫu nhiên. Khi một dãy số thời gian có dạng bước ngâu nhiên, cường độ của mối liên hệ giữa y„ và y,_. cũng tương tự như cường độ của mội liên hệ giữa y, và yạ. Hay nói một cách khác một tác động xảy ra với mức độ y, ở thời
gian / sẽ không giảm dân đối với các mức độ ở các thời gian cách xa nó mà
vẫn có tác động lâu dài.
Quá trình bước ngẫu nhiên ở (13.42) cũng có thể có thêm hệ số tự do như sau:
=ỗ+ÿy,¡+£, (13.43)
Quá trình này được gọi là bước ngẫu nhiên với bước nhảy. Có nghĩa là dãy số thời gian biến động theo quy trình bước ngấu nhiên cộng thêm xu thế
cố định ở.
Cần phân biệt một chuỗi thời gian không dừng với một chuỗi có xu thé theo thời gian. Xu thế theo thời gian cũng có thé làm một chuỗi thời gian không dừng. Tuy nhiên, quá trình không dừng này là do xu thế chứ không phải do bước ngẫu nhiên và quá trình không dừng này sẽ mất đi nếu chúng ta đưa thêm hàm xu thế theo thời gian vào mô hình AR(1). Trường hợp phổ
biến nhất là hàm xu thế có dạng tuyến tính và khi đó mô hình AR(1) được
viết lại như sau:
=S+py,,+ytté, (13.44)
Việc thêm hàm xu thế vào sẽ làm cho quá trình (13.44) trở thành một
chuỗi dừng và khi đó chúng ta có thể sử dụng chuỗi đó vào dự đoán.
555
Quá trình tự hồi quy bậc cao cũng có thể là chuỗi không dừng và quá trỡnh khụng dừng này phức tạp hơn do nú liờn quan đờn nhiờu tham sụ ứ như trong các mô hình mô tả ở phần b mục 13.5.3.2. "