Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E.Chứng minh rằng: a AC song song với DE b HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BD Câu 5 2 điểm: Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC.. Cá[r]
Trang 1PHÒNG GD-ĐT TP BUÔN MA THUỘT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 TRƯỜNG THCS PHAN CHU TRINH NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán 9
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4 điểm): Cho biểu thức
P =
b a2 ab
:
a b
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa?
b) Rút gọn P
c) Chứng tỏ P 0
Câu 2 (6 điểm):
a) Chứng minh phân số sau tối giản với n Z
12n 1 30n 2
b) Tìm n N* để n4 4 là số nguyên tố
c) Cho a + b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = a3 + b3 + ab
Câu 3 (3 điểm): Giải phương trình:
x 2 x 1 x 2 x 1 2
Câu 4 (5 điểm): Cho đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm D trên đoạn OB.
Đường trung trực của đoạn AD cắt (O) tại C và cắt AD tại H Đường tròn đường kính BD cắt
BC tại E.Chứng minh rằng:
a) AC song song với DE b) HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BD
Câu 5 (2 điểm): Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC Các cạnh BC, BA, AC
tiếp xúc với đường tròn lần lượt tại D, F, E Chứng minh rằng, nếu tam giác ABC vuông tại A thì SABC = BD.DC
……….HẾT………
Trang 2Phòng GD-ĐT Tp Buôn Ma Thuột ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG 2
Trường THCS Phan Chu Trinh NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán 9
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Đáp án và biểu điểm
Câu 1
4đ
a) Điều kiện
a 0
b 0
a b
b)
ab
1
0.5
0.5
c) Ta có
a 0
b 0
a b
, áp dụng BĐT Cô si cho hai số a và b:
a b 2 ab ab
Do đó
ab
0,25
0,5 0.25 0,25
Câu 2
6đ a) Giả sử d=(12n+1,30n+2) Khi đó,
(60n 5) (60n 4) 1 d
0.25
1 0.25 0.25
Trang 3Vậy
12n 1 30n 2
là phân số tối giản
0.25
b) Ta có:
Nếu n4 4 là số nguyên tố thì 2n2 2n 1 1
n=1 Với n=1 ta có n4 4 5 là số nguyên tố
Vậy với n=1 thì
4
n 4là số nguyên tố
0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25
c) Ta có: a + b =1 => b = 1 - a
Biểu thức Q = a3 + b3 + ab = (a + b)3 – 3ab(a + b) + ab
Q = 1 – 3ab + ab = 1 – 2ab = 1 – 2a(1- a)
Q = 1 – 2a + 2a2 = 2(a2 – 2.a
1
2 +
1
4 ) + 1 -
1 2
Q =
2(a-1
2 )2 +
1
2≥
1 2
Dấu “=” xảy ra a−
1
2=0 ⇔ a=
1 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là
1
2 khi và chỉ khi a=
1 2
0.25
0.5 0.5
0.25
0.25
0.25
Câu 3
3đ
Điều kiện x 1
x 2 x 1 x 2 x 1 2
0,25
0.75
Trang 42 1 1
1
K
E C
D
Nếu x 2 thì (1)
x 1 1
x 2
Nếu 1 x 2 thì (1) x 1 1 x 1 1 2
Phương trình này có vô số nghiệm thỏa mãn: 1 x 2
Vậy 1 x 2
0,25
0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 Câu 4
5đ
Vẽ hình, ghi GT, KL đúng theo
yêu cầu chung của đề bài
a) Tam giác ACB vuông tại C
Tam giác DEB vuông tại E Suy ra ACB=DEB =900
Do đó AC// DE b) Gọi K là trung điểm của CE, I là trung điểm của BD
Có HK là đường trung bình của hình thang ACED
=> HK vuông góc với CE
=> CHE cân tại H
0,5đ
0.5đ 0.5 0.5 0.5
0.75 0,25đ
Trang 5=> E =C1 1 Có E =B 2 1 và B 1 C1900
=> E +E1 2 900=> HEI 90 0
Vậy HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BD
0,25đ 0.75 0.25đ 0.25 Câu 5
2đ
O F
E
D
C A
B
Đặt AB=c, AC=b, BC=a
Đường tròn (O) tiếp xúc với AC,AB theo thứ tự tại E và F Ta có:
2DB=BD+BF=(BC-DC)+(AB-FA)
=(BC+AB)-(DC+FA)
=BC+AB-(CE+EA)
=BC+AB-AC
=a+c-b=a-(b-c)
Tương tự, 2DC=a+(b-c)
Suy ra
2 2 2
Nếu tam giác ABC vuông tại A thì a2 b2 c2
và ABC
Từ (1) và (2) suy ra BD.DC=
1 bc
0.25
0.25 0.5
0.25
0.25
0.5
Trang 6Hướng dẫn chấm
- Giáo viên chấm có thể chia điểm thành phần đến 0,25 điểm cho từng câu để chấm
- Điểm toàn bài là tổng điểm thành phần
- Học sinh có thể giải theo cách khác với đáp án nhưng đúng và chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa tương ứng
