Tìm trên mặt phẳng các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua ∀m 2.. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng theo một thứ tự
Trang 1THI CH Ọ N H Ọ C SINH GI Ỏ I KH Ố I 12
Năm học 2008 - 2009 Thời gian 180 (không k’ ể thời gian phát đề) Câu 1: (2 đ)
Cho hàm số : y=x3 − (m+ 3 )x2 + ( 2 + 3m)x− 2m (1)
1 Tìm trên mặt phẳng các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua ∀m
2 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó
Câu 2: (2 đ)
1 Cho ∆ABC có ba góc A, B, C thoả mãn :
= +
= +
1 cos cos
3
3
2 2
2
B A
B tg
A tg
Chứng minh ∆ABC là tam giác đều
2 Giải hệ phơng trình
+
=
+
= 2 2 2 2
2 3
2 3
y
x x x
y y
Câu 3: (2 đ)
1 Giải bất phơng trình : ( ) log (3 1)
1 3
log
1
2
2
4 x + x < x−
2 Xác định a, b để hàm số :
<
−
≥
+
=
0 4
cos 2 cos
0
x
khi x
x x
x khi b
ax y
có đạo hàm tại x = 0
Câu 4: (3 đ)
Trên mặt phẳng toạ độ cho elíp ( ) 1
4 9 :
2 2
= + y
x
E và 2 đờng thẳng :
d1: mx – ny = 0, d2: nx + my = 0 (m2 + n2> 0)
1 Tìm toạ độ của các giao điểm M, P của d1 với (E) và các giao điểm N, Q của d2
với (E)
2 Tìm điều kiện của m, n để diện tích tứ giác MNPQ đạt Max, Min.
Câu 5: (1đ)
Với n là số nguyên dơng, gọi a3n – 3 là hệ số của x3n – 3 trong khai triển thành đa thức của (x2 + 1)n (x + 2)n Tìm n để a3n – 3 = 26n
Trang 2-(Hết) -Câu 1: (2,5 đ)
1 Tìm trên mặt phẳng các điểm cố định mà đồ
thị hàm số luôn đi qua ∀m
Giả sử M( x; y) là điểm cố định mà mọi đờng
cong của họ (Cm) đều đi qua ⇔ Pt ẩn m :
(−x2 + 3x− 2).m+x3 − 3x2 + 2x−y= 0 có vô số
nghiệm ⇔ ( ) ( ) ,0;1 0;2
0 2 3
02
3
2 1 2
3
2
M
M yx x x
x
x
⇔
=−
+
−
=+
−
2 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập
thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số
cộng ⇔ (Cm) phải có 2 cực trị và điểm uốn phải nằm trên trục hoành
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
3 3
,0 09 9
2
03
3
0
2 3
3 3
2 3
3 3 3
3
0 32 3 3 0
0
2
3
2
2 3
2 '
,
=∨
=∨
=⇔
=+
−
>+
−
⇔
=−
+ ++
+ +−
+
>
+−
+
⇔
=
>∆
⇔
m m
m m
m
m
m
m
m m
m m m
m m
xf u
y
Câu 2: (2 đ)
1 Cho ∆ABC có ba góc A, B, C thoả mãn : ( )
( )
= +
= +
2 1 cos cos
1 3
3
2 2
2
B A
B tg
A tg
Ta có ( )
2 3 2 1
1 2
1
1 2
3 2
cos 2 cos
2
2 2
2
+
+ +
⇔
= +
tg
A tg B
A
Trang 31 2
2 3
1 0
1 6 9 0 3
4 1 2
3
2
3 1 2
2 2 2
3 1 2
2 2
.
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
=
⇔
=
⇔
= +
−
⇔
= +
−
−
⇔
= +
− +
+
−
⇔
= + +
+
+
+
⇔
+
=
=
B tg
A tg P
P P P
P
P S P
P S B
tg
A tg
B
tg
A
tg
B tg A
B tg A tg P
Vậy hệ
=
=
+
⇔
3
3 2
2
3
3 2 2 2
B tg
A tg
B tg
A tg
2
B tg
A
tg > 0 là nghiệm của Pt :
3
1 2 2 3
1 0
1 3 2 3 0 3
1
.
3
3
t
⇒ A = B = 600⇒∆ABC là tam giác đều
1 Giải hệ phơng trình:
Trang 4( )( )
1
0 23
03 23 0
23
03
.
23
33
23 23
23 0
23
23
2
3
2
3
22
22
22
22
22 2 2
22 22
22 22
22
2
2
2
2
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
yx
yx yyx
yxxy
yyx
yx
yyx
yxxyy
x
yyx
xyxy yx
yyx xxy
yyx
xy
xxy
yyx
y
x
x
x
y
y
0xy vi ngiÖmv«
2
+
+
=
x
y y
x
Gi¶ sö 0 < x ≤ y ⇒
1 1
2
2
2
2
=
=
⇒
=
+
+
y
y
y
x
C©u 3: (2 ®)
1 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : ( ) log (3 1)
1 3
log
1
2 2
4 x + x < x−
Trang 5ĐK: x > 1/ 3 Khi đó 3 1 log ( 3 ) 0
9
1
4
2 + x= + > ⇒ x + x >
x
• Nếu x ( ) ( x ) log (x 3x) (3x 1) x 3x
2
1 1 3 log 1 3
2 3
2
⇔
⇒
<
<
8
1 1 0
1
9
• Néu x > 2/ 3 ( ) ( x ) log (x 3x) (3x 1) x 3x
2
1 1 3 log
⇒
1 8
1 0 1
9
⇔ x x x Kết hợp ĐK ⇒ tập nghiệm của Bpt là
∈
3
2
; 3
1
x
2 Xác định a, b để hàm số :
<
−
≥
+
=
0 4
cos 2 cos
0
x
khi x
x x
x khi b
ax y
có đạo hàm tại x = 0
Để hàm số có đạo hàm tại x = 0 ⇔ f'( )0 − = f'( )0 +
• Hàm số có đạo hàm tại x = 0 ⇒ liên tục tại x = 0 f( )x f( )x
x
⇔
0
lim
lim
0
2 2
0
+
−
x
x x
x
x x
x
f
x x
x
• Hàm số có đạo hàm tại x = 0 f( )x f( )x
x
⇔
0
lim
( )
lim
3 1 4 sin 2 sin lim 4
cos 2 cos lim lim
0 0
2
2 2
0 2
0 0
=
⇒
=
=
=
−
=
−
=
−
=
⇔
+ +
−
−
−
→
→
→
→
→
a a x
ax x
f
x
x x
x
x x
x
f
x
x
x x
x
Vậy a = 3, b = 0 ⇒ hàm số có đạo hàm tại x = 0
Cõu 4: (2 đ) Trờn mặt phẳng toạ độ cho elớp ( ) 1
4 9 :
2 2
= + y
x
d1: mx – ny = 0, d2: nx + my = 0 (m2 + n2> 0)
1 Tỡm toạ độ của cỏc giao điểm M, P của d1 với (E) và cỏc giao điểm N, Q của d2 với (E)
• Viết Pt d1 & d2 dưới dạng tham số: 1 () () ,1: 2 2:
nly
mlx d mty
ntx d
⇒ Toạ đọ của M & P là nghiệm của Hệ (E) & (1)
2 2
2
2
9 4
6 36
9 4 36 9
4
m n t t
m n t
m
t
n
+
±
=
⇔
= +
⇔
= +
⇒
Trang 6
+
− +
−
+ +
⇒
2 2 2
2
2 2 2 2
9 4
6
; 9
4
6
9 4
6
; 9
4
6
m n
m m
n
n
P
m n
m m
n
n
M
Thay n bởi m và m bởi – n ta cú:
+ +
−
+
− +
⇒
2 2 2
2
2 2 2 2
9 4
6
; 9
4
6
9 4
6
; 9
4
6
n m
n n
m
m
Q
n m
n n
m
m
N
• Ta cú: MP // NQ ⇒ SMNPQ = MP NQ
2
1
) 9 4 )(
4 9 (
72 4
9
144
; 9 4
144
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
m n m n
m n S
m n
n m NQ
m n
n m
MP
+ +
+
=
⇒ +
+
= +
+
=
6
72 6
6 ) 9 4 )(
4 9
2 2 2
2 2 2
2 2
+
+
≤
⇒ +
≥ +
+
m n
m n S m
n m n m n
vậy Max(S) = 12 Dấu “=” xảy ra ⇔ m = 0 ∨ n = 0
13
144 2
13 ) 9 4 )(
4 9
+
+
≥
⇒ +
≤ +
+
n m
n m S
n m m
n m n
Vậy Min(S) = 14413 Dấu “=” xảy ra ⇔ m = ± n
Câu 5: (1đ)
Với n là số nguyên dơng, gọi a3n – 3 là hệ số của x3n – 3 trong khai triển thành đa thức của (x2 + 1)n (x + 2)n Tìm n để a3n – 3 = 26n
Xét 2 khai triển : ( ) ( )
2
, ; 1,
n
n
−
−
∑
∑
⇒ Các hạng tử của đa thức trên có dạng : j (n i) (n j)
n
i n
2
Từ đó ta có : 2(n – i) + (n – j) = 3n – 3 ⇔ 2i + j = 3 ⇔ i i==10;;j j==13
⇒ Hệ số của x3n – 3 là a3n – 3 = n( n n ) n
C C C
3
4 3 2 2 2 2
2 1
1 1 3 0
5 2/
7
5 0
35
3
−=
=
⇔
=
−
−
n
n
n
n
y N
M
3 x
Q -2
P -3
2
O