Tài liệu CHƯƠNG 2: MA TRẬN ppt

Nếu ma trận [L] có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1, ta có phép phân tích Doolittle... sin cos Nếu ta muốn quay vec tơ [x1 x2]T và muốn làm cho x2 bằng zero rồi quaytheo chi

j 1

=

=∑  

    ‐ 

n 2j 3

từ [A] bằng cách bỏ đi cột và hàng đầu tiên. Ma trận [H] cấp (n ‐1) được xây dựng  theo  các  công  thức  (1) ÷  (3).  Do  (4)  ta  thấy  phép  biến  đổi  này  làm  cột đầu tiên của [A] trở thành: 

0

H H

0  

  [ ] [ ]= ⎢⎡[ ] [ ] [ ] ⎤⎥

T 2

  [ ] [ ]= ⎢⎡[ ] [ ] [ ] ⎤⎥

T i

00

[Q] 

2    ‐ Tính [ ] [ ]′ [ ]

= A UV

Để  tính  ma  trận  ba  đường  chéo  theo  phép  biến  đổi  Householder  ta  dùng 

Việc phân tích này, nếu tồn tại, là không duy nhất.  

Nếu ma trận [L] có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1, ta có phép phân tích Doolittle.  

r

rla

sin cos  Nếu ta muốn quay vec tơ [x1 x2]T và muốn làm cho x2 bằng zero rồi quaytheo chiều kim đồng hồ một góc θ(hay ngược chiều kim đồng hồ một góc ‐θ) trong đó: 

  θ = 2

1

xarctg

x  thì ma trận quay để thực hiện phép quay này theo chiều kim đồng hồ một góc 

sin cos  Trong đó: 

kp kl lp il lp ip jp

jl lp ip jp l

2  Dạng Jordan: Khi không thể tìm được n giá trị riêng phân biệt, nghĩa là ma 

trận [A] không có n vec tơ riêng độc lập tuyến tính thì ma trận [A] không thể đường chéo hoá. Tuy nhiên, nếu có phép biến đổi đồng dạng [M] biến đổi [A] thành [J]: 

i i

J

10

và các cột của [T] là các vec tơ riêng của [A]. Phân tích Schur khi này được gọi 

là phân tích phổ. Nếu [A] xác định dương, phân tích Schur chính là phân tích SVD. 

- nếu  nhân  tất  cả  các  phần  tử  của  một  hàng  (hay  cột)  với  k  thì  định thức được nhân với k 

- định  thức  không  đổi  nếu  ta  cộng  thêm  vào  một  hàng  tổ  hợp  tuyến tính của các hàng còn lại. 

Trước khi đi đến định nghĩa về định thức ta tìm hiểu khái niệm về hoán 

vị và phép thế.  

Cho một dãy số, nếu ta đổi chỗ các số trong dãy cho nhau thì ta đã thực hiện  một  phép  hoán  vị.  Ví  dụ  123,  132,   là  các  hoán  vị  của  dãy  số  {1,  2,  3}. Trong  hoán  vị  α1α2…αi…αj…αn ta nói αi  làm  một nghịch  thế  với  αj  nếu i  <  j 

mà αi > αj. Ví dụ trong hoán vị 1432 số 4 làm với số  3 một nghịch thế , số 4 làm với số 2 một nghịch thế, số 3 làm với số 2 một nghịch thế. Một hoán vị gọi 

là chẵn nếu tổng số nghịch thế trong hoán vị đó là một số chẵn; một hoán vị gọi là lẻ trong trường hợp ngược lại. Như vậy  1432 là một hoán vị lẻ. 

Cho  một  dãy  số,  nếu  ta  tạo  ra  một  dãy  số  mới  bằng  cách  đổi  chỗ  các phần tử cho nhau thì ta đã thực hiện một phép thế.   

Cho  ma  trận  vuông  [A]  cấp  n.  Các  phần  tử  của  hàng  thứ  i  là  ai,1, 

ai,2,…,ai,n. Các phần tử của cột thứ j là a1,j, a2,j ,…, an,j. Ta xem hàng thứ i là một vec  tơ,  kí  hiệu  là  Ai*  và  cột  thứ  j  cũng  là  một  vec  tơ,  kí  hiệu  là  A*j.  Với  mỗi phép thế: 

  det B[ ]=b b b b11 22 33 44 

nghĩa là đối với ma trận tam giác, định thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.  

  Khi  phân  tích  ma  trận  [A]  theo  thuật  toán  Doolitte,  ta  dùng  chương trình ctdoodecmp.m để tính định thức của nó: 

Ta chú ý  đến hàng thứ  i và  aij là một phần tử  của hàng đó. Trong det[A]  ta gộp những số hạng chứa aij lại và đặt aij làm thừa số chung, hệ số của nó kí hiệu là Aij và gọi là phần bù đại số (cofactor) của phần tử aij. Cofactor Aij của 

  Bước đầu tiên ta xây dựng ma trận cấp (n ‐ 1)×(n ‐ 1)  từ các định thức của các ma trận con 2×2. Ví dụ với ma trận  

det A  Trong đó: 

  [A][R]‐1[L]‐1 = [E]  

Kết quả là:

[R]‐1[L]‐1 = [R]‐1  

Với ma trận tam giác phải [R], các hàng khi nghịch đảo là l1, ,ln được tính theo cách sau: 

  ‐ Cho [e1], , [ei], ,[en] là các cột của ma trận đơn vị [E] cấp n 

  ‐  =[ ]n

n

n ,n

el

a    ‐  i =( [ ]i − i ,i 1 i 1+ + −L i ,n n)

0010

0001

Ta xây dựng một hàm nghịch đảo invmat(): 

function x = invmat(a) 

% Nghich dao ma tran a 

về dạng dễ giải hơn. Giả sử ta có cách nào đó để tìm ma trận [P] mà nó đường chéo hoá ma trận [A], lúc đó (3) có dạng: 

§26. TÌM GIÁ TRỊ RIÊNG BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA 

1. Phương pháp luỹ thừa vô hướng: Giả sử ma trận vuông [A] cấp n có n giá trị riêng phân biệt: 

  λ > λ ≥ λ ≥1 2 3 L≥ λn          (1) 

và các vec tơ riêng tương ứng [V1], [V2], ,[Vn] 

Ta chọn một vec tơ [X] bất kì có các thành phần khác zero. Khi đó [X] sẽ được biểu diễn bằng: 

function r = evalbrackets(c, d, m) 

% Nhom m gia tri rieng min cua ma tran  A = [c\d\c] 

  [ ]X0 =c X1[ ]1 +c X2[ ]2 +L+c X    n[ ]n         (2) 

Nhân cả hai vế của (2) với chuyển vị [ ]T

1

X  ta có: 

function [t, s, iter] = sweeping(A) 

%function t = sweeping(A) 

%Tinh tat ca cac gia tri rieng va vec to rieng cua ma tran A doi xung 

  [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]T = − 1 = λ

Để hiểu phương pháp Jacobi, trước hết ta định nghĩa ma trận quay pq: 

1cos 2

Để cho ma trận gần ma trận đường chéo sau mỗi lần lặp, ta coi chỉ số hàng và cột của phần tử lớn nhất nằm ngoài đường chéo là p và q và làm cho nó bằng zero.   

Ta xây dựng hàm eigjacobi() để tính các giá trị riêng λi và các vec tơ riêng của một ma trận đối xứng cấp n bằng phương pháp Jacobi.  

ba  đường  chéo  hay  ma  trận  Hessenberg.  Ta  xây  dựng  hàm  qreig()  để  thực 

[ ]+ =

Theo quy tắc Cramer ta có: 

[ ] [ ]

1,1 2,1

n 1,n 1

n ,n 1 n

- Cho vec tơ bất kì [q1] có  [ ]q1 =  1

- Lặp từ k = 2,3,