Luận văn thạc sĩ thặng dư và thặng dư bình phương

Lý do c HQN đe tài Lý thuyet th¾ng dư - lý thuyet đ¾c bi¾t quan TRQNG trong so HQc và đã đưoc nhieu nhà Toán HQc nghiên cúu, v¾n dung trong vi¾c giai nhieu bài toán hay, khó và có úng du

MAI THỊ NGỌC

THẶNG DƯ VÀ THẶNG DƯ

BÌNH PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN



MAI THỊ NGỌC

THẶNG DƯ VÀ THẶNG DƯ

BÌNH PHƯƠNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học : GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

Hà Nội - Năm 2016

Mnc lnc

1 M®t so kien thÉc cơ ban

1.1 Th¾ng dư 5

5 1.1.1 Th¾ng dư 5

1.1.2 Lóp th¾ng dư 8

1.2 H¾ th¾ng dư 9

1.2.1 H¾ th¾ng dư đay đn 9

1.2.2 H¾ th¾ng dư thư GQN 11

1.3 Các đ%nh lý cơ ban ve th¾ng dư

14 1.3.1 Đ%nh lý Euler và đ%nh lý Fermat .15

1.3.2 Đ%nh lý th¾ng dư Trung Hoa

17 1.4 Th¾ng dư bình phương

18 1.4.1 Tiêu chuan th¾ng dư bình phương

18 1.4.2 Kí hi¾u Legendre 20

1.4.3 Lu¾t tương ho b¾c hai

26 1.4.4 Th¾ng dư bình phương vói modulo hop so 30

1.4.5 Nh¾n xét ve th¾ng dư b¾c cao 33

2 Phương trình th¾ng dư 2.1 Phương trình th¾ng dư m®t an

34 34 2.1.1 Phương trình th¾ng dư m®t an

34 2.1.2 Phương trình th¾ng dư tuyen tính

35 2.1.3 Phương trình th¾ng dư modulo nguyên to 38

2.1.4 H¾ phương trình th¾ng dư b¾c nhat m®t an

40

iii

2.2 Phương trình b¾c nhat nhieu an

46 2.2.1 Phương trình b¾c nhat hai an

46 2.2.2 Phương trình Diophant b¾c nhat tőng quát

48

iv

2.3 Phương trình Diophant phi tuyen 51

2.3.1 Phương trình Pythagore 51

2.3.2 Bieu dien m®t so dưói dang tőng hai bình phương 54

3 M®t so dang toán liên quan đen th¾ng dư và th¾ng dư bình phương 58 3.1 M®t so dang toán liên quan đen th¾ng dư 58

3.2 M®t so dang toán cna th¾ng dư bình phương 62

3.2.1 Úng dung trong bài toán chúng minh chia het 62

3.2.2 Úng dung trong t¾p hop các so nguyên to 65

3.2.3 Úng dung trong các bài toán dãy so nguyên và đa thúc68 3.2.4 Phương trình nghi¾m nguyên 72

4 M®t 4.1 so dang toán ve th¾ng dư tÈ các đe thi Olympic Su dung h¾ th¾ng dư đay đn trong bài toán đem

.77 77 4.2 Bài toán tính tőng và chúng minh đang thúc so 81

4.3 M®t so bài toán liên quan so HQc

.83 4.3.1 Quan h¾ th¾ng dư 83

4.3.2 Đ%nh lý Fermat nho và đ%nh lý Euler 85

4.3.3 M®t so bài toán so Fermat 90

Ma đau

1 Lý do c HQN đe tài

Lý thuyet th¾ng dư - lý thuyet đ¾c bi¾t quan TRQNG trong so HQc và đã đưoc nhieu nhà Toán HQc nghiên cúu, v¾n dung trong vi¾c giai nhieu bài toán hay, khó và có úng dung thnc te

Trong các kì thi Olympic Toán HQc o Vi¾t Nam và các nưóc trên the giói thì lý thuyet th¾ng dư là phan đưoc quan tâm đáng ke, vì the vi¾c có nhung hieu biet ban đau ve th¾ng dư se giúp ta giai nhieu bài toán khó trong so HQc m®t cách nhe nhàng, ngan GQN và đep

Tuy nhiên, trong nhà trưòng phő thông thì thòi lưong giang day cho phan lý thuyet th¾ng dư chưa nhieu nên HQc sinh thưòng thay phan kien thúc này rat khó, vưot ra hieu biet cna các em Vì v¾y đe giúp ban thân có nhung hieu biet sâu sac hơn ve lý thuyet th¾ng dư, phuc vu tot hơn cho công tác boi dưõng HQc sinh gioi, tôi cHQN đe tài "Th¾ng dư và th¾ng

dư bình phương" đe nghiên cúu

2 Mnc tiêu nghiên cÉu

H¾ thong lý thuyet, tőng hop m®t so dang toán quan TRQNG ve th¾ng dư

và th¾ng dư bình phương

3 Nhi¾m vn nghiên cÉu

Chương 1 h¾ thong lai lý thuyet ve th¾ng dư, th¾ng dư bình phương e chương 2 hoàn thi¾n ve phương trình th¾ng dư và cách giai, còn chương 3 t¾p trung trình bày m®t vài úng dung cna th¾ng dư và th¾ng dư bình phương Cuoi cùng, chương 4 tőng hop m®t so bài toán th¾ng dư, th¾ng dư bình phương trong các kì thi Olympic Toán các nưóc

4 Khách the và đoi tưang nghiên cÉu

Đoi tưong nhiên cúu là lý thuyet th¾ng dư, th¾ng dư bình phương

và úng dung cna chúng

5 Pham vi nghiên cÉu

Nghiên cúu lý thuyet và úng dung cna th¾ng dư, th¾ng dư bình phương

6

6 Phương pháp nghiên cÉu

Đe thnc hi¾n lu¾n văn tác gia chn yeu thu th¾p và nghiên cúu các tài li¾u tù nhieu nguon khác nhau, roi phân tích lý thuyet ve th¾ng dư, th¾ng dư bình phương, tù đó xây dnng m®t so úng dung cna nó và biên t¾p theo h¾ thong tù cách hieu cna ban thân

7 Gia thuyet khoa HQC

Neu lu¾n văn đưoc thnc hi¾n thành công, nó se là m®t tài li¾u tham khao bő ích cho giáo viên và HQc sinh muon tìm hieu ve th¾ng dư, th¾ng dư bình phương Trong đó phan lý thuyet đưoc chúng minh ch¾t che, các bài toán úng dung đưoc h¾ thong theo dang và tương đoi đay đn và c¾p nh¾t theo múc đ® tù de đen khó

8 Đóng góp mái cua đe tài

Lu¾n văn đã chi ra đưoc m®t so dang toán úng dung lý thuyet th¾ng dư, th¾ng dư bình phương, tù đó đe xuat đưoc m®t so bài t¾p mang tính c¾p nh¾t

9 Cau trúc cua lu¾n văn

Cau trúc cna lu¾n văn gom ba phan: phan mo đau, phan n®i dung và phan ket lu¾n

N®i dung lu¾n văn gom bon chương:

- Chương 1 M®t so kien thúc cơ ban

- Chương 2 Phương trình th¾ng dư

- Chương 3 M®t so dang toán liên quan đen th¾ng dư và th¾ng dư bình phương

- Chương 4 M®t so dang toán ve th¾ng dư tù các đe thi Olympic

Đe hoàn thành lu¾n văn, em đã nh¾n đưoc sn giúp đõ cna thay cô, ban

bè, đ¾c bi¾t là sn chi bao hưóng dan t¾n tình cna GS.TSKH Nguyen Văn M¾u, cùng các thay cô trong Seminar b® môn Toán cna trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i Em xin bày to lòng biet ơn chân thành tói GS.TSKH Nguyen Văn M¾u và các thay cô giáo trong khoa Toán

- Cơ - Tin HQc, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai hQc Quoc gia Hà N®i đã hưóng dan em hoàn thành khóa HQc Cao HQc 2014-2016

Do thòi gian thnc hi¾n lu¾n văn không nhieu, kien thúc còn han che nên khi làm lu¾n văn không tránh khoi nhung han che và sai sót Em mong nh¾n đưoc sn góp ý và nhung ý kien phan bi¾n cna quý thay cô và ban ĐQc

Em xin chân thành cam ơn!

Chương 1

M®t so kien thÉc cơ ban

Th¾ng dư là m®t khái ni¾m cơ ban và quan TRQNG cna lý thuyet so Khái ni¾m th¾ng dư do Kaclơ Friđơrich Gauss (1777-1855) trình bày trong tác pham "Disquistiones Arthmeticcae" năm 1801 Trong chương này trình bày lai m®t so kien thúc quan TRQNG ve th¾ng dư và th¾ng dư bình phương.

1.1.1 Th¾ng dư

Đ%nh nghĩa 1.1 Cho m là so nguyên dương, a, b là các so nguyên sao cho (a−b)

m ,

ta nói a và b đong dư hay th¾ng dư modulo m , và viet

a = b (mod m)

Ví dn 1.1 De thay −12 = 43 (mod 5) và −12 = 43 (mod 11) , nhưng −12

không cùng th¾ng dư vói 43 (mod 7) ; Moi so nguyên chan th¾ng dư vói 0

modulo 2 , và moi so nguyên le th¾ng dư vói 1 modulo 2 ; Neu x không chia het cho 3 , thì x2 = 1 (mod 3)

Đ%nh lý 1.1 Phép th¾ng dư a = b (mod m) có nghĩa khi và chs khi hi¾u a − b chia het cho m Nói cách khác, các so a và b có cùng so dư khi chia cho m , neu và chs neu hi¾u a − b chia het cho m

ChÚng minh Gia su a = b (mod m) Khi đó các so a và b có cùng so dư r khi chia cho m.

Boi v¾y a = mq + r, b = mq0 + r, trong đó q, q0 là các so nguyên nào

đó Trù ve vói ve hai đang thúc trên ta đưoc a − b = mq − mq0 = m(q −

q0 ) Do đó hi¾u a − b chia het cho m.

Ngưoc lai, gia su hi¾u a − b chia het cho

m Khi đó ton tai so nguyên k, đe a − b =

k.m.

Chia (có dư) so b cho m ta đưoc b = q.m + r, trong đó 0 ≤ r < m.

C®ng ve vói ve các đang thúc trên, ta đưoc a = k.m + q.m + r = (k + q).m + r đong thòi r van thoa mãn bat đang thúc kép 0 ≤ r < m, nghĩa là a có cùng so

dư vói b khi chia cho m, túc a = b (mod m).

Tù đ%nh lý 1.1 ta rút ra đưoc m®t so nh¾n xét sau:

Nh¾n xét 1.1 Các phép th¾ng dư có the c®ng ve vái ve, nghĩa là, neu a i = b i

(mod m) , thì

a1 + a2 + · · · + a n = b1 + b2 + · · · + b n (mod m).

Nói cách khác, neu a i và b i có cùng so dư khi chia cho m , thì các tőng a1+a2+· · ·+a n

và b1 + b2 + · · · + b n cũng có cùng so dư khi chia cho m

ChÚng minh Vì a i = b i (mod m) (0 ≤ i ≤ n), nên theo đ%nh lý 1.1, các so

a i − b i (0 ≤ i ≤ n) chia het cho m.

Boi v¾y ton tai các so nguyên k i đe a i − b i = k i m Khi đó

(a1 + a2 + · · · + a n ) − (b1 + b2 + · · · + b n)

= (a1 − b1) + (a2 − b2) + · · · + (a m − b m)

= k1m + k2m + · · · + k n m = (k1 + k2 + · · · + k n )m

V¾y (a1 + a2 + · · · + a n ) − (b1 + b2 + · · · + b n) chia het cho m, nên, theo đ%nh

lý 1.1,

a1 + a2 + · · · + a i + · · · + a n = b1 + b2 + · · · + b i + · · · + b n (mod m).

Nh¾n xét 1.2 Các phép th¾ng dư có the trù ve vái ve, nghĩa là tù a = b (mod m)

và c = d (mod m) suy ra a − c = b − d (mod m)

ChÚng minh Vì a = b (mod m) và c = d (mod m), nên theo đ%nh lý 1.1, các so

a − b, c − d chia het cho m.

Do đó ton tai các so nguyên k, l, đe a − b = k.m, c − d = l.m.

Trù ve vói ve hai đang thúc trên ta đưoc

(a − c) − (b − d) = (a − b) − (c − d) = km − lm = (k − l)m.

Boi v¾y (a − c) − (b − d) chia het cho m Do đó, theo đ%nh lý 1.1,

(a − c) = (b − d) (mod m).

Nh¾n xét 1.3 Các phép th¾ng dư có the nhân ve vái ve, nghĩa là, neu a1 = b1

(mod m), a2 = b2 (mod m), , a i = b i (mod m), , a n = b n (mod m) , thì

a1a2 a i a n = b1b2 b i b n (mod m)

ChÚng minh Đ%nh lý đưoc chúng minh bang quy nap theo n.

Cơ so quy nap: Vói n = 2 ta có a1 = b1 (mod m), a2 = b2 (mod m) nên theo đ

%nh lý 1.1, các hi¾u a1 − b1, a2 − b2 chia het cho m.

Khi đó ton tai các so nguyên k1, k2 đe a1 − b1 = k1m, a2 − b2 = k2m.

Do đó

a1a2 − b1b2 = a1a2 − a1b2 + a1b2 − b1b2

= (a1a2 − a1b2) + (a1b2 − b1b2 )

= a1(a2 − b2) + b2(a1 − b1 )

= a1k2m + b2k1m

= (a1k2 + b2k1)m.

Boi v¾y a1a2 − b1b2 chia het cho m nên, theo đ%nh lý 1.1, a1a2 = b1b2 (mod m) Quy nap, gia su khang đ%nh đã đúng vói n = t, t > 2, nghĩa là tù t phép đong dư tùy ý

a1 = b1 (mod m), a2 = b2 (mod m), , a i = b i (mod m), , a t = b t (mod m)

đã suy ra đưoc a1a2 a i a t = b1b2b i b t (mod m).

Xét t + 1 phép đong dư bat kỳ, a1 = b1 (mod m), a2 = b2 (mod m), , a t =

b t (mod m), a t+1 = b t+1 (mod m) Khi đó, theo gia thiet quy nap tù t phép đong

dư đau đã có a1a2 a t = b1b2 b t (mod m).

Ký hi¾u, A t = a1a2 a t, B t = b1b2 b t Khi đó, theo đ%nh lý 1.1, hi¾u A t −

B t

chia het cho m, nên ton tai so nguyên l, đe A t − B t = l.m.

Do a t+1 = b t+1 (mod m) nên theo đ%nh lý 1.1 a t+1 − b t+1 chia het cho m Boi v¾y ton tai so nguyên k đe a t+1 − b t+1 = k.m Xét hi¾u

A t a t+1 − B t .b t+1 = A t a t+1 − A t b t+1 + A t b t+1 − B t b t+1

= A t (a t+1 − b t+1 ) + b t+1 (A t − B t)

= A t k.m + b t+1 l.m

= (A t k + b t+1 l )m.

nên a1a2 a t a t+1 −b1b2 b t b t+1 = A t a t+1 −B t b t+1 chia het cho m Do đó, theo đ

%nh lý 1.1 thì a1a2 a n = b1b2 b n (mod m).

H¾ qua 1.1 Các phép th¾ng dư có the nâng lên lũy thùa, nghĩa là, neu a = b (mod m) thì vói MQI so nguyên không âm n đeu có a n = b n (mod m).

H¾ qua 1.2 Gia su P (x) là đa thúc tùy ý vói h¾ so nguyên

P (x) = t0 + t1x + t2x2 + · · · + t n x n

Khi đó neu a = b (mod m), thì

P (a) = t0 + t1a + t2a2 + · · · + t n a n = t0 + t1b + t2b2 + · · · + t n b n = P (b) (mod

m ).

1.1.2 Láp th¾ng dư

Ta đã biet vói moi so nguyên a đeu ton tai q, r sao cho a = mq+r vói 0 ≤ r

< m, khi đó r và a có moi liên quan như the nào theo modulo m? Li¾u rang có the thay the a boi r ho¾c ngưoc lai trong quá trình giai quyet van đe Tù đó ta can tìm hieu moi tương quan giua a và r.

Đ%nh lý 1.2 Quan h¾ th¾ng dư modulo m là m®t quan h¾ tương đương, nghĩa là vái MQI so nguyên a, b, c ta có

(i) Tính phan xa: a = a (mod m) ,

(ii) Tính đoi xúng: Neu a = b (mod m) thì b = a (mod m),

(iii) Tính bac cau: Neu a = b (mod m) và b = c (mod m) thì a = c (mod m)

ChÚng minh (i) Vì 0 = a − a luôn chia het cho m nên a = a (mod m).

(ii) Tù a = b (mod m) ta đưoc m| (a − b) suy ra m| (b − a) hay b = a (mod m).

(iii) Ta thay neu a = b (mod m) và b = c (mod m) thì ton tai so nguyên x và

y sao cho a − b = mx; b − c = my.

Do đó

a − c = (a − b) + (b − c) = mx + my = m(x + y),

V¾y a = c (mod m).

th¾ng dư modulo Moi lóp tương đương cna so m, đưoc viet a trên quan h¾ tương đương đưoc a + mZ, gom tat ca các so nguyên có cùng th¾ngGQI là m®t láp