Luận văn thạc sĩ toán tử không giãn trung bình và ứng dụng

Và theo đ%nh lý Banach thì trong trưàng hap này, dãyl¾p {T k x} nói chung cũng không h®i tn nên ngưài ta quan tâm đen vi¾c xây dnng các phương pháp l¾p tìm điem bat đ®ng cua toán tu khôn

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC

Kieu Th% Thùy Linh

TOÁN TÚ KHÔNG GIÃN TRUNG BÌNH

VÀ ÚNG DUNG

LU¾N VĂN THAC SĨChuyên ngành: Toán Giãi tích

Hà N®i - 2017

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC

Kieu Th% Thùy Linh

TOÁN TÚ KHÔNG GIÃN TRUNG BÌNH

VÀ ÚNG DUNG

LU¾N VĂN THAC SĨ

Chuyên ngành: Toán Giãi tích

Mã so: 60460102

Cán b® hưáng dan: GS.TSKH Pham Kỳ Anh

LèI CÁM ƠN

Vái lòng kính TRQNG và biet ơn sâu sac, tôi xin bày tõ lài cãm ơn chân

thành tái GS.TSKH Pham Kỳ Anh, giãng viên khoa Toán - Cơ - Tin HQC, trưàng Đai

HQC Khoa HQC Tn nhiên, Đai HQC Quoc gia Hà N®i Thày đã trnc tiep giao đe tài cho tôi

và bõ công súc đe hưáng dan tôi rat t¾n tình Thày đã cho tôi nhung kien thúc và kinhnghi¾m quý báu, tao đieu ki¾n thu¾n lai cho tôi trong quá trình thnc hi¾n và hoànthành lu¾n văn cũng như hoàn thành chương trình HQC Thac sĩ

Tôi xin gui lài cãm ơn tái các thay giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin HQC, trưàngĐai HQC Khoa HQC Tn nhiên, Đai HQC Quoc Gia Hà N®i Nhung ngưài Thày luôn trànđay nhi¾t huyet vái nghe đe truyen thn cho nhung sinh viên, HQC VIÊN chúng tôinhung kien thúc trong suot quá trình HQC t¾p tai khoa và trưàng

Và tôi cũng xin bày tõ lòng biet ơn vô han tái gia đình và ban bè đã luôn là chő dnatinh than vung chac và là nguon đ®ng viên đoi vái tôi trong cu®c song và trong quátrình HQC t¾p

Hà n®i, ngày 25 tháng 4 năm 2017

HQC VIÊN

Kieu Th% Thùy Linh

Danh mnc các kí hi¾u

(X, Y) t¾p hap các toán tu tuyen tính liên tnc tù X vào Y,

B(X) t¾p hap các toán tu tuyen tính liên tnc tù X vào X,

E n ma tr¾n đơn v% kích thưác n n,

FixT t¾p hap các điem bat đ®ng cua toán tu T,

K ∗ toán tu liên hap cua toán tu tuyen tính K,

.−1 ngh%ch đão cua m®t so ho¾c m®t ma tr¾n,

Rn không gian thnc n - chieu,

inf f infimum cua hàm f ,

sup f supermum cua hàm f ,

i I U i giao cua các t¾p hap Ui , i ∈ I,

f gradient cua hàm f,

u, v tích vô hưáng cua u và v,

chuan trong không gian Hilbert cua véctơ ho¾c ma tr¾n, argmin f điem cnc tieu cua hàm f ,

∂ f dưái vi phân cua hàm f ,

N C (x) nón chuan cua t¾p con loi C tai x,

Mnc lnc

Lài

1.1

Toán tu không giãn 7

1.2 Toán tu không giãn vung 13

2 Toán tú không giãn trung bình 19 2.1 Toán tu không giãn trung bình 19

2.2 Toán tu chieu mêtric 28

2.3 Phương pháp lai ghép 32

2.4 Phương pháp xap xi gan ket 35

3 Úng dnng cúa toán tú không giãn trung bình 43 3.1 Bài toán toi ưu có ràng bu®c 43

3.2 Bài toán chap nh¾n loi 44

3.3 Kĩ thu¾t khôi phnc đai so trong xu lý ãnh 45

3.4 Phương pháp ngoai suy tín hi¾u vái dãi tan huu han 46

3.5 Bài toán chap nh¾n tách 48

Ket

phang tương úng vái tùng phương trình cua h¾.

Tuy nhiên trong trưàng hap T là toán tu không giãn thì ta phãi bő sung thêm m®t

so đieu ki¾n cho không gian X Đieu này đã đưac Browder, Gohde và Kirkchúng minh vào năm 1965 Và theo đ%nh lý Banach thì trong trưàng hap này, dãyl¾p {T k x} nói chung cũng không h®i tn nên ngưài ta quan tâm đen vi¾c xây dnng

các phương pháp l¾p tìm điem bat đ®ng cua toán tu không giãn Đau tiên là phươngpháp l¾p tìm nghi¾m cua h¾ phương trình đai so tuyen tính đưac Kaczmarz đe xuatnăm 1937 vái phép chieu xoay vòng và cua Cimmino đưa ra năm 1938 vái phépchieu đong thài lên trên các siêu phang úng vái các phương trình cua h¾ Cã haiphương pháp này đeu huu ích trong vi¾c giãi các h¾ phương trình cã lán Vì v¾ychúng có vai trò úng dnng quan TRQNG trong kĩ thu¾t chnp X quang cat láp máytính Cã hai ket quã này đã trã thành phép l¾p tìm điem bat đ®ng cua toán tu khônggiãn

M®t ket quã tiep theo đưac đưa ra năm 1950 bãi John von Neumann ve phươngpháp chieu trên hai không gian con cua không gian Hilbert Phương pháp này cho snh®i tn tái giao cua hai không gian con Các ket quã cua Kaczmarz, Cimmino,Neumann đưac tőng quát hóa trong nhieu th¾p ki Ngày nay, sn h®i tn ã mői phươngpháp đưac thiet l¾p mã r®ng không chi cho toán tu chieu trnc giao trên siêu phang

mà còn cho các toán tu không giãn, toán tu tna không giãn, toán tu không giãn vung,toán tu không giãn trung bình,vv

Trong lu¾n văn này, tác giã trình bày m®t cách tőng quan ve toán tu không giãn,toán tu không giãn trung bình, toán tu chieu mêtric và m®t so úng dnng cua nó quacác bài

toán trong thnc te Các kien thúc đưac tìm hieu đeu đưac xét trong không gian Hibert thnc H.

Bo cnc lu¾n văn bao gom 3 chương:

• Chương 1 cua lu¾n văn trình bày ve các khái ni¾m, tính chat cua toán tu không

giãn, toán tu tna không giãn, toán tu không giãn vung, toán tu đơn đi¾u manhngưac và moi quan h¾ giua các loai toán tu M®t so tính chat ve t¾p điem batđ®ng cua toán tu không giãn và cua HQ CÁC toán tu không giãn cũng đưac đưa ra

• Chương 2 cua lu¾n văn trình bày ve toán tu không giãn trung bình, toán tu

chieu mêtric và moi liên h¾ giua các toán tu này vái các toán tu đưac trình bàytrong Chương 1 Ngoài ra tính őn đ%nh ve phép toán hap thành, tő hap loi cuatoán tu không giãn trung bình đưac the hi¾n rõ Cuoi chương, tác giã giáithi¾u hai phương pháp ket hap đe phép l¾p h®i tn manh là phương pháp laighép và phương pháp xap xi gan ket Kĩ thu¾t lai ghép ket hap vái phép l¾pKrasnoselski- Mann cho phép trên mői bưác xây dnng hai nua không gian tácht¾p điem bat đ®ng và xap xi ban đau sao cho hình chieu cua điem ban đau lêngiao cua hai nua không gian đó h®i tn manh ve t¾p điem bat đ®ng cua toán tu.Phương pháp xap xi gan ket là sn mã r®ng cua phương pháp l¾p Halpern đetìm điem bat đ®ng cua toán tu không giãn Phương pháp này su dnng tő hap loicua toán tu không giãn và ánh xa co vái cách CHQN TRQNG so thích hap thì cóthe thu đưac m®t dãy l¾p h®i tn manh đen điem bat đ®ng cua toán tu khônggiãn

• Chương 3 cua lu¾n văn trình bày m®t so úng dnng thnc te cua các van đe đã

trình bày trong Chương 1 và Chương 2 Thú nhat là bài toán toi ưu có ràngbu®c đưac su dnng nhieu trong vi¾c nh¾n tín hi¾u và xu lý ãnh; bài toán dùngm®t hàm loi, khã vi trên m®t t¾p con loi đóng và khác rőng trong không gianHilbert thnc Tiep theo là bài toán chap nh¾n loi, bài toán chap nh¾n tách cónhieu úng dnng trong khoa HQC Và công ngh¾ mà đien hình là trong phươngpháp xa tr% vái cưàng đ® thay đői IRMT (Intensively Modulated RadiationTherapy) Đây là m®t phương pháp xa tr% rat tiên tien Ngoài ra tác giã còn giái

thi¾u ve bài toán ngoai suy giãi tan huu han đưac xu dnng trong kĩ thu¾t xu lýtín hi¾u, bài toán có su

dnng đen phép bien đői Fourier Cuoi cùng là kĩ thu¾t khôi phnc đai so trong xu

lý ãnh giúp khôi phnc lai ãnh goc tù các hình chieu cua nó theo nhieu phươngpháp khác nhau

Các kien thúc đưac tìm hieu, tham khão và trình bày trong lu¾n văn chu yeu qua cáctài li¾u so [1-4] và [10-11]

Do thài gian và kien thúc có han, bãn lu¾n văn không tránh khõi nhung han che vàsai sót Tác giã rat mong nh¾n đưac sn góp ý cua quý thay cô và ban ĐQC

Tác giã xin chân thành cãm ơn!

Hà N®i, ngày 25 tháng 4 năm 2017

HQC VIÊN

Kieu Th% Thùy Linh

Chương 1

Toán tú không giãn

Cho H là m®t không gian Hilbert thnc vái tích trong (., ) và chuan ǁ.ǁ tương úng

X

là m®t t¾p con khác rőng cua H

1.1 Toán tú không giãn

Đ%nh nghĩa 1.1 Toán tu T : X → H đưac GQI là

(i) không giãn neu

ǁTx − Tyǁ ≤ αǁx − yǁ

M¾nh đe 1.1 Cho X là t¾p con loi, đóng và khác rőng cua H Khi đó t¾p các điem bat

đ®ng cua toán tu không giãn T : X → H là t¾p đóng và loi.

Chnng minh. (i) Tính đóng

Lay dãy {xk } ⊂ Fix T ⊂ X và x k → x Do X là t¾p đóng nên x ∈ X.

Hơn nua, vì T là toán tu không giãn nên T liên tnc trên X, ta có

ǁTz − yǁ = ǁTz − Tyǁ ≤ ǁz − yǁ = (1 − λ)ǁx − yǁ.

Theo bat đang thúc tam giác, ta có

ǁ(x − Tz) + (Tz − y)ǁ = ǁx − yǁ = ǁx − Tzǁ + ǁTz − yǁ.

và cùng phương, túc là ton tai hang so α > 0 sao cho Tz − y = α(x − Tz) Suyra M¾t khác, do tính loi ch¾t cua chuan, các véc tơ x − Tz, Tz − y phãi đongtuyen

Tz = α x + 1 y.

1 + αHơn nua, do tính không giãn cua T, ta

có

1

1 + α

1 + αǁx − yǁ = ǁx − Tzǁ = ǁTx − Tzǁ ≤ ǁx − zǁ = λǁx − yǁ,

1 + αǁx − yǁ = ǁTz − yǁ = ǁTz − Tyǁ ≤ ǁz − yǁ = (1 − λ)ǁx − yǁ.

Tù hai bat đang thúc trên suy ra 1

= λ và α = 1 − λ.

1 + α

α

Vì v¾y Tz = (1 − λ)x + λy = z hay z ∈

Fix T

1 + α

Tính đóng ve phép toán hap và tő hap loi cua toán tu không giãn đưac cho dưái đây.

M¾nh đe 1.2 Cho T i : X → X, i ∈ I = {1, 2, , m} là các toán tu không giãn.

(i) M®t tő hap loi T := ∑ wiTi, vái wi ≥ 0 và ∑ wi = 1, là m®t toán tu không giãn Hơn

ǁT i x − T i yǁ ≤ ǁx − yǁ Theo tính loi cua chuan và tính không giãn cua T i thì

ǁTx − Tyǁ = ǁ ∑ w i T i x − ∑ w i T i yǁ = ǁ ∑ w i (T i x − T i y) ǁ

≤ ∑ w i ǁT i x − T i yǁ ≤ ∑ w i ǁx − yǁ = ǁx − yǁ.

(ii) Vái MQI x, y ∈ X ta có

Do đó, S là toán tu không giãn.

Giã su Ti1 là toán tu co, túc là ton tai αi1 ∈ (0, 1) sao cho ǁT i1 x − T i1 yǁ ≤ α i1 ǁx − yǁ.

De thay

ǁTx − Tyǁ ≤ α i1 ]ǁx − yǁ.

Do αi1 ∈ (0, 1) nên suy ra S là toán tu co.

Tiep theo ta se tìm hieu ve láp các toán tu tna không giãn Láp toán tu này không có

tính chat liên tnc, th¾m chí neu nó liên tnc thì cũng chưa chac là toán tu không giãn.Tuy nhiên neu m®t toán tu không giãn có điem bat đ®ng thì nó se nam trong láp cáctoán tu tna không giãn Trưác het ta có đ%nh nghĩa sau

Đ%nh nghĩa 1.2 Cho C là m®t t¾p con khác rőng cua X Toán tu T : X → H đưac GQI là (i) đơn đi¾u Fejér tương nng vái C neu

ǁTx − zǁ ≤ ǁx − zǁ vái MQI x ∈ X, z ∈ C.

(ii) đơn đi¾u Fejér ch¾t tương nng vái C neu

ǁTx − zǁ < ǁx − zǁ vái MQI x ∈ X \ C, z ∈ C.

Bang m®t phép bien đői tương đương dưái đây

ǁz − yǁ ≤ ǁz − xǁ ⇐⇒ .z − y + x , y − xΣ ≥ 0, (1.1)vái MQI x, y, z ∈ H.thì m®t toán tu T : ΣX → H là toán tu đơn đi¾u Fejér tương

Đ%nh nghĩa 1.3 Toán tu T : X → H có điem bat đ®ng, đưac GQI là

(i) tna không giãn neu T là toán tu đơn đi¾u Fejér tương nng vái Fix T, tnc là

ǁTx − zǁ ≤ ǁx − zǁ vái MQI x ∈ X, z ∈ Fix T.

(ii) tna không giãn ch¾t neu T là toán tu đơn đi¾u Fejér tương nng vái Fix T, tnc là

ǁTx − zǁ < ǁx − zǁ vái MQI x ∈ X\ Fix T, z ∈ Fix T.

(iii) C- tna không giãn ch¾t, vái C ƒ= ∅, C ⊆ Fix T, neu T là toán tu tna không

giãn và

ǁTx − zǁ < ǁx − zǁ vái MQI x ∈/ Fix T, z ∈ C.

M¾nh đe 1.3 Cho X là t¾p con khác rőng cua không gian Hilbert H (T i)i∈I là m®t HQ hñu han các toán tu tna không giãn tn X vào H sao cho iTI Fix T i ƒ= ∅ Cho (w i)i∈I , w i > 0 và

∑ wi = 1 Đ¾t T = ∑ wiTi Khi đó Fix T = T Fix T∈

Chnng minh Lay x ∈ iTI Fix Ti Khi đó, vái MQI i ∈ I thì x = T i x Do đó Tx

=

∑ wiTix = ∑ wix = x S∈uy ra x ∈ Fix T hay T Fix Ti ⊂ Fix T

Tiep theo ta can chúng minh Fix T ⊂ iTI Fix Ti Th¾t v¾y, vái y ∈ iTI Fix Ti , x ∈ X và

2 .T i x − x.x − yΣ = ǁT i x − yǁ2 − ǁT i x − xǁ2 − ǁx − yǁ2 ≤ −ǁT i x − xǁ2.Vái x ∈ Fix T thì

Do v¾y, ∑ wiǁTix − xǁ2 = 0 hay x ∈

T

Fix Ti i∈I

M¾nh đe 1.4 Cho X là m®t t¾p con khác rőng cua không gian Hilbert thnc H T1, T2 là các

Fix T1∩ Fix T2 ƒ= ∅ Khi đó toán tu tna không giãn tn X vào X Giã su T1 ho¾c T2 là toán tu tna không giãn ch¾t sao cho

(i) Fix T1T2 = Fix T1∩ Fix T2.

(ii) T1T2 là toán tu tna không giãn.

(iii)Neu T1 và T2 là toán tu tna không giãn ch¾t thì T1T2 cũng là toán tu tna không giãn ch¾t.

Chnng minh. (i) Lay x ∈ Fix T1∩ Fix T2, suy ra x ∈ Fix T1 và x ∈ Fix T2 hay x = T1x

và x = T2x Do đó T1T2x = T1x = x Suy ra x ∈ Fix T1T2

Ngưac lai, ta lay x ∈ Fix T1T2 và y ∈ Fix T1∩ Fix T2 Ta có các trưàng hap:

+) T2x ∈ Fix T1 thì T2x = T1T2x = x Suy ra x ∈ Fix T1∩ Fix T2

+) x ∈ Fix T2 thì T1x = T1T2x = x Suy ra x ∈ Fix T1∩ Fix T2

+) T2x ∈/ Fix T1 và x ∈/ Fix T2.

Khi đó, neu T1 là toán tu tna không giãn ch¾t thì

ǁx − yǁ = ǁT1T2x − yǁ < ǁT2x − yǁ ≤ ǁx − yǁ.

Suy ra vô lý Tương tn cho trưàng hap T2 là toán tu tna không giãn ch¾t Dov¾y T2x ∈ Fix T1 ho¾c x ∈ Fix T2

(ii) Vái x ∈ X và y ∈ Fix T1T2 = Fix T1∩ Fix T2, ta có

ǁT1T2x − yǁ ≤ ǁT2x − yǁ ≤ ǁx − yǁ.

Suy ra T1T2 là toán tu tna không giãn

(iii) Vái x ∈ X\ Fix T1T2 và y ∈ Fix T1T2, ta có

+) Neu x ∈/ Fix T2 thì ǁT1T2 x − yǁ ≤ ǁT2 x − yǁ < ǁx − yǁ.

+) Neu x ∈ Fix T2\ Fix T1 thì ǁT1T2x − yǁ = ǁT1x − yǁ < ǁx − yǁ

Đ%nh lý đưac chúng minh

12

nguyên dương và I = {1, , m} Giã su (T i)i∈I là m®t HQ các toán tu tna không giãn

ch¾t tn H¾ quá 1.1 Cho X là m®t t¾p con khác rőng cua không gian Hilbert thnc H, m

là m®t so X vào X sao cho iTI Fix T i ƒ= ∅ và T = T1 · · · T m Khi đó T là toán tu tna không giãn ch¾t và

k = m, túc là T = T1 T m là toán tu tna không giãn ch¾t và Fix T = Fix T i

Ta chúng minh h¾ quã đúng vái trưàng hap k = m + 1 Th¾t v¾y, gi∈ã su Tm+1 làtoán tu tna không giãn ch¾t Khi đó T và Tm+1 là hai toán tu tna không giãn ch¾t nêntheo M¾nh đe 1.4 thì TTm+1 cũng là toán tu tna không giãn ch¾t và Fix (TTm+1)= Fix

T Fix TV¾y h¾ quã đưac chúng minh.m+1

1.2 Toán tú không giãn vung

Đ%nh nghĩa 1.4 Toán tu T : X → H đưac GQI là m®t toán tu không giãn vñng neu

ǁTx − Tyǁ2 + ǁ(Id − T)x − (Id − T)yǁ2 ≤ ǁx − yǁ2vái MQI x, y ∈ X.

Tù các đ%nh nghĩa ta có the thay láp các toán tu không giãn vung chúa trong láp cáctoán tu không giãn Moi quan h¾ giua hai láp toán tu đưac su dnng nhieu đe nghiêncúu ve toán tu không giãn vung

M¾nh đe 1.5 Cho toán tu T : X → H và x, y ∈ X Khi đó các khang đ%nh sau là tương

đương:

(i) T là toán tu không giãn vñng,

(ii) Id − T là toán tu không giãn vñng,

(iii) 2T − Id là toán tu không giãn,

(iv)ǁTx − Tyǁ2 ≤ (x − y, Tx − Ty) ,

(v) (Tx − Ty, (Id − T)x − (Id − T)y) ≥ 0,

(vi)(Ty − Tx, x − Tx) + (Tx − Ty, y − Ty) ≤ 0,

(vii) (Ty − x, Tx − x) + (Tx − y, Ty − y) ≥ ǁTx − xǁ2 + ǁTy − yǁ2,

(viii) ǁTx − Tyǁ ≤ ǁα(x − y) + (1 − α)(Tx − Ty)ǁ, vái α ≥ 0.

Chnng minh Ta chúng minh sn tương đương cua các khang đ%nh này.

+) (i) ⇔ (ii) Ta có

ǁx − yǁ2 ≥ǁTx − Tyǁ2 + ǁ(Id − T)x − (Id − T)yǁ2

=ǁ[Id − (Id − T)x] − [Id − (Id − T)y]ǁ2 + ǁ(Id − T)x − (Id −

T)yǁ2

Do đó, theo đ%nh nghĩa toán tu không giãn vung suy ra T là toán tu không giãnvung neu và chi neu Id − T là toán tu không giãn vung

+) (i) ⇔ (iii) Ta có

ǁ(2T − Id)x − (2T − Id)yǁ2 − ǁx − yǁ2

=ǁ2(Tx − Ty) + (1 − 2)(x − y)ǁ2 − ǁx − yǁ2

=2ǁTx − Tyǁ2 + (−1)ǁx − yǁ2 − 2(1 − 2)ǁTx − Ty − (x − y)ǁ2 − ǁx −

yǁ2

=2ǁTx − Tyǁ2 − ǁx − yǁ2 + 2ǁ(Id − T)x − (Id − T)yǁ2 − ǁx − yǁ2

=2ǁTx − Tyǁ2 + 2ǁ(Id − T)x − (Id − T)yǁ2 − 2ǁx − yǁ2

Tù bien đői trên suy ra T là toán tu không giãn vung neu và chi neu 2T − Id làtoán tu không giãn

+) (i) ⇔ (iv) Ta có

ǁ(Id − T)x − (Id − T)yǁ2 + ǁTx − Tyǁ2

=ǁ(x − y) − (Tx − Ty)ǁ2 + ǁTx − Tyǁ2

=ǁx − yǁ2 + 2ǁTx − Tyǁ2 − 2 (x − y|Tx − Ty)

Hơn nua, theo (i) thì T là toán tu không giãn vung nên

ǁTx − Tyǁ2 ≤ (x − y|Tx − Ty)

Do đó bat đang thúc trên tương đương vái

ǁ(Id − T)x − (Id − T)yǁ2 + ǁTx − Tyǁ2 ≤ ǁx − yǁ2

(Ty − Tx, x − Tx) + (Tx − Ty, y − Ty) ≤ 0

⇔ (Tx − Ty, x − Tx) − (Tx − Ty, y − Ty) ≥ 0

⇔ (Tx − Ty, x − y − (Tx − Ty)) ≥ 0

⇔ǁTx − Tyǁ2 ≤ (x − y, Tx − Ty)

+) (vi) ⇔ (vii) Tương tn, ta có

(Ty − Tx, x − Tx) + (Tx − Ty, y − Ty) ≤ 0

⇔ (Ty − x + x − Tx, Tx − x) − (Tx − y + y − Ty, y − Ty) ≥ 0

⇔ (Ty − x, Tx − x) + (Tx − y, Ty − y) ≥ ǁTx − xǁ2 + ǁTy − yǁ2

H¾ quá 1.2 Cho T : H → H là toán tu tuyen tính Khi đó các khang đ%nh sau là tương

đương:

(i) T là toán tu không giãn vñng,

(ii) ǁ2T − Idǁ ≤ 1,

(iii) ǁTxǁ2 ≤ (x, Tx) vái MQI x ∈ H,

(iv) T ∗ là toán tu không giãn vñng,

(v) T + T ∗ − 2T ∗ T là toán tu dương.

Chnng minh Ta chúng minh các khang đ%nh tương đương như sau.

+) (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii) Theo M¾nh đe 1.5 thì T là toán tu không gian vung neu và chi neu 2T − Id là toán tu không giãn Do đó

ǁ(2T − Id)x − (2T − Id)0ǁ ≤ ǁx − 0ǁ ⇔ ǁ(2T − Id)xǁ ≤ ǁxǁ.

Suy ra ǁ2T − Idǁ ≤ 1 Hơn nua, vái 2T − Id là toán tu không giãn thì

ǁTx − T0ǁ2 ≤ (x − 0, Tx − T0) ⇔ ǁTxǁ2 ≤ (x, Tx)

+) (i) ⇔ (iv) Ta có

ǁ2T ∗ − Idǁ = ǁ(2T − Id) ∗ ǁ = ǁ2T − Idǁ ≤ 1.

Do đó 2T∗ − Id là toán tu không giãn hay suy ra T ∗ là toán tu không giãn vung

Tù đó suy ra T + T∗ − 2T ∗ T là toán tu dương.

Đ%nh nghĩa 1.5 Cho β là m®t so thnc dương M®t toán tu T : X → H đưac GQI là β-đơn đi¾u manh ngưac neu βT là toán tu không giãn vñng, tnc là

(x − y, Tx − Ty) ≥ βǁTx − Tyǁ2vái MQI x, y ∈ X.

M¾nh đe 1.6 Cho H, K là các không gian Hilbert thnc, β ∈ R+, T : K → K là toán tu β−đơn đi¾u manh ngưac, Q ∈ L(H, K) sao cho Q ƒ= θ và γ = β 2 Khi đó Q ∗ TQ là toán

tu γ−đơn đi¾u manh ngưac.

Tù đó suy ra Q∗ TQ là γ−đơn đi¾u manh ngưac.

và Q ∈ L(H, K) sao cho ǁQǁ ƒ= 0 và ǁQǁ ≤ 1 Khi đó Q ∗ TQ là toán tu không giãn vñng

H¾ quá 1.3 Cho K là m®t không gian Hilbert thnc, T : K → K là toán tu không giãn vñng

Chnng minh Vì T là toán tu không giãn vung nên T là toán tu 1−đơn đi¾u manh

ngưac

Theo M¾nh đe 1.6, vái γ = 1 2 ≥ 1 thì

(x − y|Q ∗ TQx − Q ∗ TQy) ≥ γǁQ ∗ TQx − Q ∗ TQyǁ2 ≥ ǁQ ∗ TQx − Q ∗ TQyǁ2

Do đó Q∗ TQ là toán tu 1−đơn đi¾u manh ngưac hay Q ∗ TQ là toán tu không giãn

vung

ǁQǁ

Chương 2

Toán tú không giãn trung bình

2.1 Toán tú không giãn trung bình

Cho H là m®t không gian Hilbert thnc vái tích trong (., ) và chuan ǁ.ǁ tương úng

X

là m®t t¾p con khác rőng cua H

Đ%nh nghĩa 2.1 Cho T : X → H là m®t toán tu không giãn, α ∈ (0, 1) Toán tu T đưac

GQI toán tu không giãn R : X → H sao cho T = (1 − α)Id + αR.

là toán tu không giãn trung bình vái h¾ so α hay α−không giãn trung bình neu ton tai m®t

M¾nh đe 2.1 Cho X là t¾p con khác rőng cua H, T : X → H là toán tu không giãn và

α ∈ (0, 1) Khi đó các khang đ%nh sau là tương đương:

(i) T là toán tu α−không giãn trung bình,

(ii).1 − 1 Σ Id + 1 Σ T là toán tu không giãn,

(iii) ǁTx − Tyǁ2 ≤ ǁx − yǁ2 − 1− α α ǁ(Id − T)x − (Id − T)yǁ2, ∀x, y ∈ X,

(iv) ǁTx − Tyǁ2 + (1 − 2α)ǁx − yǁ2 ≤ 2(1 − α) (x − y, Tx − Ty) , ∀x, y

T = (1 − α)Id + αR và

ǁRx − Ryǁ2 =ǁ(1 − λ)(x − y) + λ(Tx − Ty)ǁ2

=(1 − λ)ǁx − yǁ2 + λǁTx − Tyǁ2 − λ(1 − λ)ǁ(Id − T)x − (Id − T)yǁ2

=ǁx − yǁ2 − α1 ǁx − yǁ2 + 1 ǁTx − Tyǁ2

− 1 .1 − 1 Σ ǁ(Id − T)x − (Id − T)yǁ2

Do đó

ǁx − yǁ2 − ǁRx − Ryǁ2 =ǁx − yǁ2 − ǁTx − Tyǁ2

− 1 − αǁ(Id − T)x − (Id − T)yǁ2

Tù bien đői trên suy ra (i) ⇔ (ii)

+) Tiep theo ta chúng minh (ii) ⇔ (iii) Vái R là toán tu không giãn thì vái MQI x, y ∈ X

+) Chúng minh (iii) ⇔ (iv) Ta có

ǁ(Id − T)x − (Id − T)yǁ2 = ǁx − yǁ2 + ǁTx − Tyǁ2 − 2 (x − y, Tx − Ty)

αǁTx − Tyǁ2 + (1 − α)ǁTx − Tyǁ2 ≤αǁx − yǁ2 − (1 − α)ǁx − yǁ2

− 2(1 − α) (x − y, Tx − Ty)

Tiep theo ta có m¾nh đe ve sn bão toàn tính không giãn trung bình cua toán tu.

M¾nh đe 2.2 Cho toán tu T : X → H, các hang so α ∈ (0, 1) và λ ∈ 0, 1 Khi đó T là toán tu α−không giãn trung bình neu và chi neu (1 − λ)Id + λT là toán tu λα−không giãn trung bình.

sao cho T = (1 − α)Id + αR Khi đó Chnng minh Do T là toán tu không giãn trung bình nên ton tai R là toán tu không

M¾nh đe 2.3 Cho X là t¾p con khác rőng cua không gian Hilbert thnc H và (T i)i∈I là m®t

HQ hñu han các toán tu Giã su vái mői i ∈ I, (α i)i∈I ⊂ (0, 1) thì T i : X → H là toán tu

αi−không giãn trung bình Khi đó vái (wi)i∈I ⊂ (0, 1] thõa mãn ∑ wi = 1, đ¾t T = ∑ wiTi

và α = ∑ wiαi thì T là toán tu αkhông giãn trung bình.

i∈I

Chnng minh Do T i là α i −không giãn trung bình nên ton tai toán tu không giãn R i sao

cho Ti = (1 − αi)Id + αi Ri vái MQI i ∈ I Đ¾t R = 1 ∑ wiαi Ri De thay R là

toán tu

không giãn Ta có

α i∈I

=Id − αId + αR = (1 − α)Id + αR.

Tù đó suy ra T là toán tu α−không giãn trung bình

Như ta đã biet trong Chương 1, hap cua m®t so huu han các toán tu không giãncũng là toán tu không giãn M¾nh đe dưái đây cho ta tính bão toàn ve tích cua m®t

so huu han các toán tu không giãn trung bình

Đ¾t T1 = (1 − α)I + αR là toán tu không giãn trung bình thì toán tu tích T = T1T2

có dang T = (1 − α)T2 + αRT2 Ta có m¾nh đe sau

α

.Σ

Σ α

−

tu α2−không giãn trung bình, vái α1, α2 ∈ (0, 1) Đ¾t

M¾nh đe 2.4 Cho T1 : X → H là toán tu α1−không giãn trung bình và T2 : X → H là

α2

ǁT1T2x − T1T2yǁ2 ≤ǁT2x − T2yǁ2 − 1 − α1 ǁ(Id − T1)T2x − (Id − T1)T2yǁ2

≤ǁx − yǁ2 − 1 − α2 ǁ(Id − T2)x − (Id − T2)yǁ2

− 1 − α1 ǁ(Id − T1)T2x − (Id − T1)T2yǁ2.Hơn nua, vái MQI x, y ∈ H và α ∈ R thì

Tiep theo ta có ket quã cho phép hap cua m toán tu không giãn trung bình vái m ≥ 2

Khi đó T là toán tu α−không giãn trung bình.

Chnng minh Ta chúng minh bang phép quy nap theo k ∈ {2, , m} Vái k = 2, theo

M¾nh đe 2.4 và lưu ý h¾ so α trong M¾nh đe 2.3 có the đưac viet lai thành

Giã thiet m¾nh đe đúng vái k = m − 1, túc là T J := T1 · · · T m−1 là toán tu

β m−1 −không giãn trung bình Ta can chúng minh T = T1 · · · T m là toán tu

β m −không giãn trung bình Th¾t v¾y theo M¾nh đe 2.3 thì toán tu T = TJ T m là toán

tu không giãn trung bình vái h¾ so1

1 + 1

1

=

1

1 +

1

=

1

V¾y đ%nh lý đưac chúng minh.

33

Tiep theo là m®t so m¾nh đe ve moi quan h¾ giua toán tu không giãn, toán tu không giãn vung, toán tu đơn đi¾u manh ngưac và toán tu không giãn trung bình.

dương β Khi đó, neu T : X → H là toán tu β−đơn đi¾u manh ngưac thì vái γ ∈ (0, 2β)

ta M¾nh đe 2.6 Cho X là t¾p con khác rőng cua không gian Hilbert thnc H và m®t so thnc

có Id − γT là toán tu γ −không giãn trung bình.

Chnng minh Ta có T là toán tu β−đơn đi¾u manh ngưac nên βT là toán tu 1 −khônggiãn trung bình Theo đ%nh nghĩa, ton tai toán tu không giãn R sao cho βT = 1 Id + 1 R.

2β −không giãn trung bình.

M¾nh đe 2.7 Neu T : X → H là m®t toán tu α−không giãn trung bình thì vái MQI x ∈ X\ Fix T và y ∈ Fix T thì ǁTx − yǁ2 < ǁx − yǁ2 Do đó, T là toán tu tna không giãn ch¾t Hơn nña, neu α ∈ 0, 1 thì T là toán tu không giãn vñng.

Chnng minh Tù M¾nh đe 2.1 ta có

ǁTx − Tyǁ2 ≤ ǁx − yǁ2 − 1 − αǁ(Id − T)x − (Id − T)yǁ2, ∀x, y ∈ X.Vái x ∈ X\ Fix T và y ∈ Fix T, ta đưac

ǁTx − yǁ2 < ǁx − yǁ2

Do đó T là m®t toán tu không giãn ch¾t M¾t khác, cũng theo M¾nh đe 2.1 thì

ǁx − yǁ2 ≥ 1 − α ǁ(Id − T)x − (Id − T)yǁ2 + ǁTx −

α

α

α

ǁTx − Tyǁ2 + ǁ(Id − T)x − (Id − T)yǁ2 ≤ ǁx − yǁ2

Do đó, T là toán tu không giãn vung

Xét toán tu T và Id − T, ta có h¾ thúc liên h¾

ǁx − yǁ2 − ǁTx − Tyǁ2 = 2 ((Id − T)x − (Id − T)y, x − y) − ǁ(Id − T)x − (Id

− T)yǁ2

Tù đó de dàng thay rang T là toán tu không giãn neu và chi neu Id − T là toán tu

1 −đơn đi¾u manh ngưac.

M¾nh đe 2.8 Toán tu T : X → H là toán tu không giãn trung bình neu và chi neu Id − T

là toán tu µ−đơn đi¾u manh ngưac vái µ > 1

toán tu không giãn N sao cho T = (1 − α)Id + αN hay Id − T = α(Id − N) M¾t

Chnng minh Giã su T là toán tu α−không giãn trung bình Theo đ%nh nghĩa, ton tai

khác, do N là toán tu không giãn nên Id − N là toán tu 1 −đơn đi¾u manh ngưac và

α(Id − N) là toán tu 1 −đơn đi¾u manh ngưac De thay do α ∈ (0, 1) nên 1 > 1.

Ngưac lai, giã su Id − T là toán tu µ−đơn đi¾u manh ngưac vái µ > 1 Đ¾t α = 1

và T = (1 − α)Id + αN, vái N = Id − 1 (Id − T) Suy ra Id − N = 1 (Id − T) là toán

tu αµ−đơn đi¾u manh ngưac hay 1 −đơn đi¾u manh ngưac Do đó N là toán tu

không giãn thì T là toán tu không giãn trung bình

M¾nh đe 2.9 Cho T : X → H là toán tu không giãn trung bình Giã su T = (1 − α)A +

αN vái α ∈ (0, 1) Khi đó neu A là toán tu không giãn trung bình và N là toán tu không giãn thì T là toán tu không giãn trung bình.

Chnng minh Đ¾t A = (1 − β)Id + βM vái β ∈ (0, 1) và M là toán tu không giãn.

Đ¾t 1 − γ = (1 − α)(1 − β) Khi đó T = (1 − γ)Id + γ[(1 − α)βγ−1 M +

αγ −1 N] Do K := (1 − α)βγ −1 M + αγ −1 N là tő hap loi cua hai toán tu không giãn

nên K cũng là toán tu không giãn V¾y T là toán tu không giãn trung bình

M¾nh đe 2.10 Cho T1, T2 là các toán tu không giãn trung bình và Fix T1∩ Fix T2 ƒ= ∅.

Khi đó Fix T1∩ Fix T2 = Fix T1T2 = Fix T2T1.

T1T2 và T2T1 cũng là toán tu không giãn trung bình Ta se chúng minh Fix T1∩ Fix T2 = Chnng minh Vái T1, T2 là các toán tu không giãn trung bình nên theo M¾nh

đe 2.4 thì Fix T2T1 Trưàng hap Fix T1∩ Fix T2 = Fix T1T2 là tương tn

manh ngưac vái µ, ν ∈ ( 1 , +∞) Khi đó vái MQI z ∈ Fix T1∩ Fix T2 ⊂ Fix T2T1 ƒ= ∅ và Giã su Id − T1 là toán tu µ−đơn đi¾u manh ngưac và Id − T2 là toán tu ν−đơn đi¾u vái MQI x ∈ Fix T2 T2 ta có

((Id − T1)z − (Id − T1)x, z − x) ≥ µǁ(Id − T1)z − (Id − T1)xǁ

T1x = x và T2x = x hay x ∈ Fix T1 ∩ Fix T2.

V¾y m¾nh đe đưac chúng minh

dương và I = {1, , m} Giã su (T i)i∈I là m®t HQ các toán tu không giãn trung bình

tn X M¾nh đe 2.11 Cho X là t¾p con khác rőng cua không gian Hilbert thnc H, m là m®t so nguyên vào X sao cho iTI Fix T i ƒ= ∅ Đ¾t T := T1 · · · T m Khi đó Fix T = iTI Fix T i

Chnng minh Theo M¾nh đe 2.5 thì T là toán tu không giãn trung bình Ta có Fix

T i ⊂ Fix T Ta se chúng minh bao hàm thúc ngưac lai Th¾t v¾y, vái T i là toán tu

k∈hông giãn trung bình ta giã su Id − Ti là µ i −đơn đi¾u manh ngưac vái MQI i ∈ I.Lay x ∈ Fix T và z ∈ iTI Fix Ti ⊂ Fix T ta có

((Id − T i )z − (Id − T i )x, z − x) ≥ µ i ǁ(Id − T i )z − (Id − T i )xǁ

∈