Chuyen de tiep tuyen do thi ham so

- Học muốn nắm vững và hiểu sâu các bài toán về các bài toán tiếp tuyến đồ thị hàm số, giáo viên cần giúp học sinh hiểu rỏ: Đường thẳng cần thỏa đk gì mới gọi là tiếp tuyến của đồ thị hà[r]

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

1.1.1 Lý thuyết

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C):

y = f (x) và M (x0; y0) ∈ (C) Phương trình tiếp tuyến

tại của (C) tại M có dạng

(∆) : y = f0(x0)(x − x0) + y0

+ f/(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến

+ M (x0; y0) là tọa độ tiếp điểm

*Định lý: (Điều kiện tiếp xúc)

Để xét sự tiếp xúc của của hai đồ thị hàm số (C1) : y =

f (x) và (C2) : y = g(x), ta xét hệ phương trình

(

f (x) = g(x)

f0(x) = g0(x) (∗)

• Đồ thị (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau khi hệ (∗) có

nghiệm đối với ẩn x

• Nghiệm của hệ (∗) là hoành độ tiếp điểm

• x0 là hoành độ tiếp điểm Khi đó tiếp tuyến chung của

(C1) và (C2) tại điểm có hoành độ x0 là

y = f0(x0)(x − x0) + f (x0)

f0(3) = −9Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −9x + 25

Bài toán 3 Cho hàm số (C) : y = x + 1 − 2

2x − 1 Hãy viết phương trình tiếp tuyến với

y00(x0) = 0 ⇒ 6x0− 12 = 0 ⇒ x0 = 2 ⇒ y0 = 2Và

y0(2) = −3Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M (2; 2) là

d : y = 9x − 15Phương hoành độ giao điểm của d và (C) là:

x3− 3x + 1 = 9x − 15 ⇔ x3− 12x + 16 = 0

⇔(x − 2)2(x + 4) = 0 ⇔  x = 2 ⇒ y = 3

x = −4 ⇒ y = −51Vậy tiếp tuyến d cắt (C) tại điểm N (−4; −51)

Bài toán 6 Cho hàm số hàm số (C) : y = x +√

x + 3 Lập phương trình tiếp tuyến của(C) tại điểm M (1; 3)

y0(1) = 5

4Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 5

4x +

74Bài toán 7 Cho hàm số hàm số (C) : y = x +√

2x2+ 3x + 4 Lập phương trình tiếptuyến của (C) tại điểm M (1; 4)

Lời giải

Ta có x0 = 1; y0 = 4

y0 = 1 + 4x + 3

2√2x2+ 3x + 4

Suy ra

y0(1) = 13

6Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 13

6 x +

116

Bài toán 8 Cho hàm số hàm số (C) : y = x ln x Lập phương trình tiếp tuyến của (C)tại điểm M (1; 0)

Lời giải

Ta có x0 = 1; y0 = 0

y0 = ln x + 1Suy ra

y0(1) = 1Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = x − 1

Bài toán 9 Cho hàm số hàm số (C) : y = xex Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tạiđiểm M (1; e)

Lời giải

Ta có x0 = 1; y0 = e

y0 = (x + 1)exSuy ra

y0(1) = 2ePhương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2ex − e

Bài toán 10 Cho hàm số hàm số (C) : y = exln x Lập phương trình tiếp tuyến của(C) tại điểm M (1; 0)

Bài toán 11 Cho hàm số hàm số (C) : y = x sin x Lập phương trình tiếp tuyến của(C) tại điểm Mπ

2;

π2



Lời giải

Ta có x0 = π

2; y0 =

π2

y0 = sin x + x cos x

Suy ra

y0π2



= 1Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = x

3x − 8 tại N (3; 7) d) y =

x2− 3x + 4

x − 1 tại N (2; 2)e) y = x + 2

x − 1 tại N (2; 4) f) y = 2 −

42x − 1 tại N (1; −2)g) y =√



i) y = x − ln(x − 2) tại điểm A(3; 3) j) y = (x − 1)ex tại điểm A(2; e2)

Bài 2 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

a) y = (x − 1) ln x tại M (2; ln 2) b) y = (x + 1) cos x tại N (0; 1)

c) y = e

x

1 + ex tại điểm A(0; 1) d) y = 2x

1 + x2 tại điểm A(1; 1)e) y = exln(2x − 1) tại điểm A(1; 0) f) y = x ln(x + 1) tại điểm A(1; ln 2)g) y = x cos x tại điểm A(π; −π) h) y = x sin 2x tại điểm Aπ

4;

π4

thị (C) tại B Tìm tọa độ điểm B

Bài 4 Cho hàm số (C) : y = x

x − 1 Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho dcắt hai tiệm cận của (C) tạo thành tam giác cân

Bài 5 Cho hàm số (C) : y = −x + 1 + m

2x − 1 Tìm giá trị m để hàm số có cực đại tại A

và tiếp tuyến của (Cm) tại A cắt Oy tai B mà tam giác OAB vuông cân

Bài toán 12 Biết phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f (x) tại điểm có hoành độ

Bài toán 13 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4+ x2− 4 tại điểmthuộc đồ thị có hoành độ bằng 1.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 6x − 8

Bài toán 14 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x + 3

2x − 3 tại điểm thuộc

y0(2) = −9

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −9x + 23

Bài toán 15 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4+ x2− 3x − 1 tạigiao điểm của đồ thị với trục tung

Lời giải

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm M (0; −1)

Ta có

y0 = 4x3+ 2x − 3Suy ra

y0(0) = −3Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −3x − 1

Bài toán 16 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3− x2− 4x + 4 tạigiao điểm của đồ thị với trục hoành

Lời giải

Ta có

y0 = 3x2− 2x − 4

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành

Lời giải

Ta có

y0 = 3x

2− 4x − 1(3x2+ 1)2

Mà

x0 = 1 ⇒ y0 = y(1) = 1

4Suy ra

y0(1) = −1

8Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −1

8x +

38

Bài toán 18 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x3− 6x2+ 1 tại tâmđối xứng

Lời giải

Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm cần tìm

Ta có

y0 = 6x2− 12x và y00= 12x − 12Xét

y00(x0) = 0 ⇔ 12x0− 12 = 0

⇔ x0 = 1 ⇒ y0 = −3Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tâm đối xứng I(1; −3) có y0(1) = −6 là

y = −6x + 3

Bài toán 19 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x3− 3x2+ x + 2 tạiđiểm có hoành độ x0 thỏa y00(x0) = 6.

Lời giải

Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm cần tìm

Ta có

y0 = 6x2− 6x + 1 và y00 = 12x − 6Do

y00(x0) = 6 ⇔ 12x0− 6 = 6 ⇔ x0 = 1 ⇒ y0 = 2Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M (1; 2) có y0(1) = 1 là

y0(1) = −1

ePhương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −1

ex +

2e

Bài toán 21 Cho hàm số hàm số (C) : y = ln(1 + x) Lập phương trình tiếp tuyến của(C) tại điểm có hoành độ bằng 1

Lời giải

Ta có x0 = 1 ⇒ y0 = ln 2

y0 = 1

1 + xSuy ra

y0(1) = 1

2Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 1

2x −

1

2+ ln 2Bài toán 22 Cho hàm số hàm số (C) : y = x√

x + 3 Lập phương trình tiếp tuyến của(C) tại điểm có hoành độ bằng 1

Suy ra

y0(1) = 9

4Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9

4x −

14Bài toán 23 Cho hàm số hàm số (C) : y =√

2x2+ 1 Lập phương trình tiếp tuyến của(C) tại điểm có hoành độ bằng −2

Lời giải

Ta có x0 = −2 ⇒ y0 = 3

y0 = √ 2x

x2+ 1Suy ra

y0(−2) = −4

3Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −4

3x +

13

Bài toán 24 Cho hàm số hàm số (C) : y = (x − 1) ln x Lập phương trình tiếp tuyếncủa (C) tại điểm có hoành độ bằng e

Lời giải

Ta có x0 = e ⇒ y0 = e − 1

y0 = ln x + 1 − 1

xSuy ra

y0(e) = 2 − 1

ePhương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2e − 1

y0(−1) = 9Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x + 6

Bài toán 26 Cho hàm số (C) : y = 2x + 1

x + 1 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm

có hoành độ bằng 0 cắt các trục tọa độ lần lượt tại A,B Tính diện tích

a) Diện tích tam giác OAB

b) Diện tích tam giác NAB với N (1; 0)

Lời giải

Ta có

y0 = 1(x + 1)2

Mà

x0 = 0 ⇒ y0 = y(0) = 1và

y0(0) = 1Phương trình tiếp tuyến tại M (0; 1) là

∆ : y = x + 1Gọi A = ∆ ∩ Ox ⇒ A(−1; 0)

B = ∆ ∩ Oy ⇒ B(0; 1)

Mặt khác

OA = 1; OB = 1a) Diện tích tam giác OAB vuông tại O là

d(N, ∆) = |1 − 0 + 1|

√

1 + 1 =

√2

và

AB =√

2Vậy

Bài 1 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

a) y = 2x2+ 3 tại điểm có hoành độ bằng 1

b) y = x

2− x − 2

x − 3 tại điểm có hoành độ bằng 4.

c) y = 2x − 3

x − 1 tại điểm có hoành độ bằng 2.

d) y = x4− 2x2− 3 tại điểm có hoành độ bằng 2

e) y = x

2− 3x − 4

x − 1 tại giao điểm với trục tung.

f) y = x3− 3x2+ x + 1 tại tâm đối xứng của đồ thị

Bài 2 Cho hàm số (C) : y = x4− x2+ 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

số

a) Tại giao điểm của (C) với trục tung

b) Tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng −2

Bài 3 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

a) y = x3+ 4x2+ 5x + 2 tại giao điểm với trục hoành

b) y = x3− 4x2+ 2x + 1 tại giao điểm với đường thẳng y = x − 5

c) y = x4 − x3 + 1 tại điểm có hoành độ x0 thỏa y00(x0) = 0

d) y = −x3+ 3x2− 6x − 11 tại giao điểm với trục tung

e) y = 1

3x

3− 2x2+ 3x − 5 tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm sô

Bài 4 Cho hàm số (C) : y = 2x + 1

x + 1 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành

độ bằng 0 cắt hai trục tọa độ tại A và B Tìm diện tích tam giác OAB

Bài toán 27 Viết Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y = f (x) tại điểm

y0 = 2 ⇒ 2x30+ 3x20+ 1 = 2 ⇔ 2x30+ 3x20− 1 = 0

⇔

" x0 = −1

x0 = 12

* Với x0 = −1; y0 = 2 và y0(−1) = 0 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d1 : y = 2

* Với x0 = 1

2; y0 = 2 và y

0 12

d1 : y = 2; d2 : y = 9

2x −1

4.

Bài toán 29 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x + 1

x + 1 tại điểm cótung độ bằng 3

Lời giải

Ta có

y0 = 1(x + 1)2

d1 : y = −x + 3; d2 : y = 1

2x +

5

2.

Bài toán 31 Cho hàm số (C) : y = 2x + 1

x − 1 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị tạiđiểm M ∈ (C) có tung độ bằng 5, cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A và B.a) Tính diện tích tam giác OAB

b) Tính diện tích tam giác NAB với N (0; 1)

Lời giải.

Ta có

y0 = −3(x − 1)2

Theo giả thuyết ta có

y0 = 5 ⇔ 2x0 + 1

x0− 1 = 5 ⇒ 2x0+ 1 = 5(x0− 1) ⇔ x0 = 2Suy ra

y0(2) = −3Phương trình tiếp tuyến tại M (2; 5) là

d(N, ∆) = |3.0 + 1 − 11|

√

32+ 1 =

√10Mặt khác

AB =

r121

9 + 121 =

11√103Vậy

Khi đó phương trình ti ếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M là :

(∆) : y = y0(a)(x − a) + 2a3− 3a2+ 1 = (6a2− 6a)(x − a) + 2a3− 3a2+ 1

= (6a2− 6a)x − 4a3 + 3a2+ 1

Vì tiếp tuyến cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8 nên tiếp tuyến qua điểm A(0; 8).

−4a3+ 3a2+ 1 = 8 ⇔ −4a3+ 3a2− 7 = 0

⇔ a = −1Vậy điểm M (−1; −4)

* Bài tập tương tự

Bài 1 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

a) y = x3+ 2x2+ x + 2 tại điểm có tung độ bằng 2

b) y = 2x + 3

x + 1 tại điểm có tung độ bằng 2.

c) y =√

x2+ 3x + 5 tại điểm có tung độ bằng 3

d) y = x3− 3x2− 2 tại điểm có tung độ bằng 2

e) y = x3 − x2 + x + 1 tại điểm có tung độ bằng 2

f) y = 2x − 4

x − 4 tại điểm có tung độ bằng 3.

Bài 2 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

a) y = x − 2

2x − 1 tại giao điểm với trục hoành.

Bài toán 33 Viết Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y = f (x) có hệ sốgóc k

1 Cho hai đường thẳng (∆1) : y = k1x + m1 và (∆2) : y = k2x + m2 Ta có

k1− k2

1 + k1k2

* Đặt biệt:

+ Nếu k2 = 0 thì ∆1 tạo với ∆2 một góc α thì tan α = |k1|

+ Nếu \(∆, Ox) = α thì k∆ = ± tan α

2 Cho hàm số (C) : y = ax3+ bx2+ cx + d với a 6= 0

+ Khi a > 0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

+ Khi a < 0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất

3 Một số trường hợp:

Trường hợp 1: Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k.

- Gọi M (x0; y0) là tọa độ tiếp điểm cần tìm

- Tính f0(x)

- Giải phương trình

f0(x0) = k ta được x0Suy ra

y0 = f (x0)

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = k(x − x0) + y0.Trường hợp 2: Biết tiếp tuyến tạo với trục Ox theo chiều dương một góc α

- Gọi M (x0; y0) là tọa độ tiếp điểm cần tìm

- Do tiếp tuyến tạo với trục Ox theo chiều dương một góc α nên

f0(x0) = tan α

- Giải phương trình

f0(x0) = tan α ta được x0Suy ra

y0 = f (x0)

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −1

k(x − x0) + y0.

Bài toán 34 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −x3− 3x2 + 2 có hệ

y0(x0) = −9 ⇔ −3x20− 6x0 = −9 ⇔ −3x20− 6x0+ 9 = 0 ⇔ x0 = 1

x0 = −3

* Với x0 = 1 ⇒ y0 = y(1) = −2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d1 : y = −9x + 7

* Với x0 = −3 ⇒ y0 = y(−3) = 2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d2 : y = −9x − 25.Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là

d1 : y = −9x + 7; d2 : y = −9x − 25

Bài toán 35 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x − 1

x + 1 có hệ số gócbằng 3

Lời giải

Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm cần tìm

Ta có

y0 = 3(x + 1)2

Theo giả thuyết ta có

y0(x0) = 3 ⇔ 3

(x0 + 1)2 = 3 ⇔ (x0+ 1)2 = 1 ⇔ x0+ 1 = 1

x0+ 1 = −1 ⇔ x0 = 0

x0 = −2

* Với x0 = 0 ⇒ y0 = y(0) = −1 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d1 : y = 3x − 1

* Với x0 = −2 ⇒ y0 = y(−2) = 5 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d2 : y = 3x + 11.Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là

Theo giả thuyết ta có

y0(x0) = 3 ⇔ 2x

2

0− 8x0+ 9(x0− 2)2 = 3 ⇔ x20− 4x0+ 3 = 0 ⇔ x0 = 1

x0 = 3

* Với x0 = 1 ⇒ y0 = y(1) = 0 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d1 : y = 3x − 3

* Với x0 = 3 ⇒ y0 = y(3) = 2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d2 : y = 3x − 7.Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là

Do tiếp tuyến tạo với trục Ox theo chiều dương một góc 450 nên

* Với x0 = 0 ⇒ y0 = y(0) = 1 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d1 : y = x + 1

* Với x0 = −2 ⇒ y0 = y(−2) = 3 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d2 : y = x + 5.Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là

• k = 1 Suy ra

6x20 − 8x0+ 1 = 1 ⇔ 6x20− 8x0 = 0 ⇔

" x0 = 0

x0 = 43+ x0 = 0 ⇒ y0 = y(0) = 0 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là



−2827



− 127

= −x + 8

27Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm

(∆1) : y = x; (∆2) : y = x − 64

27; (∆3) : y = −x; (∆4) : y = −x +

827

Bài toán 39 Cho hàm số (C) : y = x3− 3x2 − 12x + 5 Lập phương trình tiếp tuyếncủa (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Lời giải

Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 của (C) là

f0(x0) = 3x20− 6x0− 12 = 3(x0− 1)2− 15 ≥ −15Suy ra

f0(x0) ≥ −15

Dấu ” = ” xảy ra khi x0 = 1.

Do đó k nhỏ nhất bằng −15 khi

x0 = 1Suy ra

y0 = y(1) = −9Vậy tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất là y = −15x + 6

Bài toán 40 Cho hàm số (C) : y = 2x + 1

x + 2 Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tạovới đường thẳng d : y = 2x + 1 một góc 450

Lời giải

Ta có

y0 = 3(x + 2)2

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến

Theo giả tuyết ta có

tan 450 =

k − 2

1 + 2k

... 3x + song song với đường thẳng 3x − y − =

c) y = x4 + 3x2− song song với đường thẳng 10x − y − =

d) y = x + 2

x − song song... y = x

2+ 3x +

x + songsong với đường thẳng y = −3x +

Do tiếp tuyến song song ∆ : y = −3x + nên

y0(x0) = −3... 6x2+ 9x song song với đường thẳng 9x − y − =

Bài Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số

a) y = x

3

3 − 2x2+ x + song song