Ôn thi tốt nghiệp và CĐ, ĐH - Chuyên đề 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

- Vẽ các điểm cự trị của đồ thị hàm số, vẽ các giao với các trục.. - Dựa vào bảng biến thiên hoàn thiện đồ thị.[r]

Chuyên đề 1 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I Tính đơn điệu của hàm số y f x( ).

1 Định nghĩa:

Cho hàm y f x( ) xét trên  KD Khi 

- Hàm K    x1 x2 K f x( )1  f x( )2 (Ý

- Hàm K    x1 x2 K f x( )1  f x( )2 (YN

2 Định lý:

Cho hàm y f x( ) có 2 hàm trên  KD Khi 

- 0#$ f x( )0  x K thì hàm y  f x( ) ! "# trên K

- 0#$ f x( )0  x K thì hàm y  f x( ) * "# trên K

3 Quy tắc

1 Tìm 9 xác *

2 Tính 2 hàm f x( ) Tìm các ; x i i( 1, 2, , )n mà 2  f x( )i 0 5

f x( ) không xác *

3 ?9 " xét @A$ B) f x( )

4

4 Ví dụ

Ví

3

yx  x 

1

x

y

x







2

2 1

y x







Đáp án

b) Hàm ( 1;0) và (1;)

Hàm ( ; 1) và (0;1)

(1 )

x

2

2

(1 )

x

Ví

a) 1 3 2

3

c) 2 1 d)

1

x

y

x







2

yx  x

Đáp án

( 1)

x

d) Hàm ( 1;0) và (1;)

Hàm ( ; 1) và (0;1)

Ví

4

x

y

x





2

2

y xx

Đáp án

Hàm ( ; 2)và (2;)

II Cực trị của hàm số y  f x( ).

1 Định nghĩa

Cho hàm y f x( ) xác * và liên H trên  ( ; )a b và ; x0( ; )a b

+) h0 sao cho f x( ) f x( ) 0  x (x0 h x; 0 h) và xx0 thì ta nói hàm y  f x( ) 2 cực đại 2 x0

+) h0 sao cho f x( ) f x( ) 0  x (x0 h x; 0 h) và x x0 thì ta nói hàm y  f x( ) 2 cực tiểu 2 x0

Chú ý:

- y  f x( ) 2 J 2 J ;$ 2 thì   là ; J 2 x0 x0

  là giá * J 2 (giá * J ;$ B)

0

( )

f x

hàm f C§ ( f CT) 1; M x f x( ; ( ))0 0   là ; J 2 ;

- Các

2 Định lý

liên H trên  và có 2 hàm ( )

trên K 5 K \ x0 , FN h0

+) 0#$ y f x( ) P @A$ , @6 sang âm khi F qua thì là ; J x x0 x0



+) 0#$ y f x( ) P @A$ , âm sang @6 khi F qua thì là ; J x x0 x0

( )

y  f x

+) 0#$ y f x( ) không P @A$ khi F qua thì không  ; J * x x0 x0

( )

y f x

3 Quy tắc tìm cực trị

1 Tìm 9 xác *

2 Tính 2 hàm f x( ) Tìm các ; x i i( 1, 2, , )n mà 2  f x( )i 0 5

f x( ) không xác *

3 ?9 " xét @A$ B) f x( )

4

tìm giá * J *

4 Ví dụ

Ví

3

yx  x 

1

x

y

x







2

2 1

y x







Đáp án

3

x C§   y C§ 

3

x CT   y CT  b) Hàm x C§  0 y C§ 3

Hàm x CT   1 y CT 2

c) Hàm

d) Hàm

Ví

yx  x  c) y  x3 3x2 9x2 d) 4 2

2

yx  x

Đáp án

a) Hàm

b) Hàm x C§  0 y C§ 2

Hàm x CT  2 y CT  2

c) Hàm x C§  3 y C§ 29

Hàm x CT   1 y CT  3

d) b) Hàm x C§  0 y C§ 0

Hàm x CT   1 y CT  1

Ví

a) b)

2

1

y

x

  





Đáp án

a) Hàm x CT  0 y CT  2

b) Hàm x C§  2 y C§  3

Hàm x CT  0 y CT 1

III Khoảng lồi, lõm, điểm uốn.

1 Khoảng lồi, khoảng lõm của đồ thị

a) Định nghĩa

có 2 hàm trên  Ta nói V+

( )

+) 1! * ( ) C y f x( ) ! trên  #$ # $S# B) K ( ) C 2 W

; B) nó X$ V phía trên ! *

+) 1! * ( ) C y  f x( ) lõm trên  #$ # $S# B) K ( ) C 2 W ; B) nó X$ V phía @N ! *

b) Định lý

có 2 hàm A trên  Khi +

( )

+) 0#$ y f( )x   0 x K thì ! * ( ) C y  f x( ) ! trên K

+) 0#$ y f( )x   0 x K thì ! * ( ) C y f x( ) lõm trên K

2 Điểm uốn

a) Định nghĩa

có 2 hàm trên  Z) ; 0#$ ( )

! * ( ) C y f x( ) ! trên [ trong hai  ( ;a x0),( ; )x b0 và lõm trên  còn 2 thì ; U x f x( ; ( ))0 0   là ; $ B) ! * ( ) C ;

$ là ; phân chia hai ] ! và lõm B) ! *

b) Định lý

có 2 hàm A trên  Z) ; 0#$ ( )

và P @A$ khi F qua thì ; là [ ;

0

( ) 0

( )

y  f x

3 Quy tắc xét khoảng lồi, lõm, tìm điểm uốn

1 Tìm 9 xác *

2 Tính 2 hàm f( )x ,  6 trình f( )x 0

3 ?9 " xét @A$ B) f( )x

4

4 Ví dụ

Ví

yx  x  c) y  x3 3x2 9x2 d) 4 2

2

yx  x

a) (;0), lõm trên (0;), ; $ U(0; 4) b) (;1), lõm trên  (1;), ; $ U(1;0) c) (1;), lõm trên  (;1), ; $ U(1,13)

3 3

1

; 3

  

1

;

3

 

; 9 3

IV Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 2 và hàm số

y ax bx cxd

với

yax bx c a 0

1 Sơ đồ khảo sát

1 89 xác * D 

2 X$ "# thiên

- Tính y, tìm các ; x i i( 1, )n  mãn y x( )i 0

- ?9 " xét @A$ y

-

- Tính lim ( ) ?

x f x

- ?9 " "# thiên

3 1! *

- Tìm giao B) ! * FN các H 2 [ #$ tìm giao FN Ox khó thì "a qua).

-

- dJ) vào " "# thiên hoàn 7 ! *

Nhận xét: 1! * B) hàm "9 3 9 trung ; B) J 2 và J ;$ làm tâm 

Z 1! * B) hàm trùng 6 9 H Oy làm H  Z

2 Ví dụ

Giải.

f "# thiên

1! *

Ví 1 3 2.

3

y  x x

Giải.

f "# thiên

1! *

Giải.

f "# thiên

1! *

Ví y   x3 9x.

Giải.

f "# thiên

1! *

Giải.

f "# thiên

1! *

C1 C1

CT

y

1

1 -1

V Tiệm cận của đồ thị hàm số y  f x( )

1 Tiệm cận ngang

Cho hàm y  f x( ) xác * trên [  vô 2 (là các  @2

) 1g h   là g tiệm cận ngang ( ;a ), (; ), (b  ; ) y  y0

(hay y f x( ) #$ ít A [ trong các N 2 sau ! 2

lim ( ) ; lim ( )

x f x y x f x y

2 Tiệm cận đứng

1g h x x0   là g tiệm cận đứng (hay 7 9 Z B)

#$ ít A [ trong các N 2 sau ! 2

( )

y f x

lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) , lim ( )

3 Tiệm cận xiên

1g h y axb   là g tiệm cận xiên (hay 7 9 xiên)

#$+

( )

y  f x

5

x f x ax b

x f x ax b

* Cách tìm tiệm cận xiên:

Cách 1 Hai a b, trong 6 trình y axb  xác * theo công Z+

5

( ) lim , lim ( )

f x

x

lim , lim ( )

f x

x

Cách 2 ( ), có 7 9 xiên khi và j khi "9 B) N

( )

f x y

g x

6 "9 B) g x( ) Khi  ta tìm 7 9 xiên "V cách J 7 phép chia ) Z

( )

( )

h x

g x

( ) ( )

f x y

g x



Ví

2

y

x



 L

Cách 1 Ta có

2

2

a



b9S g h 1 7 là

y  x

Cách 2 Ta có

2

2

x

b9S g h 1 7 là

y  x

3 2

1 1

y x

 



 L

3

3

x

b9S g h y x là

1

1 -1

V Tiệm cận đồ thị hàm số y  f x( )

1 Tiệm cận ngang

Cho hàm y  f x( ) xác *...

f "# thi? ?n

1! *

Giải.

f "# thi? ?n

1! *

C1...

Giải.

f "# thi? ?n

1! *

Ví y   x3