Chuong2 dong hoc vi tri

Ma trận quay Tương tự, nếu quay vật rắn quanh trục Y một góc Tọa độ điểm P trên hệ trục tọa độ toàn cục lúc này có mối quan hệ với tọa độ địa phương qua công thức sau:... Ma

Trang 1

1 Giới thiệu

1 Ma trận quay

Vị trí duy nhất của một điểm P có thể biểu diễn trên các hệ tọa độ khác nhau:

Biểu diễn theo dạng vector:

Trang 2

2 Quay quanh trục toàn cục

Cho 2 hệ trục như sau:

OXYZ là hệ trục toàn cục

Oxyz là hệ trục địa phương

chứa một vật rắn có điểm

P

Ban đầu, 2 hệ trục này

được xếp trùng nhau

Trang 3

Bây giờ, quay vật rắn quanh trục Z một góc

Tọa độ điểm P trên hệ trục tọa độ toàn cục lúc

này có mối quan hệ với tọa độ địa phương qua

công thức sau:

Trang 4

Với:

Trang 5

Trang 6

Sau khi quay một góc quanh trục Z, vị trí của P lúc này là P2 và được biểu diễn theo 2 hệ tọa độ như sau:

Chứng minh:

Trang 7

Suy ra:

Hoặc:

Ma trận hướng

Trang 8

Hình dưới cho ta:

Trang 9

Tương tự, nếu quay vật rắn quanh trục Y một góc

Tọa độ điểm P trên hệ trục tọa độ toàn cục lúc này có mối quan hệ với tọa độ địa phương qua công thức sau:

Trang 10

Tương tự, nếu quay vật rắn quanh trục X một góc

Tọa độ điểm P trên hệ trục tọa độ toàn cục lúc này có mối quan hệ với tọa độ địa phương qua công thức sau:

Trang 11

Trang 12

Ví dụ:

Hãy tìm tọa độ của P trên hệ tọa độ toàn cục sau khi vật quay lần lượt quanh các trục Z, X và Y các góc 30, 30 và 90 độ Tọa độ ban đầu của P như hình

Trang 13

Giải:

Trang 14

Trang 15

Ví dụ: quay quanh trục toàn cục, tìm vị trí trên tọa độ địa phương

Một điểm P ở tọa độ [4, 3, 2] trên hệ toàn cục sau khi đã thực hiện một chuyển động quay quanh trục Z một góc 60 độ Hãy tìm tọa độ của điểm P trên hệ địa phương

Trang 16

Giải:

Trang 17

3 Quay quanh trục thuộc hệ địa phương

Quay vật rắn quanh trục z thuộc

hệ tọa độ địa phương một góc

Tọa độ điểm P trên hệ trục tọa độ

địa phương lúc này có mối quan

hệ với tọa độ toàn cục qua công

thức sau:

Trang 18

3 Quay quanh trục thuộc hệ địa phương

Trang 19

3 Quay quanh trục địa phương

Trang 20

Ví dụ:

Cho tay máy như hình Động cơ 1

quay tay máy quanh trục y một góc

-90 độ Sau đó động cơ 2 quay tay

máy quanh trục x một góc 90 độ

Giả sử, vị trí của điểm P trên hệ địa

phương sau khi thực hiện 2 chuyển

động quay là:

Hãy xác định tọa độ của P trên hệ

toàn cục

Trang 21

Giải:

Trang 22

4 Biến đổi tổng quát

Trang 23

5 Biến đổi chủ động và biến đổi bị động

Trang 24

Ví dụ:

Xét 2 hệ trục tọa độ toàn cục và địa phương trùng nhau ban đầu Cho một điểm

P có tọa độ trên hệ địa phương là:

Trường hợp 1: giả sử P cố định trên hệ địa phương Quay hệ địa phương quanh

X một góc 90 độ, thì tọa độ của P trên hệ toàn cục như sau:

Trang 25

Trường hợp 2: giả sử P cố định trên hệ toàn cục Quay hệ địa phương quanh X một góc 90 độ, thì chuyển động quay này có thể xem như hệ toàn cục với P cố định trên đó đang thực hiện chuyển động quay tương đối so với hệ địa phương một góc -90 độ Lúc này vị trí của P trên hệ địa phương được tính như sau:

Trang 26

6 Biến hình tương tự (Similarity Transformations)

Ma trận biểu diễn một phép biến hình tuyến tính tổng quát (vd phép quay) được chuyển từ hệ trục tọa độ này sang hệ trục tọa độ khác dùng phép biến hình tương tự Ví dụ A là ma trân biểu thị phép biến hình trong hệ tọa độ o0x0y0z0 và B là ma trân biểu thị cũng phép

biến hình đó nhưng biểu diễn trong hệ tọa độ o1x1y1z1 Ta có

Example 2.4

Ký hiệu tắt: cθ = cos θ, sθ = sin θ

Giả sử tọa độ o0x0y0z0 và o1x1y1z1

Quan hệ với nhau bởi

Nếu A = Rz,θ đối với o0x0y0z0 đối với o1x1y1z1 ta có

Nói cách khác, B là phép quay quanh z0 nhưng biểu diễn theo hệ tọa độ o1x1y1z1

B=( 0 R 1 ) -1 A( 0 R 1 )

0 R 1

B=( 0 R 1 ) -1 A( 0 R 1 )=

Trang 27

7 Quay quanh hệ tọa độ cố định (fixed) và Quay quanh hệ tọa độ hiện hành (current)

Quay quanh hệ tọa độ hiện hành

Trang 28

Rotation with respect to the current frame

Suppose a rotation matrix R represents a rotation of angle φ about the current y-axis followed by a rotation of angle θ about the current z-axis

R=R’?

Trang 29

Quay quanh hệ tọa độ cố định

0R2=?

Trang 30

6 Quay quanh hệ tọa độ cố định (fixed) và Quay quanh hệ tọa độ hiện hành (current)

Example

Suppose R is deﬁned by the following sequence of basic rotations in the order speciﬁed:

1 A rotation of θ about the current x-axis

2 A rotation of φ about the current z-axis

3 A rotation of α about the ﬁxed z-axis

4 A rotation of β about the current y-axis

5 A rotation of δ about the ﬁxed x-axis

R = Rx,δRz,αRx,θRz,φRy,β

Trang 31

1 Chuyển động vật rắn

2 Động học về chuyển động

Xét một vật rắn với hệ tọa độ B(oxyz) đang di chuyển so với hệ tọa độ toàn cục G(OXYZ) Vật rắn có thể quay trong hệ toàn cục, trong khi điểm o của khung B có thể dịch chuyển tương đối so với điểm gốc O của G như hình:

Trang 32

Gọi là tọa độ của P trên hệ địa phương B

là vị trí tương đối của điểm gốc di động o so với điểm gốc cố định OTọa độ của P trong hệ toàn cục được tính theo công thức sau:

Với:

Trang 33

Ví dụ 2.1:

Hình sau minh họa điểm P ở tọa độ

trên hệ địa phương là:

Hệ tọa độ địa phương sau đó được

quay quanh Z một góc 50 độ, và dịch

chuyển dọc các trục X, Y, Z lần lượt

các khoảng -1, 0.5, 0.2

Hãy xác định vị trí của P trong hệ

toàn cục

Trang 34

Giải:

Trang 35

Ví dụ 2.2:

Giả sử điểm P của vật rắn B ở thời điểm ban đầu có vị trí trên hệ khung B như sau:

Sau đó, vật quay quanh trục x một góc 45 độ và dịch chuyển một đoạn

Tính vị trí của P trên hệ khung toàn cục

Trang 36

Giải:

Trang 37

Quay tay máy một góc 60 độ và kéo dài một khoảng

Hãy xác định vị trí của P trên hệ khung toàn cục

Trang 38

Ví dụ 2.3:

Trang 39

là ma trận biến đổi từ sang trong trường hợp

là vector dịch chuyển của o so với O trong hệ toàn cục

Trang 40

Mà ta có vector dịch chuyển trong hệ địa phương B là:

Vì vậy, vector dịch chuyển này được tính trong hệ toàn cục như sau:

Trang 41

Từ đó, vị trí cuối của P tìm được:

Trang 42

2 Tổng hợp chuyển động

Cho các hệ khung G, B2, B1

Minh họa chuyển động rắn của hệ khung B1 so với B2

Minh họa chuyển động rắn của hệ khung B2 so với hệ toàn cục

Bằng cách thay phương trình thứ nhất vào thứ hai, ta có:

Trang 43

2 Tổng hợp chuyển động

Trong khi đó, chuyển động của hệ khung B1 so với hệ toàn cục có thể biểu diễn:

Từ đó, có thể thấy rằng:

Trang 44

3 Phép biến đổi đồng nhất (homogeneous)

Ở phần trước, vị trí của P trên hệ toàn cục được biểu diễn như sau:

Phương trình này có thể được sắp xếp một cách đơn giản bằng phương trình dạng đồng nhất sau:

Với:

Trang 45

Và

Chứng minh:

Trang 46

Trong khi đó, ở công thức tiêu chuẩn:

 2 công thức đều cho kết quả như nhau

Trang 47

Trang 48

Tách ma trận đồng nhất thành tích các ma trận dịch chuyển và quay:

Trang 49

Ma trận dịch chuyển đồng nhất, ma trận quay đồng nhất thuần túy:

Trang 50

Trang 51

Trang 52

4 Phép biến đổi đồng nhất ngược

Ma trận chuyển động đồng nhất có thể biểu diễn như sau:

Khi đó, ma trận ngược của nó sẽ có dạng:

Lưu ý:

Trang 53

Ví dụ 2.5:

Tìm ma trận biến đổi ngược của ma trận sau:

Giải:

Trang 54

Với:

Vì vậy, ma trận ngược có dạng:

Trang 55

Biến đổi ngược nhanh:

Thực tế có thể tách một ma trận biến đổi tổng quát thành tích của 2 ma trận dịch chuyển và quay rồi tận dụng đặc điểm nghịch đảo đơn giản của các ma trận nàyXét ma trận sau:

Trang 56

Vì vậy:

Trang 57

5 Phép biến đổi đồng nhất tổng hợp

Hình sau minh họa 3 hệ khung A, B, và C

Trang 58

Ma trận biến đổi từ hệ khung B sang hệ khung A như sau:

Ma trận biến đổi từ hệ khung C sang hệ khung B như sau:

Trang 59

Vì vậy, ma trận biến đổi từ hệ C sang hệ A có thể được tính bằng cách nhân 2 ma trận trên:

Trang 60

Và ma trận ngược của nó là:

Trang 61

Giả sử có các hệ khung G, 1, 2, 3, 4 Phép biến đổi từ hệ 4 sang hệ toàn cục như sau:

Ví dụ 2.6: Cho tay máy RPR như hình vẽ Vị trí của P trong khung là

Khung có thể quay quanh và trượt dọc phương

Khung có thể quay quanh trục Z của hệ toàn cục, trong khi gốc ở tạiHãy xác định vị trí của P trong hệ toàn cục

Trang 62

Giải:

Trang 65

Giải:

Ma trận biến đổi từ hệ B1 sang hệ khung nền G:

Ma trận biến đổi từ hệ B2 sang hệ B1:

Trang 69

Khâu (i) nối với khâu trước đó (i-1) bởi

khớp i và nối với khâu sau nó (i+1) bởi

khớp i+1 như hình

Trang 70

1 Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3 Động học thuận

Hình sau minh họa các khâu (i-1),

(i) và (i+1) của một robot nối tiếp

cùng với các khớp i-1, i, và i+1

Trên mỗi khâu của robot, người ta

gắn cố định cho nó một hệ khung

theo một phương pháp tiêu chuẩn

sau (phương pháp

Danevit-Hartenberg)

Trang 71

1 Trục đặt thẳng hàng với trục của khớp i+1

+ Chiều dương bất kỳ

+ Với khớp trượt thì trục chọn theo phương trượt

2 Trục được xác định là trục pháp tuyến chung giữa hai trục đến + Nếu 2 trục z chéo nhau thì đường pháp tuyến chung nối giữa 2 trục này là duy

nhất

+ Nếu 2 trục z song song nhau thì sẽ có vô số đường pháp tuyến chung nối giữa

2 trục này Trong trường hợp này, ta chọn trục pháp tuyến chung trùng với

đường với đường pháp tuyến chung nối các khớp trước hoặc sau đó

+ Nếu 2 trục z cắt nhau, sẽ không có đường pháp tuyến chung giữa chúng Trong trường hợp này, ta gán trục vuông góc với mặt phẳng tạo bởi 2 trục z và có chiều bất kỳ

3 Trục được xác định theo quy tắc bàn tay phải

Trang 72

 

Ambiguities in defining DH frames

Trang 73

Với việc áp dụng phương pháp DH, gốc của khung được xác định là giao điểm của trục khớp i+1 với đường pháp tuyến chung giữa 2 trục z

Một khung DH được xác định qua 4 thông số:

+ Chiều dài khâu là khoảng cách giữa 2 trục và dọc theo trục

+ Góc xoắn khâu là góc quay cần thiết quanh trục để trục song song với trục

+ Khoảng cách khớp là khoảng cách giữa hai trục và dọc theo trục Khoảng cách khớp còn được gọi là độ lệch khâu

+ Góc khớp là góc quay cần thiết quanh trục để trục song song với trục

Trang 74

Hình minh họa:

Trang 75

Bảng các tham số DH (tham số in đậm là biến khớp):

Trang 79

Giải:

Bảng tham số DH

Trang 80

a.Khâu với hoặc )

Trang 81

b Khâu với (hoặc )

Trang 82

c Khâu với (hoặc )

(hoặc hằng số)

Trang 83

d Khâu với (hoặc )

Trang 84

e Khâu với (hoặc )

Trang 85

e Khâu với (hoặc )

Trang 87

Giải:

Bảng tham số DH

Trang 89

Giải:

Bảng tham số DH

Trang 90

2 Ma trận biến đổi giữa 2 hệ khung liền kề

Lưu ý:

Để thuận lợi trong việc lập ma trận biến đổi từ hệ khung sang , ta thực hiện các bước sau:

+ Ban đầu, đưa hệ khung về trùng với hệ

+ Quay hệ một góc quanh trục

+ Dịch chuyển hệ dọc trục một đoạn

+ Quay hệ một góc quanh trục

+ Dịch chuyển hệ dọc trục một đoạn

Trong suốt quá trình này, đóng vai trò như hệ toàn cục còn đóng vai trò như hệ địa phương Những chuyển động này được xem như quay và dịch chuyển trong hệ toàn cục

Trang 91

Ma trận biến đổi T

Hoặc có thể biểu diễn:

Trang 92

Với:

Trang 93

Hoặc có thể biểu diễn:

Với:

Trang 94

Vì thế phương trình biến đổi từ hệ khung sang hệ khung

Trang 95

Ma trận biến đổi ngược:

Trang 96

Trang 97

Trang 98

Giải:

Các ma trận biến đổi:

Trang 99

3 Bài toán thuận về vị trí của robot

Bài toán thuận về vị trí: xác định ma trận biến đổi trong hệ toàn cục để từ đó có thể tìm được vị trí của P (thuộc hệ n) trong hệ toàn cục

Trang 100

Ví dụ 3.5:

Cho robot phẳng RRR như hình vẽ Hãy tìm vị trí của đầu tay máy trên hệ toàn cục

Trang 101

Giải:

Bảng DH:

Trang 102

Giải:

Các ma trận biến đổi

Trang 103

Vì vậy, ma trận đồng nhất biến đổi từ hệ 3 đến hệ khung nền:

Trang 104

Vị trí của điểm gốc hệ 3 xét trên hệ toàn cục có giá trị sau

Định dạng
Số trang	194
Dung lượng	5,49 MB