Dạy học vị trí tương đối giữa các đối tượng cơ bản của hình học không gian trong môi trường geogebra

Như vậy, vị trí của các vật thể trong không gian nói chung và vị trí tương đối VTTĐ giữa các đối tượng cơ bản trong không gian nói riêng là thành phần của TTTKG, do đó rất được quan tâm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Bùi Thị Minh Trâm Ngọc

GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG MÔI TRƯỜNG GEOGEBRA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Bùi Thị Minh Trâm Ngọc

DẠY HỌC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG MÔI TRƯỜNG GEOGEBRA

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin dành những dòng đầu tiên của luận văn để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến

TS Tăng Minh Dũng, người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học cũng như giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn các quý thầy cô đã tận tình giảng dạy, giải đáp thắc mắc, dẫn dắt chúng tôi lĩnh hội những kiến thức nền tảng, truyền cho chúng tôi niềm say

mê đối với chuyên ngành Didactic Toán Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các giáo sư Pháp: TS Annie Bessot và TS.Hamid Chaachoua đã gợi mở và định hướng đề tài luận văn cho chúng tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng sau đại học, Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư Phạm TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt

khóa học

- Ban giám hiệu và các thầy cô trong tổ Toán trường THPT Chu Văn An, Ninh Thuận đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập tại

trường ĐHSP TP.HCM cũng như hỗ trợ tôi trong phần thực nghiệm

- Ban giám hiệu và cô Nguyễn Thị Minh Đào trường THPT Châu Thành,

Bà Rịa Vũng Tàu đã giúp đỡ tôi trong phần thực nghiệm

- Vợ chồng bạn Nguyễn Thị Minh Yến giáo viên trường THPT Nam Kỳ Khởi Nghĩa TP.HCM, bạn Lê Đình Nhân giáo viên trường THPT Bác Ái tỉnh

Ninh Thuận đã có nhiều ý kiến đóng góp cho tôi trong phần thực nghiệm

Tôi cũng rất cảm ơn các bạn, các anh chị học cùng khóa 27 đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui, những khó khăn trong suốt quá trình học tập Đặc biệt là nhóm của tôi: anh Trần Văn Học, chị Nguyễn Thị Minh Đào, em Trần Thị Vân, những người đã động viên tinh thần, hỗ trợ và góp ý cho luận văn của tôi

Cuối cùng, tôi xin dành tấm lòng biết ơn của mình cho gia đình mình: bố mẹ, chị gái Những người đã luôn động viên tinh thần và là chỗ dựa cho tôi về mọi mặt

Bùi Thị Minh Trâm Ngọc

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ “Dạy học vị trí tương đối giữa các đối tượng

cơ bản của hình học không gian trong môi trường GeoGebra” là công trình nghiên

cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của TS Tăng Minh Dũng

Mọi số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nghiên cứu nào trước đây Tất cả những tham khảo và

kế thừa đều được trích dẫn và tham chiếu đầy đủ

Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên

Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2018

Người cam đoan

Bùi Thị Minh Trâm Ngọc

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục

Danh mục các từ viết tắt

Chương 1 ĐẶT VẤN ĐỀ 1

1.1 Câu hỏi xuất phát 1

1.2 Phạm vi nghiên cứu 2

1.3 Phạm vi lí thuyết tham chiếu 3

1.4 Cơ sở lý thuyết 3

1.4.1 Khái niệm mô hình trực quan 3

1.4.2 Danh mục thiết bị dạy học của bộ Giáo dục 5

1.4.3 Hình nổi: một mô hình trực quan mô phỏng 6

1.4.4 Ứng dụng hình nổi trong dạy học HHKG 8

1.4.5 Giới thiệu về Geogebra 9

1.5 Câu hỏi nghiên cứu 13

1.6 Phương pháp nghiên cứu 13

1.7 Giả thuyết nghiên cứu 13

1.8 Mục đích nghiên cứu 14

Chương 2 NGHIÊN CỨU CÁC TÀI LIỆU HỌC ĐƯỜNG VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 15

2.1 Yêu cầu dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong SGV Hình học 11 CB 15

2.2 Các tổ chức toán học trong SGK Hình học 11 CB 17

2.2.1 Phân tích chi tiết nhóm T 17

2.2.2 Phân tích chi tiết nhóm T’ 20

2.3 Kết luận chương 2 27

Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM VỀ VIỆC TÌM HAI ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU TRÊN HÌNH BIỂU DIỄN CỦA HỌC SINH 29

3.1 Giới thiệu thực nghiệm 1 29

3.2 Phân tích tiên nghiệm 29

3.2.1 Các lựa chọn sư phạm của thực nghiệm 29

3.2.1.1 Biến tình huống 30

3.2.1.2 Biến didactic 30

3.2.2 Các chiến lược 31

3.3 Phân tích hậu nghiệm 34

3.3.1 Lời giải theo chiến lược S1 35

3.3.2 Lời giải theo chiến lược S2 40

3.3.3 Các lời giải khác 42

3.3.4 Lời giải chưa đi đến kết quả 44

3.4 Kết luận chương 3 45

Chương 4 DẠY HỌC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG QUA MÔ HÌNH TRỰC QUAN 47

4.1 Nghiên cứu việc sử dụng mô hình trực quan của giáo viên 47

4.1.1 Mục đích nghiên cứu 47

4.1.2 Giới thiệu tiến trình tổ chức điều tra, phỏng vấn 47

4.1.3 Phân tích tiên nghiệm 49

4.1.4 Phân tích hậu nghiệm 52

4.2 Thực nghiệm 2 55

4.2.1 Mục đích thực nghiệm 55

4.2.2 Giới thiệu thực nghiệm 55

4.2.3 Tiến trình thực nghiệm 55

4.2.4 Phân tích tiên nghiệm: 58

4.1.5 Phân tích hậu nghiệm 62

4.1.5.1 Phân tích phiếu A 62

4.1.5.2 Phân tích phiếu B 64

4.1.5.3 Phân tích phiếu C 68

4.3 Kết luận chương 4 71

KẾT LUẬN 72

TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 PHỤ LỤC

Chương 1 ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Câu hỏi xuất phát

Trí tưởng tượng không gian (TTTKG) có vai trò trong nhiều hoạt động của con người như: định hướng di chuyển trong một thành phố lớn không quen biết hay trên biển; biểu diễn những cái mình nhìn thấy;… (Lê Thị Hoài Châu, 2008) Đồng thời, những sáng tạo mới trong khoa học, kỹ thuật, hội họa,…đều là sản phẩm của TTTKG (Vũ Thị Thái, 2001)

Theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT của Bộ Giáo dục ban hành chương trình giáo dục phổ thông yêu cầu một trong những phẩm chất tư duy cần bồi dưỡng cho học

sinh là phát triển TTTKG Trong khi đó, “đối tượng của TTTKG là các biểu tượng

không gian (BTKG) Đó là những biểu tượng phản ánh những đặc tính của không gian gồm những tính chất không gian (hình dạng, kích thước) và những quan hệ không gian (vị trí).” (Vũ Thị Thái, 2001, trang 4) Như vậy, vị trí của các vật thể trong không gian

nói chung và vị trí tương đối (VTTĐ) giữa các đối tượng cơ bản trong không gian nói riêng là thành phần của TTTKG, do đó rất được quan tâm trong giáo dục Toán học:

“Ngay từ những giờ học đầu tiên thầy giáo cần phải tập cho học sinh biết cách

biểu diễn đường thẳng, mặt phẳng và vị trí tương đối của chúng trong không gian sau

khi giới thiệu hình ảnh của chúng trong thực tế.” (SGV Hình học 11 CB, trang 8)

Tuy nhiên, trong dạy học hình học không gian (HHKG), học sinh gặp nhiều khó khăn khi nghiên cứu VTTĐ giữa các đối tượng cơ bản của HHKG (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) Chẳng hạn, trong bài toán (Bùi Đức Tước Hoàn, 2012):

“Xét bài toán: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác lồi có các cạnh đối

không song song Gọi E là điểm bất kì thuộc cạnh SB Tìm giao điểm của DE và (SAC)

Có học sinh đưa ra lời giải như sau:

Sai lầm này có thể được giải thích: “trong hình học phẳng ta luôn luôn có thể thực

hiện một hình vẽ chính xác đúng với cái mà ta tưởng tượng… Với HHKG thì không

phải như vậy – chẳng hạn hai đường thẳng cắt nhau trên hình biểu diễn lại có thể là

hai đường thẳng chéo nhau trên hình thực” (Lê Thị Hoài Châu, 2008, trang 206) Từ

đó, chúng tôi thấy việc tưởng tượng VTTĐ giữa các đối tượng của HHKG là điều cần thiết phải rèn luyện cho học sinh

Tuy nhiên, theo VuiBert (1912, trang 7) “một trong những khó khăn của việc dạy

hình học đến từ thực tế là không phải ai cũng có thể “nhìn hình không gian” Một số học sinh hoàn toàn bị bỏ lại bởi chướng ngại này: hình học đóng lại với chúng Một số khác có thể “nhìn” một cách khó khăn và không đầy đủ, họ có thể hiểu và nhớ các định nghĩa nhưng không thể quen với những hình trong không gian, đặc biệt là khi chúng phức tạp.” Theo SGV Hình học 11 NC (trang 43): “Trong học HHKG, hình vẽ là những hình phẳng không phản ánh trung thành các quan hệ như vuông góc, bằng nhau… của các đối tượng Đó là một khó khăn rất lớn cho học sinh Vì thế, khi giảng những bài đầu

tiên, giáo viên cần chuẩn bị nhiều mô hình trực quan (MHTQ), sau đó mới chú ý rèn

luyện tư duy logic cho học sinh.”

Từ những ghi nhận ban đầu trên, chúng tôi đặt ra câu hỏi xuất phát:

CH1: Việc dạy học VTTĐ giữa các đối tượng cơ bản của HHKG đang diễn ra như

thế nào?

CH2: MHTQ là gì? Giáo viên có sử dụng MHTQ trong giảng dạy VTTĐ giữa các

đối tượng cơ bản của HHKG hay không?

1.3 Phạm vi lí thuyết tham chiếu

Với phạm vi nghiên cứu như trên, chúng tôi sẽ sử dụng lý thuyết nhân chủng học trong Didactic Toán Lý thuyết này giúp chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế đối với VTTĐ giữa hai đường thẳng trong chương trình, SGV, SGK lớp 11 CB hiện hành Đồng thời, có những sai lầm của học sinh mang tính cá nhân, do thiếu kiến thức nhưng cũng có những sai lầm của học sinh khiến chúng ta phải quan tâm vì nó không phải ngẫu nhiên được sinh ra Những sai lầm này thuộc về kiến thức và là biểu hiện của kiến thức Chúng tôi sử dụng lý thuyết tình huống mà công cụ là quy tắc hành động để nghiên cứu sai lầm và khó khăn của học sinh khi học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian, nhằm tìm cách hỗ trợ, khắc phục những chướng ngại này

1.4 Cơ sở lý thuyết

Các công cụ lý luận của Didactic toán như thuyết nhân học, lý thuyết tình huống,

là các yếu tố đã khá quen thuộc; do đó, trong mục này chúng tôi chỉ trình bày những cơ

sở lý thuyết mới, cần được làm rõ

1.4.1 Khái niệm mô hình trực quan

Theo chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (Dự thảo ngày 19/1/2018)

phương tiện học toán có 2 loại là: phương tiện trực quan (PTTQ) thông thường (bảng phụ, mô hình các hình khối, bộ dụng cụ tạo mặt tròn xoay,…) và phương tiện khoa học

công nghệ

Theo Trần Trung (2013) để “học sinh biết nhìn hình thực và VTTĐ của các yếu tố

hình thực qua hình biểu diễn” “giáo viên cần sử dụng một dạng của phương tiện dạy học đó là MHTQ để giúp học sinh dễ dàng chuyển tư duy từ cái cụ thể, cảm tính sang

tư duy trừu tượng, khái quát hóa.” (trang 52) Trong đó, MHTQ được khai thác trong

giảng dạy HHKG có 2 loại là: mô hình hình thật và mô hình được thiết kế từ các máy tính điện tử

Như vậy, trong luận văn này, chúng tôi cũng hiểu PTTQ dùng trong giảng dạy HHKG gồm có hai loại là: PTTQ thông thường như các hình vẽ, mô hình, vật thật,… và PTTQ khoa học công nghệ Trong đó, MHTQ là một dạng của PTTQ, gồm 2 loại là:

MHTQ ở dạng vật thật và MHTQ mô phỏng được thiết kế từ các phần mềm hình học động trên máy tính điện tử (Hình 1.1)

11 NC “để giúp học sinh dễ hiểu, trong khi giảng bài, giáo viên cần dùng nhiều hình ảnh

trực quan và sử dụng các thiết bị dạy học do Bộ Giáo dục và Đào tạo trang bị” (trang

41) Do đó, chúng tôi sẽ tìm hiểu những mô hình, đồ dùng trong danh mục thiết bị dạy học của bộ Giáo dục quy định

MHTQ mô phỏng được tạo ra từ các phần mềm hình học động Đây là một loại phương tiện dạy học tích hợp nhiều tính năng, chương trình được lập trình sẵn và cài đặt vào máy tính để người dùng điều khiển tạo ra những hình ảnh hai, ba chiều Trong dạy học HHKG có khá nhiều phần mềm hình học động như: Cabri, Geospace, Sketchpad, Geogebra, …

1.4.2 Danh mục thiết bị dạy học của bộ Giáo dục

Theo thông tư số 01/2010 của bộ Giáo dục Việt Nam ban hành Danh mục thiết bị

dạy học tối thiểu cấp Trung học phổ thông – môn Toán có hai bộ dụng cụ được sử dụng

trong dạy HHKG

Bảng 1.1 Bộ dụng cụ dạy học HHKG trong danh mục thiết bị dạy học của Bộ

Bản phẳng nửa hình lọ hoa, Khung hình chữ nhật Khung hình tam giác vuông Khung hình nửa đường tròn

Tứ diện; Bát diện Thập nhị diện đều Nhị thập diện đều Khối tròn xoay Khối lăng trụ hình chữ nhật Khối lăng trụ tam giác

12

Hình 1.2 Bộ dụng cụ tạo mặt tròn xoay Hình 1.3 Bộ mô hình khối không gian

Tuy nhiên, cả hai bộ đều được chỉ định cho dạy học HHKG lớp 12 Một số dụng

cụ trong bộ mô hình khối không gian có thể sử dụng để dạy HHKG lớp 11 như tứ diện, lăng trụ, hình hộp chữ chữ nhật…và để giảng dạy VTTĐ giữa hai đường thẳng cần phải

bổ sung và thiết kế thêm một số thiết bị dạy học khác

1.4.3 Hình nổi: một mô hình trực quan mô phỏng

Theo Kmeťová (2015, trang 86):

Chương trình hình học động Geogebra là một người bạn đồng hành hữu ích cho việc hình dung các quan hệ hình học trên mặt phẳng và trong không gian Để hình dung các hình dạng trong không gian chúng ta có thể sử dụng hai công cụ Thứ nhất là phép chiếu song song được sử dụng rộng rãi cho các đối tượng 3D đã cho

(…) Thứ hai là khả năng mới nhất để hình dung các đối tượng không gian trong Geogebra là chọn Anaglyph Chương trình tạo ra hai hình ảnh chiếu trong một

bức hình là một hình màu đỏ và màu xanh Sử dụng bộ lọc kính 3D chúng ta có thể nhìn thấy vật thể không gian trong một phần phía trước và phía sau màn hình Đây

là một công cụ hoàn hảo để rèn luyện khả năng HHKG, chủ yếu cho những học sinh có TTTKG hạn chế

Như vậy, Anaglyph là gì?

Theo Nguyễn Văn Khôn (1984) Anaglyph có nghĩa là đồ chạm, khắc nổi

Theo Neufeldt & Guralnik (1997) Anaglyph có hai nghĩa: một là, vật trang trí như

là đá chạm được khắc nổi; hai là, một bức ảnh được tạo thành từ hai góc nhìn khác nhau

về màu khi cùng nhìn một thứ: khi nhìn qua một cặp bộ lọc màu tương ứng tạo ra hình ảnh ba chiều

Theo Kmeťová (2015) Anaglyph có nguồn gốc từ tiếng Hy lạp “ana” có nghĩa là

“một lần nữa” và “glyphẽ” có nghĩa là “điêu khắc” Anaglyph chứa hai hình ảnh được lọc màu khác nhau, mỗi hình ảnh cho mỗi mắt Phương pháp này bao gồm việc xuất ra hai hình tương phản để tạo thành một bức hình Anaglyph trong cùng một tờ giấy, một cái màu xanh lam (hoặc xanh lá cây), một cái màu đỏ Người xem sau đó sẽ dùng kính

có màu đỏ (cho mắt trái) và xanh (cho mắt phải) Mắt trái sẽ nhìn hình ảnh màu xanh thành màu đen, nhưng lại không thấy màu đỏ; tương tự mắt phải sẽ thấy màu màu đỏ thành màu đen Não chúng ta sẽ tạo ra hình ảnh không gian 3 chiều

 Xuất hiện từ thế kỷ 16 và được hiểu nhiều nhất theo nghĩa 1 (Đồ chạm, khắc nổi)

 Đến thế kỷ 19 xuất hiện nghĩa 2 (Hình ảnh tạo hiệu ứng ba chiều khi được xem qua bộ lọc màu của kính 3D xanh – đỏ) và hiện nay được sử dụng nhiều với nghĩa này

 Trong luận văn này, chúng tôi sẽ dịch “anaglyph” là hình nổi theo nghĩa thứ 2

1.4.4 Ứng dụng hình nổi trong dạy học HHKG

Theo Kmeťová (2015) hình nổi được phát minh đầu tiên vào năm 1852 bởi Wilhelm Rollman ở Leipzig, Đức Năm 1858, Joseph D'Almeida đã sử dụng kỹ thuật này để chiếu những chiếc đèn lồng hình nổi lên màn hình rạp hát William Friese-Green

đã tạo ra những hình nổi chuyển động 3D đầu tiên vào năm 1889 Năm 1953, truyện tranh 3D được phát hành và phân phối cùng với “kính không gian” màu đỏ và xanh lá cây Sau đó, hình nổi không chỉ được sử dụng trong lĩnh vực giải trí, một số sách giáo khoa hình học họa hình với hình minh họa hình nổi đã ra đời Một trong số đó là sách giáo khoa xuất bản năm 1961 của Hungary

Trước đó, VuiBert (1912) đã đưa ra một số ứng dụng của hình nổi trong trường hợp những hình khối như hình chóp, hình trụ, hình cầu, hình lập phương, … mà những đường, mặt bên trong chúng khá phức tạp và khó thấy đối với những học sinh có TTTKG hạn chế Hay theo Judge (1926, trang 171):

Không có điều gì làm học sinh bối rối hơn so với một khối lượng các đường giao nhau, nhằm biểu lộ những mặt phẳng có hướng khác nhau khi nghiên cứu HHKG Tuy nhiên, bằng hình nổi, những mặt phẳng khác nhau sẽ nổi bật trong vị trí tự nhiên của chúng, chính xác như thể chúng được làm bằng những tấm kính mỏng với những khung dây tốt và do đó có thể nhìn thấy qua các mặt phẳng gần hơn và

có được ấn tượng rất rõ ràng về toàn bộ bố cục, hoặc sắp xếp.

Kmeťová (2015) đã trình bày một ví dụ về ứng dụng hình nổi của chương trình Geogebra để trình chiếu hình học trong phép chiếu trực giao (Monge projection – một

trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song khi phương chiếu vuông góc) và đường cong (curves), bề mặt (surfaces)

“Ví dụ: Xác định giao tuyến của hai tam giác ABC và MNP Biết tọa độ của

A[-1, 0, 6], B[-4.5, 4.5, 0], C[2, 7, 1.5], M[0.5, 1, 0.5], N[3.5, 3, 4.5], P[-2.5, 7, 5].”

(trang 89)

Trong trường hợp xác định giao tuyến này “sau khi sử dụng chức năng xoay hình

và hình nổi, chúng tôi nhận được trải nghiệm không gian đầy đủ với các đối tượng hình học phía trước và phía sau màn hình.” (Kmeťová, 2015, trang 89)

Như vậy, chúng tôi nhận thấy có thể tạo ra hình nổi trong Geogebra để hỗ trợ học sinh có TTTKG hạn chế giải quyết bài toán xác định giao tuyến nói riêng và nghiên cứu VTTĐ giữa hai đường thẳng hay HHKG nói chung

1.4.5 Giới thiệu về Geogebra

Markus Hohenwarter và Judith Preiner (Đại học Florida Atlantic, Hoa Kì) là những người đã sáng tạo ra phần mềm GeoGebra Ban đầu, nó được thiết kế là một chương trình động kết hợp giữa hình học và đại số Theo thời gian, các mô-đun mới được bổ sung như là bảng tính, hệ thống đại số máy tính (CAS), đặc biệt là mô-đun 3D cho phép biểu diễn các đối tượng trong hệ tọa độ ba chiều trong phiên bản 5.0 (Lindner, 2013) Theo Bùi Minh Đức (2018) ở phiên bản này trên thanh công cụ xuất hiện dòng các nhóm lệnh: hồ sơ, chỉnh sửa, hiển thị Với các nhóm lệnh này ta có thể lưu trữ, chỉnh sửa, hiện thị (dạng 2D hoặc 3D ), tùy chọn (ngôn ngữ, thiết lập định dạng hiển thị theo đơn vị độ dài, độ lớn góc ), thêm hoặc bớt các nút công cụ Khi hiển thị dạng 3D, trên thanh công cụ xuất hiện các nút sau đây: nút di chuyển, xác định điểm (dựng điểm

mới, giao điểm, trung điểm ), dựng đường thẳng (hoặc dựng tia, đoạn thẳng ), dựng đường vuông góc (hoặc đường song song, các tiếp tuyến .), dựng đường tròn hoặc đường cô-nic, dựng giao của hai mặt, dựng mặt phẳng (qua ba điểm ), dựng các hình

đa diện hoặc trải hình, dựng mặt cầu, tính các đại lượng hình học (góc, khoảng cách, diện tích, thể tích), dựng ảnh của một điểm qua một phép biến hình, chèn chữ, thay đổi góc nhìn 3D (Hình 1.6)

Hình 1.6 Thanh công cụ của mô-đun đồ họa 3D

Không những vậy, GeoGebra còn hỗ trợ kết nối Hình học phẳng, HHKG, Đại số, Xác suất, Thống kê, Bảng tính điện tử và các yếu tố toán học khác một cách khá chặt chẽ Ngoài ưu điểm nổi bật của GeoGebra là vẽ hình trực quan, có thể xoay hình biến đổi hình theo nhiều góc nhìn khác nhau, GeoGebra còn có thể xử lý biến số, vectơ và điểm, tìm đạo hàm và tích phân của hàm số Hình bên dưới minh họa cho khả năng phối hợp các mô-đun cùng một lúc

Hình 1.7 Geogebra với mô-đun đại số, mô-đun đồ họa 2D và mô-đun đồ họa

3D (Lindner, 2013)

Như vậy, chỉ xét riêng những tính năng trong mô-đun đồ họa 3D thì Geogebra không khác gì những phần mềm hình học động khác như Cabri 3D, Geospace, hay Sketchpad, Đồng thời, khi dùng để nghiên cứu VTTĐ giữa hai đường thẳng trong HHKG lớp 11, Geogebra đáp ứng các tính năng tương tự các phần mềm hình học động khác Tuy nhiên, theo Christou et al (2006) các chương trình hình học động có thể xây dựng cảm giác hình học 3D từ hình ảnh 2D nhưng các tính năng này chưa đủ để giúp học sinh phát triển khả năng hình dung các vật thể 3D: Ví dụ, một người có kinh nghiệm không gian có thể dễ dàng nhận ra rằng hình dạng phẳng trên màn hình máy tính là một đối tượng 3D, còn đối với người học một biểu diễn của hình ảnh không gian 3D có thể không có được “chiều sâu” không gian hỗ trợ việc học và điều này có thể cản trở việc học HHKG

Để hỗ trợ tạo ra “chiều sâu” này, trên thanh thiết kế trong mô-đun đồ họa 3D của Geogebra 5.0 đã thêm công cụ Projection for glasses (Phép chiếu cho kính) để tạo hình nổi (Hình 1.8)

Hình 1.8 Thanh thiết kế của mô-đun đồ họa 3D

Trong đó, các yếu tố trong thanh thiết kế:

Xoay: trình diễn xoay quanh trục z với tốc độ không đổi Xem theo hướng mp xy: xoay cấu trúc theo chiếu nganh Xem theo hướng mp xz: xoay cấu trúc theo chiếu dọc Xem theo hướng mp yz: xoay cấu trúc theo chiếu bên Phép chiếu trực giao (phép chiếu song song)

Phép chiếu phối cảnh

Phép chiếu cho kính (Hình nổi)

Hình 1.9 Các phép chiếu khác nhau trong GeoGebra 3D

Như vậy, với chức năng hình nổi trong Geogebra, giáo viên có thể tạo ra một môi trường “gần” với thực tế khi giảng dạy HHKG và hỗ trợ học sinh giải quyết những bài toán không gian

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đặt tên đề tài luận văn của mình là: “Dạy học

VTTĐ giữa các đối tượng cơ bản của hình học không gian trong môi trường Geogebra” với đối tượng tri thức được nhắm đến là VTTĐ giữa hai đường thẳng trong

không gian được giảng dạy trong môi trường Geogebra trên tính năng hình nổi

1.5 Câu hỏi nghiên cứu

Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu nói trên, chúng tôi trình bày lại câu hỏi xuất phát:

Q1: Trong chương trình, SGV Hình học 11 CB, khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng được yêu cầu giảng dạy như thế nào?

Q2: Các tổ chức toán học nào có liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng được thể hiện trong SGK Hình học 11 CB? Trong đó, tổ chức toán học nào cần sử dụng MHTQ?

Q3: Giáo viên đã sử dụng MHTQ trong giảng dạy khái niệm VTTĐ giữa hai

đường thẳng như thế nào?

Q4: Có thể thiết kế một tình huống dạy học kiểu nhiệm vụ “Tìm hai đường

thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên MHTQ” như thế nào?

1.6 Phương pháp nghiên cứu

 Để đi tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1, Q2 chúng tôi sẽ:

- Nghiên cứu những tài liệu, tóm tắt các kết quả đã nghiên cứu có liên quan đến vấn đề xác định VTTĐ giữa hai đường thẳng trong HHKG

- Tiến hành phân tích chương trình, SGV, SGK Hình học 11 CB có liên quan đến đối tượng tri thức đang nghiên cứu

 Để trả lời cho câu hỏi Q3, Q4 chúng tôi sẽ:

- Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến MHTQ

- Điều tra, phỏng vấn thực hành của giáo viên

- Tiến hành thực nghiệm trên học sinh

1.7 Giả thuyết nghiên cứu

Để trả lời cho câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2 chúng tôi đi tìm hiểu các sách giáo khoa (SGK), sách bài tập, sách giáo viên (SGV) cơ bản (CB) và nâng cao (NC) trong chương trình lớp 11 do nhà xuất bản (NXB) Giáo dục phát hành Chúng tôi gọi chung những tài liệu dùng trong nhà trường như SGK, SGV, sách bài tập, giáo án của giáo viên, vở ghi

chép của học sinh,v.v là tài liệu học đường Khi nghiên cứu SGK Hình học 11 CB đối

với vấn đề tìm hai đường thẳng cắt nhau trên hình biểu diễn của học sinh chúng tôi đặt

ra các giả thuyết nghiên cứu sau:

H 1 : Khi gặp bài toán “ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng”, học sinh tìm điểm chung của hai mặt phẳng được xác định bởi hai tam giác bằng cách tìm giao điểm trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh tam giác i

H 2 : Học sinh đồng nhất hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG với hình vẽ -

mô hình của đối tượng hình học phẳng (HHP) trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau ii

1.8 Mục đích nghiên cứu

Thông qua đề tài, chúng tôi hy vọng sẽ tìm ra được những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến những sai lầm của học sinh khi giải bài toán có liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian, từ đó thiết kế được tình huống dạy học khắc phục những khó khăn này trong môi trường Geogebra Thành công của đề tài sẽ tạo tiền đề cho việc ứng dụng hình nổi của phần mềm Geogebra vào trong giảng dạy HHKG, đặc biệt dành cho những đối tượng học sinh có TTTKG hạn chế

i Giả thuyết H 1 được đặt ra từ kết quả của chương 2

ii Giả thuyết H được đặt ra trong chương 3 khi lý giải cho giả thuyết H

Chương 2 NGHIÊN CỨU CÁC TÀI LIỆU HỌC ĐƯỜNG VỀ

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Trong chương này, chúng tôi sẽ đi phân tích thể chế trong chương trình HHKG lớp 11 Chuẩn hiện hành Do đó, các tài liệu học đường được chúng tôi sử dụng để nghiên cứu là SGK, SGV Hình học 11 CB

2.1 Yêu cầu dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong SGV Hình học 11 CB

VTTĐ giữa hai đường thẳng được đưa vào bài 2: “Hai đường thẳng chéo nhau

và hai đường thẳng song song” sau bài 1: “Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng”

trong chương II: “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song”

Về kỹ năng:

- Xác định được VTTĐ giữa hai đường thẳng

- Biết cách chứng minh hai đường thẳng song song

- Biết áp dụng định lý trên để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng trong một số trường hợp đơn giản

Thời lượng dành cho nội dung này trong chương là 2/16 tiết cả lý thuyết và bài tập Trong đó, SGV nhấn mạnh tầm quan trọng phải sử dụng hình ảnh trực quan trước khi định nghĩa chính thức:

“Trước khi xét VTTĐ của hai đường thẳng trong không gian, cần giới thiệu cho

học sinh quan sát hình ở đầu §2 SGK và tham gia Hoạt động 1 nhằm tìm hiểu về hình

ảnh của đường thẳng và VTTĐ của chúng trong thực tế, tìm được hình ảnh cụ thể của hai đường thẳng song song và chéo nhau trong không gian.” (trang 61)

Trong mặt phẳng, hai đường thẳng chỉ có thể cắt nhau, song song hoặc trùng nhau còn trong không gian giờ đây xuất hiện thêm quan hệ “chéo nhau” giữa hai đường thẳng

Do đó, SGV nhấn mạnh, trang 61 – 62:

“Khái niệm hai đường thẳng chéo nhau là một khái niệm mới và khó đối với học sinh Trước hết cần giới thiệu lại những hình ảnh cụ thể của hai đường thẳng chéo nhau

có xung quanh chúng ta, hoặc bằng giáo cụ trực quan để minh họa cho khái niệm này

Sau đó giáo viên giới thiệu một vài hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau a và

b để cho học sinh bắt chước vẽ theo, chẳng hạn như:

Cuối cùng có thể cho học sinh phân biệt hai đường thẳng song song với nhau và hai đường thẳng chéo nhau để khắc sâu thêm những khái niệm vừa mới học.”

Như vậy, chúng ta thấy một trong những khó khăn của học sinh khi học HHKG

nói chung và VTTĐ giữa hai đường thẳng nói riêng là: “là phải biết biểu diễn các hình

không gian đơn giản trên mặt phẳng và biết đọc các hình biểu diễn đó để hình dung được các hình thực trong không gian.” (SGV Hình học 11 CB, trang 8) Do đó, chương

trình và SGV yêu cầu giảng dạy là: “cần biết kết hợp việc dùng các mô hình cụ thể

(bằng giấy, bằng tre, bằng nhựa v.v…) với việc rèn luyện trí tưởng tượng về không gian

để chuyển từ tư duy trực quan sang tư duy logic trừu tượng” (trang 8 – 9) Bởi vì, những

quan hệ trên hình có thể không phản ánh đúng tính chất hình học của nó (Lê Thị Thùy Trang, 2010)

2.2 Các tổ chức toán học trong SGK Hình học 11 CB

Chúng tôi thống kê các KNV liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng trong chương II của SGK Hình học 11 CB qua bảng sau:

Bảng 2.1 Các KNV liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng

KNV Nhóm T gồm các KNV liên quan trực tiếp (cấp độ 1)

đến VTTĐ giữa hai đường thẳng

Số lượng hoạt động, bài tập SGK

T1 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên một đối tượng vật chất 1

T2 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên hình biểu diễn 1

T3 Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau 1

T4 Chứng minh hai đường thẳng không cắt nhau 1

T5 Chứng minh hai đường thẳng song song 2

KNV Nhóm T’ gồm các KNV liên quan gián tiếp (cấp độ 2)

đến VTTĐ giữa hai đường thẳng

T’1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 10

T’2 Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 14

T’3 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 3

Như vậy, các KNV liên quan trực tiếp đến VTTĐ giữa hai đường thẳng (nhóm T) không nhiều, đa số chỉ có một nhiệm vụ được SGK nêu tường minh Trong khi đó, các KNV liên quan gián tiếp đến VTTĐ giữa hai đường thẳng (nhóm T’) chiếm số lượng tương đối lớn Hai KNV có số lượng nhiều nhất là KNV T’1, T’2 Đây là những KNV được SGK chú trọng do những KNV này sẽ góp phần giải quyết các KNV khác như: dựng thiết diện, chứng minh ba điểm thẳng hàng, xác định góc giữa hai mặt phẳng,…

2.2.1 Phân tích chi tiết nhóm T

Khi xem xét các KNV ở nhóm T, chúng tôi chia chúng làm 2 loại:

L 1 : Tìm hai đường thẳng có VTTĐ đã biết trên đối tượng vật chất hoặc hình biểu diễn (gồm T1, T2)

L 2 : Chứng minh hai đường thẳng có VTTĐ đã cho sẵn (gồm T3, T4, T5)

Kỹ thuật để giải quyết L2 rất rõ ràng và tường minh:

Bảng 2.2 Kỹ thuật – công nghệ của loại L 2

- Tính chất thừa nhận 1, định nghĩa tứ diện, định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau

- Định nghĩa hai đường thẳng

- Chứng minh a, b là hai cạnh một hình bình hành, hình thang,…

- Chứng minh a là đường trung bình của tam giác, hình thang

: Chứng minh hai đường thẳng

cùng song song v ới đường thẳng thứ ba

- Định lý Talet đảo, tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, tính chất hình bình hành,…

- Tính chất 2: Hai đường

thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song

{𝑎 ∥ 𝑐

𝑏 ∥ 𝑐 ⟹ 𝑎 ∥ 𝑏

Thế nhưng, kỹ thuật để giải quyết L1 thì lại khó diễn đạt và dựa vào quan sát

a) Kiểu nhiệm vụ T 1: Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên một đối tượng vật chất

(Hoạt động 1 trong bài 2, trang 55 SGK)

Quan sát các cạnh tường trong lớp học và xem cạnh tường là hình ảnh của đường thẳng Hãy chỉ ra một số cặp đường thẳng không cùng thuộc một mặt phẳng

Nhận xét: KNV này được giải quyết dựa vào quan sát và các tính chất không gian

của đối tượng vật chất Đối với KNV này học sinh sẽ có biểu tượng không gian ban đầu về hai đường thẳng chéo nhau Do đó, loại bài tập này sẽ giúp học sinh rèn luyện

TTTKG Tuy nhiên, số lượng bài tập rất ít (1 bài) cho nên chúng tôi tự hỏi học sinh đã

đủ hình thành BTKG của VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian hay chưa?

b) Kiểu nhiệm vụ T 2: Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên hình biểu diễn

(Hoạt động 2 trong bài 2, trang 56 SGK)

Cho tứ diện ABCD Chỉ ra cặp đường thẳng chéo nhau của tứ diện này (h.2.29)

Nhận xét: Đối với KNV này, SGV hướng dẫn “Hoạt động 2 nhằm tập cho học

sinh biết vận dụng phương pháp phản chứng để chứng minh một bài toán HHKG” (trang 62) Như vậy, SGV chỉ quan tâm đến việc chứng minh hai đường thẳng chéo nhau bằng

kỹ thuật phản chứng mà không chỉ ra kỹ thuật để tìm hai đường thẳng chéo nhau SGV cũng cho rằng hai đường thẳng chéo nhau là một khái niệm khó và giáo viên nên đưa ra một mô hình để học sinh quan sát

2.2.2 Phân tích chi tiết nhóm T’

a) Kiểu nhiệm vụ T’ 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Bảng 2.3 Kỹ thuật – công nghệ (thứ nhất) của KNV T’ 1

hai điểm chung đó là

giao tuyến của hai mặt

phẳng

- Định nghĩa giao tuyến của hai mặt phẳng

- Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường

thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước

- Dấu hiệu nhận biết đường thẳng chứa trong mặt

phẳng: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó

Nhận xét: Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng, ngoài điểm chung có sẵn do

điểm cùng thuộc hai mặt phẳng, ta thường tìm hai đường thẳng cắt nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó Giao điểm của hai đường thẳng này chính là điểm chung của hai mặt phẳng Kỹ thuật giải quyết làm xuất hiện KNV mới T’’1: Tìm hai đường thẳng

cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn

Chúng tôi bổ sung KNV T’’1 vào L1 của nhóm T

Kỹ thuật để giải quyết KNV này không được SGK hay SGV đề cập đến mà hai đường thẳng cần tìm thường xuất hiện “đột ngột” trong lời giải của sách

Bảng 2.4 Các bài tập của T’ 1 - 𝝉′𝟏.𝟏 trong SGK

Bài tập điểm chung đã có sẵn

6a/ trang 54 7a/trang 54 8a/trang 54 10d/trang 54

Bài tập điểm chung có được nhờ

thực hiện KNV T’’1

7b/trang 54 10b/trang 54 2c/trang 71 1a/trang 77 3a/trang 77

Trong bảng 2.4, KNV T’’1 tuy không xuất hiện tường minh nhưng số lượng bài tập cần dùng đến nó tương đối nhiều Tuy nhiên, khi phân tích các bài tập trong SGK,

chúng tôi nhận thấy các đường thẳng cần tìm đều có sẵn ngay trong tên mặt phẳng

Chẳng hạn:

Bài tập 3a/ trang 77: Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB

là đáy lớn Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

Lời giải trong SGV:

Ngoài điểm chung S có sẵn, để tìm điểm chung thứ hai thì hai đường thẳng cắt nhau cần tìm là AD và BC có sẵn ngay trong tên mặt phẳng

Trong trường hợp tên mặt phẳng chưa có ngay đường thẳng cần tìm (bài

10b/trang 77) thì SGK đã chuẩn bị câu a để học sinh dễ dàng tìm ra hai đường thẳng:

Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM)

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)

Lời giải trong SGV:

Nhờ câu a) mặt phẳng (SBM) trùng với (SBN) và hai đường thẳng cần tìm ở câu b) là BN và AC có sẵn ngay trong tên mặt phẳng

Từ đó, chúng tôi dự đoán đối với học sinh mặt phẳng là các tam giác có các đỉnh trong tên mặt phẳng và để tìm điểm chung của hai mặt phẳng học sinh sẽ kéo dài cho các cạnh của tam giác cắt nhau

Bảng 2.5 Kỹ thuật – công nghệ (thứ hai) của KNV T’ 1

𝝉′𝟏.𝟐:

- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng

- Tìm phương của giao tuyến (tức là tìm

hai đường thẳng song song nằm trong hai

mặt phẳng)

- Giao tuyến là đường thẳng qua điểm

chung và song song với hai đường thẳng ấy

hoặc trùng với một trong hai đường thẳng

đó

- Định nghĩa giao tuyến hai mặt phẳng

- Hệ quả: “Nếu hai mặt phẳng

phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó”

Ví dụ 1/SGK/trang 58

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và (SBC)

Lời giải trong SGK:

Các mặt phẳng (SAD) và (SBC) có điểm chung S và

lần lượt chứa hai đường thẳng song song là AD, BC

nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua S và

song song với AD, BC (h.2.35)

Nhận xét: Để tìm phương của giao tuyến dẫn đến KNV mới T’’2: Tìm hai đường

thẳng song song nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn

KNV T’’2 được chúng tôi thêm vào loại L1 của nhóm T Cũng giống như KNV T’’1, kỹ thuật giải quyết cũng không được nêu tường minh, hai đường thẳng đó thường được chỉ rõ trong lời giải và chỉ cần chứng minh chúng song song Tuy nhiên, SGK không chú trọng kỹ thuật này để giải quyết của KNV T’1 SGK chỉ có một bài tập của KNV T’1 - 𝝉′𝟏.𝟐 (bài 2a/trang 63)

b) Kiểu nhiệm vụ T’ 2: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Bảng 2.6 Kỹ thuật – công nghệ của KNV T’ 2

𝝉′𝟐: Tìm đường thẳng b chứa trong (P)

sao cho d cắt b tại A Suy ra A  d  P

Dấu hiệu nhận biết đường thẳng chứa trong mặt phẳng

Ví dụ 4/SGK/trang 51

G là trọng tâm của tam giác ABC Tìm giao điểm của đường thẳng GK và mặt phẳng (BCD)

Lời giải trong SGK:

Nhận xét: Phương pháp được trình bày rõ trong SGK: “Để tìm giao điểm của một

đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể đưa về việc tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.” (trang 51) tức là nảy sinh KNV

mới T’’3: Tìm đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho cắt với đường thẳng có sẵn

trên hình biểu diễn KNV này được bổ sung vào L1 của nhóm T

Bảng 2.7 Kỹ thuật – công nghệ của KNV T’’ 3

- Nếu đường thẳng cần tìm có sẵn

trong mặt phẳng trên hình biểu diễn thì

ta cho đường thẳng này cắt với đường

Bảng 2.8 Các bài tập của KNV T’’ 3 trong SGK

Bài tập

6a/trang 54 9a/trang 54 10a/trang 54 3a/trang 60 2b/trang 71 2d/trang 71 1b/trang 77

5a/trang 53 8b/trang 54 10c/trang 54 10d/trang 54 1a/trang 71 2b/ trang 77 3b/trang 78

Ví dụ bài tập 5a/SGK/ trang 53

Lời giải trong SGV:

Nhận xét: Ngoại trừ trường hợp đường thẳng cần tìm có sẵn ngay trong mặt

phẳng, thông thường, kỹ thuật giải bài toán đưa về KNV T’ 1 : “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng”, trong đó mặt phẳng phụ chứa đường thẳng của đề bài Tuy nhiên, việc

lựa chọn mặt phẳng phụ sao cho dễ tìm giao tuyến lại phụ thuộc vào kinh nghiệm của người giải Chẳng hạn, như bài tập 5a trên nếu ta chọn mặt phẳng phụ là (SAD) thì việc giao tuyến của (SAD) và (MAB) không phải đơn giản với học sinh vì theo như phân tích ở kiểu nhiệm vụ T’1, học sinh thường kéo dài các cạnh của tam giác trong hai mặt

phẳng cắt nhau để tìm điểm chung nhưng hai cạnh SD và MB lại không đồng phẳng

c) Kiểu nhiệm vụ T’ 3: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Bảng 2.9 Kỹ thuật – công nghệ của KNV T’ 3

Nhận xét: SGV đưa vào hoạt động 2 với mục đích củng cố cho định lý 1 Kỹ thuật

giải quyết KNV này là trước khi đưa về KNV T 5 : Chứng minh hai đường thẳng song

song song với với đường thẳng có sẵn trên hình biểu diễn Cũng giống như các KNV

T2, T’’1, T’’2, T’’3; KNV T’’4 được xếp vào loại L1 của nhóm T, kỹ thuật của T’’4 không được SGK, SGV nêu rõ, đường thẳng cần tìm được chỉ thẳng trong lời giải của sách SGK có hai bài tập cho KNV T’3 (bài 1a, 1b/SGK 63)

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF Chứng minh rằng đường thẳng OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE)

minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF)

Lời giải trong SGV:

Trên hình biểu diễn, đường thẳng cần tìm đã có sẵn và học sinh chỉ cần chứng minh nó song song với đường thẳng đề bài cho

2.3 Kết luận chương 2

Sau khi phân tích các tổ chức toán học, ngoài các KNV thuộc L2 (T3, T4, T5):

“Chứng minh hai đường thẳng có VTTĐ đã cho sẵn” với kỹ thuật rất rõ ràng và

không sử dụng đến mô hình (bằng giấy, bằng tre, bằng nhựa v.v…), chúng tôi thống kê

các hoạt động và bài tập trong SGK Hình học 11 CB của các KNV của L1 (T1, T2, nhóm

T’’): “Tìm hai đường thẳng có VTTĐ đã biết trên đối tượng vật chất và hình biểu

Kỹ thuật

Số lượng

sẵn trên hình biểu diễn

𝝉′′𝟑.𝟏 7 𝝉′′𝟑.𝟐 7

trên hình biểu diễn

3

iii Những ô gạch chéo là những kiểu nhiệm vụ có kỹ thuật không được mô tả tường minh trong SGK, kỹ thuật dựa vào quan sát trên mô hình hoặc hình biểu diễn

Qua bảng 2.10, chúng tôi nhận thấy trừ KNV T1 được xây dựng trên đối tượng vật

chất nên kỹ thuật dựa vào quan sát trực quan trên các hình ảnh thực tế hay mô hình, các

KNV còn lại của L1 trong SGK Hình học 11 CB đều được thực hiện trên hình biểu diễn

Như vậy, chỉ có một KNV (T1) là cần dùng đến giáo cụ trực quan còn 7 KNV còn lại của cả hai nhóm T và T’ đều không sử dụng đến mô hình

Trong các KNV của L1, ngoại trừ kỹ thuật của KNV T’’3 được SGK và SGV mô

tả, kỹ thuật của các KNV khác đều không được nêu rõ trong SGK hay SGV Tuy nhiên, ngay KNV T’’3 thì chỉ có kỹ thuật 𝝉′′𝟑.𝟏 có thể dễ dàng thực hiện khi quan sát trên hình

còn kỹ thuật 𝝉′′𝟑.𝟐 lại phải quy về KNV T’1 tức là phải thực hiện KNV T’’1 (6 bài) hay T’’2 (1 bài) Số lượng những bài tập có kỹ thuật không được SGK và SGV mô tả khá nhiều (17 bài) Trong số đó, chiếm số lượng nhiều nhất là những bài liên quan đến KNV T’’1 (11 bài) Tuy nhiên, khi phân tích chi tiết các bài tập này chúng tôi nhận thấy SGK

đã gợi mở hoặc lựa chọn những trường hợp mà đường thẳng cần tìm “dễ thấy” trên hình (trong 11 bài của kiểu nhiệm vụ T’’1 có 10 bài là đường thẳng có sẵn trong tên của mặt phẳng còn 1 bài thì đường thẳng cần tìm xuất hiện sau gợi ý của câu phía trước) Từ đó,

về việc xác định VTTĐ giữa hai đường thẳng trên hình biểu diễn của học sinh khi giải quyết bài toán “Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng” (T’1), chúng tôi nêu lên giả thuyết nghiên cứu về quy tắc hành động của học sinh như sau:

H 1 : Khi gặp bài toán “ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng”, học sinh tìm điểm chung của hai mặt phẳng được xác định bởi hai tam giác bằng cách tìm giao điểm trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh tam giác

Chẳng hạn, điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) sẽ được học sinh xác định theo sơ đồ sau:

Hình 2.1 Ví dụ về giả thuyết H 1

Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM VỀ VIỆC TÌM HAI ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU TRÊN HÌNH BIỂU DIỄN CỦA HỌC SINH

Những phân tích trong chương 2 đã dẫn chúng tôi đến giả thuyết về sự tồn tại của quy tắc hành động H1: “Khi gặp bài toán “ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng”, học sinh

tìm điểm chung của hai mặt phẳng được xác định bởi hai tam giác bằng cách tìm

giao điểm trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh tam giác.” Trong

chương này, chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm 1 để hợp thức giả thuyết đã đưa ra

3.1 Giới thiệu thực nghiệm 1

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên các học sinh đã học xong chương “Quan hệ song song” trong chương trình HHKG bằng một câu hỏi điều tra

Học sinh làm việc cá nhân và có 15 phút để trả lời bài toán sau:

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh nào song song Gọi M, E lần lượt là trung điểm của SD và AB Tìm giao tuyến của (SAE) và (MBC)

3.2 Phân tích tiên nghiệm

3.2.1 Các lựa chọn sư phạm của thực nghiệm

Lựa chọn đầu tiên của thực nghiệm là tạo ra các điều kiện để kiểm chứng giả thuyết

H1 Về kiểu nhiệm vụ, chúng tôi lựa chọn T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng”

vì giả thuyết H1 được xây dựng trên KNV này Trong tình huống thực nghiệm, chúng tôi xem xét hệ thống các biến sau:

3.2.1.1 Biến tình huống

một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó,….) Để phù hợp với H1, chúng tôi lựa chọn mặt phẳng được gọi tên theo ba điểm không thẳng hàng

- V 2 : kỹ thuật để giải quyết KNV T’ 1 ( 𝝉′𝟏.𝟏, 𝝉′𝟏.𝟐) Chúng tôi lựa chọn kỹ thuật 𝝉′𝟏.𝟏

để dẫn đến KNV T’’1: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho

trên hình biểu diễn.” bằng cách không cho các cặp đường thẳng song song trong đề bài

và hình vẽ

chúng tôi sẽ cho trước hình biểu diễn có hai đường thẳng trên hai mặt phẳng chéo

nhau nhưng trên hình biểu diễn thì cắt nhau Chẳng hạn, SA và MC, SB và MC là các

cặp đường thẳng chéo nhau có thể kéo dài cắt nhau trên hình vẽ; SA và MB không thể

cắt nhau trên hình vẽ Với việc cho trước hình biểu diễn, học sinh sẽ không mất thời

gian vẽ hình và cho ra nhiều lời giải khác nhau do khác cách vẽ Đồng thời, tất cả học sinh sẽ cùng nhìn trên một hình duy nhất tức là cùng đối diện với một tình huống là các đường thẳng cắt nhau được trên hình vẽ nhưng không cắt nhau trong thực tế

3.2.1.2 Biến didactic

- V 4 : Hai mặt phẳng có điểm chung có sẵn hay chưa

 Hai mặt phẳng có hai điểm chung có sẵn trong tên mặt phẳng hoặc trên hình biểu

diễn sẽ không kiểm chứng được giả thuyết

Chẳng hạn bài tập 7/SGK trang 54: “Cho bốn điểm A, B, C và D không

đồng phẳng Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD)

b) Gọi M và N là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).”

Lời giải trong SGV:

Ở câu a, điểm chung I, K đã có sẵn trong tên mặt phẳng hay ở câu b, điểm chung E, F đã có sẵn trên hình biểu diễn đều không tạo điều kiện để kiểm chứng giả thuyết Bởi vì, điểm chung đã nằm sẵn trên các cạnh của tam giác có trong tên của mặt phẳng

 Hai mặt phẳng có sẵn một điểm chung trong tên mặt phẳng thì mặc dù vẫn có thể kiểm chứng giả thuyết nhưng sẽ ảnh hưởng đến tính tổng quát của giả thuyết do làm hạn chế số lượng đường thẳng học sinh có thể lựa chọn, vì điểm chung còn lại chỉ có thể tìm trên hai đường thẳng không đi qua điểm chung đã có sẵn

 Hai mặt phẳng không có sẵn điểm chung sẽ tạo điều kiện tốt nhất để kiểm chứng giả thuyết Tuy nhiên, khi hai mặt phẳng có một điểm chung “dễ tìm” sẽ tiết kiệm thời gian mà không làm mất đi ý nghĩa của thực nghiệm đồng thời tạo động lực cho học sinh do giảm bớt số lượng đường thẳng mà học sinh phải lựa chọn Do

đó, ở đây chúng tôi cho hai mặt phẳng trong thực nghiệm có một điểm chung “dễ tìm” là điểm B

3.2.2 Các chiến lược

 Chiến lược 1 (S 1 ): Kéo dài các đoạn thẳng trên hình biểu diễn

Học sinh sẽ kéo dài các cạnh của hai tam giác trong tên mặt phẳng Học sinh có thể nối

AE và BC để tìm ra điểm B hoặc học sinh sẽ kéo dài các cặp cạnh khác cho cắt nhau

Ví dụ: SE với MB, SA với MC, SE với MC,… Giao tuyến sẽ là đường thẳng đi qua 2 giao điểm đã nối

Ở đây, chúng tôi chỉ quan tâm đến các trường hợp các giao điểm khác B vì giao điểm B không cho thấy rõ giả thuyết H1

Hình 3.1 Các cách thể hiện của chiến lược 1

Có rất nhiều nguyên nhân cho việc học sinh kéo dài các đoạn thẳng trên hình biểu diễn Theo Lê Thị Thùy Trang (2010), các đối tượng HHKG vốn ba chiều được thể hiện bằng các hình vẽ trên tờ giấy hai chiều trên gây ra tình trạng thất thoát thông tin, dẫn đến việc tiếp cận VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian không còn dựa vào sự hiển nhiên khi tiếp cận hình vẽ như trong HHP

Từ đó, chúng tôi trình bày mối quan hệ đối tượng HHKG, HHP và hình vẽ trong dạy học bằng sơ đồ dưới đây:

Hình 3.2 Mối quan hệ giữa đối tượng HHKG, HHP và hình vẽ

Trong dạy học HHP, đối tượng HHP được biểu diễn bằng hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP, trong đó hai đoạn thẳng, biểu diễn cho hai đường thẳng, cắt nhau trên hình vẽ thì hai đường thẳng đó cắt nhau