Chuyên đề bất phương trình bậc hai.. x2 trái dấu với a.[r]
Trang 1Mục lục
1 BAT PHUONG TRINH - HE BAT PHUGNG TRINH BAC HAI MOT
AN
1.1.1 Dấu tam nhị thức bậc nhất
1.1.2 Dấu tam thức bậc hai
1.2 Một số bài toán
Trang 2BAT PHUGNG TRINH - HE BAT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT
AN
1.1 Lý thuyết
1.1.1 Dau tam nhị thức bậc nhất
Định nghĩa 1.1.1 Nh¿ thúc bậc nhất theo biến x la biểu thúc có dang f(x) = ax +b
trong đó a,b là hai số thực cho trước vdi a £0
Dinh lí 1.1.2 Cho nhị thie f(x) = ax +b (a 4 0)
Lf Lf b
* f(œ) cùng dâu uới q khi œ > —— * f(x) trai dâu vdia khix < ——
x —Oo +0 -+-œ°
f(z) trái dấu với a 0 cùng dấu với a
1.1.2 Dấu tam thức bậc hai
* Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng ƒ(z) = a#? + bz +e, trong đó ø,b,e là những số thực cho trước và a 4 0
* Nghiệm của phương trình a#ˆ + b#z + e = 0 cũng là nghiệm của tam thức ƒ(z) = ax? + bx + ¢
Dinh li 1.1.3 Cho tam thitc bậc hai f(x) = ax* + bx +c (a £0)
* Néu A <0 thi f(x) cting dấu tới hệ số a uới mọi z ER
Z Z ⁄ b
* Néu A=0 thi ƒ(%) cùng dâu uới hệ sô q vdi moi x # —-
a
* Néu A> 0 tha f(x) ccó hai nghiệm phân biệt #4;#2 (mì < #3) Khi đó
+ f(x) trai dau vdi a vdt moi x € (x1; 22)
Trang 3Trường THPT' Dương Háo Học Chuyên đề bất phương trình bậc hai
x —Oo +1 +2 +0o
f(x) cing dau vớia Ô trádấuvớia © cing dau véia
Hé qua 1.1.4 Cho tam thiic bac hai f(#) = ax? + br +c (a 0), ta c6
> 0 a> 0
*ax* +br +e>0Vx ERS “ Far? +br+c>0VrEeRs
A<0 A<0
< 0 a<O
*ar* +br +¢<0Vr ERS “ Far? +brm +c<0VrERS
A<0 A<0
* a#z2 + bxz-++c> 0 vô nghiệm <> ems a<0 A <0 *¥ ax? ++ be +c>0 v6 nghiém <> a<0 A<0
* a#z2 + bxz -++c< 0 vô nghiệm <> ems a>0 A <0 * ar? ++ bea +c<0vé nghiém <> a>0 A<0
1.2 Một số bài toán
Bài toán 1.2.1 Giải hệ bất phương trình sau 2z2 — 10z — 12 >0 —#zˆ + 4z>+32>0 3
Lời giải
—#? + 4z-+32>0 v>0 6<x<8
<-l Pee aes * [-aszso1
>
—-4<27<8
Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là S = [—4; —I] U (6;8| * Bai tap tương tự
Bài 1 Giải các hệ bất phương trình sau
2z2 + 9z +7 >0 4x? — 5x —6 <0
) (z2 + + — 6)(z? — 2z + 2) <0 ) (1— #2)(4zŸ? — 12+ + 5) > 0
+2 — 3ø — Ì
#ø2-++xz-+ 1
Bài toán 1.2.2 Tìm giá trị mm để
a) f(x) = (3m — 3)#ˆ — (3m + 6) +mm — 3> 0V+z €TR
b) ƒ(z) = (m — 4)#ˆ + (5m — 20) — 2m — 1 < 0 V+z €TR
Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết 3
Trang 4
Lời giải
a) ƒ(œ) = (3m — 3)#z2 — (3m + 6) -+m — 3> 0Vz €TR
2
ˆ 3m ~ ä =0 © 1m = 1 => ƒ() = ~9# — 2 > Ú © œ < —a Vậy mm = 1 không thỏa
* 3m — 3z0<©m #Z 1
„>0
3m — 3)+” — (3m + 6)# + m — 3 > 0 V+ € ]R ©
3m — 3 > 0 m>l
(3m + 6)ˆ — 4(3m — 3)(m — 3) < 0 —3m? + 84m < 0
ímém > Ì
S m <0 om > 28
m > 28
Vay m > 28 thỏa yêu cầu bài toán
b) ƒ(œ) = (m — 4)z2 + (5m — 20) — 2m — 1 < 0V+z€cR
*m—-4=0em=45 f(r) =-9 <0, Ve ER Vay m = 4 nhận
*m-440Gm#4
a<0
— 4)#2 + (5m — 20)+ — 2m — 1 < 0Vz cT]R ©
m—-4<0 m<A
(5m — 20)? — 4(m — 4)(—2m — 1) <0 33m? — 228m + 384 < 0
© $ 32 S©—<m <4
Vậy 1 <m < 4 thì thỏa yêu câu bài toán
Bài toán 1.2.3 Tìm giá trị rm để hàm số
ƒ() = Wm + 4)#2 — (m — 4) — 2m + 1
Xác định với mọi + € R
Lời giải
ƒ(z) xác định với mọi z € lR © g(z) = (m + 4)z2 — (m — 4) — 2m + 1> 0YVz €'R
9
Tm+4=0€©m = =4 => g(g) = 8 + 9 3Ú € mm 3> —o Vay m= —4 loai
*nm+ 4#0<©=m # —4
a>0 m+4>0 SOVreRS
m> —A4 ; © 4 20 m > —4 ©®—=—==<m<0 20
9m? + 20m < 0 —s Xm&0 9
Trang 5Trường THPT' Dương Háo Học Chuyên đề bất phương trình bậc hai
20 `
Vậy _ <m < 0 thì thỏa yêu câu bài toán
Bài toán 1.2.4 Tìm giá trị m để bất phương trình
maˆ + 2(m — 1)+ + mm + 2 < 0
vô nghiệm
Lời giải
*m =0 => f(x) = —2z + 2< 0© z > 1 Vậy m = 0 không thỏa
*m #0
Để bất phương trình vô nghiệm thi
œ> ° ím > 0Ö om> 1
m>-
A’ <0 —4m+1<0 4
Vay m > — thi thoa yêu cầu bài toán | ee
Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết 5