Chuyên đề phương trình mũ và logarit - Lưu Huy Thưởng

[r]

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2013 - 2014

PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT

BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT

VẤN ĐỀ I: LŨY THỪA

1 Định nghĩa luỹ thừa

Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương

3 Định nghĩa và tính chất của căn thức

• Căn bậc n của a là số b sao cho b n =a

• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a <n b

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a <n b

Chú ý:

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n Kí hiệu n a

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau

4 Công thức lãi kép

Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì

Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: C =A(1+r)N

• Logarit thập phân: lgb =logb =log10b

• Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb =loge b (với 1

+ Nếu a > 1 thì loga b >loga c ⇔ >b c

+ Nếu 0 < a < 1 thì loga b>loga c ⇔ <b c

Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có:

• log log

log

a b

a

c c

HT 3: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

1)Cho log 142 =a Tính log 3249 theo a

2)Cho log 315 =a Tính log 1525 theo a

3)Cho lg 3=0, 477 Tính lg 9000; lg 0, 000027 ;

81

1log 100

4)Cho log 27 =a Tính 1

2

log 28 theo a

HT 4: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

1)Cho log 725 =a ; log 52 =b Tính 3

5

49log

8 theo a, b

2)Cho log 330 =a; log 530 =b Tính log 135030 theo a, b

3)Cho log 714 =a; log 514 =b Tính log 2835 theo a, b

4)Cho log 32 =a; log 53 =b; log 27 =c Tính log14063 theo a, b, c

VẤN ĐỀ III: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

x x

e x

x x

2

x

x

x x

x

x

x x

1lim

3

x x

e x

+

=

2 5 2

21

x y

x

−

=+

11

x x

2 2

HT 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1)y =ln(2x2+ +x 3) 2)y= log (cos )2 x 3)y=e x.ln(cos )x

x

y =x e− xy′ = −x y 2)y=(x +1) ;e x y′ − =y e x

2 Một số phương pháp giải phương trình mũ

1) Đưa về cùng cơ số: Với a>0,a≠1: a f x( ) =a g x( ) ⇔ f x( )=g x( )

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a M =a N ⇔(a−1)(M −N)=0

4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

• Đốn nhận x 0 là một nghiệm của (1)

• Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất:

đồng biến và nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt)

đơn điệu và hằng số

• Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f u( )= f v( )⇔u =v

5) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

•Phương trình tích A.B = 0 ⇔ 0

0

A B

x

x x

− + = 3)

3 2

7) 5 3x x2 = 1 8) 23x =32x 9) 3 2x x2 = 1

HT 14: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):

1)4x +2x+1− = 8 0 2) 4x+1−6.2x+1+ = 8 0 3) 34x+8−4.32x+5 +27= 04) 16x −17.4x +16= 0 5) 49x +7x+1− = 8 0 6) 2x2−x−22+ −x x2 =3

HT 15: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):

9) 4sinx −21 sin+ xcos( )xy +2y = 0 10) 22(x2+x)+21−x2 −22(x2+x).21−x2 − =1 0

HT 20: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

1) 2x =cosx4, với x ≥ 0 2) 3x2−6x+10 = −x2+6x−6 3) 3sin x = cosx

4)

3 2

9) 81sin2x+81cos2x =m 10) 34 2− x2 −2.32−x2 +2m− =3 0

HT 24: Tìm m để các phương trình sau:

1) m.16x +2.81x =5.36x có 2 nghiệm dương phân biệt

2) 16x −m.8x +(2m−1).4x =m.2x có 3 nghiệm phân biệt

3) 4x2 −2x2+2+ =6 m có 3 nghiệm phân biệt

4)

2 2

9x −4.3x +8 =m có 3 nghiệm phân biệt

4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

5) Đưa về phương trình đặc biệt

6) Phương pháp đối lập

Chú ý:

• Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa

• Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1: logb c logb a

3) log (2 x−2)−6.log1/8 3x−5 = 2 4) log (2 x−3)+log (2 x−1)= 3

5) log (4 x +3)−log (4 x −1)= −2 log 84 6) lg(x−2)+lg(x−3)= −1 lg 5

13) log (2 x −1)+log (2 x +3)= log 102 −1 14) log (9 x+8)−log (3 x +26)+ =2 0

HT 26: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

3

log x +log x +log x = 6 2) 1+lg(x2−2x +1)−lg(x2 +1)=2 lg(1−x)

3) log4x +log1/16x +log8x = 5 4) 2+lg(4x2−4x +1)−lg(x2+19)=2 lg(1−2 )x

5) log2x +log4x +log8x =11 6) 1/2 1/2

1/ 2

log (x−1)+log (x +1)= +1 log (7−x)7) log log2 2x =log log3 3x 8) log log2 3x =log log3 2x

9) log log2 3x +log log3 2x = log log3 3x 10) log log log2 3 4x =log log log4 3 2x

HT 27: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

1 2 2

21) log2x x2−14 log16x x3+40 log4x x =0

HT 30: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

3

log x +(x−12)log x +11− =x 0 2) log 2 2 log 6 2

6.9 x +6.x =13.x

3) x.log22x−2(x +1).log2x +4= 0 4) log22x +(x −1)log2x = −6 2x

5)(x +2)log (23 x +1)+4(x +1)log (3 x +1)−16= 6) 0 log (22 ) log 2 2

x

−

7) log (23 x +1)+(x−5)log (3 x+1)−2x + = 6 0 8) 4 log3x − −1 log3 x = 4

9) log (2 x2+3x +2)+log (2 x2+7x +12)= 3+log 32

HT 31: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

1) log7x =log (3 x +2) 2) log (2 x−3)+log (3 x−2)=2

3) log (3 x +1)+log (25 x +1)=2 4) ( log 6 )

log x− x −1 log x + x −1 =log x− x −1

HT 32: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

HT 33: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):

1) log2x +2.log7x = +2 log2x.log7x 2) log2x.log3x + =3 3.log3x +log2x

3) 2 log( 9x)2 =log3x.log3( 2x+ −1 1)

HT 34: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

log 4x −m = +x 1 có 2 nghiệm phân biệt

2) log23x−(m +2).log3x +3m− = có 2 nghiệm x1 0 1, x2 thoả x1.x2 = 27

3) 2 log (24 x2− +x 2m−4m2)=log (2 x2+mx−2m2) có 2 nghiệm x1, x2 thoả x12 +x22 > 1

4) log23x + log23x + −1 2m− =1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 3 3

5) 4 log( 2 x)2 +log2x +m = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) 0

VẤN ĐỀ VI: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như:

y y

y y

x x

2 2

9

y y

x x

xy x y

3log ( ) log ( ) 4

VẤN ĐỀ VII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

• Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ

( ) ( )

1( ) ( )

1

22

HT 46: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm:

VẤN ĐỀ VIII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

• Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit

a a

+

>

1 2

1 log

1

1 log

x x

HT 52: Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

1) (x +1)log20,5x +(2x +5)log0,5x + ≥6 0 2) log (22 x +1)+log (43 x +2)≤ 2

2x 3 1

x x x

>

+5) log2x +m >log2x 6) logx m− (x2−1)>logx m− (x2 + −x 2)

HT 54: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:

HT 57: Giải các bất phương trình sau:

2

x x

− +

−

<

+3) x2.5x−52+x < 0 4) xlg2x−3 lgx+1 >1000

5) 4 2 4

21

log ( 1)

1

12

x x

+ + −    + ≥

−

− −    + ≥

 9) 9x −3x+2 >3x− 9 10) 9x +3x − ≥ −2 9 3x

HT 59: Giải các phương trình sau:

1) log (33 x−8)= − 2 x 2) log5−x(x2−2x +65)= 2

3) log (27 x−1)+log (27 x−7)= 1 4) log (13 +log (23 x−7))= 1

HT 60: Giải các phương trình sau:

1) 2 log( x 5)2−3 logx 5+ = 1 0 2) log1/3x−3 log1/3x + =2 0

3) log22x +2 log2 x − =2 0 4) 3+2 logx+13=2 log (3 x +1)

9) log (93 x +9)=x +log (283 −2.3 )x 10) log (42 x +4)= log 22 x +log (22 x+1−3)

HT 61: Giải các bất phương trình sau:

1) log (0,5 x2−5x +6)> −1 2) 72 6

x x

−

>

−3c) log3x −log3x− < 3 0 4) 1/32 3

4

0log ( 1)

x x

log ( 8 15)

2 −x x + x+ 1

5 log

3

x x

+ + >

HT 62: Giải các hệ phương trình sau:

2 2

y

x xy

log 2 log log 3 log

32

x y

y

x

y x

HT 65: Giải các bất phương trình sau:

1) 2 log5x −log 125x <1 2) (log 2 )2 log2

2

x x

2 2

0log (2x−1)+log x −3x+2 >

TUYỂN TẬP ĐỀ THI CÁC NĂM

x x

HT 78: (B – 2006) log (45 x +144)−4 log 25 < +1 log (25 x−2+1)Đ/s: 2<x <4

HT 79: (D – 2006) Chứng minh rằng với mọi a>0hệ có nghiệm duy nhất:

 = −



 =



HT 82: (A – 2002) Cho phương trình log23x + log23x + −1 2m− =1 0 (Với m là tham số)

a Giải phương trình với m =2 Đ/s: x =3± 3

b Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 3 3

  Đ/s: 0≤m ≤ 2

HT 83: (B – 2002) log log (9x( 3 x−72))≤1 Đ/s:log 739 <x ≤2