18 Chứng minh rằng nếu hiệu của các lập phương hai số nguyên liên tiếp là số chính phương, thì số chính phương này lại biểu diễn được dạng tổng của hai số chính phương liên tiếp.. 20 Cho[r]
Trang 1BÀI TẬP SỐ CHÍNH PHƯƠNG
1) Tìm số nguyên dương n để các số sau là số chính phương
a) n4 + n3 + n + 1
b) n+20 và n – 39
c) n4 + 8n3 + 23n2 + 30n + 18 ( n là số nguyên Z)
d) n2 + 18n + 2020
e) n2 + n – 1 ( n là số nguyên Z)
f) n4 + 2n3 + 2n2 + n+ 7 ( Z )
g) n(n+1)(n+2)(n+3)
2) Tìm các số tự nhiên x, y để 2x + 5y là số chính phương
3) Tìm hai số chính phương liên tiếp m2 và n2 ( m>n) sao cho m2 abc n; 2 acb
4) Tìm các số nguyên dương x và y sao cho x23 ;y y23x đều là các số chính phương
5) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho
1 4 3
3
n n
là số chính phương
6) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 3n + 1 là số chính phương
7) Tìm tất cả bộ ba số nguyên sao cho tổng của chúng bằng 0 và tổng các bình phương
của chúng là số chính phương
8) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng các ước của p4 là số chính phương
9) Cho hai số hữu tỉ a, b thỏa mãn a3b + ab3 + 2a2b2 + 2a + 2b + 1= 0 Chứng minh 1- ab
là bình phương một số hữu tỉ
10) Chứng minh rằng nếu m,n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n thì m – n và 4m + 4n + 1 đều là các số chính phương
11) Cho n nguyên dương chứng minh A = 13 + 23 + + n3 là một số chính phương
12) Cho dãy số được xác định như sau: u1 1;u2 1;u n u n1 2u n2 ,(n 3,n N ) Chứng minh 2n 1 7 21
n
là số chính phương
13) Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x2 + y2 – x chia hết cho xy Chứng minh rằng x là số chính phương
14) Cho n là số tự nhiên và A 2 2 28n21 Chứng minh rằng nếu A là số tự nhiên thì A
là số chính phương
15) Cho a và b là các số nguyên sao cho tồn tại hai số nguyên liên tiếp c và d thỏa mãn
a – b = a2c – b2d Chứng minh rằng: a b là số chính phương
16) Cho a,b,c là các số nguyên dương thỏa mãn ( a,b,c ) = 1 và ab = c(a-b) Chứng minh
rằng: a – b là một số chính phương
Trang 217) Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu S n là tổng của n số nguyên tố đầu tiên ( S1 = 2; S2 = 2 + 3; S3 = 2 + 3 + 5; ) Chứng minh rằng trong dãy số S S1 ; ; ; ; 2 S n : không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là số chính phương
18) Chứng minh rằng nếu hiệu của các lập phương hai số nguyên liên tiếp là số chính
phương, thì số chính phương này lại biểu diễn được dạng tổng của hai số chính phương liên tiếp
19) Cho hai số nguyên tố p, q thỏa mãn p – 1 chia hết cho q và q3 – 1 chia hết cho p Chứng minh rằng: p + q là số chính phương
20) Cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên Chứng minh rằng p + 1 không là số chính
phương
21) Cho số nguyên dương n Chứng minh với mọi ước dương d của 2n2, số n2 + d không thể là số chính phương
22) Cho a, b là hai số nguyên dương Chứng minh rằng nếu tích (16a + 17b)(17a + 16b)
chia hết cho 11 thì tích đó có ít nhất một ước số là số chính phương
23) Cho n là số nguyên dương, sao cho 2n + 1 và 3n + 1 là số chính phương Chứng minh
rằng n chia hết cho 40
24) Cho m, n là hai số chính phương lẻ liên tiếp CMR P = mn – m – n +1 chia hết cho
192