1 Giải hệ phửơng trình bằng phửơng pháp thế, phửơng pháp cộng.a Quy tắc thế: Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phửơng trình thành hệ phửơng trình tửơng đửơng.. + Bước 1: Từ một phửơng
Trang 11) Giải hệ phửơng trình bằng phửơng pháp thế, phửơng pháp cộng.
a) Quy tắc thế: Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phửơng trình thành hệ phửơng trình
tửơng đửơng
+ Bước 1: Từ một phửơng trình của hệ đã cho ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phửơng trình thứ hai để đửợc một phửơng trình mới (chỉ còn 1 ẩn)
+ Bước 2: Dùng phửơng trình mới ấy để thay thế cho phửơng trình thứ hai trong hệ (phửơng trình thứ nhất cũng thửờng đợc thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có đửợc ở bửớc 1)
b) Quy tắc cộng đại số: Quy tắ ccộng đại số dùng để một hệ phương trình thành hệ phương
trình tương đương
+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phửơng trình của hệ của hệ phửơng trình đã cho để đửợc một phửơng trình mới
+ Bửớc 2: Dùng phửơng trình mới ấy thay thế cho một trong hái phửơng trình của hệ (và giữ nguyên phửơng trình kia)
Lử
u ý : Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau) thì ta cộng (hoặc trừ) hai vế của hệ Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với
số thích hợp để đửa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau)
A Các hệ phương trình cơ bản:
Loại 1: Giải hệ phửơng trình bằng phửơng pháp cộng, phửơng pháp thế.
Bài 1 a) ìïïïíï23x x+- 23y y= -= - 32
ïïî b) ìïïïíï ïïî42x x++y3y==06 c) ìïïï92x x+y8y =26
íï - = ïïî
d) ì -ïïï5x x 6y y=1723
íï + =
ïïï
íï + = ïïî f) ì -ïïïx2x3y6=y6 12
íï - + = -ïïî
Bài 2 a) 3 4 2 0
x y
x y
ìï + - = ïïï
íï - =
1
4 5 10 0
a b
a b
ìïï + = -ïïí
ïï - - = ïïî
c)
2 3
10 0
x y
x y
ìï =
ïïï
íï + - =
ïïïî
Bài 3: a) 2 3 1
3 2
x y
ìï - = ïï
íï + =
( 2 1) 2 ( 2 1) 1
x y
ìï - - = ïï
íï + + =
2 3 1
x y
ìï - = ïï
íï + = -ïïî
d) ìïïïíï + ïïîx x 2y- y3=3=21 e) ìïïïíï -((1x 5-3)(1x++y3)5y==11
ìï + =
ïï
ïïî
Bài 4: a) ìïïï6(5(y x+x y))=58+32x x- 32y y
ïïî b) ìïïï((x x- 1)(5)(y y- 2)4)=((x x+1)(4)(y y- 3)1)
( 2)( 1)
( 8)( 2)
ïïï
ïïî
Loại 2: Giải hệ phửơng trình bằng phửơng pháp đặt ẩn phụ.
Dạng thứ nhất:
Trang 2a)
x y
x y
ìïï - =
ïïïï
íï
ïï
ïïî
b)
3
x y
x y
ìïï + = ïïïï
íï
ïï ïïî
c)
4
10 1
1
x y
x y
ìïï + = ïïïï
íï
ïï ïïî
d)
24
2 3
x y
x y
ìïï + = ïïïï
íï
ï = ïï ïïî
e)
2
1
ïï - -ïïí
ïï - -ïïî
f)
2
ïïí
ïïî
g)
1 12
3 12
x y
x y
ïïí
ïïî
h)
1
-ïïí
-ïïî
i)
2
1
ïï -
-ïïí
ïï -
-ïïî
j)
2
2
-ïïï
ïïï
2 2
ïïï
íï - =
ïïï
ïïî
n) ìïïï3x x+2y y =4,56
ïïî o) ìïïïíïïïî2x x+ -+ +33 2 y y+ =+ =11 24p)
3
6
ïïí
ïïî
Dạng thứ hai:
a)
3
1
ïïí
ïïî
b)
2
21
ïïí
-ïïî
c)
4
ïï - + + -ïïí
ïï - + + -ïïî
d)
1 12
2 12
y y
ïïí
ï +
ïïî
e)
2
0 2
x y x y
x y x y
ïïí
ïïî
f)
ïïí
ïïî
g)
5 2 10 3
x y xy
xy x y
x y xy
xy x y
+
ïïïí
-ïïî
h)
1
2
-ïïí
-ïïî
i)
3
1
x y x y
x y x y
ïïí
ïïî
Loại 3: Hệ hai phương trình hai ẩn, trong đó vế phải bằng 0 và vế trái phân tích đửợc
thành nhân tử.
1 0 22
x y xy
x y x y
ì + + + =
ïïï
íï + - - =
( 2 1)( 2 2) 0
3 1 0
xy y y
ì + + + + = ïïï
íï + + + = ïïî
c) ìïïï(2x x+3y3y-12)(x- 5y- 3)=0
íï - =
( 2)(2 2 1) 0
3 32 5 0
ì + + + - = ïïï
íï + + = ïïî
e)
2
( ) 3( ) 2 0
5 0
x y x y
x y
ì + - + + =
ïïï
íï - - =
( 1) ( 1) 0
3 5 0
x y
ìï - - + = ïïí
ï + - = ïïî
g)
2
2
( ) 4( ) 12
( ) 2( ) 3
x y x y
x y x y
ì + - + =
ïïï
íï - - - =
2
2 2
( ) ( ) 6 2( ) 5
x y x y
x y xy
ì - - - = ïïï
íï + = ïïî
B Các hệ phương trình nâng cao.
Loại 4: Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp với x, y; vế phải không chứa x, y
1 Định nghĩa:
Biểu thức f(x; y) gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2 nếu
Trang 3f(mx; my) = m2f(x; y)
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
ïïï
ïïî
( , )
( , )
f x y a
g x y b
Trong đó: f(x; y) và g(x; y) là phương trình đẳng cấp bậc 2;
với a và b là hằng số
2 Cách giải:
Xét x = 0 thay vào hệ kiểm tra
Với x ≠ 0 ta đặt y = xt thay vào hệ ta có:
{f(x,xt)=a g(x,xt)=b ⇔{x2f(1,t)=a ; x2g(1,t)=b
Sau đó, chia 2 vế của 2 phương trình với nhau ta được:
f(1,t)=abg(1,t)(∗)
Giải phương trình (*) ta tìm được t
Thế t vào hệ ta tìm được (x; y)
a)
2
ïïï
2
21
2 5 0
x xy y
y xy
ì - + = ïïï
íï - + =
5 9 3 15
x xy y
x xy y
ïïï
íï - - = ïïî
d)
2 2
2 2
ïïï
2 2
2 2
2 3 36
3 7 37
x y
x y
ì + = ïïï
íï + =
x xy y
x xy y
ïïï
íï + + =
g)
ïïï
2 2
3 54
4 115
x xy
xy y
ì + = ïïï
íï + =
2 2 2
2
x y
xy x
ì - = ïïï
íï + = ïïî
j)
2 2 25 2
y x y
-ïïï
2 2
2 2
( )( ) 5 ( )( ) 3
x y x y
x y x y
ì + + = ïïï
íï - - =
2 2
2 2
( )( ) 45 ( )( ) 85
x y x y
x y x y
ì + - = ïïï
íï - + = ïïî
Loại 5: Hệ phương trình đối xứng loại 1
1 Dạng tồng quát của hệ đối xứng loại I:
Định nghĩa:
Hệ đối xứng loại I là hệ chứa 2 ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi
ìïïï
íï
ïïî
f(x,y)=0
g(x,y)=0 , trong đó ìïïï
íï ïïî
f(x,y)=f(y,x) g(x,y)=g(y,x)
Phương pháp giải tổng quát:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
ii) Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy (với S2 ³ 4P)
Khi đó, ta đưa hệ về hệ mới chứa S,P
iii) Bước 3: Giải hệ mới tìm S,P Chọn S,P thỏa mãn S2 ³ 4P
iiii) Bước 4: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình:
X2 – SX + P = 0 ( định lý Viét đảo )
Chú ý:
Trang 4i) Cần nhớ:
x2+y2=S2−2P x3+y3=S3−3SP
…
ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ:
{ u=u(x) v=v(x) và { S=u+v P=uv
iii) Có những hệ phương trình trở thành hệ đối xứng loại I sau khi ta đặt ẩn phụ
Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại I có nghiệm:
Phương pháp giải tổng quát:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
ii) Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy với điều kiện của S,P và S2 ⩾4P (*)
iii) Bước 3: Thay x,y bởi S,P vào hệ phương trình
Giải hệ tìm S,P theo m, rồi từ điều kiện (*) tìm m (với m là tham số)
7 13
x y xy
x y xy
ì + + =
ïïï
íï + + =
5 5
x xy y
x y
ì + + = ïïï
íï + =
2 2
2 2
8 7
x y x y
x y xy
ì + + + = ïïï
íï + + = ïïî
17 65
xy x y
ïïï
íï + =
17
12 0
x y xy xy
ì + + - = -ïïï
íï - =
8 34
x y
x y
ì + = ïïï
íï + = ïïî
10
29
xy
ïïï
íï + =
15 34
xy
x y
ì = ïïï
íï + =
2
x xy y
x xy y
ìï + + = ïïí
ï + + = ïïî
6
x y xy
x y y x
-ïïï
69
x y x y
xy x y
ìï + - - = ïïí
ï + + =
3( )
160
x y xy
x y
ì + = ïïï
íï + = ïïî
ïïï
íï + + + =
2 2 2 ( 3) 2 ( 3) 9 0 2( ) 6 0
x y x y y x
x y xy
ì + + - + - + = ïïï
íï + - + = ïïî
o)
2 2
3 3
1
ïïï
íï + = +
ïïï
ïïî
5 7
x y xy
ìïïï
íï + + =
11
11
xy x y
xy
ïï ïï
íï + + =
7 10 3
xy x y
ïï ïï
íï + = ïïïî
t)
2 2 52
12
ïï
ïï
íï + =
ïï
ïî
u)
1
1 2
x
x y x
x y
ïí
-ïï + ïî
v)
1
5 2
6 2
y
x y x
x y
-ïí
ïï -ïî x)
3 3
2 2
9 5
ïïï
íï + =
7 133
x y
ì + = ïïï
íï + =
30 35
ïïï
ïïî
Loại 6: Hệ phương trình đối xứng loại 2.
1 Định nghĩa:
Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau
Trang 5*Chú ý: Nếu (x0;y0) là nghiệm của hệ thì(y0;x0) cũng là nghiệm của hệ.
2 Các dạng của hệ phương trình đối xứng loại II:
Dạng 1:
ìïïï
íï
ïïî
f(x,y)=0
f(y,x)=0
(đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia)
Phương pháp giải chung:
Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số
Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ
Dạng 2:
ìïïï
íï
ïïî
f(x,y)=0
g(x,y)=0 (trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng loại I)
Cách giải:
Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại
a)
2
2
ïïï
íï = - +
2 2
ïïï
íï = +
2 2
2 2
ïïï
ïïî d)
x xy y x
y xy x y
ì - = -
-ïïï
íï - = -
2 2
2 2
-ïïï
íï =
3
3
ïïï
íï - = ïïî
g)
ïïï
3 3
5 5
ïïï
íï = +
3 3
2 2
-ïïï
íï = -ïïî
j)
3
3
-ïïï
íï =
ïïï
3
3
ïïï
íï - = ïïî
Loại 7: Hệ phương trình bậc nhất ba phương trình ba ẩn.
a)
1
x y z
ìï + + =
ïï
ïï + + =
íï
ïï + + =
ïïî
b)
12
x y z
ìï + + = ïï
íï
ïïî
c)
ìï + + = ïï
íï
ïï + + =-ïïî
d)
ìï + + =
ïï
íï
ïïî
e)
ïï
íï
ïïî
f)
ïï
íï
ïï + = -ïïî
Trang 6g) 4 7 6
ìï = =
ìï = = ïïï
-ïï ïïí
-ïî j)
x y z
ïïí
ïï - - =
ïïî
k)
4 7 5
x y
y z
x z
ìï + =
ïï
ïï + =
íï
ïï + =
ïïî
l)
16 28 22
x y
y z
x z
ìï + = ïï
ïï + = íï
ïï + = ïïî
m)
25 30 29
x y
y z
x z
ìï + = ïï
ïï + = íï
ïï + = ïïî
n)
1
5
ìïï + =
ïï
ïï
ïïï + =
íï
ïï
ïï
ï + =
ïïïî
o)
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1
x
y z
x z
ïï + ïï
íï + ïï ïï
ïï + ïîï
p)
ïï
íï
ïïïî
q)
3
ìï + + =
-ïï
ïï - + =
íï
ïïî
r)
2
2 3
ìï = + ïï
ïï = + íï
-ïïî