Chuyên đề Mũ – Logarit

Giải bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa .... Giải bằng cách đặt ẩn phụ .... Giải bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số .... Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức ..

Trang 1

ThS LêVăn Đoàn

Trang 2

MỤC LỤC

Trang

A – Công thức mũ & logarit cần nhớ 1

B – Phương trình & Bất phương trình mũ 3

Dạng toán 1 Giải bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa 3

Các thí dụ 3

Bài tập tương tự 16

Dạng toán 2 Giải bằng cách đặt ẩn phụ 25

Các thí dụ 25

Dạng toán 3 Giải bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số 77

Các thí dụ 77

C – Phương trình & Bất phương trình logarit 92

Dạng toán 1 Giải bằng cách đưa về cùng cơ số 92

Các thí dụ 93

Dạng toán 2 Giải bằng cách đặt ẩn phụ 138

Các thí dụ 138

Dạng toán 3 Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức 164

Các thí dụ 165

D – Hệ phương trình & Hệ bất phương trình mũ – logarit 180

Dạng toán 1 Giải hệ bằng phép biến đổi tương đương 180

Các thí dụ 180

Dạng toán 2 Giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ 197

Các thí dụ 197

Dạng toán 3 Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức 216

Các thí dụ 216

E – Bài toán chứa tham số mũ – logarit 230

Các thí dụ 231

www.DeThiThuDaiHoc.com

Trang 3

bb

a

b=log a log b.ca( )=log ba +log ca log b a

Trang 4

c/ Đạo hàm của hàm mũ và logarit

Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp

x ln a

u 'log u

Trang 5

Lưu ý: Khi giải phương trình, bất phương trình cần đặt điều kiện để phương trình có

nghĩa Sau khi giải xong cần so sánh nghiệm (tập nghiệm) với điều kiện để

nhận nghiệm (tập nghiệm) thích hợp

Trang 7

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= −2

Trang 8

Thí dụ 7. Giải phương trình: 2x 2+ − 2x 1+ −1 =2x 1+ +1 ( )∗

Bài giải tham khảo

● Tập xác định: D =

( )∗ ⇔ 4.2x − 2.2x−1 =2.2x + 1 ⇔ 2.2x −1 =2.2x− 1

Trang 9

Trang 11

Đại học Kinh Tế Quốc Dân năm 1998

Trang 12

2

32

● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được:

Trang 13

● Vậy 2

x3

= là nghiệm của bất phương trình

Thí dụ 18 Giải bất phương trình: ( )

x 11

39

Trang 14

Đại học Giao Thông Vận Tải năm 1998 – Cao đẳng Sư Phạm Nha Trang năm 2002

Trang 15

( )∗ ⇔4x +4.4x +4 42 x >9x +9.9x +9 92 x ⇔ 4 21x >9 91x

x

4 9

−

⇔2− x2−2x ≤2x 1− ⇔ − x2−2x ≤x− 1 ⇔ x2−2x≥ − 1 x

Đại học Sư Phạm Hà Nội khối B, M, T năm 2001

Trang 16

x332

Trang 17

⇔ x∈ −∞;2+log 25 ∪3;+∞ do : log 25 < ⇒1 x= −2 log 25 <3

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x∈ −∞( ;2+log 25 ∪3;+∞)

Trang 19

x5

22/ 3x 1− =6 2 3x −x x 1+ ĐS: x= − 223/ 2 3x x 1 ( )3 x 2

+

24/

2 3

3

1 17 x 16

x 1

13

28/ 2 2 26 x 1+ =4 x 1+ ĐS: 3

x2

Trang 20

= −

Bài tập 3. Giải các phương trình sau

x3

Trang 22

4/ (x2− +x 1)x2−1 = 1 ĐS: x=0 ∨ x = ± 15/ (x+1)x 3− = 1 ĐS: x=0 ∨ x= 3

Bài tập 6. Giải các phương trình sau

Trang 23

=

Trang 24

83log 5 9log 5 16 log 5

32

33

12/ 3 x +3 x 1− −3 x 2− ≤11 ĐS: x∈ 0; 4 13/ 62x 3+ ≤2x 7+.33x 1− ĐS: x∈4;+∞)

Trang 25

Bài tập 11 Giải bất phương trình: ( 2 )x

Trang 26

Bài tập 15 Giải bất phương trình: 4x2 +3 xx +31 + x ≤2x 32 x +2x+6

Đề thi thử Đại học năm 2013 khối B, D – THPT Sầm Sơn – Thanh Hóa

Bài tập 17 Giải bất phương trình: −3x2−5x+ +2 2x>3 2x.x −3x2−5x+ +2 ( )2x 32 x

Đại học Y Thái Bình năm 2001

3

Bài tập 18 Giải bất phương trình: x4−8.ex 1 − >x x e( 2 x 1 − −8)

Đại học Xây Dựng năm 2001

ĐS: x< −2

Trang 27

I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN

Lưu ý: Một số trường hợp ta đặt ẩn phụ không hoàn toàn Nghĩa là sau khi đặt ẩn

phụ t vẫn còn x Ta giải phương trình theo t với x được xem như là hằng số

Trang 28

Đại học An Ninh Nhân Dân khối D, G năm 2000

Cao đẳng Sư Phạm TW năm 2006

( )∗ ⇔4.22x−18.2x +8=0

Trang 30

● Vậy phương trình có ba nghiệm là x= −2 ∨ x=0 ∨ x= 1

Nhận xét: Vấn đề của bài toán là nhận ra (1+ 2 , n)n ( ∈Z) với n= ⇒1 (1+ 2 ,)

với n =2⇒(3+2 2 ,) với n=3⇒(7+5 2) Theo kinh nghiệm của tôi, nếu chúng ta gặp phương trình mũ có nhiều cơ số dạng số vô tỉ (chứa căn) và không phải là cặp nghịch đảo của nhau (a.b=1) thì ta nên sử dụng máy tính bỏ túi để tìm, chẳng hạn như (1+ 2)X và lúc đó, tôi sẽ

CALC những số nguyên X ∈ như 2, 3, 4, … rồi sử dụng công thức ( )ab c =abc =( )ac b để nhận ra ẩn số phụ

Thí dụ 34 Giải phương trình: 4 x 2− +16=10.2 x 2− ( )∗

Đại học Hàng Hải năm 1998

Đại học Thủy Sản năm 1997

( )

x x

Dự bị 2 – Đại học khối B năm 2006

Trang 31

Học Viện Chính Trị Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh – Ban khoa học xã hội năm 2000

1 3

Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp khối A năm 2004

Trang 32

( )

x

2 x

x x

Cao đẳng Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh năm 2002

Trang 33

2 2

Đại học khối D năm 2003

2 2

● Vậy phương trình có hai nghiệm x= − ∨1 x= 2

Thí dụ 44 Giải phương trình: 9sin x2 +9cos x2 =6 ( )1

Trang 34

( )2 9 t 6 0t

⇔ t2−6t+9=0

⇔ =t 3⇔9cos x2 =3

⇔32 cos x2 =31 ⇔2 cos x2 − = 1 0

● Điều kiện: sin x≠0 ⇔x≠ πk , k( ∈ ) ( ) 2 cot x2

Trang 35

⇔2cot x2 =1 ⇔ cot x2 = 0

Thí dụ 46 Giải phương trình: 41 2 sin x− 2 +9.4−2 cos x2 =5 ( )1

Trang 36

3

3 10t27

x x

Đề thi thử Đại học lần 1 năm 2013 – THPT Trần Phú – Hà Tĩnh

Đại học Y Hà Nội năm 2000

Trang 37

● Vậy nghiệm phương trình là x= 1

Thí dụ 50 Giải phương trình: log 55( x−4)= −1 x ( )∗

Dự bị 2 – Đại học khối D năm 2003

● Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x= 1

Cách giải 2 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

● Nhận thấy x=1 là một nghiệm của phương trình ( )∗

● Hàm số ( ) ( x )

5

f x =log 5 −4 : là hàm số đồng biến

● Hàm số g x( )= −1 x : là hàm số nghịch biến

● Do đó , x= là nghiệm duy nhất của phương trình 1 ( )∗

Thí dụ 51 Giải phương trình: x+log 92( −2x)=3 ( )∗

Đại học Huế khối A, B – Hệ chuyên ban năm 2000

● Điều kiện: 9−2x >0

Trang 38

Đại học Dân Lập Đông Đô khối A, V năm 2001

● Điều kiện: ( x )

3 x

● So với điều kiện, nghiệm x=1 không thỏa Vậy phương trình vô nghiệm

Thí dụ 53 Giải phương trình: log 93( x 1+ −4.3x −2)=2x+1 ( )∗

Đại học Dân Lập Phương Đông năm 2001

● Điều kiện : 9x 1+ −4.3x − > 2 0

( )∗ ⇔9x 1 + −4.3x− =2 32x 1 + ⇔9.32x−3.32x−4.3x− = 2 0 ⇔6.32x−4.3x− = 2 0

( ) ( )

x x

Đại học Hồng Đức khối A năm 2001

Trang 39

Đại học Kỹ Thuật Công Nghệ năm 1998

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x∈ 0; 3

Thí dụ 56 Giải phương trình: ( )

2 2

Dự bị 2 – Đại học khối D năm 2005

Trang 40

x x

Trang 41

x

3 x

3

33

1 t

22

Trang 42

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x 1; 0 2; )

Đại học Dân Lập Ngoại Ngữ – Tin Học năm 1998

● Điều kiện: x≥0⇒ Tập xác định: D=0;+∞) ( ) ( )x 2 x

Cao đẳng Giao Thông năm 2004

( )1 ⇔ 8+2.2x−( )2x 2 > −5 2.2x

Trang 43

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x∈(0;2

Thí dụ 62 Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

Trang 44

● Điều kiện: 52x− >4 0 ⇔2x>log 45 ⇔ x>log 25

Trang 45

⇔ u> 20 ∨ u< 5 ⇔5x > 20 ∨ 5x < 5

Cao đẳng Sư Phạm Quãng Ngãi năm 2006

Đại học Dân Lập Bình Dương năm 2001

Trang 46

x 2

Đại học Dân Lập Hải Phòng khối A năm 2000

x x

Trang 47

Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối D năm 2006

Đại học khối A năm 2006

x

3 3

t3

Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp II năm 2006

Dự bị – Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối A năm 2006

Trang 48

⇔ x3−3x2+2x− =6 0⇔x=3

● Vậy phương trình có một nghiệm là x= 3

Thí dụ 73 Giải phương trình: 22x2+1−9.2x2+x +22x 2+ =0 ( )∗

Đại học Thủy Lợi cơ sở II – Hệ chưa phân ban năm 2000

● Vậy phương trình có hai nghiệm là: x= − ∨1 x=2

Thí dụ 74 Giải phương trình: log 2x 2 log 6 2 log 4x 2 2 ( )

Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh khối A năm 2001

Trang 49

log x 2 log x 2 log x 2

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là 1

x4

Thí dụ 75 Giải bất phương trình: 32x 4+ +45.6x−9.22x 2+ ≤0 ( )∗

Cao đẳng Cộng Đồng Hà Tây năm 2005

Trang 50

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x∈ −∞ −  ( ; 2

Thí dụ 76 Giải bất phương trình: 9x −10.6x +6.4x >0 ( )∗

Đại học Dân Lập Văn Lang năm 1998

t9

Trang 51

1

2 x

Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Hà Huy Tập – Hà Tỉnh

Trang 52

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x∈ 0; 4

Đại học Sư Phạm Hà Nội khối B, D năm 2000

Trang 53

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x∈(0;+∞ )

Thí dụ 82 Giải bất phương trình: log 7.102( x −5.25x)>2x+1 ( )∗

Đại học Thủy Sản năm 1999

● Điều kiện:

x

10 25

22

t 15

Trang 54

Cao đẳng khối A, B, D năm 2011

Đại học khối B năm 2007

Trang 55

Đại học Tổng Hợp Tp HCM khối D năm 1994 – Đại học Quốc Gia Tp HCM năm 1996

Trang 56

x 3

Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1997

x 2

Trang 57

● Ta có : (8+3 7 8) ( −3 7)= ⇔1 (8+3 7) (sin x 8−3 7)sin x =1sin x = 1

● Đặt t (8 3 7)sin x 0 (8 3 7)sin x 1 (8 3 7) sin x t

Đại học khối D năm 2006

Cách giải 1 Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích số

Trang 58

22

Trang 59

Cách 1 Nghiệm của phương trình bậc hai (theo x )

⇒ = − là nghiệm duy nhất của phương trình ( )1

● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 1

⇒ = − là nghiệm duy nhất của phương trình ( )1

● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 1

2

Thí dụ 93 Giải phương trình : 4x2 +x.3x +31 x+ =2x 32 x +2x+6 ( )∗

Học Viện Chính Trị Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh – Hệ chưa phân ban năm 2000

( )∗ ⇔(4x2−2x 32 x) (+ x.3x −2x) (+ 3.3x−6)= 0

Trang 60

( ) ( ) ( ) ⇔2x 22 −3x −x 2−3x −3 2−3x = 0

⇒ = là nghiệm duy nhất của phương trình ( )1

● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x= − ∨1 x=1

Cách 2 Đưa về phương trình tích loại phân tích thành nhân tử

Trang 61

Hàm số g x( ) 1x 2

= + đồng biến ∀ ∈x

⇒ = là nghiệm duy nhất của phương trình ( )1

● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x= − ∨1 x=1

Thí dụ 95. Giải phương trình: 5cos x2 =sin x ( )∗

Thí dụ 96 Giải phương trình: sin1999x+cos1999x=1 ( )∗

Đại học Y Tp Hồ Chí Minh năm 1999

( )∗ ⇔ −1 sin1999x−cos1999x= 0 ⇔ sin x2 +cos x2 −sin x sin2 1997 x−cos x cos2 1997x= 0

Thí dụ 97 Giải phương trình: 4sin x2 +4cos x2 = +6 cos 2x ( )1

● Tập xác định D =

Trang 62

Đặt t=4sin x 2 , 0( ≤sin x2 ≤ ⇔1 40 ≤4sin x 2 ≤4 Hay t1 ∈  1; 4).

Khi đó, g x( )được viết lại là g t( ) t 4 , t 1; 4

Cao đẳng Kinh Tế Đối Ngoại khối A, D năm 2006

Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Hải Dương năm 2002

Trang 63

Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối A năm 2006

Do đó ( )1 không có tập nghiệm (vô nghiệm) khi x < 2

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x∈ −∞ − ∪( ; 2 2;+∞) Thí dụ 101. Giải phương trình: 4x2−3x 2+ +4x2+6x 5+ =42x2+3x 7+ +1 ( )∗

Trang 64

− + + +

Đại học Quốc Gia Hà Nội – Học Viện Ngân Hàng năm 2000

● Điều kiện: x>1

2log x= ⇒t x=2 ⇒x =4

( )∗ ⇔(2+ 2)t+2 2t( − 2)t = +1 4t

Trang 65

Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 2000

Trang 67

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x∈ −∞( ; 0∪2;+∞)

⇔22x ≠2x+1 ⇔2x≠0 ∨ 2x≠ 1

Trang 69

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài tập 20 Giải các phương trình sau

1/ 25x−30.5x +125= 0 ĐS: x=1 ∨ x= 22/

x

3 −8.3 +15= 0 ĐS: x=2 ∨ x=log 253 3/ 4x2+2−9.2x2+2+ =8 0 ĐS: x= ± 1

Trang 70

22/ 9 x2−2x x− −7.3 x2−2x x 1− − =2 ĐS: 1

x4

= −

23/ 4x+ x2−2 −5.2x 1− + x2−2− =6 0 ĐS: 3

x2

3

x=log 7 −2 5/ 5 x −51− x +4=0 ĐS: x=0 ∨ x=1 6/ 2x2−x −22 x x+ −2 =3 ĐS: x= − ∨1 x=2 7/ 101 x+ 2−101 x−2 =99 ĐS: x= ± 1

8/ 51 x+2 51 x−2 24

9/ 5.23 x 1− −3.25 3x− + =7 0 ĐS: x= 110/

Trang 71

11/ 4x 1+ +2x 4+ =2x 2+ +16 ĐS: x=0 12/ −8x +2.4x +2x− =2 0 ĐS: x=0 ∨ x=1 13/ 8x −3.4x −3.2x 1+ +8=0 ĐS: x=0 ∨ x=2 14/ 24x +2.23x +8.2x−16=0 ĐS: x=log2( 5−1) 15/

2

3

27 − −9 − =2.3 − −2.3 − ĐS: x=0 16/ 42x+23x 1+ +2x 3+ −16= 0 ĐS: x=log2( 5−1) 17/

Trang 72

cos x sin x lg7 2sin x 2cos x 1 1 2sin 2cos x 1

9/ 22x2+1−9.2x2+x +22x 2+ =0 ĐS: x= − ∨1 x=2 10/

1 5 2

3

2+

5 21 2

Trang 73

3 5 2

1

7+

 

 

= ∨ =    

Trang 74

x=log 5− 17/ 8−x.2x +23 x− −x= 0 ĐS: x=2

14/ x 62 −x +6 x 2+ =x 62 x +62 x− ĐS: x=0 ∨ x= 6

Bài tập 25 Giải các bất phương trình sau

Trang 75

6/ 3.52x 1− −2.5x 1− <0,2 ĐS: x∈ −∞( ; 0) 7/ 52x 1+ −26.5x + > 5 0 ĐS: x∈ −∞ −( ; 1) (∪ 1;+∞ )

19/ 6x +2x 2+ ≥4.3x +4x ĐS: x∈ −∞( ; 0∪2;+∞) 20/ 27x +12x >2.8x ĐS: x∈(0;+∞ )

Trang 76

24/ 4x+ x 1− −5.2x+ x 1 1− + +16≥0 ĐS: x∈  1; 3 25/ ( 3 + 2) (x + 3− 2)x ≤2 ĐS: x= 026/ (9 3 11 2+ ) (x+2 5 2 6+ ) (x−2 3− 2)x< ĐS: 1 x∈ −∞( ; 0) 27/ ( )x2 2 x 1 ( )x2 2 x 1 4

Bài tập 26 Giải bất phương trình: 2x +2x 1 + ≤3x +3x 1 −

Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1996

ĐS: x∈2;+∞)

Bài tập 27 Giải bất phương trình: 3x 1 + −22x 1 + −12x2 < 0

Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông năm 1998

Trang 77

Bài tập 29 Giải bất phương trình:

Bài tập 30 Giải bất phương trình: 2.14x +3.49x −4x ≥0

Đại học Giao Thông Vận Tải năm 1996

Bài tập 32 Giải bất phương trình: 9 x 2 − 2x x − −7.3 x 2 − 2x x 1 − − ≤ 2

Cao đẳng sư phạm nhà trẻ mẫu giáo TWI năm 2001

Bài tập 33 Giải bất phương trình: 252x x − 2 + 1+92x x − 2 + 1≥34.252x x − 2

Đại học Kiến Trúc Hà Nội năm 1996

Bài tập 34 Giải phương trình: 2.27x +18x =4.12x +3.8x

Đề thi thử Đại học năm 2010 lần 1 khối A – THPT Phan Châu Trinh – Đà Nẵng

Bài tập 36 Giải bất phương trình: 51 x + 2 −51 x − 2 >24

Đề thi thử Đại học năm 2011 – THPT Tây Thụy Anh

ĐS: x∈ −∞ −( ; 1) (∪ 1;+∞ )

Bài tập 37 Giải bất phương trình: 2x 52 x 1 − +5x+ ≥5 x.5 x 1 − +10x2 +5 x 1 −

Trang 78

Bài tập 40 Giải bất phương trình: 9+8.3 4 x− −9 4 x− +3 4 x− >5, (x∈)

Đề thi thử Đại học năm 2012 – THPT chuyên Ngoại Ngữ – Đại học Sư Phạm Hà Nội

ĐS: x∈ 0; 4)

Trang 79

● Nhận thấy x=1 là một nghiệm của phương trình ( )∗

● Mà f x( )=3x đồng biến trên và g x( )= −5 2x nghịch biến trên

⇒ Phương trình ( )∗ có một nghiệm duy nhất là x=1 Thí dụ 111. Giải phương trình: x x x

4 +3 =5 ( )∗

Đại học – Cao đẳng phía Bắc năm 1970

Đoán nhận là một nghiệm của phương trình

Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của và để kết luận là nghiệm duy nhất:

o đồng biến và nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt)

o đơn điệu và (hằng số)

Nếu có đạo hàm đến cấp k và liên tục trên D, đồng thời có đúng m nghiệm phân biệt thì phương trình: sẽ có không quá nghiệm

Tiêu đề	Chuyên đề Mũ – Logarit
Tác giả	ThS. Lê Văn Đoàn
Trường học	Trường Đại Học Mở Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Chuyên đề
Năm xuất bản	2013
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	259
Dung lượng	9,22 MB