Tài liệu Phụ đạo đại số 10 docx

Tỡm tọa độ giao điểm nếu cú của đồ thị hai ham số: a Chứng minh rằng đồ thị hàm số trờn luụn đi qua một điểm cố định với mọi m.. Chứng minh rằng với mọi m đồ thị Pm luôn cắt đường thẳng

Chox 0 y0, O0; 0 cho x 0 y 2, B0; 2  cho x 0 y3, D0;3

Chox 1 y2, A1; 2 cho x 1 y0 , C1; 0 cho x 1 y2, A1; 2

Hàm số y 2 là đường thẳng song song với trục hoành Ox và đi qua điểm E0; 2

(Học sinh tự vẽ hình)

2) Tìm a,b để đồ thị hàm số yax b đi qua hai điểmA2;1vàB  1;3

Giải: Vì đồ thị hàm số yax b đi qua hai điểmA2;1vàB  1; 4nên ta có hệ phương trình 2 1

3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số bậc nhất: tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của đồ thị

hai hàm số bậc nhất sau đây y2x1 và y 3 2x

Giải: Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ 2 1 2 1 3 2 1

Vậy giao điểm cần tìm là điểm M 1;1

4) Tìm a,b để đường thẳng yax b đi qua M  1;1 và song song với đường thẳng y3x2

Giải: Vì đường thẳng yax b song song với đường thẳng y3x2 nên ta có a  3

a) ym1x3đồng biến trên R b) y2m3x6 nghịch biến trên R

c) ym1x3x2m tăng trên R d) y2m3x2xm giảm trên R

b) Đồ thị hàm số y2x2 song song với đồ thị hàm số  2 

y m  x m c) Đồ thị hàm số y x 2 trựng với đồ thị hàm số ym x2 2m

6 Tỡm tọa độ giao điểm nếu cú của đồ thị hai ham số:

a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số trờn luụn đi qua một điểm cố định với mọi m

b) Tỡm m 0 để đồ thị hàm số ym x 1 cắt 2 Ox Oy, tại hai điểm A B, sao cho OAB cõn tại O

PHẦN 2

Hàm số bậc hai - một số dạng toán liên quan



Dạng 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a)y= x2

- 6x+ 3 b)y= x2

- 4x+ 3 c)y= -x2

+ 5x- 4 d) y= 3x2+ 7x+ 2 e) y= -x2- 2x+ 4

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

+ bx+ c cắt trục hoành tại x1= 2và x2= 3, cắt trục tung tại: y= 6

f) y= ax2+ bx+ c đi qua hai điểm m(2; -7), N(-5; 0) và có trục đối xứng x= -2

Bài 6. Tìm parabol y=ax2+ bx+ 2 biết rằng parabol đó:

a) Đi qua hai điểm A(1; 5) và B(-2; 8) b)Cắt trục hoành tại x1= 1 và x2= 2

c) Đi qua điểm C(1; -1) và có trục đối xứng x= 2 d)Đạt cực tiểu bằng 3/2 tại x= -1

e) Đạt cực đại bằng 3 tại x= 1

Bài 7 Tìm parabol y= ax2

+ 6x+ c biết rằng parabol đó a) Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(-1; -10) b)Cắt trục hoành tại x1= -2 và x2= -4

c) Đi qua điểm C(2; 5) và có trục đối xứng x= 1 d)Đạt cực tiểu bằng -1 tại x= -1

e) Đạt cực đại bằng 2 tại x= 3

Bài 8 Lập phương trình của (P) y = ax2

+ bx + c biết (P) đi qua A(-1;0) và tiếp xúc với đường thẳng (d) y = 5x +1 tại điểm M có hoành độ x = 1

Dạng 3 Sự tương giao của parabol và đường thẳng

Bài 9. Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số sau:

a) y= x- 1 và y= x2- 2x- 1 b) y=-x+ 3 và y= -x2- 4x +1

c) y= 2x- 5 và y=x2

- 4x+ 4 d) y= 2x+ 1 và y=x2

- x- 2 e) y= 3x- 2 và y= -x2

- 3x+ 1 f) y=

-4

1x+ 3 và y=

+ 10x+ 7 và y= -4x2

+ 3x+ 1 d)y= x2

- 6x+ 8 và y= 4x2

- 5x+ 3 e)y= -x2

a) (d): y= mx- 1 và (P): y= x2

- 3x+ 2 b) (d): y= x- 3m+ 2 và (P): y= x2

- x c) (d): y= (m- 1)x+ 3 và (P): y= -x2

+ 2x+ 3 d) (d): y= 5x+ 2m+ 5 và (P): y= 5x2

– 1 Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (Pm) luôn cắt

đường thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng hằng số

Dạng 4 Phương trình tiếp tuyến của Parabol

Bài 14 Viết phương trình tiếp tuyến của (P) y = x2

- 2x +4 biết tiếp tuyến:

a) Tiếp điểm là M(2;4) b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d1) y = -2x + 1

c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(1:2) d) Tiếp tuyến vuông góc với (d2) y = 3x + 2

Bài 15 Viết phương trình tiếp tuyến của (P) y = -2x2

+ 3x -1 biết tiếp tuyến:

a) Tiếp điểm là M(-1;3) b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d1) y = 3x -2

c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(-3:2) d) Tiếp tuyến vuông góc với (d2) y = -3x -1

Dạng 5 Điểm đặc biệt của Parabol

Bài 16 Tìm điểm cố định của (Pm): y = mx2

a) Tìm quỹ tích các điểm mà từ đó có thể kẻ được đúng hai tiếp tuyến tới (P)

b) Tìm quỹ tích tất cả các điểm mà từ đó ta có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới (P) và hai tiếp tuyến

đó vuông góc với nhau

Dạng 7 Khoảng cách giữa hai điểm liên quan đến parabol

Bài 22 Cho (P)

2

x y 4

  và điểm M(0;-2) Gọi (d) là đường thẳng qua M có hệ số góc k a) Chứng tỏ với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

b) Tìm k để AB ngắn nhất

Bài 23 Cho (P) y = x2

, lấy hai điểm thuộc (P) là A(-1;1) và B(3;9) và M là một điểm thuộc cung

AB Tìm toạ độ của M để diện tích tam giác AMB là lớn nhất

Bài 24 Cho hàm số y = x2

+(2m+1)x + m2

- 1 có đồ thị (P)

Dạng 8 ứng dụng của đồ thị trong giải phương trình, bpt

Bài 26 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

Bài 29 Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x 2 x 2 4m 3

Bài 30 Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 2

Bài 31 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y f x( )x 44x 3x 210 x 3 trên đoạn [-1;4]

Bài 32 Cho x, y, z thay đổi thoả mãn x2

Phương trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

Bài tập 1 : Định giá trị của tham số m để phương trình

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm bằng 1? Tìm nghiệm kia

Bài tập 3 : Cho phương trình

2

x  xm  (1) a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia? Tìm các nghiệm của phương trình trong trường hợp này

Bài tập 4 : Cho phương trình

2

(m4)x 2mx m  2 0 (1) a) m = ? thì (1) có nghiệm là x = 2

b) m =? thì (1) có hai nghiệm trái dấu

c) Giả sử x x1, 2 là nghiệm của phương trình (1) CMR : M = 1x2x11x x1 2 không phụ thuộc m

Bài tập 6 : Cho phương trình

2

x  m xm  (1) a) Chứng minh (1) có nghiệm với mọi m

b) x x1, 2 là nghiệm của phương trình (1) Tìm min B = 2 2

b) a = ? thì (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn x1 1 x2

c) a = ? thì (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn 2 2

x x = 6

Bài tập 10: Cho phương trình

2x2(2m1)x m  1 0 (1)

8

a) m = ? thì (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn 3x14x2 11

b) Chứng minh (1) không có hai nghiệm dương

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x x1, 2không phụ thuộc m

Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dương -> vô lý

Bài tập 11: Cho hai phương trình

2 2

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2thoả mãn x12x20

a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phưong trình có hai nghiệm đối nhau

c) Tìm một hệ thức giữa x x1, 2 độc lập với m

Bài tập 15: Cho phương trình

(m2)x22(m4)x(m4)(m2)0 (1)

a) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm kép

b) Giả sử phương trình có hai nghiệm x x1, 2 Tìm một hệ thức giữa x x1, 2 độc lập với m

a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2

c) Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của phương trình đều là nghiệm nguyên

Bài tập 17: Với giá trị nào của k thì phương trình x2kx 7 0 có hai nghiệm hơn kém nhau một đơn vị

Bài tập 18: Cho phương trình

2

x  m xm  (1) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

c) Tìm m để phương trình có nghiệm âm

Bài tập 19: Cho phương trình

x2(m1)x m 0 (1)

a) CMR phương rình (1) luôn có nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x x1, 2là hai nghiệm của phương trình Tính 2 2

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn 1 2 x11 2 x2 1

d) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 3x va x1 3 2 ; 2

x

x và 2

1

x x

Bài tập 26: Cho phương trình

2

x  m x m  (1) a) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn : x1x21;

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 Tìm GTNN của biểu thức 2 2

1 2 10 1 2

Ax x  x x

Bài tập 28: Cho phương trình

(m1)x2(2m3)x m  2 0 (1)

a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm m để (1) có hai nghiệm x x1, 2 Hãy tính nghiệm này theo nghiệm kia

CMR hai nghiệm của phương trình , có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia

Bài tập 31 : Gọi x x1, 2 là các nghiệm của phương trình 2x23x 5 0 Không giải phương trình , hãy tính : a)

Bài tập 33 : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng :

a) Bình phương của các nghiệm của phương trình 2

2 1 0

x  x  ; b) Nghịch đảo của các nghiệm của phương trình 2

b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm bằng bình phuơng nghiệm còn lại

Bài tập 36: Cho phương trình

2

2x 5x 1 0 (1) Tính x1 x2 x2 x1( Với x x1, 2là hai nghiệm của phương trình)

Bài tập 37: Cho phương trình

(2m1)x22mx 1 0 (1)

a) Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( -1; 0 )

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn x12x22 1

Bài tập 38 : Cho phương trỡnh x2 - (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k là tham số)

Chứng minh rằng phương trỡnh luụn luụn cú nghiệm

Bài tập 39:

Tìm các giá rị của a để ptrình :

(a2a3)x2 a2x3a2 0

Nhận x=2 là nghiệm Tìm nghiệm còn lại của ptrình ?

Bài tập 40 Xác định giá trị của m trong phương trình bậc hai :

2

x  x m  để 4 + 3 là nghiệm của phương trình Với m vừa tìm được , phương trình đã cho còn một nghiệm nữa Tìm nghiệm còn lại ấy?

Bài tập 41: Cho phương trình : x22(m1)x m  4 0 (1) , (m là tham số)

1) Giải phương trình (1) với m = -5

2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x x1, 2 phân biệt mọi m

3) Tìm m để x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình (1) nói trong phần 2/ )

Bài tập 42:

Cho phương trỡnh

1 Giải phương trỡnh khi b= -3 và c=2

2 Tỡm b,c để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm phõn biệt và tớch của chỳng bằng 1

Bài tập 43:

Cho phương trỡnh x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số

a) Giải phương trỡnh với m = 1

b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x1 ,x2

c) Với điều kiện của cõu b hóy tỡm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giỏ trị nhỏ nhất

Bài tập 46: Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là:

53

53

45

12

Bài tập 48: Cho hai phương trình sau :

2 2

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp

ba lần nghiệm kia

Bài tập 52: Cho phương trình x2 + x – 1 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Gọi x1 là nghiệm âm của phương trình Hãy tính giá trị biểu thức : 8

a) CMR phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm m để 2 nghiệm x x1, 2 của (1) thoả mãn : 2 2

1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 2 nghiệm x x1, 2 thoả mãn : x1  x2 3 3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tập giá trị của hàm số

y= x22(m1)x m 2m1 chứa đoạn 2;3

Bài tập 57:Cho phương trình :

x2

- 2(m-1) x +2m - 3 =0

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia

Bài tập 58: Cho phương trình : 2 2

x  x aa 1) Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm

2) Giả sử x x1, 2 là nghiệm của phương trình này Hãy tìm giá trị của a sao cho 3

b) Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

c) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 , hãy tính theo m giá trị của

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1)

Bài tập 64: Giả sử hai phương trình bậc hai ẩn x :

14

x22(m1)x2m23m 1 0

a) Chứng minh phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0m 1

b) Gọi x x là nghiệm của phương trình , chứng minh : 1, 2 1 2 1 2 9

b) Gọi x x là nghiệm của phương trình , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 1, 2 A 2x x1 2x1x24

Bài tập 67: Cho phương trình bậc hai ẩn x :

(m1)x22(m1)x m  3 0 với m 1 (1)

a) CMR (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x x1, 2 là nghiệm của phương trình (1) , tìm m để x x 1 2 0 và x12x2

Bài tập 68: Cho a , b , c là đọ dài 3 cạnh của 1 tam giác CMR phương trình

x2(a b c x ab bc ac  )    0 vô nghiệm

Bài tập 69: Cho các phương trình bậc hai ẩn x :

2 2

Biết rằng (1) có các nghiệm m và n, (2) có các nghiệm p và q CMR : m2n2p2q2  4

Bài tập 70: Cho các phương trình bậc hai ẩn x :

+1

Bài tập 73.Cho phương trình bậc hai 4x2-5x+1=0 (*) có hai nghiệm là x1, x2

1/ không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức sau:

1

1 44

x

x x

b) Tìm a sao cho

1

x

1+

2

x

1

<3 c) Tìm một hệ thức độc lập giữa x1, x2

Bài tập 76 Cho phương trình bậc hai: x2 +(m+2)x +m= 0

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m

Bài tập 78: Cho phương trình mx2 – 2( m -2) x + (m – 3) = Tìm các giá trị của m để nghiệm x1 ;x2 của PT thoả mãn điều kiện x12 + x22 = 1

Bài tập 79: Xác định giá trị m để PT sau có hai nghiệm phân biệt trái đấu

(m – 1)x2 – 2x + 3 = 0

Bài tập 80 Cho PT : x2

– 2(m-2) x + ( m2 + m – 3) = 0 Tìm các GT của m để PT có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn :

Bài tập 82Cho PT x2 – 2(a – 1) x + 2a – 5 = 0 (1)

a) Chứng minh (1) có nghiệm với mọi a

b) Với mọi giá trị của a thì (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x1 < 1 < x2

c) Với GT nào của a thì (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x12 + x22 = 6

Bài tập 83: Cho PT : x2 – 10x – m2 = 0 (1)

mx2 + 10x – 1 = 0 (2) ( m khác không )

1) Chứng minh rằng nghiệm PT (1) là nghịch đảo các nghiệm của PT hai

2) Với GT nào của m thì PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện 6x1 + x2 = 5

Bài tập 84: Cho Phương trình x2 – 2(m+1) x – 3m2 – 2m – 1 = 0 (1)

1) C/mr với mọi m PT luôn có hai nghiệm trái dấu

2) Tìm GT của m để PT (1) có một nghiệm x = -1

3) Tìm các GT của m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 + 3x2 = 5

4) Tìm các GT m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x12 + x22 = m2 – 2m + 3

Bài tập 85: Cho PT : x2 – (a- 1) x + a = 0

a) Tìm các GT của a sao cho tổng lập phương các nghiệm bằng 9

b) Với GT nào của a thì tổng các bình phương các nghiệm có GTNN

Bài 14: Cho PT x2 – 5x + 6 = 0 (1) Không giải PT lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 ; y2

a) Đều là số đối các nghiệm của PT (1)

b) Đều lớn hơn các nghiệm cảu PT(1) là 2

Bài tập 87 Cho Phương trình x2 – (m – 1) x – m2 +m – 2 = 0

16

a) Giải PT khi m = 2

b) C/mr phgương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi GT của m

c) Gọi hai nghiệm cảu PT đã cho là x1 ; x2 Tìm m để hai nghiệm đó thoả mãn

Bài tập 89: Cho phương trình x2 – 2(a- 1) x + 2a – 5 = 0 (1)

a) C/mr PT(1) có nghiệm với mọi a

b) Với giá trị nào của a thì (1) có nghiệm x1 ,x2 thoả mãn x1 < 1 < x2

c) Với giá trị nào của a thì phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn

x12 + x22 =6

Bài tập 90: Cho phương trình : x2 – 2(m+1)x + m – 4 = 0 ( *)

a) Chứng minh (*) có hai nghiệm với mọi m

b) Tìm giá trị của m để PT (*) có hai nghiệm trái dáu

c) Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của PT (*)

Chứn minh rằng : M = (1 – x1) x2 + (1 – x2)x1

Bài tập 91: Cho phương trình : x2 – (1- 2n) x + n – 5 = 0

a) Giải PT khi m = 0

b) Chứng minh rằng PT có nghiệm với mọi giá trị của n

c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm cảu PT đã cho





c b

Bài tập 96: Cho p,q là hai số dương Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình

Bài tập 98: Cho phương trình bậc hai :x2 + (m+2) x + 2m = 0 (1)

a) C/m phương trình luôn luôn có nnghiệm

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để 2(x12 + x22 ) = 5x1x2

Bài tập 99: Cho phương trình x2 + a1x + b1 = 0 (1) ;

x2 + a2x + b2 = 0 (2)

Có các hệ số thoả mãn a a1 2 2b1b2.Cmr ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm

Trong trường hợp phương trình (1) có nghiệm kép xác định a,b,c Biết a2 + b2 + c2 = 14

Bài tập 103: Chứng minh rằng nếu phương trình :x2

+ ax + b = 0 và x2 + cx + d = 0 có nghiệm chung thì : (b – d)2 + (a- c)(ad – bc) = 0

Bài tập 104: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 C/mr nếu b > a + c thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Bài tập 105: G/s x1 , x2 là hai nghiệm của hai phương trình x2 + ax + bc = 0 và x2 , x3 là hai nghiệm của

phương trình x2 + bx + ac = 0 ( với bc khác ac ) Chứng minh x1, x3 là nghiệm của phương trình x2 + cx + ab =

Luôn có nghiệm với mọi a,b,c

Bài tập 108: Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình : 2x2 + 2(m +1) x + m2 +4m + 3 = 0

Tìm GTLN của biểu thức A = x x1 22x12x2

Bài tập 109: Cho a  0 G/s x1 ; x2 là nghiệm của phương trình 2

2

102

a

   .Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm GTNN của E = x14x24

Bài tập 111: Cho pt x2 + 2(a + 3) x + 4( a + 3) = 0

a) Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm kép

b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm lớn hơn – 1