Tài liệu Giáo trình đại số và 600 bài tập có lời giải P2 docx

b Có bao nhiêu đường thẳng mới được xác định bởi các giao điểm trên?. a C6 bao nhiều cạp đường thẳng trong /,„...,2, thì có hãy nhiền giao điểm phải tìm, vậy có Cá điểm cát nhàn, Chẳng

Trang 2

Ta da thay em 3.3.2) rằng, nếu 7? và F hitu han thì số các đơn ánh từ Ƒ vào

Elà AP = nem , trong đó n = #Œ),p = #Œ) ,p <n

Đặc biệt (xem 3.3.1) số các hoán vị của một tập hợp hữu hạn » phần tử là n!

3.5.2 — Ví dụ về đếm

1) Cho E, Ƒ là hai tập hữu hạn, ø = #(), p = #(F)

a) Số các quan hệ từ E đến Ƒ là 2”, vì ánh xạ đặt tương ứng mỗi quan hệ từ E đến Ƒ' với đồ thị của nó là một song ánh từ tập hợp các quan hệ từ £ đến F lên tập hợp các

bộ phận của E x Ƒ

b) Số các luật hợp thành trong của E là nh „ vì đó là số các ánh xạ từ E x E vào E

2) Có bao nhiêu số tự nhiên mà cách viết thập phân gồm đúng » chit s6 (x > 3), trong

Trang 3

Chương 3 Số nguyên - Số hữu tỷ

3) Trong một mặt phẳng cho ø đường thẳng khác nhau "ở vị trí tổng quát” (a > 4) a) Các đường thẳng này cất nhau tại bao nhiêu điểm?

b) Có bao nhiêu đường thẳng mới được xác định bởi các giao điểm trên ?

a) C6 bao nhiều cạp đường thẳng trong /),„ ,2, thì có hãy nhiền giao điểm phải tìm, vậy

có Cá điểm cát nhàn,

Chẳng hạn, với ¡ = 4, có 6 giao điểm của từng cạp đường thẳng

bỳ Xét điểm Á nhận được ở a) Yến tại đúng 2 dường thẳng /2,„ 2„, @ <2 đì qua Á

(rong số Ð,, Ð,) Trên Ø, (cũng như trên D,), ngoad A, có đúng ð - 2 diễm nói ở a) Vay số điểm phải nối với điểm A đế được các đường thắng mới nhự vậy bang

Ta ký hiệu B =0,(A)

RG rang doh xa (X,Y) UA, YU A) IA mot song ánh từ

1X V) 6 OB@)) X 2 Y = BỊ lên (XD 6 (BEY XU Y= EvaAX OY = Al

Tom nita = VOX.) © QR), OF UY = B @ 0,00) & Y) Nhu vay, ban s6 phat tinh efing 1A ban s6 clia ((X", Ÿ2 e đRŒĐ)) X” CV], Với Y" e W(B) cố định, có bản số ký hiệu là y', bản số của {A” € $MB); X” C Ý'] là 27, Vậy bán số phải tìm là wep

S 2Ý? , tức là 372,

Trang 4

3.5 Phép đếm 93

Bài tập

a) Chimg minh rang, voi mọi (#2) thuộc N3:

Prager = Papt P* DPapey b) Suy ra P,, voi (wp) € (1, SP

c) Chứng mình rằng, với mọi ø thuộc nN:

2 Paan® Coarse Pena = 2-15 Panta =

bya = Amik Gog ® Pat nas + b) Suy ra rằng, với mọi (7 &) thuộc RỂ, ta có:

n= Cyags Poe = Chee (nếu n> 1).

Trang 5

Chương 3 Số nguyên - Số hữu tỷ

3.6 Các tính chất của Z

Ta nhắc lại ở đây các tính chất thông thường của tập hợp Z2 các số nguyên, xem như đã biết Độc giả quan tâm sẽ tìm thấy cách xây dựng Z (đối xứng hóa nữa nhóm (Ñ, +)) trong Giáo trình của J .M.Arnaudiès và H.Fraysse, Tập 1, trang 70 - 73

Tap hop Z =( -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .} được trang bị một phép cộng +, một phép nhân -, và một quan hệ thứ tự toàn phần < , mở rộng các luật của Ñ và thỏa mãn:

(Z, +, +) 14 mot vành nguyên giao hoán

Ta mở rộng ra 7 định nghĩa vẻ tính chia hét trong N:

+ Định nghĩa Cho (2,6) e 7° Ta nói rằng a chia hết b (trong Z) va ky hiệu øÌb khi và chỉ khi tồn tại c e 2 sao cho b = đc

+| Định lý - Định nghĩa (Phép chia Euclide trong Z)

Cho (a, b) € Z x N’ Tén tai một cap duy nhất (q, r) thudc Z? sao cho:

‘0 : baer _ Ta nói rằng ợ (tương ứng : r) là thương (tương ứng : đư) của

phép chia Euclide a cho b

Chứng mình :

1) Tồn tại

GiA sit (a, b) € Z x N’ Xét E= (p © Zs a2 bp}.

Trang 6

+ Ebichan wen vi: {

Vigtl # E, nên ta có ø < búg + 1), Vậy r <b

2) Duy nhất

Gia sit (g, 1), (4) thuộc ? toda man (Oot và eer

Thế thì b( - g) = r ¬r và -b < r- r <b, suy tac] <q-q< 1,vậy 4

=4,r=r

Trang 7

Chương3 Số nguyên- Số hữu tỷ

3/7 Các tính chất của ©®

Ta nhấc lại ở đây các tính chất thông, thường của tập hợp 4 các số hữu tỷ, xem như

đã biết Độc giả quan tâm sẽ tìm thấy cách xây dựng, ‹ (thé các phân thức của vành nguyên 7) trong Giáo trình của J.M.Amaudiès và H.Fraysse, Tap 1, trang 78-80 Tap hop Q duoc trang, bị một phép cộng +, một phép nhân «, và một quan hệ thứ tự toàn phần < , thỏa mãn:

Led (đồng nhất T và ø, Với 4 € n

(Z, +, +) là một thể giao hoán

vxe 0, 3Ó, 4) e 7 x Ñ”, ax= p (ta ký hiệu x= 4)

Giả sử (6, 4)e(Q_} Ý Tổn tại (@, Aya, b) € ONY" sao cho: &= 5 và AT

“Ta có, với mọi N thuộc Ñ”: Ne > Á ©® Nob > dộ

Trang 8

3.7 Các tính chất của 0 97

+| Mệnh để - Định lý 3 Với mọi z thuộc Ø0, tổn tại một phần tử œ của Z

và chỉ một sao cho ø <x <n + 1; phần tử ø này gọi là phần nguyên của +, và được ký hiệu là E(x)

Chứng mình :

Giả sử x 6 G Áp dụng Mệnh để 1 voi ¢=1, ta thay rang (1 e ; ø < x] là một bộ

phan bi chan trên và khác rỗng của 7i, vậy có một phần tữ lớn nhất

'Ta cũng đã định nghĩa một cách tổng quát hơn phần nguyên của một số thực (Iập1, 1.2.3, 3), Mệnh để - Định nghĩa)

NHẬN XÉT:

Với mọi (a, b) thuộc 7 x LÝ, phần nguyên của h là thương của phép chia Euclide a

b cho b xem 3.6, Định lý - Định nghĩa)

Trang 9

Thay cho ø chia hết b, ta còn nói : z là một ước của b, boặc: b là một bội cia a

Ta ký hiệu tập hợp các ước của z (với a e Z) là Ư(a) và tập hợp các ước chung của

@,, a, (Vin € N’va (ay, ., @,) € Z") là:

2 via, b) € BY, [2° Ialrlz)

3) (a, b, 0) € Z2, [rie ae]

8-DS\

Trang 10

Thay cho a chia hết b, ta còn nói : z là một ước của b, hoặc: b là một bội của a

Ta ký hiệu tập hợp các ước của a (với z e Z) 1A U(a) và tập hợp các ước chung của

3) Với ký hiệu a Z = (b € Z; dc € Z, b = ac} với mọi a thuộc 4, ta có:

V(a, bye 72, (a |b © a ¬ bi

+| Mệnh để 1

lvaeZ, ala

al|b 2) Ví, b) e 72, (re > |a\-10)

3) via, b,c) e BY ({ile ae]

8- DSL

Trang 11

Nếu bz0, thì de =1, vay ldl=le|=1, do dé lolelalldl=lal

Ngược lại, nếu | ð |=| z Ì, thì tôn tại e € {-1, 1} sao cho b = s2 (tức làø= sb), đo đồ

3) Nếu (z Ìø và ø |/), thì tổn tại (c, ÿ) e Z? sao cho b = ac va B= ay, do db

bB = (aa)(c}) và cy e ñi, vậy aal bp

4) Suy ra từ 3) bằng quy nạp theo (hoac bang cdc quy tắc tính lũy thừa)

Ta nhac lại định lý về phép chia Euclide trong Z (xem 3.6):

@ Binh ly - Dinh nghia

Cho (a, b) ¢ Z x N" Tén tại một cặp duy nhất (4, r) thuộc Z* sao cho:

a=bq+r 0<r<b

Ta néi rằng q (tương ứng: r) là thương (tương ứng: dư) của phép chia Enclide a cho ô

NHẬN XÉT:

V6i moi (a, b) thude Z x N’, a chia het b khi và chỉ khi dư của phép chia Euclide b cho a bằng không

Trang 12

4.1 Tínhchiahết 101

4.12 Dong dư

+ Định nghĩa Chon € Ny, (a, b) e Z'; ta nói rằng z là đồng dư modulo

n với b, (hoặc: a đồng dư với b theo modulo ø) và ký hiệu @ = b{n] (hoặc: z =b ), khi và chỉ khi ø chia hết b - a

1) Tính phan xạ là hiển nhiên

2) Ta có, với mọi (4, b) thuộc 2:

a=b[n]© nÌb- ae>nÌa - b © b= a[n], điều này chứng tỏ tính đối xứng

3) Với mọi (4, b, c) thuộc Z? :

Ta cũng có thể ký hiệu là lớp modulo ø của x là x mod n

Vậy rõ ràng rằng (nhờ phép chia Euclide cho n) 7 /„z là một tập hợp hữu

Trang 13

ô lô |1]12 |3 ô |ô|ö|ô lô

Trang 14

3) vú, b) s 2,â+B= a+b = b+a =B+â „vậy + có tính giao hoán

4) Va eZ, a +6 = 040 = a, vậy Ô là phân từ trung hòa đối với +

5) Va eZ, 4 +a) = ara) = 0 „vậy mỗi phần tử của Binz, có một phần

tử đối Như thế, (/„;, +) là một nhóm Abel

b) 1) - là một luật hợp thành trong, Tag,

2) Vự,b, c) e 72,0

kết hợp

3) Va b) € 2, ab= ab= ba = ba, vay 06 tinh giao boan

4 Vaed, diz al =4,vayl Tà phần tử trung hòa déi voi

5) Via, b,c) € Zt, b+ 2) =4 re) = albte) = ab+ac = ab+ ac = ab + a@,

vậy - là phân phối đối với +

(Be = bye = (abe) = ate) = 3o), vậy - có tính

rô = 0[8] hoặc n? = 4[8] , nếu n chấn

Trang 15

2) 3n +4| LIn +8 byt an 2 |uỂ- ,

0 4444 Ta ky hiệu ánh xạ cho tương ứng với mỗi n của \ƒ” số các ước (> l) của n là đ:EÝ—> H Chứng mình: Vớ 6]{ - {0, 1) Và 6 tÝ, dự 1) 2 dan)

0 44.412 Clone Lad) <a) <u<d, =" ede ước > lcủa ú chứng núnh:

pil at 45

1) 29 | 259 + a3

n) 32} 8H? +4n- 35" - 1) p) 415.79" + 2"

ry LiL} 10% + 10" - 2 1) 2304 [7 - 23820 -1

u) 2 {3.8611 + 16a - 44y0t!- 32002 - 144n + 243

Trang 16

4.4 Tính chiahết 105

AAAS Choa © Zia sl van € FTsao cho n >3 Chứng mính: đ”” * saat

4.4.46 Ching minh: Via bye BT lat+ P+ = 71 abe

AAAT Tim tất cả các số n thuộc 7 sao cho: 10 zỂ + r+ DP + Git 3)

4.1.18 — Với những ø nào thuộc TÍ thủ tả có: 8|A“+ 4ø +Ì ?

4.4.19 Tìm tất

ay 21242" +1 by 7] 27) +2" 42

4.120 Chang mink: Va etl - 10.1} 2" | 3" +1

4.121 Chimg minh: Via by e HE, 23 | 2" 43%

4.1.22) Viduve phuong trinh Diophante

Chứng mint rằng các phương trình sau không có nghiện trong tập hợp đã chỉ ra:

4.1.26 Chứng minh, với mọi athuge S| 14 2443" 44" al

4.4.27 Cho (a, 6) € HE sao cho a 2 4 Chứng mình:

x4 4120 [lo]

34150 [10

4.1.28 Cho (4,),2 1a day Fibonacci :

th =0.h=1, WHEN ba= Gut te

Chứng mình, với mọi 1 thude 1

a)2|g,es ala

by alge dla

o4lgc ola

Trang 17

Chương 4 Sé hoc trong Z

$ 4.129 Các số Fermai

Ta ký hiệu, với ø € Ñ',F„= 22” + 1 (được gọi số Fermat thứ ø) Ching minh:

vneW' r,|2#

Các bài tập từ 4.1.30 đến 4.1.32 sử dụng số học để khảo sát các nhóm đơn

9 4.130" Chứng minh rằng các nhóm con của (, +) là các #Z, & e Ñ

0 4.4.31 Xác định các nhóm con của (7, +) n € ÑŸ (sử dụng bài tập 4.1.30)

Ô 4.132 Cho(G, -) là một nhóm đơn Chứng minh:

G=7 — nếuGlàvô hạn { Ge Dyp, néuG la hitu han va a = Card (G)

(Sit dung bai tap 4.1.30)

o© 4.4.33 Chứng minh, với mọi (x.y) thuge 2:17 | 2x + dy @ 17 19x + 5y

9 4.134 Giải:

4)x2+x+7= Ô wong Diaz

b)x2-4x+3 = Ô_ trong By oq-

0 4.4.35 Cho 5 s6 nguyén, ching mint ring ta có thể chọn ra ba số cố téng chia hét cho 3

Ô 4.1.36 Cho n € N* C6 bao nhieu cach phan tich 2" thành tổng của bốn bình phương, của những số tự nhiên ?

Ô 4.1⁄37° Chon NỈ, và ao, 4, €{1, , 2n) từng đôi khác nhau Chứng mình rằng tồn tại Œ, 0€ (1, „., n}? sao cho: í z j và 4, Ì a;

â(2n) = ð(n)

S2Qa+1) = S(20)+1

b) Suy ra: Và » Suy ra: Vac eÑ, (2m) == S(n) +m

2 c) Chứng minh: Vn 6Ñ, 0<#)< — 3

Trang 18

Cho neN’, @Œu, x,) € ZY -

1) Tap hợp các ước chung ca x, ., x„ là hữu han và có một phần tử lớn nhất (đối với thứ tự < thông thường), gọi là ước chung lớn nhất của

Xị, , x„ và ký hiệu là UCLN (x, ., x„) hoặc ƯCLN ((x) ¡«<,)-

2) Tập hợp các phần tử thuộc Ñ là bội chung của 1, ., x, có một phần tử nhỏ nhất (đối với thứ tự < thông thường), gọi là bội chung nhỏ nhất của xị, x„ và ký hiệu là BƠNN (x¡, ., x,) hoặc BCNN (Œis<)-

Chứng mình:

1) Tập hợp UC(x, x„) các ước chung của xị, x„ là một bộ phận hữu hạn của

% (vi bao hàm trong {k e Z2; kel < xị |}, khác rỗng (vì nó chứa 1), vậy có một phần

NHAN XET: RO rang:

Trang 20

BCNN(4xi, Âx„) = [Au = [Ala

@|M&nh dé3 Cho ne NT, @&, ) € (2Y, F = UCLNG, 4), 8= BƠNNG, , x„), (2, b) e (2ƒ Ta có:

+| Mệnh để 4 (Tính kết hợp của ƯCLN và của BCNN)

Cho n e R”, P là một phân hoạch của {1, , +} (xạ, x„) € (7?) Ta có:

Trang 21

Chương 4 Số học trong 7

2) Tương tự, do tính kết hợp và tinh giao hoán của phép giao trong BZ):

2

Mệnh để trên chứng tổ ta có thể biểu thị ƯCLN (tương ứng : BƠNN ) của nhiễu số

chỉ bằng các ƯCLN (tương ứng: BCNN) của hai số Chẳng han:

1) Độc giả có thể im thay trong các cuốn sách khác (giáo trình của

J.M.Amaudiés và [I.L'rayssc, Tập], trang 127-128) các ký hiệu ngược lại với các ký

hiệu ở đây: v đối với ƯCLN, ^ đối với BÉNN

2) A và v là những luật hợp thành trong trên `, kết hợp và giao hoán (xem Mệnh

để 4) Hơn nữa: Và e7, (4Aa=ava=lzl,aAl=l,av1= la|)

Sau này ta sẽ thấy :

« ^ và v luật này phân phối dối với luật kia (4.4.3, Hệ quả)

4.2.3 Thuật toán Euclide

Cho (a, b) € N sao cho a > b Ta sẽ xây dựng một thuật toán cho phép tinh a ^ 6

Nếu b |, thia a b = b

Giả sử b Ƒa Theo phép chia Euelide ø cho b, tôn tại (4;, rạ) e MẺ sao cho:

a = bại + 0<n<b ˆ

Ta sé ching minh: aA b= bar,

Với mọi c thuộc Z:

« Nếu (e |a và cÌ b) thì (e | b và eÌr) vì rụ= a - bạ,

« Nếu (e | b và e|z,), thì (c Ì b và ca) vì a= bại + rị

Điều này chứng tổ UC(a, b) = UCC, r,), va như vậy a A b = b Ar

Nếu z¡ |b, thì ø A b =b An, =ri

Nếu 7, J, thi ta lap lai

Trang 22

4.2 UCLN, BCNN 441 Như thế ta xây dựng các cặp (đ¡, r1), (đa, r;), sao Cho:

Trong thực hành , ta thực hiện các phép chỉa Buelide liên tiếp, vi UCLN cila a và b

là dư cuối cùng khác không TA có thể áp dụng cách sắp xếp thực hành sau (khi tính

Trang 23

Nhu thé, ex) la sé nguyén bé nhất >1 sav cho x= ¢,

Phan td (x) thude |! dược gọi là cấp của x (rong ©),

b) ở) Chứng mình ràng nếu €7 là hữu hạn tì mọi phần tử của Œ đều có cấp hữu hạn

va Wx eG, ax) | Card(G), (Sit dung dinh ly Lagrange, C2.1)

Đảng thức @(Ay) = @(3) V 0) có nhất thiết xảy ra không?

B) Cho một ví dụ về một nhóm (Ở, ) và bai phần tử (x, x) của Œ có cấp hữu hạn

sao cho xy có cấp không hữu hạ

0 425 Chone HN € ]} là một số nguyên lẻ ở € Õ, sáo cho ơÝ = ø, Chứng mình rang

ochan (Sit dung dang phân tích ở thành tích những chủ trinh từng đột có giá rời nhau,

i cấp của một phần tử của một nhóm hữu bạn, bài tập 4.2.4

0 4.2.6 ChoueTl-{0,1).2e ©,.ơ=e, e o cụ là dạng phân tích ø thành tích những

chủ trình từng đôi có giá rồi nhau (xem 3.4.3, Định lý) Chúng mình rằng cấp của ơ là BCNN của các cấp các chủ trình eạ, cự ( xen bài tập 4.2.3)

Ví dự : Cấp của

"ha th pS là ba eu?

Trang 24

4.3 Số nguyên tố cùng nhau 113

43 Số nguyên tố cùng nhau

4.3.1 Đại cương

e| Định nghĩa Chon < LÍ, Gà ) € G29",

1) Ta nói rằng xị, x„ nguyên tố cùng nhau (trong toàn thể) (hoặc :

xa lạ) khi và chỉ khi : ƯCLN (4, , x„) = Ì

2) Ta nói rằng xị, , x„ nguyên tố cùng nhau từng đôi khi và chỉ khi :

Vídụ: n=3,x,=6,x,=10,x,= 15

3) Với mọi (x¿, x„) thuộc (7*)", và ký hiệu ä = ƯCLN(x,, , x„), tổn tại

Gì, 2X.) € Œ®9)" sao cho: Vie (1, - a} x 8x) , VÀ x, X„ Iguyên tố cùng

nhau (trong toàn thể) vì :

8 ƯCLN @*, , v„) = ƯCLN (Šy,, vu) = Š

+| Mệnh đề ˆ

anb=l

Via, bc) s (9°, ({ lb Sanc=1)

Chứng mink: Gidsit an b= 1vaclb

Với mọi d thude ††*, nếu (ở | ø và đÍ e), thì (2| ø và 4| Ð, vậy d =1 Ta kết luận :

aAc=l

4.3.2 Dinh ly Bezout

¢| Binh ly 1 (Dinh ly Bezout)

Cho ? 6 ÍÍ*, (xị, ., x;) 6 ŒP, Để xị, , x, nguyên tố cùng nhau trong toàn thể, cần và đủ là tồn tại Ga, ., H„ ) € Z" sao cho:

"

Xin =1

isl

Trang 25

Via, b,c) (1991, Ll#2 aAb=l Sai

Giả sử ø| bc và ø A b= 1 Theo định lý Bezout , tổn tại (u v) € 77 sao cho dư + by = 1;

suy ra ¢ = acu + bev, Via | ae và øÌ bev, ta kết luận : ø | e

Rõ ràng ta có thể giả thiết b > 0, nếu không chỉ cần thay (a, b) bởi (a, -b)

Theo định lý Bezont , tổn tại (4, v,) € Z? sao cho au, + bv,=1

Bang phép chia Uuclide «, cho b, t6n tai (g, «) € Z sao cho:

ua =qb+u Osu<b `

Trang 26

4.3 Số nguyên tố cùng nhau 115 Đật v= đa + vị, là CỐ:

ai + by = alte, gb) + by + ga) = au, + bi = 1,

và lovl= lI-aul<1+ la< 1+la

Ib do dé lor

lzlo vạy thì lb>|< lal 8

Bay giờ ta sẽ nình bày thuật todn tinh mot cap (#.v) sao cho au + by = 1, véi (a, b)

NHAN XET:

Độc giả có thể chứng mình, bằng quy nạp mạnh theo l¿ |+ 6, rằng thuật toán trên sẽ cho (nếu |z|> 2) cập Œ v) thuộc Z sao chơ:

au +bv=l, b<b, Wwe lal.

Trang 27

VÀ gi lo+ ÄpWig+ A612 EE, vis € 1, do dd a A

1

SUK gees Sng E Le SLO

cho: Vie {1.2 tl) a a4,

Trang 28

Giả sử xị Ìa, x;Ìa, xị^A xạ = 1

'Tồn tại y, € 77 sao cho ø = x¡yị Vì x; Íxiy vàx;^ xị = 1, nên định lý Gauss (4.3.2,

Định lý 2) chứng tỏ rằng +; Ìy,

Vay tén tai y € Zi sao cho y, = XaY; , do đồ : 4= x¡y = (X/4;)y; , nên SUY PA X1; la

Thế thì x,„ x, nguyên tố cùng nhau từng đổi, và (Ví e (1, + 8], x,| a), suy rat

Vậy theo Hệ quả trên : # = (Ä?) v (00) = da’ v b= ð| a®' |, do đó

= & la’ |= |6a"| 10" = lab |

Trang 29

b) Ngược lại, giả sử x Ạ #7 sao cho xAn= L và Ế = ặ Theo định tý Bezout tôn

tại ạt, v) Ạ 72 sao cho mu + nv = 1 Thể thì ta có: Xu+m= $0 +RẾ = E ự, điều

nay chứng tỏ Ọ khả nghịch trong Ấ(và có phần tử nghịch đáo là ô )

2) Dạng bát khả quy của một số hữu tỷ khác không

Moi cap (a, A) thuộc (7)Ợ sao cho: r = ỹ và ỦA /= 1, được gọi là một đại

diện bất khả quy của một số hữu tỷ r khác không

a) Giả sử r e0, tồn tại(4, đ) ặ (7Ữ sao cho r ỘỌ `

Với ký hiệu ậ = @ a b, tổn tại (2, ử} e (Gy sao cho: a = đụ, b = 88, Ủ A 8= 1 (xem 4.3.1, Nhận xét 3)) Thế thì r Ộ3% aan B=1, vay (a 8 là một đại điện bất

khả quy của r Như thế:

Mỗi số hữu tỷ khác không có ắt nhất một đại điện bất khả quy

Đ) Giả sử r eQỢ, (Ủ, B) là một đại diện bất khả quy của r, (c, 4) là một đại diện

khác của r đức là: (e, đ) e (7 và r= m*

Vì c8= da và ụA 8= 1, nên định lý Gauss chứng tỏ rằng a| c Vậy tổn

tại k e Z: sao cho c = ka, do d6 d = kB Nhu thé:

Trang 30

4.3 Số nguyên tố cùng nhau 148

Vậy:

Moi số hữu tỷ khác không có đúng hai đại điện bất kha quy(a Ø), (-#, -Ø),

Ket quả là mỗi số hữu tỷ khác không có dúng một và chỉ một đại điện bất khả quy

Bai tap

0 4.3.14 Cho n€ Zlésao cho 3| a; chimg minh : sẺ = [24]

$ 4.3.2 Gidi wong (HY:

b) Tìm iit ca cde (ur, 9) thuộc 7 sao cho: 442u + 495v = 1

¢) Gid phuong tinh 43x = 574 von dn x € Bags,

0 43.5 Voila bc) eB x 2 x 2, gidi phuong tint ax + by = ¢ voi an (ey) € Be

Ví dục Giải ong Z: a) 9x + lấy = Lh b) 0x+ l5y = 18

0 4.3.6* Cho (a, b) € (N'Y sao cho: an b=1, 423 ,b23

Chứng minh rằng tồn tai (x y) e ZZ duy nhất sao cho: ax + by = llale—b dlc a 2

a) Chimg munh: Via, b) E(B |b => a 1b)

c)* Giải trong #2: G2 + Wert YP) = a= VP

Trang 31

Chương 4 - Số học trong Z

0 4.312 Chứngminh: clab==cÌ(4^ cXb A c) với mọi (4, b, e) thuộc (3Ẻ

ah sp”

Chứng minh: = a- } (a- 6) = (lan by") A (a- )

0 4.3.14* Ching minh rang phương trình 6x2+ 5x + | =O khOng c6 nghi¢m trong Z⁄„ nhưng với mọi w thuộc ÑÏ, đồng dư thức 6x? + 5x + 1 = O[n] có ít nhất một nghiệm trong ?

ISk<n kei Chứng minh rang A) A, nguyén tố cùng nhau trong toàn thể

0 4.3.16* Dinh ly Trung Hoa

b) Với bất ky /r thuộc Ñ” và bất kỳ x thuộc 7, ta ký hiệu lớp của x modulo ø là el„(x):

cl,(x) = {ye Ze mly-x}oatm he

Suy ra rằng (từ ø) tôn tại một đẳng cấu nhốm Ø: Z/„„ "3 Z4 lap, Xe X Ấy, SAO cho

Vx eZ, Acl,(x)) = cla, GŒ) €lu, (0)

0 4.3.48 Choan N’, (a,b,c, d) € Z! sao chon chia hét ac, be + ad, bd, Ching minh:

nÌ be và nÌ ad (Sử dụng bai tap 4.3.11, a))

2SxSySz va xy= I[z] và xz = l[y) và yz = IB)

0 4.3.20* Chứngminh: -

2+ By’ + 972 - 9z =0 = x= y= 2= 0,

với mọi (x, y z) thude Z?

9 4.3.21 Xác định các phần tử sinh của nhóm xyclíc Œ2/„„ +), me Ï1 *

Trang 32

VaeN', (aÌp => (a= 1 hote a =p)

Một số nguyên n 2 2 duge goi [A hop sé khi va chi khi né khong phai 1A nguyén t6

“Ta có thể nói một số nguyên ø là nguyên tố khi và chỉ khi | ø | là nguyên tố

NHẬN XÉT : Để cho một phan tir p của Ñ - (0, 1} là nguyên tố, cần và đủ là :

Trang 33

Nếu một hợp số chia hết một tích, thì ta không thể suy ra rằng nó chia hết một trong

các thừa số của tích, chẳng hạn như trong ví dụ sau: 6|3.4., 6 \3 ; 6\4

Giả sử É e 7/„„ - LÔ }; tôn tại z e ?Z sao cho Š = £ Vì Ê # 6, nen ta 06: nx

Vì m là nguyên tố , ta suy ra (xem 4.4.1, Ménh dé 1)): 2 Ax = I, và nhu vay

(xem 4.3.4, 1)), = kha nghich trong 27,

Điều này chứng tỏ Z/,7, 1a mot thé

Trang 34

4.4 Số nguyên tố 4.4.3 — Phan tích nguyên tố

+| Định lý 1 Mọi phần tử của 1T - (0, L} có một dạng phân tích thành tích những số nguyên tố, duy mhất sai khác về thứ tự các nhân tử

Quy nạp mạnh theo ra

Tinh chất hiển nhiên với ở = 2

Giả sử dạng phân tích mọi số nguyên thuộc (2, ø} thành một tích những số

nguyên tố là duy nhất, sai kháu về thứ tự các nhân tứ

NETS Pie Pw = de Iv

Vì p, nguyên tố và chia hết g, gv„ nên tổn tai i, [1, N"} sao cho py lạu

(xem 4.4.1, Mệnh để 2); nhưng hơn nữa gi, nguyen 16, vay P= di

Vậy khi sắp xếp lại gy, gy acd, chẳng hạn: ø;= ơi:

Khi đó p; Đy= d› 4y S m, vậy theo giá thiết quy nạp, Ý = A”, D; = đà Py= In

Cho ø € N - {0, 1} Theo định lý trên, tồn tại W e LỶ, mụ, px là những số nguyên tố và từng đôi khác nhau, rị, , r, € rf sao cho n= ñ pị Đăng thức này được gọi là dạng phân tích nguyên tố của + "

Với mọi số nguyên tố p Œœ 2), ta gọi số tự nhiên sao cho: prot lava

pưánh n là p - định giá của n, và ký hiệu là v„(n)

Với các ký hiệu trên, ta có: Ví œ (1, Nb vp, (0) = fe và, với mọi SỐ nguyên tố p khác với p\, px: 9Ú) = 0

Rõ ràng rằng, với mọi (, ø) thuộc (Í - {0, 11:

423

Trang 36

trong dé N œ TỶ, pị, p„ là những số nguyên tố từng đôi khác nhau, đi, ., đy,

Bi Bur tye WER

Va ed:

aA(bve)= ][p" và @Ab)v(aA^o= [][nh:

trong đó, với mọi ¡ thuộc {I, › N}:

4 = Min(a,, Max(8, #)) và v,= Max(Min(ø,„ Ø), Mìn(đ,, 7))

Gia siti € {1, NỊ; vì , và y, giữ các vai trò đối xứng, nên ta có thể giả thiết,

Trang 37

Ô 4.47 Chứng mình rằng đây (0), 2 xác định bởi : Và e H, Hy = Tứ +^Ÿn +5) chứa tất

0 4.4.14 Tìm tất cả các số ø thuộc 7 sao cho øẺ+ an? + 6n” + 4ø + 5 nguyên tố

9 4.4.12 Tim tat cd cdc s6 p thuộc Ƒ]- {O, LJ sao cho j và 2' + p? là những số nguyên tố

Trang 38

4.4 Sốnguyêntố 12

9 4.4.19 Những số nguyên tố nào là tổng của lai hợp số?

9 4.4.20) Ching minh rang, néu p la so nguyên tố > 5, thi 4p? + 1 có thể phân tích thành tổng của ba bình phương, của những số nguyên > Ì

9 4.4.21 a) Cho p là một số nguyên tố ; chứng minh: W#e (I,

9 4.4.23 Chứng mình: Vụ € 72, 49/0 - nŠ- 2g + (,

0 4.4/24 Xác định cị

số Ø thuộc ÌT sao cho: - (202+ l) A (32+ 2) # 1,

9 4.4.25 a) Cho k € TÍ ; chứng nủnh rằng, nếu 2 + Í nguyên tố, thì Á là một lây thừa của 2, 23"

Cúc số £ + lợi € | dược gọi là cá

nguyên 1ổ; chẳng hạn #2; là hợp sô chia hét cho 641, 0 Fermat Chik # không phải đều là số

b) Chứng nùình rằng với mọi (ớ, ø) thuộc LẺ: mến => BAF

Trong các bài tdp 4.4.26 và 4.4.27, ta có thể sử dựng lý thuyết các du thức (chương 5)

9 4.4.26 Cho n € bY sao cho tổn tại số nguyên tố ø théa min: p 2 S và pÌa Chứng mình răng 4"+ 2"+ L là hợp số

9 4.4.27* thừa của 3 Chứng mình rang, nun € FÏ sao cho 4”+ 2”+ 1 nguyên tố, thì œ là một lữy

9 4.4.28 Chon e N- (0, 1] Chứng trinh rằng ø là hợp số khi và chỉ khi Ø(ø) > +n,

trong đồ Ø(9) là tổng các ước > | chan

xÌa yÌb, xAy=1, xy=avb

“va @a b= 1 Ching mình rằng tồn tại

đố ø là số nguyên nhỗ nhất thỏa mãn < a

Trang 39

hoặc là tích của hai số nguyên tố khác nhau

b) Suy ra rang Ø, là một hàm số học nhân tính, tức là:

Vía, b) e @., (4A b= 1 => 0u (ab) = G,(4)0 v(ð))

A)x#+Âx+Ï= Ô trong 2/17, ») Sead x+4y=6 » trong (2127)

9 4.4.43 Chop 1a mot sO nguyen t6,

&

4) Chứng múnh: Về (1, .p - 1),p| Cụ

b)* Suy ra: VN e Ñ, V/e Ñ', VỌa, xu) €7, lÈ

Trang 40

44 Số nguyêntố 129

4.4.44 Cho (a, b,c d) € Z sao chd 5 Yd Chimg minh:

xe 2, Slats bettors de (aye DZ Slay + cyt by +a)

4.4.47* Chimg mink rang phuong trinh 15x27 - 4y? = 3* không có nghiệm trong ÈŸ

4.4.48* Dinh ly Wolstenhome

Cho p là số nguyên tố > 5, H„„ ro Chứng mình rằng tử số của H,,, chia hết cho p” 1 5 a x: 2

kel 4.4.49 Cho p là số nguyên td, p 2 5

b) Suy ra; Wn € Z, (p| nao?" = Ip)

Khi giải các bài tập từ 4.4.51 đến 4.4.04 cé thé sit dung din ly nh Fermat

a)_ Với mọt số nguyên ø lễ sao cho ø > 15: 21840] 2 - I

b)_ Với mọi số nguyên tốp > 19: 16320|plS- 1

4.4.54 Chimg minh: V¢a b,c, d) € (Nt), 30] a4 a4,

Tiêu đề	Giáo trình: Đại số và 600 bài tập có lời giải P2
Thể loại	Giáo trình

Định dạng
Số trang	101
Dung lượng	1,48 MB