Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số

D ẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm m để hàm số đồng biến trên R... Cho hàm số y = f x có bảng biến thiên như sau: Ta thấy trên khoảng −∞;0 thì bảng biến thiên thể hiện hàm số đồng biến..

-Hàm số y= f x( ) được gọi là đồng biến trên K nếu ∀x1,x2∈K:x1<x2⇒ f x( )1 < f x( )2

-Hàm số y= f x( ) được gọi là nghịch biến trên K nếu ∀x1,x2∈K:x1<x2⇒ f x( )1 > f x( )2

 Định lý:

Cho hàm số y= f x( ) xác định và có đạo hàm trên K

a) Nếu f′( )x > ∀ ∈0, x K thì hàm số y= f x( ) đồng biến trên K

b) Nếu f′( )x < ∀ ∈ thì hàm số 0, x K y= f x( ) nghịch biến trên K

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

xác định)

minh phương trình có nghiệm duy nhất

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020)Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm

Phân tích hướng dẫn giải

1 D ẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm m để hàm số đồng biến trên R

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 0) và (1;+∞ )

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 2)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ − ∪; 1) ( )0;1

L ời giải

Ch ọn B

Ta có: y′ =4x3−4x

− +∞

  C R\ 2{ } D 1

\2

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1) và (3;+ ∞)

Câu 4 Cho hàm số y = f x ( ) đồng biến trên tập số thực  Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Câu 5 Cho hàm số y = f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Ta thấy trên khoảng (−∞;0) thì bảng biến thiên thể hiện hàm số đồng biến

Câu 6 Cho hàm số y = f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ sau Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.Hàm số f x( ) đồng biến trên các khoảng (−∞ ∪ +∞;1) (1; )

B Hàm số f x( ) đồng biến trên 

C Hàm số f x( ) đồng biến trên các khoảng (−∞;1) và (1;+∞)

D Hàm số f x( ) đồng biến trên các khoảng (−∞; 2)và (2;+∞)

L ời giải:

Ch ọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số f x( ) đồng biến trên các khoảng (−∞;1) và (1;+∞)

Câu 7 Cho đồ thị hàm số y = f x( ) có đồ thị như hình vẽ Hàm số y= f x( ) đồng biến trên khoảng

nào dưới đây?

A (−2; 2) B (−∞; 0) C ( )0; 2 D (2;+ ∞)

L ời giải:

Chọn C

Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số y= f x( ) đồng biến trên khoảng ( )0; 2

Câu 8 Cho hàm số y = f x( ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số y = f x( ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−∞ −; 1) B (− +∞1; ) C ( )0;1 D (−1; 0)

L ời giải:

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−1; 0)

Câu 9 Tìm khoảng đồng biến của hàm số 3 2

y′ > ⇔ < <x Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( )0; 2

Câu 10 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên  và y= f′( )x < ∀ ∈ −0, x ( 3;5) Khẳng

định nào sau đây đúng?

Câu 2 Cho hàm số 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1

y= x −

A Hàm số đồng biến trên khoảng B Hàm số nghịch biến trên khoảng

C Hàm số đồng biến trên khoảng D Hàm số đồng biến trên

+

=+ ,y=tanx,

biến trên  Vậy chỉ có 1 hàm số đồng biến trên 

Câu 4 Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?

x y

( )2

32

−

′ =+

y x

2

y′ = ⇔ = ∉x D

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên (4,+∞ )

(I) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ và ;1) (1;+∞ )

(II) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ − và ; 1) (1;+∞ )

(III) Hàm số đồng biến trên tập xác định

L ời giải Chọn D

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ và ;1) (1;+∞ )

Câu 9 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm y= f′( ) (x =x x−2 ,) ∀ ∈  Hàm số x y= f x( ) nghịch

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên ( )0; 2

Câu 10 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f′( ) (x = x+ ) (2 −x)(x+ )

đúng?

A Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− −3 1 và ; ) (2;+∞)

C Hàm số đồng biến trên khoảng (−3 2 ; )

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3 2 ; )

⇔ ≤ − Khi đó ta có a= > nên 3 0 y′≥0 với mọi x ∈ Do đó hàm

số đã cho đồng biến trên [1;+∞)

a m

− +∞

14

;15

4

−

′ =+

m y

Vậy giá trị cần tìm của m là 0≤ <m 2

Câu 6 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 2 sin 1

sin

x y

x x x

Ta có bảng biến thiên sau

y= f x đồng biến trên khoảng (−3; 0) và (3;+∞ )

Câu 8 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2 x+ = + có nghiệm 1 x m

thực?

A. m≥ 3 B. m≥ 2 C m≤ 3 D. m≤ 2

L ời giải:

x x x

A Hàm số đồng biến trên khoảng (2;+ ∞ )

B Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 2)

C Hàm số đồng biến trênkhoảng ( )0;1

D Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1) và ( )2;3

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số y= f x( ) đồng biến trên khoảng ( )0; 2 ⇔( ) (0; 2 ⊂ 0;m+ 4) ⇔ + ≥ m 4 2 ⇔ ≥ − m 2

Kết hợp với 4− < ≤ , ta có 2m 0 − ≤ ≤ m 0

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số y= f x( ) luôn đồng biến trên khoảng (0;+ ∞ nên hàm số ) y= f x( ) đồng biến

trên khoảng ( )0; 2 với mọi m≤ − Vậy 4

2

4

m m m

Câu 2 Gọi S là tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2

Tập giá trị của f t trên ( ) (0;+∞ là ) [1;+∞ , do đó: (*) ) ⇔ ≤ m 1

Vậy S = −∞ nên S chứa đúng 1 số nguyên dương ( ;1]

Câu 3 Cho hàm số y = f (x) xác định trên  và có đạo hàm f ′ (x) thỏa mãn

(1 )( 2) ( ) 2018)

20192018

)1

Câu 4 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Hàm số y= f (cosx+2x+m)liên tục trên nửa khoảng [0; + ∞ , suy ra: )

Hàm số y= f (cosx+2x+m)đồng biến trên [0; + ∞ khi và chỉ khi )

(−sinx+2 ' cos) (f x+2x+m)≥ ∀ ∈0, x (0;+∞) ( )1

Do −sinx+ >2 0,∀ ∈ x nên ( )1 ⇔ f ' cos( x+2x+m)≥ ∀ ∈0, x (0;+∞) ( )2

Do m nguyên thuộc khoảng ( 2020; 2020)− nên m∈{7;8;9; ; 2019}

Câu 6 Số giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (0; 2020) để hàm số

TH2: ∆ > ⇔ ≠ ⇒0 m 3 y′ có hai nghiệm x x1, 2(x2 > x1)

⇒Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (x x 1; 2)

Do m nguyên thuộc khoảng (0; 2020)nên m∈{7;8;9; ; 2019}

Câu 7 Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2 ( 2 )

Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞) ⇔ 2 ( 2 ) ( )

02

m m m m m

m m m

m m

13

=1

x

Vậy có 4 giá trị nguyên âm của m thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu 9 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình: 1 2 cos 1 2 sin

Không mất tính tổng quát ta chỉ xét phương trình trên [−π π; ]

x x

Phương trình đã cho tương đương với

m m

- Nhận thấy: hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng 1;