Chuyên đề :TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Tính đơn điệu của hàm hàm số là một trong những phần kiến thức quan trọng trong chương trình THPT đặc biệt là lớp 12. Tính đơn điệu của hàm số còn được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán như bài toán về cực trị; bài toán về giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số; bài toán giải phương trình, giải bất phương trình; bài toán chứng minh bất đẳng thức,….. Trong tất các đề thi đều xuất hiện những câu hỏi và phần liên quan đến kiến thức này. Nhất là đề thi THPTQG những năm gần đây, số lượng câu hỏi về tính đồng biến nghịch biến được tăng lên. Nâng cao chất lượng dạy và học, nhất là nâng cao kết quả thi THPTQG của các em lớp 12 là nhiệm vụ chung và rất quan trọng đối với mỗi nhà trường hiện nay. Trong phạm vi của chuyên đề, chủ yếu tập trung vào kiến thức thi THPTQG, nên tôi có hệ thống lại các dạng toán, phương pháp giải và bài tập liên quan, từ mức độ cơ bản đến nâng cao, qua đó giúp việc tiếp thu kiến thức của học sinh một cách thuận tiện và hiệu quả hơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG XUÂN HÒA

Họ tên : DƯƠNG THANH HÙNG

Đơn vị : Trường THPT XUÂN HÒA

Thành phố Phúc yên, Tỉnh Vĩnh Phúc

1 Người thực hiện: Dương Thanh Hùng

Giáo viên : Trường THPT Xuân Hòa, Thành phố Phúc yên,

Tỉnh Vĩnh phúc

2 Đối tượng bồi dưỡng học sinh lớp 12

3 Dự kiến số tiết 03

4 Hệ thống kiến thức:

4.1 Tính đơn điệu của hàm số

4.2 Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Tính đơn điệu của hàm hàm số là một trong những phần kiến thức quan trọng trong chương trình THPT đặc biệt là lớp 12 Tính đơn điệu của hàm số còn được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán như bài toán về cực trị; bài toán về giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số; bài toán giải phương trình, giải bất

phương trình; bài toán chứng minh bất đẳng thức,…

Trong tất các đề thi đều xuất hiện những câu hỏi và phần liên quan đến kiến thức này Nhất là đề thi THPTQG những năm gần đây, số lượng câu hỏi về tính đồng biến nghịch biến được tăng lên

Nâng cao chất lượng dạy và học, nhất là nâng cao kết quả thi THPTQG của các em lớp 12 là nhiệm vụ chung và rất quan trọng đối với mỗi nhà trường hiện nay

Trong phạm vi của chuyên đề, chủ yếu tập trung vào kiến thức thi

THPTQG, nên tôi có hệ thống lại các dạng toán, phương pháp giải và bài tập liên quan, từ mức độ cơ bản đến nâng cao, qua đó giúp việc tiếp thu kiến thức của học sinh một cách thuận tiện và hiệu quả hơn

Tóm tắt nội dung Phần I : LÝ THUYẾT

Phần II: DẠNG TOÁN và BÀI TẬP

Phần III: BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 Định nghĩa

Cho hàm số y f x xác định trên ( ) K với K là một khoảng

+) Hàm số y f x đồng biến (tăng) trên ( ) K nếu x1, x2 K x, 1 x2 f x( )1 f x( ).2

+) Hàm số y f x nghịch biến (giảm) trên ( ) K nếu x1, x2 K x, 1 x2 f x( )1 f x( ).2

+) Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K

2 Định lý

Cho hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng ( ) K

+) Nếu f x( ) 0, x K và ( ) f x 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y f x đồng biến trên ( )khoảng K

+) Nếu f x( ) 0, x K và ( ) f x 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y f x nghịch biến ( )trên khoảng K

DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC

I - PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Xét tính đơn điệu của hàm số y = f x ( ) trên tập xác định

Bước 1 :Tìm tập xác định D

Bước 2 :Tính đạo hàm y= f x( )

Bước 3 :Tìm nghiệm của f x( ) hoặc những giá trị x làm cho f x( ) không xác định

Bước 4 :Lập bảng biến thiên

Bước 5 :Kết luận

Chú ý: - Trên một khoảng, nửa khoảng hay trên một đoạn ta làm tương tự

- Đối với bài toán trắc nghiệm, ta có thể sử dụng Phương pháp sử dụng MTCT

Cách 1 :Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio Quan sát

bảng kết quả nhận được, khoảng nào làm cho hàm số luôn tăng thì là khoảng đồng biến, khoảng nào làm cho hàm số luôn giảm là khoảng nghịch biến

Cách 2 :Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm Sử dụng tính năng giải bất

phương trình INEQ của máy tính Casio (đối với bất phương trình bậc hai, bậc ba)

−

=+ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (− + ; ) B Hàm số nghịch biến trên khoảng (− + 1; )

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (− − ; 1) D Hàm số đồng biến trên khoảng (− − ; 1)

Chọn D

2 (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số y=x3−3x2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng ( )0; 2 B Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0; 2

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (−;0) D Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; + )

4 Cho hàm số y=x3+3x2+3x+2019 Phát biểu nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên B Hàm số đồng biến trên khoảng (− − và ; 1) (− + 1; )

C Hàm số nghịch biến trên D Hàm số nghịch biến trên khoảng (− − và ; 1) (− + 1; )

1

x y

x

−

=+

y= x + Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ) B Hàm số đồng biến trên khoảng (−; 0)

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; + ) D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1)

2 1

x y

=

− + Khẳng định nào đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (− +; ) B Hàm số nghịch biến trên khoảng (− −; 4 )

C Hàm số đồng biến trên khoảng (− +4; ) D Hàm số đồng biến trên khoảng (2;+)

2 82

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (−4; 2), nghịch biến trên các khoảng (− − và ; 4) (2; + )

−

=+ ;

11 Cho hàm số cos 2 sin 2 tan , ;

2 2

y= x+ x x   −x    

  Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số luơn giảm trên ;

ừ÷

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (− −; 1)và đồng biến trên khoảng (− +1; )

B Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1

2

− 

 

 và nghịch biến trên khoảng ( )1;3

C Hàm số đồng biến trên khoảng (− −; 1) và nghịch biến trên khoảng 1; 2

Từ bảng xét dấu của y ta có hàm số đồng biến trên các khoảng 1;1

13 Cho hàm số y= + +x 3 2 2−x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (− − và đồng biến trên khoảng ; 2) (−2; 2)

B Hàm số đồng biến trên khoảng (− − và nghịch biến trên khoảng ; 2) (−2; 2)

C Hàm số đồng biến trên khoảng (− và nghịch biến trên khoảng ;1) ( )1; 2

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (− và đồng biến trên khoảng ;1) ( )1; 2

y= x − x− Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (− −; 1)và ( )1;3

B Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +)

C Hàm số đồng biến trên khoảng (−1;1) và nghịch biến trên khoảng ( )2; 4

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (− −; 1) và đồng biến trên khoảng (2; +)

, y =  =0 x 1; y không xác định tại x= −1;x=3

Bảng xét dấu của y:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−1;1) và (3; + , nghịch biến trên các khoảng ) (− − và ; 1) ( )1;3

Chọn A

15 Cho hàm số y= x2 −4x+ +3 4x+3 Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (− +; )

B Hàm số nghịch biến trên khoảng (−; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +)

C Hàm số đồng biến trên khoảng (−; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; +)

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−; 0) và đồng biến trên khoảng (6; +)

17 Cho hàm số

2

42

x y x

+

=+ Biết hàm số nghịch biến trên các khoảng(−;a) ( ), a b; Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc ( )a b; ?

2

2

44

2

x x

x x

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (2; + , nghịch biến trên các khoảng ) (− − và ; 2) (−2; 2) Nên

t y

Dựa vào bảng xét dấu trên ta có hàm số 2

Ta có bảng dấu của y

Vậy hàm số y=x2 −6x+6 2x+ −1 1 đồng biến trên các khoảng 1; 0

 + 

  và nghịch biến trên khoảng 0;3

DẠNG 2: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHO BỞI BBT,

20 (Câu 3 Mã 101-2019) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A (−2;0 ) B (2;+) C ( )0; 2 D (0;+)

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng ( )0; 2 thì f '( )x 0

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0; 2 Chọn C

21 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên Hàm

số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A (− − ; 1) B (−1;1) C (−1;0) D ( )0;1

Lời giải

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng (−1;0 , 1;) ( +) Chọn C

22 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Khi đó hàm số đồng biến trong khoảng

( )

y= f x

( )

y= f x

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A Hàm số nghịch biến trên 0; B Hàm số nghịch biến trên ; 2 , 2;3

C Hàm số đồng biến trên 2; D Hàm số nghịch biến trên ;3

Vậy hàm số y= f (− + nghịch biến trên khoảng 2x 6) (−;3) Chọn D

27 (Câu 35 Mã 101-2019) Cho hàm số f x , bảng xét dấu của ( ) f '( )x như sau:

Hàm số y= f (3 2− x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A (4;+  ) B (−2;1 ) C ( )2; 4 D ( )1; 2

Lời giải Chọn B

A Hàm số f x đồng biến trên khoảng ( ) ( )1; 2

B Hàm số f x đồng biến trên khoảng ( ) ( )3; 4

29 Cho hàm số f x xác định trên ( ) và có đồ thị hàm số y= f( )x là đường cong trong hình bên Mệnh

đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số f x nghịch biến trên khoảng ( ) 1;3

2

− 

 

  B Hàm số f x đồng biến trên khoảng ( ) (−2; 2)

C Hàm số f x nghịch biến trên khoảng ( ) ( )1; 2 D Hàm số f x đồng biến trên khoảng ( ) (− − ; 2)

30 Cho hàm số f x xác định trên ( ) và có đồ thị như hình vẽ Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )a b; và

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số g x( ) nghịch biến trên các khoảng (− −; 3) và ( )1;3

t t t

y f x x x đồng biến trên khoảng 1; 0 và 0;1 Chọn C

35 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên

Hỏi hàm số y= f f x( ( ) ) đồng biến trên những khoảng nào?

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−2;0) và (2;+  Chọn B )

36 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị hàm số y= f( )x như hình vẽ

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số g x( )= f (− + + +2x 1) (x 1)(− +2x 4)

Quan sát đồ thị hàm số y= f t( ) và y= trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta thấy với t t  − −( ; 3)

và t ( )2;5 thì đồ thị hàm sốy= f t( ) luôn nằm phía dưới đường thẳng y=t

Suy ra f( )t  t 3

t t

2

x x

+ Xét hàm số (1 ) 2

2

x

y= f − +x −x có y= −f(1− + − x) x 1Đặt t= − ta được 1 x y= −f( )t − t

( Nghiệm của bất phương trình f t( ) − là hoành độ những điểm thuộc phần đồ thị hàm số t y= f t( ) nằm

phía trên đường thẳng y= − ) t

Do đó hàm số (1 ) 2

2

x

y= f − +x −x nghịch biến trên các khoảng(−2;0) và (4;+  Chọn A )

38 (Câu 50 Mã 101 2018) Cho hai hàm số y= f x( ), y=g x( ) Hai hàm số y= f( )x và y=g x( ) có đồ

thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y=g x( )

 +

  D

256;

Kẻ đường thẳng y =10 cắt đồ thị hàm số y= f( )x tại A a( ;10), a (8;10) Khi đó ta có

 

 

  Chọn B

39 Cho hai hàm số đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ bên dưới, trong đó đường

đậm hơn là đồ thị hàm số Biết rằng hai đồ thị này tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ là −3

và cắt nhau tại hai điểm nữa có hoành độ lần lượt là −1 và 3 Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

m để bất phương trình f x( )g x( )+m nghiệm đúng với mọix  − 3;3

Phương trình hoành độ giao điểm f x( )=g x( ) Do hai đồ thị này tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ 3−

và cắt nhau tại hai điểm phân biệt nữa có hoành độ lần lượt là − 1 và 3 nên

( )

y= f x y= g x( ) ( )

+

t t

DẠNG 3: TÌM ĐK CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN,

NGHỊCH BIẾN TRÊN MỘT MIỀN

I - PHƯƠNG PHÁP CHUNG

B1: Tìm TXĐ, tính đạo hàm

B2: Lập luận:

Hàm số đồng biến trên khoảngK khi và chỉ khi y’= f’ ,(x m)0 với mọi x thuộc K (1)

Hàm số nghịch biến trên khoảng sK khi và chỉ khi y’= f’ ,(x m ) 0 với mọi x thuộc K (2)

Cô lập được tham số m( dùng phương pháp hàm số)

Đưa (1) về dạng:g x( )h m( )với   khi và chỉ khi x K ( ) min ( )

x K



Tương tự (2)g x( )h m( ) với   khi và chỉ khi x K ( ) max ( )

y= − +x x− Hàm số đồng biến trên khoảng (− ;1)

Vậy m =0 không thỏa mãn

 m=1 (thỏa mãn) Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên Chọn D

43 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 2

1

y x

− +

=+ giảm trên các khoảng mà nó xác định ?

Hàm số giảm khoảng xác định khi và chỉ khiy 0 m 1 Chọn D

x m giảm trên khoảng (−;1 ? )

4

m y

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( )1; 2 khi và chỉ khi y   0, x ( )1; 2

Từ bbt suy ra ycbtm2−   −   Vì 1 3 2 m 2 m  suy ra m − − 2; 1;0;1; 2

Vậy có 5 giá trị m thỏa mãn Chọn B

46 Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y= − +x4 (2m−3)x2+m nghịch biến trên khoảng

x m đồng biến trên khoảng 0;4 .

Vì m −( 10;10) và m nguyên nên không có giá trị m nào thoả mãn

Vậy có tất cả 10 giá trị m nguyên thoả mãn bài toán Chọn B

50 Tập các giá trị của tham số m để hàm số y ln 3( x 1) m 2

 +

( )

2 2

=+

2 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (− + ? ; )

A y=x4+3x2 B 2

1

x y x

x Phát biểu nào sau đây là đúng

A Hàm số đồng biến trên B Hàm số đồng biến trên khoảng (−;3) và (3;+ )

C Hàm số nghịch biến trên D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−;3) và (3;+ )

5 Cho hàm số y= −x3 2x2+ +x 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; + B Hàm số nghịch biến trên khoảng ) 1;1

6 (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số y x= 4−2x Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (− −; 2) B Hàm số đồng biến trên khoảng (−1;1)

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1) D Hàm số đồng biến trên khoảng (− −; 2)

7 (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho hàm số y=x3+3x+2 Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−; 0) và đồng biến trên khoảng (0;+)

B Hàm số đồng biến trên khoảng (−; 0) và đồng biến trên khoảng (0;+)

C Hàm số đồng biến trên khoảng (− +; )

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (− +; )

8 (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm ( )= 2+

1

f x x ,  x Mệnh đề nào

dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+) B Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1)

C Hàm số đồng biến trên khoảng (− +; ) D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−; 0)

9 Hàm số:

2

2 12

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A ( )0;1 B (−; 0) C (1; + ) D (−1; 0) 11.Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: ( )

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây ?

A (−1;0 ) B (− + 1; ) C (− − ; 1 ) D ( )0;1 12.Mệnh đề nào đúng với bảng biến thiên sau :

A Hàm số nghịch biến trên 1;1 B Hàm số nghịch biến trên 1; 2

C Hàm số đồng biến trên 0; D Hàm số đồng biến trên ;1

13 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Khi đó hàm số nghịch biến trong khoảng

A.( 4;− +) B (−  +;1) (1; ) C.(0;+) D (1;+)

14 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A (1; + ) B (−2; 0) C (− ;1) D ( )0;1

( )

y= f x

15 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên

Hỏi hàm số 1 2

3 62

21 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 sin 1

sin

x y

23.(Câu 47 Mã 102 2018) Cho hai hàm số y= f x( ) và y=g x( ) Hai hàm số y= f '( )x và y=g x'( ) có

đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị hàm số y=g x'( ) Hàm số

 +

  D

133;

Trên đây là những bài toán thường gặp trong đề thi THPTQG của chủ đề “ Tính đơn điệu của hàm số” Trong quá trình biên soạn tôi có sử dụng một số câu hỏi sưu tầm từ đề thi của các nhóm, các trường

THPT Mặc dù đã cố gắng để chuyên đề được hoàn thành tốt nhất, nhưng khó có thể tránh khỏi sai sót nhất định Vì thế, rất mong được sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp để chuyên đề được hoàn thiện hơn Tôi xin trân trọng cảm ơn