BT RUT GON BT CHUA CBH

Chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau.. Ta có kết qủa quen thuộc sau đây:.[r]

CÁC BÀI TOÁN VỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC

Bài 1: Cho biểu thức:

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị của A biết : a 6 2 5  và b 5

Bài 2: Cho biểu thức

  1 

M

a) Tìm các giá trị của x để biểu thức có nghĩa Rút gọn M

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (2010 - M ) khi x 4

c) Tìm các số nguyên x để giá trị của M cũng là số nguyên

Bài 3: Cho biểu thức:

P



a Rút gọn P

b Tính P khi x  3 2 2

c Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên

P

2

( 1) 2 1 1 2 2

1 2

x P x

ĐK: x0;x1:

1

P

   HS lập luận để tìm ra x 4hoặc x 9 Bài 4: a Tính giá trị của biểu thức:

S

Ta có:

1

1

Vậy: S

S = 2013 -

1 2014

b Không dùng máy tính hãy so sánh :

2014 2015

2015 2014 và 2014  2015

Vậy

2014 2015

2015 2014 > 2014  2015

Bài 5: 1 Cho biểu thức:

P

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

2 Tính giá trị của biểu thức: A x 20122x20133x2014

Với

3 2 2

5 1

x     



1.Tìm đúng điều kiện: x0,x1

a) Rút gọn

16 3

x P

x







b)

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 2 số dương: x 3 và

25 3

x 

Ta được:

25

3

x



Chỉ ra dấu bằng xảy ra

25

3

x

2 Đặt



 3 2 2 n

Tính m2ta được m 2 2 nên m  2 Tính n ta được n  2 1  Từ đó ta tính được x 1

Thay x 1vào biểu thức A ta được A 120112.120123.12013 6

Bài 6:

1 Giải phương trình:  x  5 x 2  x2  7x 10 1   3

2 Cho a,b,c khác không và a b c   0 Tính giá trị của biểu thức

2 2 2 2 2 2 2 2 2

Q

3 Cho x0,y0 và thỏa mãn x y 1 Tìm GTNN của: 2 2

4

4 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x2 xy y 2  7x 2y

HD: 1 Giải phương trình:  x  5 x 2  x2  7x 10 1   3

(1)

ĐK x 2 Đặt x 5 a a 0 (2)  x  5 a2

x2b.b 0 (3)  x  2 b2

       (4)

Theo cách đặt ta có: a b ab   1 3 (5)

Thay (4)vào (5) ta được: a b ab   1 a2 b2

1

a b

b









 



0

x VN

2 Từ

 

( vì xyz 1) Xét tích x1 y1 z1  xy x y  1 z1 

xyz xy xz yz x y z         xy xz yz x y z      

Lần lượt thay x 1 hoặc y 1 hoặc z 1 vào biểu thức P ta đều được P 0

Áp dụng BĐT với a b , 0 thì

a b a b Dấu bằng xảy ra  a b vào bài toán trên

ta có:

2 2  2

4 2

x y  xy  x y 

(1)

Áp dụng BĐT Cô Si ta có

1

4xy xy (2)

Vì

2

 (3)

Từ (1);(2);(3)  A    4 2 5 11.Vậy

1 11

2

MinA  x y 

4 1 Ta có: 5x2 xy y 2  7x 2y

Vì 5 và 7 là nguyên tố cùng nhau Nên:

2 5

7





Từ x2y5m x5m 2y Thay vào x2xy y 2 7m và rút gọn ta được:

5m 2y25m 2y y y  2  7m  3y2  15my 25m2  7m 0 (1)

2

2

m

Vì

2 5

2

m

Mà m Z nên m 0;1

*Với m = 0 thay vào (1) ta được: y = 0 Từ đó tính được x = 0

*Với m = 1 thay vào (1) ta được:

3

y

y







Với y = 2 , m = 1 ta tính được x = 1

Với y = 3 , m = 1 ta tính được x = -1

Vậy x y ,   0;0 ; 1; 2 ; 1;3     

Bài 7: Cho các số thực dươnga b c, , thỏa mãn a b c   1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 9 3 3 2 9 3 3 2 9 3 3 2

P

(Đề thi HSG lớp 9 Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2014-2015) Lời giải:

P

Đặt

3

3 , 3 , 3

, , 0

x y z

x y z

  







Khi đó: 3 2 3 2 3 2

P

Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

2

3 2

2

3 2

2

3 2

1 1

1

9

 

 

z x

vì x y z  3

Làm tương tự thu được: 3 2 3 2

;

Từ đó suy ra:

P          

Không khó khăn ta chứng minh được:  

2 1

3 3

xy yz zx   x y z  

vì x y z  3

Do đó

1

xy yz zx

Dấu đẳng thức xảy ra khi

  1 1 1

3 3 3

x   y z a b c  

  Vậy  

1 1 1

3 3 3

P  a b c  

Bài 8: Cho biểu thức:

A

x x 1 x x 1 1 x

    với x 0, x 1 

1 Rút gọn biểu thức A

2 Chứng minh rằng A không nhận giá trị nguyên với x > 0, x1

Rút gọn được

x A



Chứng minh được 0 < A < 1 nên A không nguyên

Bài 9: Cho biểu thức:

A

1) Rút gọn A

2) Chứng tỏ rằng:

1 A 3



A

 

A

x x 1

x 1 x x 1



 

, với x 0, x 1 

Xột

 x 12

A

3 3 x x 1 3(x x 1)



    Dox 0, x 1 

2

1

A 0 3

A 3



Bài 10 Cho biểu thức: ( )(1 ) ( )( 1) ( 1)(1 )

P

1 Rỳt gọn biểu thức P.

2 Tỡm cỏc giỏ trị x, y nguyờn thỏa món P = 2.

Điều kiện để P xác định là : x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; y ≠ 1 ; x + y ≠ 0

P



( )

x y x x y y xy x y



x y x y x xy y xy





1 

y





1

y





 x  xy  y

P = 2 ⇔ x  xy  y

= 2 với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; y ≠ 1 ; x + y ≠ 0

 x1  y  y  1   1  x  1 1   y  1

Ta có: 1 + y 1

 x  1 1  0  x 4  x = 0; 1; 2; 3 ; 4

Thay vào P ta có các cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả mãn

3

Theo bất đẳng thức Cauchy ta cú: 2

1 b  2b nờn:

1

1

a b



Tương tự ta cú: 2

1

1

b c

  

 (2) 2

1

1

c a

  

Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:

2 2 2

3

2

2

a b c ab bc ca

ab bc ca   a b c         

3

   (đpcm) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

biểu thức

C

Từ gt :

2ab6bc2ac7abc và a,b,c > 0 Chia cả hai vế cho abc > 0

2 6 2

7

c a b

   

đặt

, , 0

x y z





 



Khi đó

C

2x y 4x z y z

             

Khi

2 thì C = 17 Vậy GTNN của C là 17 khi a =2; b =1; c = 1

Bài 13: Kí hiệu an là số nguyên gần n nhất (n  N*), ví dụ :

Tính : 1 2 3 1980

Đặt

a) Chứng minh A 2 n 3  : Làm giảm mỗi số hạng của A :

Do đó A 2  2 3   3 4     n  n 1  

b) Chứng minh A 2 n 2  : Làm trội mỗi số hạng của A :

 

Do đó : A 2  n n 1    3 2  2 1 2 n 2

Bài 14: Tìm phần nguyên của các số (có n dấu căn) : a)

n

HD Kí hiệu a n  6  6   6  6 có n dấu căn Ta có :

Hiển nhiên a100 > 6 > 2 Như vậy 2 < a100 < 3, do đó [ a100 ] = 2

Bài 15: 216 Ta có Tìm chữ số tận cùng của phần nguyên của  3  2250

Bài 15: Cho biểu thức

9

A

x



  (Với x0;x9) a/ Rút gọn A b/ Tìm tất cả các giá trị của x để A 0

a/ Rút gọn A

9

A

x



A





x x

A





Vậy với x0;x9 thì

3 3

x A

x





b/ Tìm tất cả các giá trị của x để A 0: A 0 

3

0 3

x

x  

0

3 0

x

x x

x

  

 

      





 





 



 



Kết hợp điều kiện => x > 9 hoặc x = 0 thỡ A 0

Bài 16: Cho

C

a 16 a 4 a 4

1/ Tìm điều kiện của a để biểu thức C có ngĩa, rút gọn C

2/ Tính giá trị của C , khi a 9 4 5  

+ Biểu thức C có nghĩa khi

a 16 0 a 16

a 0,a 16

a 4 0 a 16

moi a 0

a 4 0







+ Rút gọn biểu thức C

C

a 2 a 4 2 a 4 a 2 a 8 2 a 8 a 4 a

C

a a 4

C





2/ Tính giá trị của C , khi a 9 4 5  

Ta có : a 9 4 5 4 4 5 5      2  52

=> a  2  52   2 5

C

a 4



B i 17 ài 17 : Giả sử a,b,c là cỏc số thực dương thỏa món a≤b≤3≤c;c≥b+1; a+b≥c

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

Q= 2 ab+a+b+c (ab−1)

Giả sử a,b,c là cỏc số thực dương thỏa mãn :

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

Q= 2 ab+a+b+c (ab−1)

Hớng dẫn

Ta có : a + b  c => a + b –c  0 (1)

Tõ a + b  c  b + 1 => a  1 mµ b  a

=>

( 1)( 1) 0

Sö dông (1) vµ (2) ta cã

ab a b c ab ab a b c abc ab abc

Q

Q

1

Q



2

2

Q

V× c  3

Vậy Q(min) =

5

12 khi

1

    

Bài 18: Cho biểu thức

2 2

P

a b a b a b a b a b

1/ Rút gọn biểu thức P

2/ Biết a – b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P

1/ Rút gọn biểu thức P

2 2

P

a b a b a b a b a b

2 2

2 2

P

2 2

2 2

a b a b a b a b a b a b a b

P

2 2

2

2

a b a b a b a b

P

b

b a b a b

2/ Biết a – b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Từ a – b = 1 => a = b + 1 Khi đó

 

2

2

b b

b

(1).Coi (1) là phương trình bậc hai của b, Ta có

(2 P) 8 P 4P 4

      

Để có b, thì

2 2 2

P

P

  

       

 



Do P > 0 => P  2 2 2 => P(min) = 2 2 2 

Khi đó

2 2 2 2

P

=> a =

2 2 2



Bài 20: Cho biểu thức

1 x



1

4

.

a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)

x 2x x 1

x 1 x 2x 2 x x 1

:

x 1 2 x 1 x x 1 2 x 1

2 x 1

:

: 2 x 1

1 x 1 x x

x x 1



1 x x x 1 x

2 x 1

: 2 x 1 :



:

x

b) Tính giá trị của A khi x  17 12 2  (1 điểm).

Tính x  17 12 2  3 2 2  2 x  3 2 2  2   3 2 2   3 2 2

c) So sánh A với A: Biến đổi

Chứng minh được

1

x

với mọi

1

4

 A  x  1  1 1   A   1 A  1  0  A A  1  0  A  A  0  A  A

x

B i 21: ài 17 Cho biểu thức

1 Rút gọn biểu thức A

2 Cho

x  y  Tìm giá trị lớn nhất của A Điều kiện: xy 1

x 1 1 xy xy x xy 1 xy 1 1 xy

xy 1 1 xy



xy 1 1 xy xy x xy 1 x 1 1 xy

xy 1 1 xy



x 1 1 xy xy x xy 1 xy 1 1 xy

xy 1 1 xy xy x xy 1 x 1 1 xy

x y xy xy



Theo Côsi, ta có:

Dấu bằng xảy ra 

x  y  x = y =

1

9 Vậy: maxA = 9, đạt được khi : x = y =

1

9

Bài 22: Cho biểu thức:

.

x

P



a Rút gọn P b Tìm giá trị nhỏ nhất của P

c Xét biểu thức:

2 ,

x Q

P



chứng tỏ 0 < Q < 2

a Đk : x0;x1.

1

P

  

Vậy P x  x1, với x0;x1.

b

2

1

P x  x  x   

dấu bằng xảy ra khi x = ¼, thỏa mãn đk.

Vậy GTNN của P là

3

4 khi

1 4

x 

c Với x0;x1 thì Q =

2 1

x

x x > 0 (1)

Xét

 2

2

x x



Dấu bằng không xảy ra vì điều kiện x 1

suy ra Q < 2.(2)

Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2

Bài 1: (4,0 điểm) Cho

2 x 9 2 x 1 x 3

x 5 x 6 x 3 2 x

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị của x để A =

1 2



a(2,0đ)

2 x 9 2 x 1 x 3 A

( x 3)( x 2) x 3 x 2

2 x 9 (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3)

( x 3)( x 2)

2 x 9 2x 4 x x 2 x 9 x x 2

( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2) ( x 2)( x 1) x 1

( x 3)( x 2) x 3



Vậy

x 1 A

x 3





 với (x 0, x 4, x 9)   b(2,0đ) Với (x 0, x 4, x 9)   Ta có:



Vậy A =

1 2



 x =

1

9 a(1,5đ) Ta có 8 2 15  8 2 15

5 2 15 3 5 2 15 3 ( 5 3) ( 5 3)

Câu 23: Cho biểu thức T =

a 3 3 a 6 a

a) Rút gọn T

b) Xác định các giá trị của a để T > 0

Cho biểu thức

a 3 3 a 6 a T

với a ≥ 0, a ≠ 4, a ≠ 9

a) Rút gọn:

a 3 3 a 6 a T

b) T > 0 

1

a 2      (vì 1 > 0)  a > 4 ; K hợp ĐK ta được a > 4 và a

≠ 9

Vậy: khi a > 4 và a ≠ 9 thì T > 0

Câu 24: Tính giá trị của biểu thức: A = 2x33x2 4x2

với

x        

b) Cho x, y thỏa mãn:

Đặt



, a > 0



1 2 1

2

B = 2x3 + 3x2 – 4x + 2 B = 2x(x2 + 2x -1 ) - ( x2 + 2x -1 ) + 1 = 1

x   x  x  y   y  y(1)

ĐKXĐ: 2014x y; 2014

(1) x2014 y2014 2015 x 2015 y 2014 y 2014 x 0

Nếu x khác y và 2014x y; 2014 thì x2014 y2014>0;

2015 x  2015 y>0; 2014 x  2014 y >0 , do đó (1)

  1 1 1 0

x y

Khi đó dễ chứng tỏ

0

2014 x  2014 y  2015 x  2015 y 

Mà x y 0 nên (2) vô lý vì VT(2) luôn khác 0

Nếu x=y dễ thấy (1) đúng Vậy x = y

Câu 25: Bài 18: Cho 100 số tự nhiên a a1 , , , 2 a100 thỏa mãn điều kiện:

Chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau.

Ta có kết qủa quen thuộc sau đây:

n

2 ( 2 1) ( 3 2) ( 1) 2( 1) 2 2

Gỉa sử trong 100 số tự nhiện đã cho không có hai số nào bằng nhau Không mất tính tổng quát, giả sử: a1 a2  a100  a1  1,a2  2, a n  100

a  a   a     2 100 1 19  (áp dụng (*))

Kết qủa này trái với giả thiết Vậy tồn tại bằng nhau trong 100 số đã cho.