Tài liệu chuyên toán - Bất đẳng thức hiện đại - phần 8 pdf

Bất đẳng thức tương đương vớiBất đẳng thức được chứng minh... Đẳng thức ở bất đẳng thức bên phải xảy ra khi và chỉ khi a =... Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do hàm p34x +x1 là hàm tăn

Lời giải Bất đẳng thức tương đương với

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia = b = c:

Bài toán 2.4 Cho các số dươnga; b; c thỏa mãn (a + b + c) 1a+1b +1c = 10: Chứngminh rằng

7 + 8p

2 5p52

7 + 5p

5 8p2

Do đó, để chứng minh bất đẳng thức bên trái, ta chỉ cần xét nó trong trường hợp

vu

t q2 4q3+ 2(9q 2) 10q 27 10q 2

q 10 2

= 7

2+

12

12

vu

t q2 4q3+ 2(9q 2) 10q 27 10q 2

q 10 2

= 72

12

s

253 40 10q +1

q

72

12

Bất đẳng thức được chứng minh xong Đẳng thức ở bất đẳng thức bên trái xảy

ra khi và chỉ khi c = 10 p10+520p2 2p5; b = p1010; a = 10 p10 520p2+2p5 và các hoán

vị tương ứng Đẳng thức ở bất đẳng thức bên phải xảy ra khi và chỉ khi a =

ab

!X

13

ab+

1

2P

a2

Nên ta chỉ cần chứng minh được

X

cyc

a4+83

Dễ thấyf (q) là hàm lồi nên

f (q) max f (3); f 9

729

32 < 0:

Bất đẳng thức được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia = b = c = 1:

Bài toán 2.6 Cho các số dương a; b; c thỏa mãn a b + c: Chứng minh rằng

(Dương Đức Lâm)

Lời giải Do a b + c nên

cyc

a

b + c+

3abc(a + b)(b + c)(c + a) 2

r4(a2+ b2)

c2+ ab

)

Chú ý rằng

(a2+ bc)(b2+ ca)(a2+ c2)(b2+ c2)

(a2+ c2)(b2+ c2)(a2+ c2)(b2+ c2) = 1nên

c2+ ab, a

s(a2+ bc)(b2+ ca)(a2+ c2)(b2+ c2)6(a2+ bc)

g(0) = ab(a b)4 0; g(b) = b 1

4(a b)[(2a

2 6ab b2)2+ 43b4] + 8b5 0Khẳng định được chứng minh Trở lại bài toán của ta, có 2 trường hợp xảy raNếu ac22 +ab+b2 2 , ca22+ab+b 2 1

2, khi đó từ khẳng định trên, ta dễ dàng đi đến kết luận.Nếu ac22 +ab+b2 2, khi đó từ khẳng định trên, ta chỉ cần chứng minh

3

r4(a2+ b2)

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do hàm p3

4x +x1 là hàm tăng với mọix p3

2.Bất đẳng thức được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia = b; c = 0hoặc các hoán vị

Bài toán 2.8 Cho a; b; c là các số không âm thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minhrằng

3

= 4Nếu2b a, bất đẳng thức tương đương với

pb(3a + 2b) a b

Do2b a nên 3

2 p 2

pb(3a + 2b) a + b, và ta dễ dàng kiểm tra được

f (c) f 3

2p

2

pb(3a + 2b) a b = 27ab(a 2b)

(Vasile Cirtoaje)

Lời giải Bất đẳng thức được viết lại như sau

cyc

1

a2+ ab + b2

!6

Do tính thuần nhất, ta có thể giả sử a + b + c = 1 Đặt q =P

cyc

ab; r = abc, bất đẳngthức trở thành

1

q +

q2q2 3r 6

2

6 = (1 3q)(4q 1)

2

q(8q2 5q + 1) 0:Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia = b = c:

Bài toán 2.10 Cho các số không âm a; b; c; không có 2 số nào đồng thời bằng 0:Chứng minh rằng

a3+ b3+ c3

a + b + c = a

2+ b2+ c2 ab bc ca + 3abc

a + b + cNên bất đẳng thức đã cho tương đương với

cyc

a2+ ab + b2

ab

!X

Điều này hiển nhiên đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia = b = c hoặc c = 0;ab ! 0hoặc các hoán vị tương ứng

Bài toán 2.11 Choa; b; c; d là các số không âm thỏa mãn a + b + c + d = 1: Chứngminh rằng

ap

a + b+

bp

b + c +

cp

c + d+

dp

d + a

3

2:(Mircea Lascu)

Lời giải Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử a + c b + d ) x = a + c 12:

Sử dụng bất đẳng thức Jack Garfunkel, ta có

ap

a + b+

bp

b + c+

cp

c + a

54

b + c

54

p

1 d p c

c + ac

p

c + d+

dp

d + a+

ap

a + c

54

d + a

54

p

1 b p a

a + cSuy ra

c + a

= 54

p2(x + 1) p

Bài toán 2.12 Cho a; b; c; d là các số không âm, không có 3 số nào đồng thời bằng0: Chứng minh rằng

a

p

a + b + c+

bp

b + c + d +

cp

c + d + a+

dp

d + a + b

54

p

a + b + c + d:Lời giải Giả sử d = minfa; b; c; dg và đặt x = a + c; khi đó ta dễ thấy

a

p

a + b + c +

dp

d + a + b

ap

a + b + d+

dp

d + a + b =

xp

x + bb

p

b + c + d

bp

b + cNên ta chỉ cần chứng minh

xp

x + b +

bp

b + c+

cp

c + d + a

54

b + c +

cp

c + x

54

p

x + b + dĐây chính là bất đẳng thức Jack Garfunkel nên bất đẳng thức đã cho được chứngminh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =d hoặc các hoán vị tương ứng

Bài toán 2.13 Choa; b; c là các số dương Chứng minh rằng

2(a + b + c)(bc + ca + ab)

a2+ b2+ c2+ ab + bc + ca ((2a + b)(2b + c)(2c + a))

1

:(Sung Yoon Kim)Lời giải 1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có a2b + b2c + c2a

(3r + 2q2+ 2q)1 2q

1 qNếu1 4q; thì

(3r + 2q2+ 2q)1 (2q2+ 2q)1và

2q2+ 2q 8q

3

(1 q)3 = 2q(1 2q 4q

2+ 2q3 q4)(1 q)3

2q(1 2q 4q2)(1 q)3

2q(1 3q)(1 q)3 0Nếu4q 1; thì

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia = b = c:

Lời giải 2 Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có

Bất đẳng thức này có thể được chứng minh bằng phép khai triển

Lời giải 3 Ta sẽ chứng minh kết quả mạnh hơn là

Do đó, bất đẳng thức trên tương đương với

6 + 2X

cyc

(b c)2(a + 2c)(a + b + c)

3(a2+ b2+ c2)

ab + bc + ca + 3

, x(b c)2+ y(c a)2+ z(a b)2 0vớix = 4(ab+bc+ca)3(a+b+c) a+2c1 vày; z tương tự

Không mất tính tổng quát, giả sửb là số hạng nằm giữa a và c; tức là (b a)(b c) 0:

Từ đó, ta có(a b)(a c) 0 và (c a)(c b) 0: Chú ý rằng (a + 2b)(a + 2c) =3(ab + bc + ca) + (a b)(a c), ta có

Nếua b c; khi đó dễ thấy y 0 do

3(a + b + c)4(ab + bc + ca)nên bất đẳng thức đúng

Nếuc b a và nếu y 0 nên bất đẳng thức đúng Giả sử y 0; khi đó ta có

2(a + b + c)

ab + bc + ca

9(a + b + c)4(ab + bc + ca)và

2(a + b + c)

ab + bc + ca

9(a + b + c)4(ab + bc + ca)

Từ đây, với chú ý rằng(a c)2 2(a b)2+ 2(b c)2; ta được

x(b c)2+ y(c a)2+ z(a b)2 (x + 2y)(b c)2+ (z + 2y)(a b)2 0:Bất đẳng thức được chứng minh

Bài toán 2.14 Cho các số dươnga; b; c: Chứng minh rằng

cyc

a

a + c

!X

Ta có thể viết lại bất đẳng thức như sau

cyc

ab

!3abc

cyc

ab

!3abc+

Lời giải 2 Bất đẳng thức đã cho tương đương với

Bất đẳng thức được chứng minh

Bài toán 2.15 Cho các số không âm a; b; c; không có 2 số nào cùng bằng 0: Chứngminh rằng

ra

b + 3c+

rb

c + 3a+

rc

a + 3b

3

2:

(Vasile Cirtoaje)

Lời giải Đặt a+3bc = z42;c+3ab = y42;b+3ca = x42; với x; y; z là các số không âm Khi

đó, ta dễ dàng kiểm tra được đẳng thức sau

16 = 7x2y2z2+ 3(x2y2+ x2z2+ y2z2)

và ta cần chứng minh

x + y + z 3Giả sửx + y + z < 3; khi đó tồn tại k > 1 sao cho kx + ky + kz = 3 Đặt kx = u; ky =v; kz = w thì u + v + w = 3 và

16 7u2v2w2+ 3(u2v2+ u2w2+ v2w2)với mọi u; v; w 0 thỏa mãn u + v + w = 3; điều này dẫn đến mâu thuẫn nên bấtđẳng thức cần chứng minh đúng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia = b = c:

Bài toán 2.16 Cho các số dươnga; b; c: Chứng minh rằng

bc(b + c)2

ca(c + a)2

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia = b = c:

Bài toán 2.17 Cho a; b; c là các số dương thỏa mãn a2b2+ b2c2+ c2a2 = 3: Chứngminh rằng

Lời giải Sử dụng bất đẳng thứ AM-GM, ta có

ab + b2c2

2

12

3abc

6abc+ 6 =

32abc +

32

3abc:

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia = b = c = 1:

Bài toán 2.18 Cho k > 0 là một hằng số cho trước Tìm hằng số lớn nhất saocho với mọi a b c d 0 thỏa a + b + c + d = 1; bất đẳng thức sau đúng

64(2k + 1)3

1(k + b + c)(k + c + d)

= [(k + a + b)x + (k + c + d)z](x + y)(y + z)(k + a + b)(k + b + c)(k + c + d)(k + d + a)8xyzp

(k + a + b)(k + c + d)(k + a + b)(k + b + c)(k + c + d)(k + d + a)

(k + a + b)(k + c + d)(k + b + c)2(k + d + a)2

64(2k + 1)3xyz:

với bất đẳng thức cuối đúng theo bất đẳng thức AM-GM và giả thiếta + b + c + d = 1:

1

p 2

x 2 i

1p

2 + 2

n

P x 2 i

x i+1

" nX

i=1

x2 i

x2

i + x2 i+1+ xi

xi+ xi+1

p2Nên ta chỉ cần chứng minh được

cyc

a

!+ (a b)(b c)(c d)(d a):

(Phạm Minh Khoa)

Lời giải Do

52

cyc

a

!X

4[(a b)

4+ (b c)4+ (c d)4+ (d a)4]j(a b)(b c)(c d)(d a)j

(a b)(b c)(c d)(d a):

Bất đẳng thức được chứng minh xong

Bài toán 2.21 Cho các số dươnga; b; c thỏa a2+ b2+ c2= 3: Chứng minh rằng

Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có a + b + c 3 Từ đó

!

a2+13(b + c)(a + b + c)

!3

Bất đẳng thức này thuần nhất nên ta có thể bỏ qua giả thiết a2+ b2+ c2 = 3 vàchuẩn hóa choa + b + c = 1; khi đó bất đẳng thức trở thành

X

cyc

3a3a2 a + 1 3

Ta có

X

cyc

3a3a2 a + 1 3 =

X

cyc

3a3a2 a + 1 2a

13

cyc

(2a + 1)(3a 1)23(3a2 a + 1) 0:

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia = b = c = 1:Bài toán 2.22 Choa; b; c là các số dương Chứng minh rằng

= 12

papb

pa

c +

pbpc

pb

a +

pcpa

pcb

!

12

sa

X a2

b2 +2ba

Suy ra, ta chỉ cần chứng minh

a2

b2 +2ba

Lời giải 2 Trước hết, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau

a

b +

ba

2

ab

(a2 b2)2

p(a2+ c2)(b2+ c2) p

Xra2+ c2

b2+ c2 +Xrb2+ c2

a2+ c2

2 b2)2

a2c2

1(a2+ b2)(a2+ c2) (a

X(b c)2+ 2Xp

[a + (b c)2][b + (a c)2] 2

Bài toán 2.25 Cho các số dươnga; b; c thỏa a + b + c = 3: Chứng minh rằng

a2b + 1+

b2c + 1+

c2a + 1

1abc:

(Võ Quốc Bá Cẩn)Lời giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với

2b + 1 + 3

b2c + 1 + 3

c2a + 1 +

1abc 9, 7b + c2b + 1+7c + a

2c + 1+

7a + b2a + 1+

1abc 9, 2 2b + 1c 1 + a 1

2c + 1+

b 12a + 1 +

2abc+ 3 5

12a + 1+

12b + 1+

12c + 1Nên để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta chỉ cần chứng minh 2 bất đẳng thức sau

c 12b + 1+

a 12c + 1+

b 12a + 1 0

2abc+ 3 5

12a + 1 +

12b + 1+

12c + 1a) Trước hết, ta sẽ chứng minh

c 12b + 1+

a 12c + 1+

b 12a + 1 0, 2(a2+ b2+ c2 ab bc ca) + 4(a2b + b2c + c2a) 12

, a3+ b3+ c3+ 12(a2b + b2c + c2a) 6(ab2+ bc2+ ca2) + 21abc

b) Tiếp theo, ta sẽ chứng minh

2abc+ 3 5

12a + 1 +

12b + 1+

12c + 1Đặtq = ab + bc + ca; r = abc thì ta có

12a + 1+

12b + 1+

12c + 1 =

4q + 158r + 4q + 7Nên bất đẳng thức tương đương với

3r + 2r

5(4q + 15)8r + 4q + 7, 2(1r(8r + 4q + 7)r)(4q + 7 12r) 0:

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng vì 3 q 3r: Vậy ta có đpcm Đẳng thức xảy

ra khi và chỉ khia = b = c = 1:

Bài toán 2.26 Cho các số dươnga; b; c thỏa a b c và abc = 1: Chứng minh rằng

c3a 1 c(1 b4) c3b2+ cb4 c 1

= c3b2+ cb4 c (abc)4=3 (abc)5=3

c3b2+ cb4 c (b2c)4=3 (b2c)5=3

= b2c(c2+ b2 b4=3c2=3 b2=3c4=3) 0) c3a 1 c(1 b4) 0

Lại có

ca

Bất đẳng thức được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia = b = c = 1:

Bài toán 2.27 Cho các số dươngx; y; z thỏa x2+ y2+ z2= 1: Chứng minh rằng

p3:

(Ji Chen)

Lời giải Bất đẳng thức tương đương với

3 1 xyz 0Đặta =yzx; b =zxy; c = xyz vàp = a + b + c thì ta có ab + bc + ca = 1 và p p

3; bấtđẳng thức trở thành

p 2 + 9 p2

3 1 abc 0Nếu p 2 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng Nếu 2 p p

3 thì theo bất đẳngthức Schur bậc 3, ta có9abc p(4 p2); suy ra

p 2 + 9 p2

2p

3 1 p(4 p

2)

= (2 p) p2

3 1 p(p + 2) 1(2 p) p2

9(a2+ b2+ c2)(a + b + c)2

(Võ Quốc Bá Cẩn)Chứng minh Bất đẳng thức tương đương

X

cyc

a

! X

cyc

ab

3

a + b + c 0

a 82a

b +

9b2a +

2b3c+

3c

3 + 6 + 6

r3

5 12 = 6

r3

5 3 > 0