Tan tổng lập tổng hai tan một trừ tan tích mẫu mang thương sầu gặp hiệu ta chớ lo âu, đổi trừ thành cộng ghi sâu vào lòng.. Bắt được quả tang Sin nằm trên cos Côtang cãi lại Cos nằm trên[r]
Trang 1I CÁC H TH C LG C B N Ệ Ứ Ơ Ả
1 1 sin 1 hay sin 1.
2 1 cos 1 hay cos 1.
3. sin2xcos2 x1.
4
sin
tan
x
x
cos
sin
x
1
cos
x
x
1
sin
x
x
8.
2
x x x k k Z
B t đ ắ ượ c qu tang ả
Sin n m trên cos ằ
Côtang cãi l i ạ Cos n m trên sin! ằ
II CUNG LIÊN K T Ế
“Cos đ i – Sin bù – Ph chéo – h n ố ụ ơ
kém (khác) pi tan”
9 Cung đ i nhau ố x & x.
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan cot( ) cot
10 Cung bù nhau x & x.
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan cot( ) cot
11 Cung phụ nhau x & 2 x
.
2
2
2
2
12 Cung h n kém ơ : x & x
.
sin( ) sin cos( ) cos
tan( ) tan cot( ) cot
III CÔNG TH C C NG Ứ Ộ
sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
Sin thì sin cos cos sin Cos thì cos cos sin sin d u ấ
tr ừ
tan tan tan( ) =
1 tan tan tan tan tan( ) =
1 tan tan
x y
x y
Tang t ng thì l y t ng tang ổ ấ ổ Chia m t tr v i tích tang, ộ ừ ớ ra li n ề
Tan t ng l p t ng hai tan ổ ậ ổ
m t tr tan tích m u mang th ộ ừ ẫ ươ ng
s u ầ
g p hi u ta ch lo âu, ặ ệ ớ
đ i tr thành c ng ghi sâu vào lòng ổ ừ ộ
IV CT GÓC NHÂN ĐÔI
sin 2x2sin cosx x
sin 2sin cos
nx nx
nx
2
2 2
2
cos2 cos sin
(cos sin )(cos sin ) 2cos 1
1 tan
1 2sin
1 tan
x
x x
x
2
2tan tan 2
1 tan
x x
x
Tang đôi ta l y đôi tang (2 tang) ấ Chia 1 tr l i bình tang, ra li n ừ ạ ề
V CT GÓC NHÂN BA
3 sin3x3sinx 4sin x
3 cos3x4cos x 3cosx
Trang 2Nhân ba m t góc b t kỳ, ộ ấ
sin thì ba b n, cos thì b n ba, ố ố
d u tr đ t gi a hai ta, ấ ừ ặ ữ
l p ph ậ ươ ng ch b n, ỗ ố th là ok ế
VI CÁC CÔNG TH C H B C Ứ Ạ Ậ
sin 2 sin cos
2
x
x x
2 cos2 1
cos
2
x
2 1 cos2
sin
2
x
x
VII BI N Đ I T NG Ế Ổ Ổ TÍCH
sin sin 2sin cos
sin sin 2cos sin
Cos c ng cos b ng hai cos cos ộ ằ
cos tr cos b ng tr hai sin sin ừ ằ ừ
Sin c ng sin b ng hai sin cos ộ ằ
sin tr sin b ng hai cos sin ừ ằ
sin( ) tan tan
cos cos sin( ) tan tan
cos cos
x y
x y
x y
x y
tanx + tany: tan ta c ng v i tan ộ ớ
mình
B ng sin hai đ a ằ ứ chia cos mình
cos ta tanx - tan y: tan ta lìa b tan mình ỏ
B ng sin tan v ằ ỡ chia cos mình cos
ta VIII BI N Đ I TÍCH Ế Ổ T NG Ổ
1 cos cos cos( ) cos( )
2 1 sin sin cos( ) cos( )
2 1 sin cos sin( ) sin( )
2 1 cos sin sin( ) sin( )
2
IX CT TÍNH THEO tan2
x
t
2
2 sin
1
t x
t
2 2
1 cos
1
t x
t
2
2 tan
1
t x
t
(x 2k k Z; )
Sin, cos m u gi ng nhau ch khác ẫ ố ả
Ai cũng là m t c ng bình tê ( ộ ộ 1 t 2) Sin thì t có hai tê (2t), ử
cos thì t có 1 tr ử ừ đi tê bình
2
(1 t )
Chú ý: ph i xét riêng tr ả ườ ng h p ợ
2
x k tr ướ c khi đ t n ph ặ ẩ ụ
X PHÉP BI N Đ I HÀM S Ế Ổ Ố
sin cos
y a x b x
cos sin sin cos
b
a
Ho c cũng có th bi n đ i ặ ể ế ổ
sin sin cos cos
a
b
XI KQLG TH ƯỜ NG DÙNG
Trang 3sin x (1 cos )(1 cos )x x
2
cos x (1 sin )(1 sin )x x
2
1 sin 2 x(sinxcos )x
2
1 sin 2 x(sinx cos )x
sin cos cos 4
4 4
x x x
sin cos cos 4
8 8
x x x
tanxcotx2cot 2x x k / 2
2 tan cot
x
4
2 cos
4
sin cos 2 sin
4
2 cos
4 sin( ) cot cot
sin sin
x y
x y
sin( ) cot cot
sin sin
x y
x y
XII CÁCH TÍNH 1 S T NG Ố Ổ
tanxcotx 2cot 2x
2cot 2xcotx tanx
Nhân và chia bi u th c v i cùng 1ể ứ ớ
s khác 0; thố ường là sin2 cos2
v i h là cung gia tăngớ , tách tích
thành t ng (thổ ường là hi u luân ệ
phiên, d n đ n tri t tiêu l n ẫ ế ệ ẫ
nhau)
: cos cos( ) cos( )
2 sin
2
h
T
XIII BI U DI N GÓC, CUNG LG Ể Ễ
TRÊN Đ ƯỜ NG TRÒN LG
m
Bài toán co m ng n cung phân bi t o ệ
tương ng v i ứ ớ k 0,1, ,(m 1)
Bài toán co n đi m M cách đ u nhau ể ề
tương ng ứ v i ớ k 0,1, ,(m 1)
VD1 Trên ĐTLG có A là g c, xác ố
đ nh M: ị
AM k k
0 :
4
k AM
1:
4
k AM
2 :
4
k AM
3:
4
k AM
Ví d 2 T ng h p 2 cung: ụ ổ ợ
/ 6 ; / 3
x k x k
5 ,
x k M M
4 ,
x k M M
T ng h p trên ĐTLG: ổ ợ
x k
XIV PP L ƯỢ NG GIÁC HÓA.
ng d ng trong các bài toán đ i s
Gi thi t ả ế Đ t n ph ặ ẩ ụ
1
x xsint x cost ( 0)
x a a x a sint x a cost
x y xsin ;t ycost
x y r x r sin ;t y r cost
1
cos sin
x R xtant x cott
Trang 4XV QUY ƯỚ C CHUNG TRONG
TAM GIÁC ABC.
c
a
b
ma
la
ha
B
A
C
A, B, C: là các góc đỉnh A, B, C
a, b, c : là độ dài các cạnh đối diện
với các đỉnh A, B, C
ha, hb, hc : là độ dài các đường cao
hạ từ các đỉnh A, B, C
ma, mb, mc : là độ dài các đường
trung tuyến kẻ từ A, B, C
la, lb, lc : là độ dài các đường phân
giác trong kẻ từ A, B, C
R : là bán kính đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC
r : là bán kính đường tròn nội tiếp
tam giác ABC
p =
1
2 (a+b+c) : là nửõa chu vi tam
giác ABC
S : là diện tích tam giác ABC
XVI HTL TRONG TG VUƠNG.
a
h
H
A
1. a2 b2 c2
2.
2 2
' '
b a b
c a c
3. h2 b c' '
h b c
5 .a h b c .
6.
.sin cos sin cos
7.
.tan cot tan cot
XVII CÁC Đ NH LÝ TRONG TG Ị
1 Đ nh lý hàm s sin ị ố
2 sin sin sin
R
A B C
2 Đ nh lý hàm s cosin ị ố
2 cos
2 cos
2 cos
3 H qu ệ ả
cos
2 cos
2 cos
2
b c a A
bc
a c b B
ac
a b c C
ab
4 Đ nh lý đ ị ườ ng trung tuy n ế
Trang 52 2 2
2
2
2
4
4
4
a
b
c
m
m
m
5 Công th c di n tích tam giác ứ ệ
2 a 2 b 2 c
S ah bh ch
S ab A ac B bc A
4
abc
S pr p p a p b p c
R
6 Đ nh lý hình chi u ị ế
cos cos
cos cos
cos cos
a b C c B
b a C c A
c a B b A
7 Đ nh lý đ ị ườ ng phân giác
2
cos
2 2
cos
2 2
cos
2
a
b
c
bc A
l
b c
ac B
l
a c
ab C
l
a b
8 Công th c bán kính ứ
a) Bán kính đ ườ ng tròn ngo i ạ
ti p ế
2sin 2sin 2sin 4
R
b) Bán kính đ ườ ng tròn n i ti p ộ ế
( ) tan
2 ( ) tan
2 ( ) tan
2
A
r p a
B
p b
C
p c
c) Bán kính đ ườ ng tròn bàng ti p ế
.tan 2
p a
.tan 2 tan 2
b
c
p b
p c
9 Các công th c khác ứ
a b c
a b c
0 sin sin sin 1
1 cos cos cos 0
a b c A B C